大學(xué)物理學(xué)習(xí)資料：振動(dòng)_4

1、提提 綱綱（此次課有機(jī)動(dòng)內(nèi)容此次課有機(jī)動(dòng)內(nèi)容） 1.8 諧振分析諧振分析(可與波動(dòng)第五次課合并見“波動(dòng)_5.ppt”） 周期函數(shù)的頻譜分析與付里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)的頻譜分析與付里葉級(jí)數(shù) 非周期函數(shù)的頻譜分析與付里葉變換非周期函數(shù)的頻譜分析與付里葉變換 簡(jiǎn)正模簡(jiǎn)正模 1.9 耦合振子耦合振子 簡(jiǎn)正模的疊加簡(jiǎn)正模的疊加 簡(jiǎn)正模簡(jiǎn)正模 例題：如何建立方程及求解例題：如何建立方程及求解 例題：邊長(zhǎng)例題：邊長(zhǎng) 、密度、密度 的木塊浮在大水槽的表面上，今把木塊完全的木塊浮在大水槽的表面上，今把木塊完全 壓入水中，然后放手，如不計(jì)水對(duì)木塊的阻壓入水中，然后放手，如不計(jì)水對(duì)木塊的阻 力，問(wèn)木塊將如何運(yùn)動(dòng)？力，問(wèn)木

2、塊將如何運(yùn)動(dòng)？ ml25. 0 3 800 mkg 木 木塊的運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)木塊的運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)，所以，所以 可用它上面任一點(diǎn)來(lái)描述，可用它上面任一點(diǎn)來(lái)描述， 現(xiàn)在我們選現(xiàn)在我們選Q點(diǎn)來(lái)描述木點(diǎn)來(lái)描述木 塊的運(yùn)動(dòng)。塊的運(yùn)動(dòng)。Q不一定是質(zhì)不一定是質(zhì) 心，但整體的平動(dòng)可用心，但整體的平動(dòng)可用Q 作代表點(diǎn)。作代表點(diǎn)。 解：選水面上一點(diǎn)解：選水面上一點(diǎn)O O為坐標(biāo)原點(diǎn)；為坐標(biāo)原點(diǎn)；平衡時(shí)平衡時(shí)， 木塊浮在水面，木塊上木塊浮在水面，木塊上Q Q點(diǎn)與點(diǎn)與O O 重合。其重合。其 頂部至水面距離為頂部至水面距離為 。a OQ a b xb Q x O m l b20. 0 1000 80025. 0 水 木 mbl

3、a05. 0 gSbgSl 水木 由題意：由題意： 設(shè)木塊橫截面積為設(shè)木塊橫截面積為S， 根據(jù)阿基米德定律根據(jù)阿基米德定律,平衡時(shí)：平衡時(shí)： bal 任一時(shí)刻任一時(shí)刻 OQ =x，木塊受力木塊受力 有重力和浮力不相等，其合有重力和浮力不相等，其合 力為做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的恢復(fù)力，力為做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的恢復(fù)力， 稱為稱為準(zhǔn)彈性力。準(zhǔn)彈性力。 xb Q x O gSlgxbS 木水 重力浮力)( gSlgSxg l S 木水水 水 木 gSx 水 gSx dt xd m c 水 2 2 設(shè)質(zhì)心與設(shè)質(zhì)心與Q的距離為的距離為 , 質(zhì)心的位置質(zhì)心的位置 。 其動(dòng)力學(xué)方程即為其動(dòng)力學(xué)方程即為質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程

