圓周率的計(jì)算

1、 圓周率是人類獲得的最古老的數(shù)學(xué)概念之一圓周率是人類獲得的最古老的數(shù)學(xué)概念之一,早在大約早在大約3700年年 前前 的古埃及人就已經(jīng)用的古埃及人就已經(jīng)用256/81（約（約3.1605）作為它的近似值了）作為它的近似值了.幾千年幾千年 來(lái)來(lái),人們一直沒(méi)有停止過(guò)計(jì)算其精確值的努力人們一直沒(méi)有停止過(guò)計(jì)算其精確值的努力. “歷史上一個(gè)國(guó)家所算得的圓周率的準(zhǔn)確程度歷史上一個(gè)國(guó)家所算得的圓周率的準(zhǔn)確程度, ,可以作為衡量這個(gè)可以作為衡量這個(gè) 國(guó)家當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展水平的指標(biāo)國(guó)家當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展水平的指標(biāo) ” ” _ _ 康托康托 兩個(gè)任務(wù)兩個(gè)任務(wù): 了解圓周率的計(jì)算過(guò)程了解圓周率的計(jì)算過(guò)程 (1) 設(shè)計(jì)計(jì)算圓周率

2、的方法設(shè)計(jì)計(jì)算圓周率的方法 實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)一 圓周率的計(jì)算圓周率的計(jì)算 1 1、實(shí)驗(yàn)時(shí)期、實(shí)驗(yàn)時(shí)期 通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行估算通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行估算,這是計(jì)算圓周率這是計(jì)算圓周率 的的第一階段的的第一階段 中國(guó)中國(guó): “圓徑一而周三圓徑一而周三” -周髀算經(jīng)周髀算經(jīng) (2)“周三徑一周三徑一,方五斜七方五斜七” -木工口訣木工口訣 1605. 3 81 256 ) 9 8 (4 2 古埃及：數(shù)谷粒與稱重量：古埃及：數(shù)谷粒與稱重量： 2、幾何算法、幾何算法 用圓內(nèi)接正多邊形和圓外切正多邊形逼近的方法用圓內(nèi)接正多邊形和圓外切正多邊形逼近的方法 32 3 6邊形邊形12邊形邊形24邊形邊形圓圓 劉徽劉徽:割之彌細(xì)割之彌

3、細(xì),所失彌少所失彌少.割之又割割之又割,以至于不可割以至于不可割,則與圓周合體則與圓周合體 而無(wú)所失矣而無(wú)所失矣 3(n=3072) 阿基米德阿基米德 22322 ,3.140845.3.142857.,(96) 717 n 祖沖之的這一研究成果享有世界聲譽(yù)祖沖之的這一研究成果享有世界聲譽(yù):巴黎巴黎“發(fā)現(xiàn)宮發(fā)現(xiàn)宮”科學(xué)博物科學(xué)博物 館的墻壁上著文介紹了祖沖之求得的圓周率館的墻壁上著文介紹了祖沖之求得的圓周率,莫斯科大學(xué)禮堂的走莫斯科大學(xué)禮堂的走 廊上鑲嵌有祖沖之的大理石塑像廊上鑲嵌有祖沖之的大理石塑像,月球上有以祖沖之命名的環(huán)形山月球上有以祖沖之命名的環(huán)形山 公元公元

4、5世紀(jì)世紀(jì),祖沖之祖沖之 3.14159263.1415927,n12288 隋書隋書律歷志律歷志： “宋末宋末,南徐州從事祖沖之更開密法南徐州從事祖沖之更開密法.以圓徑一億為丈以圓徑一億為丈,圓周盈數(shù)三丈圓周盈數(shù)三丈 一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二 秒六忽秒六忽,正數(shù)在盈朒二限之間正數(shù)在盈朒二限之間.密率密率:圓徑一百一十三圓徑一百一十三,圓周三百五十五圓周三百五十五 約率約率,圓徑七圓徑七,周二十二。周二十二?！?1579年年,韋達(dá)證明韋達(dá)證明 373.14159265 353.14159265 163

5、0年年, 德國(guó)人魯?shù)婪虻聡?guó)人魯?shù)婪?小數(shù)點(diǎn)以后小數(shù)點(diǎn)以后35位位 1150年年,印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅: 3.14161424 28 32n 1424年年,中亞細(xì)亞數(shù)學(xué)家卡西中亞細(xì)亞數(shù)學(xué)家卡西: 3.14159265358979325 0000000004610000000262n . 3.141 592 653 589 794 238 462 643 383 279 502 88 3、分析方法、分析方法 從十七世紀(jì)中葉起從十七世紀(jì)中葉起,人們開始用分析方法來(lái)求人們開始用分析方法來(lái)求的近似值的近似值,其中其中 應(yīng)用的主要工具是收斂的無(wú)窮乘積和無(wú)窮級(jí)數(shù)應(yīng)用的主要工具是收斂的無(wú)窮乘積

6、和無(wú)窮級(jí)數(shù). 12 )1( 53 arctan 12 0 53 k xxx xx k k k 0 111111 1( 1) 435791121 k k k 0 1 4( 1) 21 k k k 麥琴麥琴(Machin)給出給出 239 1 arctan 5 1 arctan4 4 (Machin公式公式) 2 24 46 622 2()()().(). 1 33 55 721 21 kk kk 1656年年,沃里斯沃里斯(Wallis)證明證明 取取k=10 2 24 46 620 20 2()()().()3.067702 1 33 55 719 21 取取k=20 2 24 46 640

