第05章 時間序列模型 (課件)

1、1 關(guān)于標準回歸技術(shù)及其預(yù)測和檢驗我們已經(jīng)在關(guān)于標準回歸技術(shù)及其預(yù)測和檢驗我們已經(jīng)在 前面的章節(jié)討論過了，本章著重于時間序列模型的前面的章節(jié)討論過了，本章著重于時間序列模型的 估計和定義，這些分析均是基于單方程回歸方法，估計和定義，這些分析均是基于單方程回歸方法， 第第9章我們還會討論時間序列的向量自回歸模型。章我們還會討論時間序列的向量自回歸模型。 這一部分屬于動態(tài)計量經(jīng)濟學的范疇。通常是這一部分屬于動態(tài)計量經(jīng)濟學的范疇。通常是 運用時間序列的過去值、當期值及滯后擾動項的加運用時間序列的過去值、當期值及滯后擾動項的加 權(quán)和建立模型，來權(quán)和建立模型，來“解釋解釋”時間序列的變化規(guī)律。時間序列的

2、變化規(guī)律。 2 第第3章在對擾動項章在對擾動項ut的一系列假設(shè)下，討論了古典線性的一系列假設(shè)下，討論了古典線性 回歸模型的估計、檢驗及預(yù)測問題。如果線性回歸方程的回歸模型的估計、檢驗及預(yù)測問題。如果線性回歸方程的 擾動項擾動項ut 滿足古典回歸假設(shè)，使用滿足古典回歸假設(shè)，使用OLS所得到的估計量是所得到的估計量是 線性無偏最優(yōu)的。線性無偏最優(yōu)的。 但是如果擾動項但是如果擾動項ut不滿足古典回歸假設(shè)，回歸方程的不滿足古典回歸假設(shè)，回歸方程的 估計結(jié)果會發(fā)生怎樣的變化呢？理論與實踐均證明，擾動估計結(jié)果會發(fā)生怎樣的變化呢？理論與實踐均證明，擾動 項項ut關(guān)于任何一條古典回歸假設(shè)的違背，都將導(dǎo)致回歸方

3、關(guān)于任何一條古典回歸假設(shè)的違背，都將導(dǎo)致回歸方 程的估計結(jié)果不再具有上述的良好性質(zhì)。因此，必須建立程的估計結(jié)果不再具有上述的良好性質(zhì)。因此，必須建立 相關(guān)的理論，解決擾動項不滿足古典回歸假設(shè)所帶來的模相關(guān)的理論，解決擾動項不滿足古典回歸假設(shè)所帶來的模 型估計問題。型估計問題。 3 對于線性回歸模型對于線性回歸模型 (5.1.1) 隨機誤差項之間不相關(guān)，即無序列相關(guān)的基本假設(shè)為隨機誤差項之間不相關(guān)，即無序列相關(guān)的基本假設(shè)為 (5.1.2) 如果擾動項序列如果擾動項序列ut表現(xiàn)為：表現(xiàn)為： (5.1.3) tktkttt uxxxy 22110 Ttsuu stt ,2,1,00),cov( Tt

4、suu stt ,2,1,00),cov( 4 即對于不同的樣本點，隨機擾動項之間不再是完全相互即對于不同的樣本點，隨機擾動項之間不再是完全相互 獨立的，而是存在某種相關(guān)性，則認為出現(xiàn)了序列相關(guān)獨立的，而是存在某種相關(guān)性，則認為出現(xiàn)了序列相關(guān) 性（性（serial correlation）。由于通常假設(shè)隨機擾動項都服）。由于通常假設(shè)隨機擾動項都服 從均值為從均值為0，同方差的正態(tài)分布，則序列相關(guān)性也可以，同方差的正態(tài)分布，則序列相關(guān)性也可以 表示為：表示為： (5.1.4) 特別的，如果僅存在特別的，如果僅存在 (5.1.5) 稱為稱為一階序列相關(guān)一階序列相關(guān)，這是一種最為常見的序列相關(guān)問題。

5、，這是一種最為常見的序列相關(guān)問題。 TtsuuE stt ,2,1,00),( TtuuE tt ,2,10),( 1 5 如果回歸方程的擾動項存在序列相關(guān)，那么應(yīng)用如果回歸方程的擾動項存在序列相關(guān)，那么應(yīng)用 最小二乘法得到的參數(shù)估計量的方差將被高估或者低最小二乘法得到的參數(shù)估計量的方差將被高估或者低 估。因此，檢驗參數(shù)顯著性水平的估。因此，檢驗參數(shù)顯著性水平的t統(tǒng)計量將不再可信。統(tǒng)計量將不再可信。 可以將序列相關(guān)可能引起的后果歸納為：可以將序列相關(guān)可能引起的后果歸納為： 使用使用OLS公式計算出的標準差不正確，相應(yīng)的公式計算出的標準差不正確，相應(yīng)的顯顯 著性水平的檢驗不再可信著性水平的檢驗不

6、再可信 ； 如果在方程右邊有滯后因變量，如果在方程右邊有滯后因變量，OLS估計是有估計是有 偏的且不一致。偏的且不一致。 在線性估計中在線性估計中OLS估計量不再是有效的；估計量不再是有效的； 6 EViews提供了檢測序列相關(guān)和估計方法的工具。但提供了檢測序列相關(guān)和估計方法的工具。但 首先必須排除虛假序列相關(guān)。首先必須排除虛假序列相關(guān)。虛假序列相關(guān)是指模型虛假序列相關(guān)是指模型 的序列相關(guān)是由于省略了顯著的解釋變量而引起的。的序列相關(guān)是由于省略了顯著的解釋變量而引起的。 例如例如，在生產(chǎn)函數(shù)模型中，如果省略了資本這個重要，在生產(chǎn)函數(shù)模型中，如果省略了資本這個重要 的解釋變量，資本對產(chǎn)出的影響就

7、被歸入隨機誤差項。的解釋變量，資本對產(chǎn)出的影響就被歸入隨機誤差項。 由于資本在時間上的連續(xù)性，以及對產(chǎn)出影響的連續(xù)由于資本在時間上的連續(xù)性，以及對產(chǎn)出影響的連續(xù) 性，必然導(dǎo)致隨機誤差項的序列相關(guān)。所以在這種情性，必然導(dǎo)致隨機誤差項的序列相關(guān)。所以在這種情 況下，要把顯著的變量引入到解釋變量中。況下，要把顯著的變量引入到解釋變量中。 7 EViews提供了以下幾種檢測序列相關(guān)的方法。提供了以下幾種檢測序列相關(guān)的方法。 1D.W.統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量檢驗 Durbin-Watson 統(tǒng)計量（簡稱統(tǒng)計量（簡稱D.W.統(tǒng)計量）用于統(tǒng)計量）用于 檢驗一階序列相關(guān)，還可估算回歸模型鄰近殘差的線檢驗一階序列相關(guān)