4、： hxxc h 將質(zhì)心坐標(biāo)代入可知從將質(zhì)心坐標(biāo)代入可知從 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)過(guò)渡到剛體上質(zhì)心運(yùn)動(dòng)過(guò)渡到剛體上 任一點(diǎn)平動(dòng)是等價(jià)的。任一點(diǎn)平動(dòng)是等價(jià)的。 x b g x l g Sl gSx m gSx dt xd 木 水 木 水水 2 2 gSxxm 水 gSlmg 木 水 木 l b 木塊簡(jiǎn)諧振動(dòng)木塊簡(jiǎn)諧振動(dòng) 的動(dòng)力學(xué)方程：的動(dòng)力學(xué)方程： xbgx)/( 得木塊的運(yùn)動(dòng)方程：得木塊的運(yùn)動(dòng)方程： )cos()( 00 tAtx 1 0 0 . 7 20. 0 8 . 9 s l g 由初始條件：將木塊完全壓入水中由初始條件：將木塊完全壓入水中 其中固有角頻率：其中固有角頻率： m V xA05. 00

5、. 005. 0 2 2 0 2 0 2 0 ;05. 0 0 mx ; 0t 0 0 V 0 . 0 00 0 0 x V tg 0 0 x 0 0 舍去舍去： 0 mttx)0 . 7cos(05. 0)( 所以：所以： xbgx)/( 任何一周期函數(shù)都可表示為簡(jiǎn)諧函數(shù)的合成。任何一周期函數(shù)都可表示為簡(jiǎn)諧函數(shù)的合成。 也就是說(shuō)，任何一個(gè)復(fù)雜的周期振動(dòng)都可以也就是說(shuō)，任何一個(gè)復(fù)雜的周期振動(dòng)都可以 分解為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和。分解為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和。 1 0 0 )cos( k kk tkAA 稱為周期函數(shù)稱為周期函數(shù) 的的付里葉級(jí)數(shù)付里葉級(jí)數(shù), 而而 和和 稱為稱為付里葉系數(shù)付里葉系數(shù) )(

6、tF kk BAA, 0kk A, 1.8 諧振分析諧振分析 周期函數(shù)的頻譜分析與付里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)的頻譜分析與付里葉級(jí)數(shù) 1 0 1 00 sincos)( k k k k tkBtkAAtF 這些分振動(dòng)中頻率最低的稱為基頻振動(dòng)，它這些分振動(dòng)中頻率最低的稱為基頻振動(dòng)，它 的頻率就是原周期函數(shù)的頻率，的頻率就是原周期函數(shù)的頻率，稱為基頻。稱為基頻。 dttktF T B T T k 2 2 0 sin)( 2 dttktF T A T T k 2 2 0 cos)( 2 dttF T A T T 2 2 0 )( 1 其它分振動(dòng)的頻率都是基頻的整數(shù)倍，其它分振動(dòng)的頻率都是基頻的整數(shù)倍，稱為諧頻

7、。稱為諧頻。 頻譜頻譜：以頻率為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的振幅為縱坐標(biāo)：以頻率為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的振幅為縱坐標(biāo) 所作的圖解，稱為該振動(dòng)的頻譜。所作的圖解，稱為該振動(dòng)的頻譜。 FULIYE FPCAI 頻譜分析頻譜分析:周期性振動(dòng)具有離散譜。周期性振動(dòng)具有離散譜。 這種將任一振動(dòng)分解為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的這種將任一振動(dòng)分解為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的 方法稱為頻譜分析。方法稱為頻譜分析。 非周期函數(shù)的頻譜分析與付里葉變換非周期函數(shù)的頻譜分析與付里葉變換 任一非周期函數(shù)也都可表示為簡(jiǎn)諧函數(shù)的合成：任一非周期函數(shù)也都可表示為簡(jiǎn)諧函數(shù)的合成： 00 sin)(cos)()(tdBtdAtF deftF ti )( 2 1 )( 上式稱為非

8、周期函數(shù)的付里葉積分。上式稱為非周期函數(shù)的付里葉積分。 或是或是 的付里葉逆變換。的付里葉逆變換。)(f dtetFf ti )( 2 1 )( 稱為非周期函數(shù)的稱為非周期函數(shù)的 付里葉變換。付里葉變換。 dtetFf ti )( 2 1 )( 非周期振動(dòng)的頻譜是連續(xù)譜非周期振動(dòng)的頻譜是連續(xù)譜。波形和頻譜互為。波形和頻譜互為 付里葉變換，它具有鮮明的物理背景，頻譜分付里葉變換，它具有鮮明的物理背景，頻譜分 析是研究振動(dòng)的重要方法之一。析是研究振動(dòng)的重要方法之一。 稱為稱為非周期函數(shù)非周期函數(shù) 的付里葉變換的付里葉變換。 二十世紀(jì)六十年代以來(lái)，二十世紀(jì)六十年代以來(lái)， 付里葉變換的方法把電子付里葉

