淺談具有依附條件的相互獨立事件同時發(fā)生的概率

1、淺談具有依附條件的相互獨立事件同時發(fā)生的概率 天津市渤海石油第一中學(xué) 姜偉 孫棟才 相互獨立事件同時發(fā)生的概率是高中數(shù)學(xué)概率一章的核心內(nèi)容，也是高考中的考察熱點及重點，近幾年的高考題中, 對具有依附條件的相互獨立事件同時發(fā)生的概率的考察日益突出,現(xiàn)就此類問題的解答過程及要點舉例析解如下:例1:（2008全國一20）已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物血液化驗結(jié)果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病下面是兩種化驗方法：方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗若結(jié)果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能

2、確定患病動物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗（）求依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率；解：（）設(shè)事件表示依甲方案第i次即將患病動物化驗出來, 設(shè)事件表示依乙方案第j次即將患病動物化驗出來。顯然事件與事件具有一定的依附關(guān)系（）的相互獨立事件，由題意可得：，而事件互斥, 與相互獨立，由題意可得：所求的概率=此類問題的求解一般分三個步驟：（1）、事件符號化：即將相關(guān)的事件用對應(yīng)符號、表示（強(qiáng)調(diào)清楚下腳標(biāo)的意義）。（2）、概率數(shù)據(jù)化:根據(jù)題意分別求出和。（3）、結(jié)果線性化：根據(jù)依附條件列出符合題意的與的線性組合，并根據(jù)互斥事件及相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，求出此線性組

3、合的概率。 此題的設(shè)問還可如下變形： 變式一：求依方案甲所需化驗次數(shù)等于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率；變式二：求依方案甲所需化驗次數(shù)小于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率；例2:(2009全國2文科).某車間甲組有10名工人,其中有4名女工,乙組有10名工人,其中有六名女工,現(xiàn)采用隨機(jī)抽樣(層內(nèi)采用不放回簡單隨機(jī)抽樣),從甲乙兩組中抽取4人進(jìn)行考核; . (3).求抽取的4人中恰有2名男工人的概率解：（3）設(shè)事件表示從甲組中抽i個男工人, 設(shè)事件表示從乙組中抽取j個男工人,相互獨立, 設(shè)求抽取的4人中恰有2名男工人的概率為,則:=例3：.（2008山東卷18）甲乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答

4、一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分。假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為且各人正確與否相互之間沒有影響.用表示甲隊的總得分.()用a表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用b表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求p(a/b).解：設(shè)事件表示甲得i分，事件表示乙得j分。由題意可得依存條件為,則有：, , ；,由互斥事件的概率公式得。此題的設(shè)問還可如下變形： 變式一：求甲、乙兩個隊總得分之和等于3的概率；變式二：求甲隊總得分大于乙隊總得分的概率；變式三：求甲隊總得分等于乙隊總得分的概率；解此類題的關(guān)鍵是將依附關(guān)系符號化，這是解此類題的核心和難點。練習(xí)題1：

5、（2009天津卷18）在10件產(chǎn)品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.從這10產(chǎn)品中任取3件,求: (2).取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多余二等品件數(shù)的概率 略解: 設(shè)事件表示取一等品i個, 設(shè)事件表示取二等品j個,相互獨立,練習(xí)題2：（2008天津卷18）甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為（）求乙投球的命中率；（）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（）若甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次的概率練習(xí)題3（2006全國卷i）a、b是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進(jìn)行對比試驗。每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用a，另2只服

6、用b，然后觀察療效。若在一個試驗組中，服用a有效的小白鼠的只數(shù)比服用b有效的多，就稱該試驗組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用a有效的概率為，服用b有效的概率為。（）求一個試驗組為甲類組的概率；（）觀察3個試驗組，求這3個試驗組中至少有一個甲類組的概率。練習(xí)題4：（05北京）甲、乙兩人各進(jìn)行次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率， 甲恰好擊中目標(biāo)的次的概率； 乙至少擊中目標(biāo)次的概率；求乙恰好比甲多擊中目標(biāo)次的概率練習(xí)題5：（07安徽）設(shè)甲、乙兩人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為和，且各次射擊相互獨立若甲、乙各射擊一次，求甲命中但乙未命中目標(biāo)的概率；若甲、乙各射擊兩次，求兩人命中目標(biāo)的次數(shù)相等的概率練習(xí)題6：（08江西）因冰雪災(zāi)害，某柑橘基地果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出一種拯救果樹的方案，該方案需分兩年實施且相互獨立，該方案預(yù)計第一年可以使柑橘產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0、0.9、0.8倍的概率分別是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑橘產(chǎn)量為第一年的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分別是0.3、0.3、0.4.（1）。求兩年后柑橘產(chǎn)量恰好達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的概率。（2）。求兩