8、，還可估算回歸模型鄰近殘差的線 性聯(lián)系。對于擾動項性聯(lián)系。對于擾動項ut建立一階自回歸方程：建立一階自回歸方程： (5.1.6) D.W.統(tǒng)計量檢驗的統(tǒng)計量檢驗的原假設(shè)：原假設(shè)： = 0，備選假設(shè)是，備選假設(shè)是 0。 ttt uu 1 8 如果序列不相關(guān)，如果序列不相關(guān)，D.W.值在值在2附近。附近。 如果存在正序列相關(guān)，如果存在正序列相關(guān)，D.W.值將小于值將小于2。 如果存在負序列相關(guān)，如果存在負序列相關(guān)，D.W.值將在值將在24之間。之間。 正序列相關(guān)最為普遍，根據(jù)經(jīng)驗，對于有大于正序列相關(guān)最為普遍，根據(jù)經(jīng)驗，對于有大于50 個觀測值和較少解釋變量的方程，個觀測值和較少解釋變量的方程，D

9、.W.值小于值小于1.5的情的情 況，說明殘差序列存在強的正一階序列相關(guān)。況，說明殘差序列存在強的正一階序列相關(guān)。 ) 1 (2 )( . 1 2 2 2 1 T t t T t tt u uu WD 9 1D-W統(tǒng)計量的擾動項在原假設(shè)下依賴于數(shù)據(jù)矩陣統(tǒng)計量的擾動項在原假設(shè)下依賴于數(shù)據(jù)矩陣X。 2回歸方程右邊如果存在滯后因變量，回歸方程右邊如果存在滯后因變量，D-W檢驗不再檢驗不再 有效。有效。 3僅僅檢驗是否存在一階序列相關(guān)。僅僅檢驗是否存在一階序列相關(guān)。 其他兩種檢驗序列相關(guān)方法：其他兩種檢驗序列相關(guān)方法：Q-統(tǒng)計量和統(tǒng)計量和Breush- Godfrey LM檢驗克服了上述不足，應(yīng)用于大

10、多數(shù)場合。檢驗克服了上述不足，應(yīng)用于大多數(shù)場合。 10 我們還可以應(yīng)用所估計回歸方程殘差序列的自我們還可以應(yīng)用所估計回歸方程殘差序列的自 相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)（在本章相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)（在本章5.2.4節(jié)給出相應(yīng)的公節(jié)給出相應(yīng)的公 式），以及式），以及Ljung-Box Q - 統(tǒng)計量來檢驗序列相關(guān)。統(tǒng)計量來檢驗序列相關(guān)。 Q - 統(tǒng)計量的表達式為：統(tǒng)計量的表達式為： 其中：其中：rj是殘差序列的是殘差序列的 j 階自相關(guān)系數(shù)，階自相關(guān)系數(shù)，T是觀測值的是觀測值的 個數(shù)，個數(shù)，p是設(shè)定的滯后階數(shù)是設(shè)定的滯后階數(shù) 。 p j j LB jT r TTQ 1 2 2 (5.1.7) 11 p階滯后的

11、階滯后的Q - 統(tǒng)計量的統(tǒng)計量的原假設(shè)是：序列不存在原假設(shè)是：序列不存在 p階自相關(guān)；備選假設(shè)為：序列存在階自相關(guān)；備選假設(shè)為：序列存在p階自相關(guān)階自相關(guān)。 如果如果Q - 統(tǒng)計量在某一滯后階數(shù)顯著不為零，統(tǒng)計量在某一滯后階數(shù)顯著不為零， 則說明序列存在某種程度上的序列相關(guān)。在實際的則說明序列存在某種程度上的序列相關(guān)。在實際的 檢驗中，通常會計算出不同滯后階數(shù)的檢驗中，通常會計算出不同滯后階數(shù)的Q - 統(tǒng)計量、統(tǒng)計量、 自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)。如果，各階自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)。如果，各階Q - 統(tǒng)計統(tǒng)計 量都沒有超過由設(shè)定的顯著性水平?jīng)Q定的臨界值，量都沒有超過由設(shè)定的顯著性水平?jīng)Q定的臨界值

12、， 則接受原假設(shè)，即不存在序列相關(guān)，并且此時，各則接受原假設(shè)，即不存在序列相關(guān)，并且此時，各 階的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)都接近于階的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)都接近于0。 12 反之，如果，在某一滯后階數(shù)反之，如果，在某一滯后階數(shù)p，Q - 統(tǒng)計量超過設(shè)統(tǒng)計量超過設(shè) 定的顯著性水平的臨界值，則拒絕原假設(shè)，說明殘差序列定的顯著性水平的臨界值，則拒絕原假設(shè)，說明殘差序列 存在存在p階自相關(guān)。由于階自相關(guān)。由于Q-統(tǒng)計量的統(tǒng)計量的P值要根據(jù)自由度值要根據(jù)自由度p來估來估 算，因此，一個較大的樣本容量是保證算，因此，一個較大的樣本容量是保證Q- 統(tǒng)計量有效的統(tǒng)計量有效的 重要因素。重要因素。 在在EViews

13、軟件中的操作方法：軟件中的操作方法： 在方程工具欄選擇在方程工具欄選擇View/Residual Tests/correlogram- Q-statistics 。EViews將顯示殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)函將顯示殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)函 數(shù)以及對應(yīng)于高階序列相關(guān)的數(shù)以及對應(yīng)于高階序列相關(guān)的Ljung-Box Q統(tǒng)計量。統(tǒng)計量。如果如果 殘差不存在序列相關(guān)，在各階滯后的自相關(guān)和偏自相關(guān)值殘差不存在序列相關(guān)，在各階滯后的自相關(guān)和偏自相關(guān)值 都接近于零。所有的都接近于零。所有的Q-統(tǒng)計量不顯著，并且有大的統(tǒng)計量不顯著，并且有大的P值值。 13 下面是這些檢驗程序應(yīng)用的例子，考慮用普通最小二乘估計下面

14、是這些檢驗程序應(yīng)用的例子，考慮用普通最小二乘估計 的簡單消費函數(shù)的結(jié)果：的簡單消費函數(shù)的結(jié)果： 14 瀏覽這些結(jié)果：系數(shù)在統(tǒng)計上是很顯著的，并瀏覽這些結(jié)果：系數(shù)在統(tǒng)計上是很顯著的，并 且擬合得很好。但是，如果誤差項是序列相關(guān)的，且擬合得很好。但是，如果誤差項是序列相關(guān)的， 那么估計那么估計OLS標準誤差將是無效的，并且估計系數(shù)標準誤差將是無效的，并且估計系數(shù) 由于在方程右端有滯后因變量會發(fā)生偏倚和不一致。由于在方程右端有滯后因變量會發(fā)生偏倚和不一致。 在這種情況下在這種情況下D-W統(tǒng)計量作為序列相關(guān)的檢驗是不統(tǒng)計量作為序列相關(guān)的檢驗是不 合適的，因為在方程右端存在著一個滯后因變量。合適的，因為