9、變換的方法把電子 衍射圖形與電子顯微成象衍射圖形與電子顯微成象 有機(jī)地結(jié)合在一起，有機(jī)地結(jié)合在一起，為晶為晶 體結(jié)構(gòu)的研究開拓了新的體結(jié)構(gòu)的研究開拓了新的 途徑。途徑。 1.9 耦合振子耦合振子 ) 1 ()( abaa xxKkxxm ) 2()( abbb xxKkxxm 當(dāng)兩個(gè)彈簧振子用另一根彈簧聯(lián)結(jié)起來(lái)時(shí)，當(dāng)兩個(gè)彈簧振子用另一根彈簧聯(lián)結(jié)起來(lái)時(shí)， 這種系統(tǒng)稱為這種系統(tǒng)稱為耦合振子耦合振子。 取彈簧各自的原長(zhǎng)處為取彈簧各自的原長(zhǎng)處為 坐標(biāo)零點(diǎn)，則運(yùn)動(dòng)方程：坐標(biāo)零點(diǎn)，則運(yùn)動(dòng)方程： 設(shè)振子的質(zhì)量均為設(shè)振子的質(zhì)量均為m a x k K m b x m k 取為正方向取為正方向 簡(jiǎn)正模簡(jiǎn)正模 )

10、1 ()( abaa xxKkxxm ) 2 ()( abbb xxKkxxm 由這兩個(gè)方程的結(jié)構(gòu)可看出，每個(gè)振子的由這兩個(gè)方程的結(jié)構(gòu)可看出，每個(gè)振子的 加速度都與另一振子的位置有關(guān)。加速度都與另一振子的位置有關(guān)。 換言之，它們的運(yùn)動(dòng)彼此相關(guān)聯(lián)換言之，它們的運(yùn)動(dòng)彼此相關(guān)聯(lián) 即兩振子之間存在著即兩振子之間存在著耦合耦合。 上述兩個(gè)方程都不是簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，上述兩個(gè)方程都不是簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程， 一般來(lái)說(shuō)，即使是兩個(gè)全同的耦合振子，一般來(lái)說(shuō)，即使是兩個(gè)全同的耦合振子， 每個(gè)振子的運(yùn)動(dòng)也還是比較復(fù)雜的。每個(gè)振子的運(yùn)動(dòng)也還是比較復(fù)雜的。 首先考慮最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)情況首先考慮最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)情況: a x

11、k K m b x m k 取為正方向取為正方向 即相互耦合的兩個(gè)全同即相互耦合的兩個(gè)全同 振子以相同的頻率以及振子以相同的頻率以及 相同或相反的初相位作相同或相反的初相位作 簡(jiǎn)諧振動(dòng)。適當(dāng)選取時(shí)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。適當(dāng)選取時(shí) 間零點(diǎn)，并假定這里的間零點(diǎn)，并假定這里的 “振幅振幅”可以是正的或負(fù)可以是正的或負(fù) 的，則可設(shè)的，則可設(shè): tAxacos tBxbcos 在這種情況下，任意時(shí)刻都有在這種情況下，任意時(shí)刻都有 bba xx B A x 將它代入式將它代入式(1)和和(2)，可以得到：，可以得到： ； b b x m Kk dt xd ) 1( 2 2 b b x m Kk dt xd )1 (