7、40 2()()().()3.103516 1 33 55 739 41 歐拉證明了歐拉證明了(1735) 2 2222 1111 . 1236n 注：注：Basel Problem, 1644年提出年提出 1、Buffon投針投針 1. 在白紙上畫上許多條間距為在白紙上畫上許多條間距為d的平行直線的平行直線 2. 取長(zhǎng)為取長(zhǎng)為l(ld)的針的針,隨機(jī)地投擲在白紙上隨機(jī)地投擲在白紙上,投擲投擲n次次,觀察與直線相觀察與直線相 交的次數(shù)交的次數(shù),記為記為m. 4、概率方法、概率方法 2lm p dn 針線相交的概率針線相交的概率 0,0 2 d x 隨機(jī)投針的概率含義隨機(jī)投針的概率含義 針的中點(diǎn)

8、針的中點(diǎn)M與平行線的距離與平行線的距離x均勻分布于區(qū)間均勻分布于區(qū)間0,d/2 (1) 針與平行線的交角均勻分布于區(qū)間針與平行線的交角均勻分布于區(qū)間 記針的中點(diǎn)為記針的中點(diǎn)為M,x表示點(diǎn)表示點(diǎn)M與較近的平行線間距離與較近的平行線間距離,表示針與表示針與 平行線間夾角平行線間夾角 , 0 在間隔為在間隔為d的平行線間隨機(jī)投擲長(zhǎng)度為的平行線間隨機(jī)投擲長(zhǎng)度為l的針的針 0,d/2中隨機(jī)選取中隨機(jī)選取x,0,中隨機(jī)產(chǎn)生中隨機(jī)產(chǎn)生,構(gòu)成平面中點(diǎn)構(gòu)成平面中點(diǎn)x, 計(jì)算針和直線相交的概率是計(jì)算針和直線相交的概率是 d l p 2 md nl d l p n m22 設(shè)投擲設(shè)投擲n次次,相交相交m次次,則針與

9、線相交的頻率為則針與線相交的頻率為m/n x M 針與平行線相交的條件針與平行線相交的條件 n=2212,Buffon:=3.142 ;n=5000,Wolf: = 3.1593 0 , 2 0 ,sin 2 d x l x d=45;l=36;n=20000; x=;y=;P=;Q=; for i=1:n, x1=rand*d*0.5; y1=rand*pi; if 2*x1=l*sin(y1), x=x,x1;y=y,y1; else P=P,x1;Q=Q,y1; end end m=length(x), p=2*l*n/(d*m) s=0:0.01:pi; plot(s,l*sin(s)

10、/2,k,Linewidth,2) hold on plot(y,x,r.),plot(Q,P,b.), plot(0,pi,0,0,k,Linewidth,2), plot(0,pi,22.5,22.5,k,Linewidth,2) plot(0,0,0,22.5,k,Linewidth,2), plot(pi,pi,0,22.5,k,Linewidth,2) axis(-0.2,3.3,-2,24) 利用蒙特卡洛算法計(jì)算圓周率利用蒙特卡洛算法計(jì)算圓周率 利用蒙特卡洛算法計(jì)算定積分利用蒙特卡洛算法計(jì)算定積分 2、互素?cái)?shù)分布、互素?cái)?shù)分布 取一個(gè)大整數(shù)取一個(gè)大整數(shù)N,在在1到到N之間隨機(jī)取一對(duì)整

11、數(shù)之間隨機(jī)取一對(duì)整數(shù)a,b,它們互素的概率它們互素的概率 2 6 p 注：注： 隨機(jī)整數(shù)隨機(jī)整數(shù) randint(1,1,) 求求a,b最大公約數(shù)最大公約數(shù) gcd(a,b) 5、數(shù)值積分方法、數(shù)值積分方法 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法 1 0 2 14dxx 1 0 2 1 1 4dx x 6、代數(shù)迭代、代數(shù)迭代 對(duì)正數(shù)對(duì)正數(shù)a0,b0,定義算術(shù)均值數(shù)列和幾何均值數(shù)列定義算術(shù)均值數(shù)列和幾何均值數(shù)列 1 1 (), 2 kkkkkk aabba b 00 1 1, 2 ab 2 00 223242 123 4(,) 1 222. AGM a b ccc 若兩數(shù)列極限相等若兩數(shù)列極限相等,則稱此極限

12、為它們的算術(shù)幾何均值則稱此極限為它們的算術(shù)幾何均值,記為記為AGM(a0,b0) 取取 則有則有 222 , kkk Cab記記 年代年代19491973198919992011 精確位數(shù)精確位數(shù)2035100萬(wàn)萬(wàn)10億億2061億億2000萬(wàn)億萬(wàn)億 “十位小數(shù)就足以使地球周界準(zhǔn)確到一英寸以內(nèi)十位小數(shù)就足以使地球周界準(zhǔn)確到一英寸以內(nèi),三十位小數(shù)便三十位小數(shù)便 能使整個(gè)可見宇宙的四周準(zhǔn)確到連最強(qiáng)大的顯微鏡都不能分辨能使整個(gè)可見宇宙的四周準(zhǔn)確到連最強(qiáng)大的顯微鏡都不能分辨 的一個(gè)量。的一個(gè)量。” 西蒙西蒙紐克紐克 姆姆 實(shí)驗(yàn)一小結(jié)實(shí)驗(yàn)一小結(jié) 1、幾何算法、幾何算法: 割圓法割圓法,正多邊形逼近圓正多邊形逼近圓 2、分析算法、分析算法: 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù),有限項(xiàng)逼近無(wú)