15、在方程右端存在著一個滯后因變量。 選擇選擇View/Residual test/Correlogram-Q-statistice會會 產(chǎn)生如下情況：產(chǎn)生如下情況： 15 16 虛線之間的區(qū)域是自相關(guān)中正負兩倍于估計虛線之間的區(qū)域是自相關(guān)中正負兩倍于估計 標準差所夾成的。如果自相關(guān)值在這個區(qū)域內(nèi)，標準差所夾成的。如果自相關(guān)值在這個區(qū)域內(nèi)， 則在顯著水平為則在顯著水平為5%的情形下與零沒有顯著區(qū)別。的情形下與零沒有顯著區(qū)別。 本例本例13階的自相關(guān)系數(shù)都超出了虛線，說階的自相關(guān)系數(shù)都超出了虛線，說 明存在明存在3階序列相關(guān)。各階滯后的階序列相關(guān)。各階滯后的Q-統(tǒng)計量的統(tǒng)計量的P 值都小于值都小于5

16、%，說明在，說明在5%的顯著性水平下，拒的顯著性水平下，拒 絕原假設(shè)，殘差序列存在序列相關(guān)。絕原假設(shè)，殘差序列存在序列相關(guān)。 17 與與D.W.統(tǒng)計量僅檢驗擾動項是否存在一階自相統(tǒng)計量僅檢驗擾動項是否存在一階自相 關(guān)不同，關(guān)不同，Breush-Godfrey LM檢驗（檢驗（Lagrange multiplier，即拉格朗日乘數(shù)檢驗）也可應(yīng)用于檢驗，即拉格朗日乘數(shù)檢驗）也可應(yīng)用于檢驗 回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關(guān)，而且在回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關(guān)，而且在 方程中存在滯后因變量的情況下，方程中存在滯后因變量的情況下，LM檢驗仍然有檢驗仍然有 效。效。 LM檢驗原假設(shè)為：直到檢驗

17、原假設(shè)為：直到p階滯后不存在序列相階滯后不存在序列相 關(guān)，關(guān)，p為預(yù)先定義好的整數(shù)；備選假設(shè)是：存在為預(yù)先定義好的整數(shù)；備選假設(shè)是：存在p階階 自相關(guān)。自相關(guān)。檢驗統(tǒng)計量由如下輔助回歸計算。檢驗統(tǒng)計量由如下輔助回歸計算。 18 1）估計回歸方程，并求出殘差）估計回歸方程，并求出殘差et (5.1.8) 2) 檢驗統(tǒng)計量可以基于如下回歸得到檢驗統(tǒng)計量可以基于如下回歸得到 (5.1.9) 這是對原始回歸因子這是對原始回歸因子Xt 和直到和直到p階的滯后殘差的回歸。階的滯后殘差的回歸。 LM檢驗通常給出兩個統(tǒng)計量：檢驗通常給出兩個統(tǒng)計量：F統(tǒng)計量和統(tǒng)計量和TR2統(tǒng)計量統(tǒng)計量。 F統(tǒng)計量是對式（統(tǒng)計量

18、是對式（5.1.9）所有滯后殘差聯(lián)合顯著性的一）所有滯后殘差聯(lián)合顯著性的一 種檢驗。種檢驗。TR2統(tǒng)計量是統(tǒng)計量是LM檢驗統(tǒng)計量，是觀測值個數(shù)檢驗統(tǒng)計量，是觀測值個數(shù) T乘以回歸方程（乘以回歸方程（5.1.9）的）的R2。一般情況下，。一般情況下，TR2統(tǒng)計統(tǒng)計 量服從漸進的量服從漸進的 分布。分布。 ktktttt xxxye 22110 tptpttt veee 11 X )( 2 p 19 在給定的顯著性水平下，如果這兩個統(tǒng)計量小于設(shè)在給定的顯著性水平下，如果這兩個統(tǒng)計量小于設(shè) 定顯著性水平下的臨界值，說明序列在設(shè)定的顯著性水定顯著性水平下的臨界值，說明序列在設(shè)定的顯著性水 平下不存在序

19、列相關(guān)；反之，如果這兩個統(tǒng)計量大于設(shè)平下不存在序列相關(guān)；反之，如果這兩個統(tǒng)計量大于設(shè) 定顯著性水平下的臨界值，則說明序列存在序列相關(guān)性。定顯著性水平下的臨界值，則說明序列存在序列相關(guān)性。 在軟件中的操作方法：在軟件中的操作方法： 選擇選擇View/Residual Tests/Serial correlation LM Test， 一般地對高階的，含有一般地對高階的，含有ARMA誤差項的情況執(zhí)行誤差項的情況執(zhí)行Breush- Godfrey LM。在滯后定義對話框，輸入要檢驗序列的最。在滯后定義對話框，輸入要檢驗序列的最 高階數(shù)。高階數(shù)。 20 上一例子中相關(guān)圖在滯后值上一例子中相關(guān)圖在滯后值

20、3時出現(xiàn)峰值。時出現(xiàn)峰值。Q統(tǒng)計統(tǒng)計 量在各階滯后值中都具有顯著性，它顯示的是殘差中量在各階滯后值中都具有顯著性，它顯示的是殘差中 的顯著序列相關(guān)。的顯著序列相關(guān)。 進行序列相關(guān)的進行序列相關(guān)的LM檢驗，選擇檢驗，選擇View/Residual Tests/Serial Correlation LM Test，輸入，輸入p =2產(chǎn)生如下產(chǎn)生如下 結(jié)果：結(jié)果： (1)(1) 21 此檢驗拒絕此檢驗拒絕 直至直至2階的無序階的無序 列相關(guān)的假設(shè)。列相關(guān)的假設(shè)。 Q-統(tǒng)計和統(tǒng)計和LM檢檢 驗都表明：驗都表明：殘差殘差 是序列相關(guān)的，是序列相關(guān)的， 因此方程在被用因此方程在被用 于假設(shè)檢驗和預(yù)于假設(shè)檢