12、2 2 b b x m Kk dt xd ) 1( 2 2 b b x m Kk dt xd )1 ( 2 2 這是兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，這是兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程， 對(duì)應(yīng)的角頻率的平方分別對(duì)應(yīng)的角頻率的平方分別 為方括號(hào)中所給出的量。為方括號(hào)中所給出的量。 既然兩個(gè)方程所描寫的是既然兩個(gè)方程所描寫的是 同一振子的運(yùn)動(dòng)，這兩個(gè)同一振子的運(yùn)動(dòng)，這兩個(gè) 量就應(yīng)該相等，即：量就應(yīng)該相等，即： m k m k m k m k )1 ( 1 2 normal mode normal frequency 由此可解得由此可解得 1 2 即 1 2 ; 1 1 代入上式，即得相應(yīng)的角頻率為：代入上式，即得相應(yīng)的角頻率為

13、： m k 1 m Kk2 2 （3） 結(jié)論結(jié)論：兩個(gè)耦合振子可以作不同頻率的：兩個(gè)耦合振子可以作不同頻率的 下述兩種方式的振動(dòng)，在每種方式的振下述兩種方式的振動(dòng)，在每種方式的振 動(dòng)中兩振子的振動(dòng)頻率是相同的。動(dòng)中兩振子的振動(dòng)頻率是相同的。 1) 兩個(gè)振子以相同的振幅和相同的相位振動(dòng)，均兩個(gè)振子以相同的振幅和相同的相位振動(dòng)，均 以以 振動(dòng)。振動(dòng)。因?yàn)橹虚g的彈簧原長(zhǎng)不變。因?yàn)橹虚g的彈簧原長(zhǎng)不變。 mk 1 2) 兩個(gè)振子以相同的振幅和相反的相位振動(dòng)兩個(gè)振子以相同的振幅和相反的相位振動(dòng), 均均 以以 振動(dòng)。振動(dòng)。中間彈簧原長(zhǎng)變化。中間彈簧原長(zhǎng)變化。 mKk)2( 2 系統(tǒng)中各個(gè)振子系統(tǒng)中各個(gè)振子以

14、相同的頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)以相同的頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng) 的方式的方式，稱為該系統(tǒng)的，稱為該系統(tǒng)的簡(jiǎn)正模簡(jiǎn)正模。 每個(gè)簡(jiǎn)正模所對(duì)應(yīng)的頻率，稱為每個(gè)簡(jiǎn)正模所對(duì)應(yīng)的頻率，稱為簡(jiǎn)正頻率簡(jiǎn)正頻率。 簡(jiǎn)正頻率特征在于，系統(tǒng)的每個(gè)振子都能以此頻率簡(jiǎn)正頻率特征在于，系統(tǒng)的每個(gè)振子都能以此頻率 振動(dòng)。對(duì)于一定的初始條件，這種振子是可實(shí)現(xiàn)的。振動(dòng)。對(duì)于一定的初始條件，這種振子是可實(shí)現(xiàn)的。 若將兩個(gè)振子各自從平衡位置向左、若將兩個(gè)振子各自從平衡位置向左、 右兩邊拉開相同的距離右兩邊拉開相同的距離，待靜止后，待靜止后 釋放，則兩振子將作角頻率都是釋放，則兩振子將作角頻率都是 2 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并保持振幅不變。的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并保持振幅

15、不變。 例如，在損耗可以忽略例如，在損耗可以忽略 的情況下，若將上述兩的情況下，若將上述兩 個(gè)振子各自從平衡位置個(gè)振子各自從平衡位置 向右拉開相同的距離，向右拉開相同的距離， 待靜止后再釋放，則兩待靜止后再釋放，則兩 個(gè)振子將作角頻率都是個(gè)振子將作角頻率都是 1的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，保持振的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，保持振 幅不變；幅不變； 簡(jiǎn)正模 FPCAI a x k K m b x m k 取為正方向取為正方向 )( )( 2 2 ba ba xxk dt xxd m 而將式（而將式（1）減去式（）減去式（2），可得），可得 )(2( )( 2 2 ba ba xxKk dt xxd m 2 qxx ba 簡(jiǎn)正模

