利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的兩種通法

1、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的兩種通法利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式主要有兩種通法, 即函數(shù)類不等式證明和常數(shù)類不等式證明。下面就有關(guān)的兩種通法用列舉的方式歸納和總結(jié)。一、函數(shù)類不等式證明函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x) g(x) ( f(x) g(x)的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x) g(x) 0 ( f(x) g(x) 0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù) h(x) f(x) g(x),然后利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù) h(x)的單調(diào)性或證明函數(shù) h(x)的最小值(最大值)大于或等于零(小于或等于零)。例 1 已知 x (0,)，求證：sinx x tanxsin x x和 g(x)

2、xtan x 在(0)上2分析：欲證sinx x tanx ,只需證函數(shù)f (x)單調(diào)遞減即可。證明： 令 f (x) sin x x ,其中 x (0,)2/貝u f (x) cosx 1 ,而 x (0,)cosx 1 cosx 1 0所以f (x) sin x x在(0,萬)上單調(diào)遞減，即 f (x) sin x x f (0) 0所以sin x x ； 令 g(x) x tanx ,其中 x (0,)2/12則g (x) 1 2tan x 0 ,所以g(x) x tan x在(0,一)上單倜遞減,cos x2即 g(x) x tan x g(0) 0所以x tanx。綜上所述，sin

3、x x tanx評(píng)注：證明函數(shù)類不等式時(shí)，構(gòu)造輔助函數(shù)比較容易，只需將不等式的其中一邊變?yōu)?,然后另一邊的函數(shù)作為輔助函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性或其最值，進(jìn)而構(gòu)造我們所需的不等式的結(jié)構(gòu)即可。根據(jù)不等式的對(duì)稱性，本例也可以構(gòu)造輔助函數(shù)為在(0,一)上是單調(diào)遞增2f (0)也可以的函數(shù)(如：利用h(x) x sinx在(0,一)上是單調(diào)遞增來證明不等式 sinx x),另外不 2等式證明時(shí)，區(qū)間端點(diǎn)值也可以不是我們所需要的最恰當(dāng)?shù)闹?比如此例中的不是0,而是便于放大的正數(shù)也可以)。因此例可變式為證明如下不等式問題:已知 x (0,)，求證：sinx 1 x tanx 1 2證明這個(gè)變式題可采用兩

4、種方法：第一種證法：運(yùn)用本例完全相同的方法證明每個(gè)不等式以后再放縮或放大，即證明不等式 sin x x以后，根據(jù) sin x 1 sin x x來證明不等式 sin x 1 x；第二種證法：直接構(gòu)造輔助函數(shù) f(x) sin x 1 x和g(x) x tan x 1 ,其中x (0,) 2然后證明各自的單調(diào)性后再放縮或放大(如：f(x) sinx 1 x f(0)1 0)例2求證：ln(x 1) x分析：令f (x) ln(x 1) x,經(jīng)過求導(dǎo)易知，f(x)在其定義域(1,)上不單調(diào)，但可 以利用最值證明不等式。證明：令 f (x) ln(x 1) x函數(shù)f(x)的定義域是(1,), 1f

5、(x)= 1.令 f (x)=0 ,解得 x=0 ,1 x當(dāng)-1x0,當(dāng) x0 時(shí)，f(x)n0證明：令 f(x)ln(ax bx) (x 0) x則 f/(x)a* x in ax abx in b bln(ax bx)xxx . xx _ xx(a in a b in b) (a b )ln( a b )27x xx (a b )ax inx xa b2 xx (abx inbxx x aa in x abxbx inbx)2/ x xx (a b )所以，f(x) 1n(ax bx)在(0,)上是減函數(shù) x又因?yàn)閙 n 0,所以f(n) f (m)n nmm、即 1n(a b ) 1n(

6、a b ) nmm1n(an bn) n1n(am bm)1n(an bn)m 1n(am bm)nn n、mmm、n(a b ) (a b )評(píng)注：利用導(dǎo)數(shù)證明常數(shù)類不等式的關(guān)鍵是經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃危瑢⒉坏仁阶C明的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性證明問題，其中關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)， 如何構(gòu)造輔助函數(shù)也是這種通法運(yùn)用的難點(diǎn)和關(guān)鍵所在。通過本例，不難發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造輔助函數(shù)關(guān)鍵在于不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子(本例經(jīng)過轉(zhuǎn)化后的不等式1n(an bn)nm m、1n(a b )m的兩邊都是相同式子所以可以構(gòu)造輔助函數(shù)1n(ax b可以構(gòu)造輔助函數(shù)。例4已知0,求證：工1 412tantan)分析：欲證tantan

7、tantantan1 1 ,只需證(不然沒法構(gòu)造輔助函tantantantan tantan x ,、數(shù))，即,tan tan ,則需證函數(shù) f(x) ,g(x)x函數(shù)區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增即可。2tan x證明：設(shè) f(x) j , x (0,-)nrt /xsec2 x tan x x sin xcosx則 f (x) 222xx cos x由例 1 知，x (0,) x sin x sinxcosx x sinxcosx 0 2即f/(x) 0,所以f(x) 處在(0,)上單調(diào)遞增，而0 x 2所以tantan . tan,即tan一,進(jìn)而得至u 1 -tan設(shè) g(x) xtanx,

8、x (0,) 2則 g/(x) tan x xsec2 x ,又因?yàn)?x (0,),所以 g/(x) 0 ,進(jìn)而g(x) xtan x在(0,)上單調(diào)遞增，而 022所以 tan tan ,即一回一，進(jìn)而得到一回一 1 tantan綜上所述taj 1 色匚1 tantan三、同步練習(xí)題1 .當(dāng)x 1時(shí)，求證：2jx 3 - xb . a2 .已知a,b為實(shí)數(shù)，并且eab,其中e是自然對(duì)數(shù)的底，證明： a b3 .已知函數(shù) f(x) ex ln(x 1) 1 x 0(1)求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若 0 y x,求證：ex y 1 ln(x 1) ln( y 1)4 .求證：(e ee)(

9、e )e參考答案：1 .證明：要證 2 x 3 1 ,只要證 4x3 (3x 1)則 f (x)xxx _xx_x(x 1), x即證 4xx( in e ) ( e ) ln( e )(3x 1)2 4x3 9x2 6x 1 f (x) 0,則當(dāng)x 1時(shí),f(x)6(2x3 3x 1) 6(2x 1)(x 1) 0,2 x x、x ( e )”乂)在(1,)上遞增,f (x) f (1) 0 即 f(x) 0成立,原不等式得證2 .證明:當(dāng)eab時(shí)，即只要證考慮函數(shù)要證ab ba,只要證bln a aln b,in a in ba by (0 x )。因?yàn)楫?dāng)x e時(shí)， x1 in xin x ,y2 0,所以函數(shù)y 在(0)內(nèi)是減函數(shù)xx因?yàn)閑ab,所以蛇,即得ab ba a b3. (1)最小值為0(2)因?yàn)?0yx x y 0 ,0恒成立而由(1)知，對(duì)x 0,恒有f(x) 0,所以不等式f(x y)即 exy ln(x y 1) 1 0所以 ex y 1 ln(x y 1)又因?yàn)?) ln(y 1)1) ln(x 1) ln( y 1)(q y(x1)y) 0)ln( x y 1) ln( y 1)(x y ln(x 1) y(x y) ln( y所以 exy 1 ln(x 1) ln( yln( x ex)證明：設(shè) f(x) -()(x 0),xxln