21、驗和預(yù) 測之前應(yīng)該重新測之前應(yīng)該重新 定義。定義。 22 考慮美國的一個投資方程。美國的考慮美國的一個投資方程。美國的GNP和國內(nèi)私人和國內(nèi)私人 總投資總投資INV是單位為是單位為10億美元的名義值，價格指數(shù)億美元的名義值，價格指數(shù)P為為 GNP的平減指數(shù)（的平減指數(shù)（1972=100），利息率），利息率R為半年期商業(yè)票為半年期商業(yè)票 據(jù)利息。回歸方程所采用的變量都是實際據(jù)利息。回歸方程所采用的變量都是實際GNP和實際投和實際投 資；它們是通過將名義變量除以價格指數(shù)得到的，分別用資；它們是通過將名義變量除以價格指數(shù)得到的，分別用 小寫字母小寫字母gnp，inv表示。實際利息率的近似值表示。實際

22、利息率的近似值r則是通過則是通過 貼現(xiàn)率貼現(xiàn)率R減去價格指數(shù)變化率減去價格指數(shù)變化率p得到的。樣本區(qū)間：得到的。樣本區(qū)間：1963 年年1984年，應(yīng)用最小二乘法得到的估計方程如下：年，應(yīng)用最小二乘法得到的估計方程如下： 23 t =（-1.32） （154.25） R2=0.80 D.W.=0.94 從從D.W.值來看，這個模型存在正的序列相關(guān)，值來看，這個模型存在正的序列相關(guān)， 但是，看起來還不是強的正序列相關(guān)。但是，看起來還不是強的正序列相關(guān)。 tttt ugnprinv)ln(734. 0016. 0)ln( 1 24 -.3 -.2 -.1 .0 .1 .2 646668707274

23、7678808284 圖圖5.1 回歸方程殘差圖回歸方程殘差圖圖圖5.1 回歸方程殘差圖回歸方程殘差圖 圖圖5.1 回歸方程殘差圖回歸方程殘差圖 從殘差圖從殘差圖5.1可以看到殘差序列的變化有相似的波動。所可以看到殘差序列的變化有相似的波動。所 以，再采取上面介紹的其他檢驗序列相關(guān)的方法檢驗殘差序以，再采取上面介紹的其他檢驗序列相關(guān)的方法檢驗殘差序 列的自相關(guān)性。列的自相關(guān)性。 25 下面采用下面采用 LM 統(tǒng)計量進行檢驗統(tǒng)計量進行檢驗(p=2)，得到結(jié)果如下：，得到結(jié)果如下： LM統(tǒng)計量顯示，在統(tǒng)計量顯示，在5%的顯著性水平拒絕原假設(shè)，回歸的顯著性水平拒絕原假設(shè)，回歸 方程的殘差序列存在序列

24、相關(guān)性。因此，回歸方程的估計結(jié)方程的殘差序列存在序列相關(guān)性。因此，回歸方程的估計結(jié) 果不再有效，必須采取相應(yīng)的方式修正殘差的自相關(guān)性。當果不再有效，必須采取相應(yīng)的方式修正殘差的自相關(guān)性。當 然，對于這個例子，我們也可以用然，對于這個例子，我們也可以用Q-統(tǒng)計量進行檢驗，而且統(tǒng)計量進行檢驗，而且 效果更為直觀，更有利于實際建模，但是這涉及到序列自相效果更為直觀，更有利于實際建模，但是這涉及到序列自相 關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的理論。關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的理論。 26 線性回歸模型擾動項序列相關(guān)的存在，會導(dǎo)致模型線性回歸模型擾動項序列相關(guān)的存在，會導(dǎo)致模型 估計結(jié)果的失真。因此，必須對擾動項序列的結(jié)構(gòu)給予估計

25、結(jié)果的失真。因此，必須對擾動項序列的結(jié)構(gòu)給予 正確的描述，以期消除序列相關(guān)對模型估計結(jié)果帶來的正確的描述，以期消除序列相關(guān)對模型估計結(jié)果帶來的 不利影響。不利影響。 通?？梢杂猛ǔ？梢杂肁R(p) 模型來描述一個平穩(wěn)序列的自相模型來描述一個平穩(wěn)序列的自相 關(guān)的結(jié)構(gòu)，定義如下：關(guān)的結(jié)構(gòu)，定義如下： (5.1.10) (5.1.11) tktkttt uxxxy 22110 tptpttt uuuu 2211 27 其中：其中：ut 是無條件誤差項，它是回歸方程（是無條件誤差項，它是回歸方程（5.1.10）的）的 誤差項，參數(shù)誤差項，參數(shù) 0， 1, 2 , , k是回歸模型的系數(shù)。式是回歸模型的

26、系數(shù)。式 （5.1.11）是誤差項）是誤差項ut的的 p階自回歸模型，參數(shù)階自回歸模型，參數(shù) 1, 2 , , p是是p階自回歸模型的系數(shù)，階自回歸模型的系數(shù)， t是相應(yīng)的擾動項，是相應(yīng)的擾動項， 并且是均值為并且是均值為0，方差為常數(shù)的白噪聲序列，它是因變，方差為常數(shù)的白噪聲序列，它是因變 量真實值和以解釋變量及以前預(yù)測誤差為基礎(chǔ)的預(yù)測值量真實值和以解釋變量及以前預(yù)測誤差為基礎(chǔ)的預(yù)測值 之差。之差。 下面將討論如何利用下面將討論如何利用AR(p) 模型修正擾動項的序列模型修正擾動項的序列 相關(guān)，以及用什么方法來估計消除擾動項后方程的未知相關(guān)，以及用什么方法來估計消除擾動項后方程的未知 參數(shù)。

27、參數(shù)。 28 1修正一階序列相關(guān)修正一階序列相關(guān) 最簡單且最常用的序列相關(guān)模型是一階自回歸最簡單且最常用的序列相關(guān)模型是一階自回歸AR(1) 模型。為了便于理解，先討論一元線性回歸模型，并且模型。為了便于理解，先討論一元線性回歸模型，并且 具有一階序列相關(guān)的情形，即具有一階序列相關(guān)的情形，即p = 1的情形：的情形： (5.1.12) (5.1.13) ttt uxy 10 ttt uu 1 把式（把式（5.1.13）帶入式（）帶入式（5.1.12）中得到）中得到 (5.1.14) tttt uxy 110 29 然而，由式（然而，由式（5.1.12）可得）可得 (5.1.15) 再把式（再把

28、式（5.1.15）代入式（）代入式（5.1.14）中，并整理）中，并整理 (5.1.16) 令令 ，代入式（，代入式（5.1.16）中有）中有 (5.1.17) 如果如果已知已知 的具體值，可以直接使用的具體值，可以直接使用OLS方法進行估計。方法進行估計。如如 果果 的值未知，的值未知，通?？梢圆捎猛ǔ？梢圆捎肎aussNewton迭代法求解，同時迭代法求解，同時 得到得到 ， 0， 1的估計量。的估計量。 11011 ttt xyu ttttt xxyy )()1 ( 1101 1 * 1 * , tttttt xxxyyy ttt xy * 10 * )1 ( 30 2修正高階序列相關(guān)修