16、的疊加簡(jiǎn)正模的疊加 引入這兩種易于求解的特征振動(dòng)，重要原因在于，引入這兩種易于求解的特征振動(dòng)，重要原因在于， 兩相同耦合振子的任何運(yùn)動(dòng)，都可以表示為上述兩相同耦合振子的任何運(yùn)動(dòng)，都可以表示為上述 兩簡(jiǎn)正模的線性組合。為了清楚地看到這一點(diǎn)，兩簡(jiǎn)正模的線性組合。為了清楚地看到這一點(diǎn)， 我們將式（我們將式（1）與（）與（2）相加，得：）相加，得： 令令 ； 1 qxx ba )( 2 1 21 qqxa)( 2 1 21 qqxb 這就是簡(jiǎn)正模的另一種表述，這兩個(gè)獨(dú)立變量這就是簡(jiǎn)正模的另一種表述，這兩個(gè)獨(dú)立變量 q1和和 q2就稱為簡(jiǎn)正坐標(biāo)（就稱為簡(jiǎn)正坐標(biāo)（normal coordinate）。）。

17、 我們以上所考察的系統(tǒng)是由兩個(gè)作一維振動(dòng)的我們以上所考察的系統(tǒng)是由兩個(gè)作一維振動(dòng)的 質(zhì)點(diǎn)組成的，對(duì)該系統(tǒng)的縱向運(yùn)動(dòng)需用兩個(gè)簡(jiǎn)質(zhì)點(diǎn)組成的，對(duì)該系統(tǒng)的縱向運(yùn)動(dòng)需用兩個(gè)簡(jiǎn) 正模和兩個(gè)簡(jiǎn)正頻率。正模和兩個(gè)簡(jiǎn)正頻率。 于是，每一個(gè)振子的坐標(biāo)都可以表示為這兩個(gè)于是，每一個(gè)振子的坐標(biāo)都可以表示為這兩個(gè) 獨(dú)立的簡(jiǎn)正坐標(biāo)的線性組合，即獨(dú)立的簡(jiǎn)正坐標(biāo)的線性組合，即 顯然，這是關(guān)于兩個(gè)獨(dú)立變量顯然，這是關(guān)于兩個(gè)獨(dú)立變量 q1和和 q2的振動(dòng)的振動(dòng) 方程，描述了耦合振子系統(tǒng)的兩種獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)，方程，描述了耦合振子系統(tǒng)的兩種獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)， 其特征頻率分別為式（其特征頻率分別為式（3）所給出的和。）所給出的和。 總之，簡(jiǎn)正模

18、是一個(gè)多自由度運(yùn)動(dòng)的一些特殊的總之，簡(jiǎn)正模是一個(gè)多自由度運(yùn)動(dòng)的一些特殊的 組合，是一些集體運(yùn)動(dòng)模式，它們彼此相互獨(dú)立。組合，是一些集體運(yùn)動(dòng)模式，它們彼此相互獨(dú)立。 如果初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)符合某個(gè)簡(jiǎn)正模式，則系統(tǒng)將如果初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)符合某個(gè)簡(jiǎn)正模式，則系統(tǒng)將 按此模式振動(dòng)，其它模式將不激發(fā)；按此模式振動(dòng)，其它模式將不激發(fā)； 如果初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是任意的，則該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)將如果初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是任意的，則該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)將 是各簡(jiǎn)正模式按一定比例的疊加。是各簡(jiǎn)正模式按一定比例的疊加。 簡(jiǎn)正模是當(dāng)今凝聚態(tài)物理學(xué)中簡(jiǎn)正模是當(dāng)今凝聚態(tài)物理學(xué)中“元激發(fā)或準(zhǔn)粒子元激發(fā)或準(zhǔn)粒子” 這一重要概念的萌芽。這一重要概念的萌芽。 可以證明，若質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的自由度為可以證明，若質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的自由度為N，則有則有N個(gè)個(gè) 簡(jiǎn)正模和簡(jiǎn)正模和N個(gè)相應(yīng)的簡(jiǎn)正頻率