29、正高階序列相關(guān) 通常如果殘差序列存在通常如果殘差序列存在p階序列相關(guān)，誤差形式可以階序列相關(guān)，誤差形式可以 由由AR(p)過程給出。對于高階自回歸過程，可以采取與過程給出。對于高階自回歸過程，可以采取與 一階序列相關(guān)類似的方法，把滯后誤差逐項代入，最終一階序列相關(guān)類似的方法，把滯后誤差逐項代入，最終 得到一個擾動項為白噪聲序列，參數(shù)為非線性的回歸方得到一個擾動項為白噪聲序列，參數(shù)為非線性的回歸方 程，并且采用程，并且采用Gauss-Newton迭代法求得非線性回歸方迭代法求得非線性回歸方 程的參數(shù)。程的參數(shù)。 例如例如：仍討論一元線性回歸模型，并且殘差序列具：仍討論一元線性回歸模型，并且殘差序

30、列具 有有3階序列相關(guān)的情形，即階序列相關(guān)的情形，即p = 3的情形：的情形： 31 ttt uxy 10 ttttt uuuu 332211 (5.1.18) (5.1.19) 按照上面處理按照上面處理AR(1) 的方法，把擾動項的滯后項代入原的方法，把擾動項的滯后項代入原 方程中去，得到如下表達式：方程中去，得到如下表達式： ttt tttttt xy xyxyxy )( )()( 31033 210221101110 (5.1.20) 通過一系列的化簡后，仍然可以得到參數(shù)為非線性，通過一系列的化簡后，仍然可以得到參數(shù)為非線性， 擾動項擾動項 t為白噪聲序列的回歸方程。運用非線性最小二乘為

31、白噪聲序列的回歸方程。運用非線性最小二乘 法，可以估計出回歸方程的未知參數(shù)法，可以估計出回歸方程的未知參數(shù) 0 , 1 , 1 , 2 , 3。 32 我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對于非線性我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對于非線性 形式為形式為f (xt , ) 的非線性模型，的非線性模型， ， ， 若殘差序列存在若殘差序列存在p階序列相關(guān)，階序列相關(guān)， (5.1.21) (5.1.22) 也可用類似方法轉(zhuǎn)換成誤差項也可用類似方法轉(zhuǎn)換成誤差項 t為白噪聲序列的非線性回為白噪聲序列的非線性回 歸方程，以歸方程，以p = 1為例，為例， (5.1.23) 使用使用Gauss-Ne

32、wton算法來估計參數(shù)。算法來估計參數(shù)。 ttt ufy),(x tptpttt uuuu 2211 ttttt ffyy ),(),( 1111 xx ,., 1 21ktttt xxxx ,., 10 k 33 3. 在在Eviews中的操作過程：中的操作過程： 選擇選擇Quick/Estimate Equation或或Object / New Object/Equation打開一個方程，輸入方程變量，最后輸入打開一個方程，輸入方程變量，最后輸入 ar(1) ar(2) ar(3)。針對例。針對例5.1定義方程為：定義方程為： 34 需要注意的是，輸入的需要注意的是，輸入的ar(1) ar

33、(2) ar(3) 分別代表分別代表3個滯個滯 后項的系數(shù)，因此，如果我們認為殘差僅僅在滯后后項的系數(shù)，因此，如果我們認為殘差僅僅在滯后2階和階和 滯后滯后4階存在自相關(guān)，其他滯后項不存在自相關(guān)，即階存在自相關(guān)，其他滯后項不存在自相關(guān)，即 則估計時應(yīng)輸入：則估計時應(yīng)輸入：cs c gdp cs(-1) ar(2) ar(4) EViews在消除序列相關(guān)時給予很大靈活性，可以輸入在消除序列相關(guān)時給予很大靈活性，可以輸入 模型中想包括的各個自回歸項。例如，如果有季度數(shù)據(jù)而模型中想包括的各個自回歸項。例如，如果有季度數(shù)據(jù)而 且想用一個單項來消除季節(jié)自回歸，可以輸入：且想用一個單項來消除季節(jié)自回歸，可

34、以輸入：cs c gdp cs(-1) ar(4)。 tttt uuu 4422 35 ARMA估計選擇估計選擇 如前所述，帶有如前所述，帶有AR或或MA的模型用非線性最小二的模型用非線性最小二 乘法估計。非線性估計方法對所有系數(shù)估計都要求初值。乘法估計。非線性估計方法對所有系數(shù)估計都要求初值。 有時當?shù)螖?shù)最大值達到時，方程終止迭代，有時當?shù)螖?shù)最大值達到時，方程終止迭代， 盡管還未達到收斂。從前一步初值重新開始方程，使方盡管還未達到收斂。從前一步初值重新開始方程，使方 程從中止處開始而不是從開始處開始。也可以試試不同程從中止處開始而不是從開始處開始。也可以試試不同 的初值來保證估計是全

35、部而不是局部平方誤差最小，可的初值來保證估計是全部而不是局部平方誤差最小，可 以通過提供初值加速估計過程。以通過提供初值加速估計過程。 36 為控制為控制ARMA估計初值，在方程定義對話框單擊估計初值，在方程定義對話框單擊 options。在。在EViews提供的選項中，有幾項設(shè)置初值的選擇。提供的選項中，有幾項設(shè)置初值的選擇。 EViews缺省方法是缺省方法是OLS/TSLS，這種方法先進行沒有，這種方法先進行沒有 ARMA項的預(yù)備估計，再從這些值開始非線性估計。另一項的預(yù)備估計，再從這些值開始非線性估計。另一 選擇是使用選擇是使用OLS或或TSLS系數(shù)的一部分作為初值。可以選擇系數(shù)的一部分

36、作為初值?？梢赃x擇 0.3，0.5，0.8或者可以將所有初值設(shè)為零?；蛘呖梢詫⑺谐踔翟O(shè)為零。 用戶確定初值選項是用戶確定初值選項是User Supplied。在這個選項下，。在這個選項下， EViews使用使用C系數(shù)向量中的值。為設(shè)置初值，雙擊圖標，系數(shù)向量中的值。為設(shè)置初值，雙擊圖標， 為為C系數(shù)向量開一窗口，進行編輯。系數(shù)向量開一窗口，進行編輯。 37 為適當?shù)卦O(shè)置初值，需對為適當?shù)卦O(shè)置初值，需對EViews如何為如何為ARMA設(shè)置設(shè)置 系數(shù)多些了解。系數(shù)多些了解。EViews使用使用C系數(shù)向量。它按下列規(guī)則系數(shù)向量。它按下列規(guī)則 為變量安排系數(shù)：為變量安排系數(shù)： 1. 變量系數(shù)，以輸入

37、為序。變量系數(shù)，以輸入為序。 2. 定義的定義的AR項，以輸入為序。項，以輸入為序。 3SAR，MA，SMA系數(shù)（按階數(shù)由高到底）系數(shù)（按階數(shù)由高到底） 38 例如：例如：下面兩種定義將有同樣規(guī)格的系數(shù)下面兩種定義將有同樣規(guī)格的系數(shù) Y c X ma(2) ma(1) sma(4) ar(1) Y sma(4 ) c ar(1) ma(2) X ma(1) 也可使用程序指令安排也可使用程序指令安排C向量值向量值 param c(1) 50 c(2 ) 0.8 c(3) 0.2 c(4) 0.6 c(5) 0.1 c(6) 0.5 初值：常數(shù)是初值：常數(shù)是50， X系數(shù)的初值是系數(shù)的初值是0.8

38、， ar(1)、ma(2)、 ma(1)、sma(4) 系數(shù)的初值分別是系數(shù)的初值分別是0.2 ， 0.6，0.1，0.5。 估計后，可在方程表達式估計后，可在方程表達式Representation選項見到系數(shù)選項見到系數(shù) 安 排 。 也 可 以 從 估 計 方 程 中 填 寫安 排 。 也 可 以 從 估 計 方 程 中 填 寫 C 向 量 ， 選 擇向 量 ， 選 擇 pros/update/ coefs from equations。 39 例例5.1中檢驗到帶有滯后因變量的回歸方程的殘差序中檢驗到帶有滯后因變量的回歸方程的殘差序 列存在明顯的序列自相關(guān)。而且從相關(guān)圖看到，可以采列存在明

39、顯的序列自相關(guān)。而且從相關(guān)圖看到，可以采 用用AR(3) 模型來修正回歸方程的殘差序列的自相關(guān)性。模型來修正回歸方程的殘差序列的自相關(guān)性。 tttt uGDPcCSccCS 2110 ttttt uuuu 332211 回歸估計的結(jié)果如下：回歸估計的結(jié)果如下： 40 再對新的殘差序列再對新的殘差序列 進行進行LM檢驗，最終得到的檢檢驗，最終得到的檢 驗結(jié)果如下：驗結(jié)果如下： t 41 當估計某個含有當估計某個含有AR項的模型時，在解釋結(jié)果時一定要項的模型時，在解釋結(jié)果時一定要 小心。在用通常的方法解釋估計系數(shù)、系數(shù)標準誤差和小心。在用通常的方法解釋估計系數(shù)、系數(shù)標準誤差和t-統(tǒng)統(tǒng) 計量時，涉及

40、殘差的結(jié)果會不同于計量時，涉及殘差的結(jié)果會不同于OLS的估計結(jié)果。的估計結(jié)果。 要理解這些差別，記住一個含有要理解這些差別，記住一個含有AR項的模型有兩種殘差：項的模型有兩種殘差： 第一種是第一種是 bxyu ttt 通過原始變量以及估計參數(shù)通過原始變量以及估計參數(shù) 算出。在用同期信息對算出。在用同期信息對y t 值進行預(yù)測時，這些殘差是可以觀測出的誤差，但要忽略值進行預(yù)測時，這些殘差是可以觀測出的誤差，但要忽略 滯后殘差中包含的信息。滯后殘差中包含的信息。 42 第二種殘差是估計的第二種殘差是估計的 。如名。如名 所示，這種殘差代表預(yù)測誤差。所示，這種殘差代表預(yù)測誤差。 對于含有對于含有AR

41、項的模型，基于殘差的回歸統(tǒng)計量，項的模型，基于殘差的回歸統(tǒng)計量， 如如R2 (回歸標準誤差回歸標準誤差)和和D-W值都是以一期向前預(yù)測誤值都是以一期向前預(yù)測誤 差為基礎(chǔ)的。含有差為基礎(chǔ)的。含有AR項的模型獨有的統(tǒng)計量是估計的項的模型獨有的統(tǒng)計量是估計的 AR系數(shù)系數(shù) 。i 43 對于簡單對于簡單AR(1)模型，模型， 是無條件殘差的序列相關(guān)系數(shù)。是無條件殘差的序列相關(guān)系數(shù)。 對于平穩(wěn)對于平穩(wěn)AR(1)模型，模型， 在在-1（極端負序列相關(guān)）和（極端負序列相關(guān)）和+1（極（極 端正序列相關(guān)）之間。端正序列相關(guān)）之間。 EViews在回歸輸出的底部給出這些根：在回歸輸出的底部給出這些根：Inver

42、ted AR Roots。如果存在虛根，根的模應(yīng)該小于。如果存在虛根，根的模應(yīng)該小于1。 1 1 44 另外：另外：EViews可以估計帶有可以估計帶有AR誤差項的誤差項的非線性回歸模非線性回歸模 型型。例如：將例。例如：將例5.4中的模型變?yōu)槿缦碌姆蔷€性模型，估中的模型變?yōu)槿缦碌姆蔷€性模型，估 計如下帶有附加修正項計如下帶有附加修正項AR(3)的非線性方程的非線性方程 t c ttt uGDPCSccCS 2 110 單擊單擊Quick/Estimate Equation，打開一個方程，用公，打開一個方程，用公 式法輸入式法輸入 cs=c(1)+gdpc(2)+c(3)*cs(-1)+ar(

43、1)=c(4),ar(2)=c(5), ar(3)=c(6) ttttt uuuu 332211 45 輸出結(jié)果顯示為：輸出結(jié)果顯示為： 46 本節(jié)將不再僅僅以一個回歸方程的殘差序列為研究本節(jié)將不再僅僅以一個回歸方程的殘差序列為研究 對象，而是直接討論一個平穩(wěn)時間序列的建模問題。在對象，而是直接討論一個平穩(wěn)時間序列的建模問題。在 現(xiàn)實中很多問題，如利率波動、收益率變化及匯率變化現(xiàn)實中很多問題，如利率波動、收益率變化及匯率變化 等通常是一個平穩(wěn)序列，或者通過差分等變換可以化成等通常是一個平穩(wěn)序列，或者通過差分等變換可以化成 一個平穩(wěn)序列。一個平穩(wěn)序列。 本節(jié)中介紹的本節(jié)中介紹的ARMA模型（模型

44、（autoregressive moving average models）可以用來研究這些經(jīng)濟變量的變化規(guī)）可以用來研究這些經(jīng)濟變量的變化規(guī) 律，這樣的一種建模方式屬于時間序列分析的研究范疇。律，這樣的一種建模方式屬于時間序列分析的研究范疇。 47 如果隨機過程如果隨機過程 的均值和方差、自協(xié)方差都不取決于的均值和方差、自協(xié)方差都不取決于 t，則稱，則稱 u t 是協(xié)方差平穩(wěn)的是協(xié)方差平穩(wěn)的 或弱平穩(wěn)的：或弱平穩(wěn)的： , 12101 TTt uuuuuuu 注意，如果一個隨機過程是弱平穩(wěn)的，則注意，如果一個隨機過程是弱平穩(wěn)的，則u t與與u t- s 之間的協(xié)之間的協(xié) 方差僅取決于方差僅取決

45、于s ，即僅與觀測值之間的間隔長度，即僅與觀測值之間的間隔長度s有關(guān)，而與時有關(guān)，而與時 期期t 無關(guān)。一般所說的無關(guān)。一般所說的“平穩(wěn)性平穩(wěn)性”含義就是上述的弱平穩(wěn)定義。含義就是上述的弱平穩(wěn)定義。 )( t uE 2 )var( t u 對所有的對所有的 t 對所有的對所有的 t 對所有的對所有的 t 和和 s sstt uuE )( (5.2.1) (5.2.2) (5.2.3) 48 1. 自回歸模型自回歸模型AR(p) p階自回歸模型記作階自回歸模型記作AR(p)，滿足下面的方程：，滿足下面的方程： (5.2.4) 其中：參數(shù)其中：參數(shù)c 為常數(shù)；為常數(shù)； 1 , 2 , p 是自回歸

46、模型系數(shù)；是自回歸模型系數(shù)； p為自回歸模型階數(shù)；為自回歸模型階數(shù)； t是均值為是均值為0，方差為，方差為 2的白噪聲的白噪聲 序列。序列。 tptpttt uuucu 2211 49 2. 移動平均模型移動平均模型MA(q) q階移動平均模型記作階移動平均模型記作MA(q) ，滿足下面的方程：，滿足下面的方程： (5.2.5) 其中：參數(shù)其中：參數(shù) 為常數(shù)；參數(shù)為常數(shù)；參數(shù) 1 , 2 , q是是q階移動平均階移動平均 模型的系數(shù)；模型的系數(shù)； t是均值為是均值為0，方差為，方差為 2的白噪聲序列。的白噪聲序列。 qtqttt u 11 50 3. ARMA(p,q)模型模型 (5.2.6)

47、 顯然此模型是模型（顯然此模型是模型（5.2.4）與（）與（5.2.5）的組合形式，）的組合形式， 稱為混合模型，常記作稱為混合模型，常記作ARMA(p，q)。當。當p = 0時，時， ARMA(0, q) = MA(q)；當；當q = 0時，時，ARMA(p, 0) = AR(p)。 qtqttptptt uucu 1111 51 1. AR(p)模型的平穩(wěn)性條件模型的平穩(wěn)性條件 為了理解為了理解AR(p)、MA(q)和和ARMA(p,q)模型的理論結(jié)模型的理論結(jié) 構(gòu)，簡單的算子理論是必不可少的。對于構(gòu)，簡單的算子理論是必不可少的。對于AR(p)模型模型 (5.2.7) 設(shè)設(shè)L為滯后算子，則

48、有為滯后算子，則有 ，特，特 別地，別地， 。則式（。則式（5.2.7）可以改寫為：）可以改寫為： tptpttt uuucu 2211 ptt p tt uuLuLu , 1 t uLu 0 tt p p cuLLL)1 ( 2 21 (5.2.8) 52 若設(shè)若設(shè) ，令，令 (5.2.9) 則則 (z) 是一個關(guān)于是一個關(guān)于z的的p次多項式，次多項式，AR(p) 模型平穩(wěn)的充模型平穩(wěn)的充 要條件是要條件是 (z) 的根全部落在單位圓之外的根全部落在單位圓之外。式（。式（5.2.7）可）可 以改寫為滯后算子多項式的形式以改寫為滯后算子多項式的形式 可以證明如果可以證明如果AR(p)模型滿足平

49、穩(wěn)性條件，則式模型滿足平穩(wěn)性條件，則式 （5.2.10）可以表示為如下）可以表示為如下MA( )的形式的形式 p pL LLL 2 21 1)( 01)( 2 21 p P zzzz tt cuL)( (5.2.10) 53 t ttttt LL Lu )( )( 2 210 2211 (5.2.11) 其中其中 且且 。假定平穩(wěn)性條件滿足，將式。假定平穩(wěn)性條件滿足，將式 （5.2.7）兩端取期望可以求得均值）兩端取期望可以求得均值 或或 112 21 )()1 ()( LLLLL p P 0 2 0 ,1 j j p c 21 (5.2.13) (5.2.12) )1 ( 21p c (5.

50、2.14) 54 式（式（5.2.11）表示）表示ut可以由一個白噪聲序列的線性組可以由一個白噪聲序列的線性組 合表示出來?，F(xiàn)在可以看到，任何一個合表示出來?，F(xiàn)在可以看到，任何一個AR(p)模型均可模型均可 以表示為白噪聲序列的線性組合。事實上，式（以表示為白噪聲序列的線性組合。事實上，式（5.2.11） 是沃爾德分解定理（是沃爾德分解定理（Wold定理）的特例。定理）的特例。 沃爾德分解定理（沃爾德分解定理（Wold定理）定理） 任何零均值協(xié)方差任何零均值協(xié)方差 平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程ut可表示成如下形式可表示成如下形式 其中：其中： 。 t是白噪聲序列，對于任意是白噪聲序列，對于任意 的的j，

51、t的值與的值與 t-j無關(guān)。無關(guān)。 t稱為稱為ut的確定性分量，而的確定性分量，而 稱為線性非確定性分量。稱為線性非確定性分量。 0j tjtjt u(5.2.15) 0 2 0 ,1 j j 0j jtj 55 2MA(q) 模型的可逆性模型的可逆性 考察考察MA(q) 模型模型 若若 的根全部落在單位圓之外，則式（的根全部落在單位圓之外，則式（5.2.16）的）的MA算子稱算子稱 為可逆的為可逆的。 t q qt LLLu)1 ( 2 21 (5.2.16) t t E t 0 )( 2 01 2 21 q q zzz 56 tt uLLL)(1 ( 3 3 2 21 (5.2.17) 比

52、較式（比較式（5.2.16）和式（）和式（5.2.17），可知），可知 12 21 3 3 2 21 )1 ( )1 ( q qL LL LLL (5.2.18) 運用運用MA算子的逆運算，式（算子的逆運算，式（5.2.16）可寫成）可寫成AR( ) 的形式的形式 盡管不可逆時也可以表征任何給定的數(shù)據(jù)，但是一盡管不可逆時也可以表征任何給定的數(shù)據(jù)，但是一 些參數(shù)估計和預(yù)測算法只有模型可逆時才有效。些參數(shù)估計和預(yù)測算法只有模型可逆時才有效。 57 3ARMA(p,q) 模型的平穩(wěn)性條件模型的平穩(wěn)性條件 ARMA(p,q) 模型包括了一個自回歸模型模型包括了一個自回歸模型AR(p)和一和一 個移動平

53、均模型個移動平均模型MA(q) 或者以滯后算子多項式的形式表示或者以滯后算子多項式的形式表示 qtqttptptt uucu 1111 (5.2.19) t q q t p p LLLc uLLL )1 ( )1 ( 2 21 2 21 (5.2.20) 58 若令若令 則則ARMA(p，q)模型（模型（5.2.19）平穩(wěn)的充要條件是）平穩(wěn)的充要條件是 (z) 的的 根全部落在單位圓之外根全部落在單位圓之外。在式（。在式（5.2.20）的兩邊除以）的兩邊除以 ，可以得到，可以得到 其中其中 01)( 2 21 p p zzzz(5.2.21) tt Lu)(5.2.22) )1 ( )1 (

54、)( 2 21 2 21 p p q q LLL LLL L (5.2.23) )1 ( 2 21 p pL LL 59 0j j )1 ( 21p c (5.2.24) (5.2.25) ARMA模型構(gòu)造了一種更為復(fù)雜的白噪聲序列的線模型構(gòu)造了一種更為復(fù)雜的白噪聲序列的線 性組合，近似逼近一個平穩(wěn)序列。性組合，近似逼近一個平穩(wěn)序列?？梢钥闯隹梢钥闯鯝RMA模型模型 的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數(shù)，而與移動平均的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數(shù)，而與移動平均 模型參數(shù)無關(guān)。模型參數(shù)無關(guān)。 60 在在Eviews中確定中確定ARMA形式形式 1、ARMA項項 模型中模型中AR和和MA部分應(yīng)使

55、用關(guān)鍵詞部分應(yīng)使用關(guān)鍵詞ar和和ma定義。在上面定義。在上面 AR定義中，我們已見過這種方法的例子。這對定義中，我們已見過這種方法的例子。這對MA也同樣也同樣 適用。適用。 例 如 ， 估 計 一 個例 如 ， 估 計 一 個 2 階 自 回 歸 和階 自 回 歸 和 1 階 動 平 均 過 程階 動 平 均 過 程 ARMA(2,1)，應(yīng)將，應(yīng)將AR(1), MA(1), AR(2)和其它解釋變量一和其它解釋變量一 起包含在回歸因子列表中：起包含在回歸因子列表中： y c gov ar(1) ar(2) ma(1) 61 如果采用公式法輸入方程，則要將如果采用公式法輸入方程，則要將AR和和M

56、A項系數(shù)明項系數(shù)明 確列出，形式為：確列出，形式為： LS = c(1)+ar(1)=c(2),ar(2)=c(3),ma(1)=c(4)。 下面說明下面說明EViews是如何估計一個是如何估計一個ARMA(p，q)模型的模型的。 單擊單擊Quick/Estimate Equation打開一個方程，輸入打開一個方程，輸入 LS c ar(1) ma(1) 即可。即可。 tt ucLS 11 tttt uu 62 2. 季節(jié)季節(jié)ARMA項項 對于帶有季節(jié)因素的季度數(shù)據(jù)，對于帶有季節(jié)因素的季度數(shù)據(jù)，Box and Jenkins(1976) 建議使用季節(jié)自回歸建議使用季節(jié)自回歸SAR和季節(jié)動平均和

57、季節(jié)動平均SMA。SAR(p)定義定義 為帶有為帶有p階滯后的季節(jié)自回歸項。估計中使用的滯后多項式階滯后的季節(jié)自回歸項。估計中使用的滯后多項式 是是AR項和項和SAR項定義的結(jié)合。項定義的結(jié)合。 與此類似，與此類似，SMA(q)定義為帶有定義為帶有q階滯后的季節(jié)動平均。階滯后的季節(jié)動平均。 估計中使用的滯后多項式是估計中使用的滯后多項式是MA項和項和SMA項定義的結(jié)合。項定義的結(jié)合。 存在存在SAR項則允許建立一個滯后多項式。項則允許建立一個滯后多項式。 例如：沒有季節(jié)項的例如：沒有季節(jié)項的2階階AR過程過程 63 例如：沒有季節(jié)項的例如：沒有季節(jié)項的2階階AR過程過程 tttt uuu 22

58、11 用滯后算子用滯后算子 ，則上式可表示為：，則上式可表示為： ntt n xxLL , tt uLL)1 ( 2 21 可以通過回歸自變量的可以通過回歸自變量的ar(1)，ar(2)項來估計這個過程。項來估計這個過程。 對于季度數(shù)據(jù)，可以加入對于季度數(shù)據(jù)，可以加入sar(4)來表示季節(jié)因素，定來表示季節(jié)因素，定 義方程：義方程： y c x ar(1) ar(2) sar(4) 估計誤差結(jié)構(gòu)為：估計誤差結(jié)構(gòu)為： 64 tt uLLL)1)(1 ( 42 21 等價于等價于 ttttttt uuuuuu 625142211 參數(shù)參數(shù) 和季節(jié)因素相聯(lián)系。注意：這是對系數(shù)有非線性和季節(jié)因素相聯(lián)系

59、。注意：這是對系數(shù)有非線性 約束的約束的AR(6)模型。模型。 在另一個例子中，無季節(jié)性的二階在另一個例子中，無季節(jié)性的二階MA過程如下過程如下 , 2211 tttt u 可以通過包含可以通過包含ma(1)和和ma(2)來估計二階來估計二階MA過程。過程。 65 對季度數(shù)據(jù)，可以添加對季度數(shù)據(jù)，可以添加sma(4)考慮季節(jié)性。例如定義考慮季節(jié)性。例如定義 方程：方程： y c x ma(1 ) ma(2) sma(4) 估計模型為：估計模型為： tt LLLu)1)(1 ( 42 21 等價于：等價于： 625142211 ttttttt u 參數(shù)參數(shù) 和季節(jié)因素相聯(lián)系。這是對系數(shù)有非線性約

60、束的和季節(jié)因素相聯(lián)系。這是對系數(shù)有非線性約束的 MA(6)模型。還可以在方程說明中同時包括模型。還可以在方程說明中同時包括SAR，SMA項。項。 ttt uxy 21 66 本例取我國上證收盤指數(shù)（時間期間：本例取我國上證收盤指數(shù)（時間期間：1991年年1月月 2003年年3月）的月度時間序列月）的月度時間序列S作為研究對象，用作為研究對象，用AR(1) 模型描述其變化規(guī)律。首先對其做變化率，模型描述其變化規(guī)律。首先對其做變化率，sr t = 100(St-St-1)/S t-1（t = 1, 2, , T），這樣便得到了變化率），這樣便得到了變化率 序列。一般來講，股價指數(shù)序列并不是一個平穩(wěn)