中職數(shù)學(xué)——8.2.1任意角的三角函數(shù)[主要內(nèi)容]

1、角角 度度 弧弧 度度 060 120 135 270 4 2 6 5 2 30 6 45 3 90 3 2 4 3 150 180 2 3 360 0 180rad ， 1rad 180 0.01745 rad . 180 1rad() 57.3057 18 . 復(fù)習(xí)回顧：復(fù)習(xí)回顧： 1青苗輔導(dǎo)1 =; 1 : 2 lR SlR 扇扇形形弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)公公式式： 面面積積公公式式， 21 | 2 SR 2青苗輔導(dǎo)1 8.2.1 任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù) 3青苗輔導(dǎo)1 角的范圍已經(jīng)推廣，那么對(duì)任一角角的范圍已經(jīng)推廣，那么對(duì)任一角是否也能是否也能 像銳角一樣定義三角函數(shù)呢？像銳角一樣定義三角函

2、數(shù)呢？ 初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，知道它們初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，知道它們 都是以銳角都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值，定義為自變量，以比值為函數(shù)值，定義 了角了角的的正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切的三角函數(shù)的三角函數(shù). . 本節(jié)課我們研究當(dāng)角本節(jié)課我們研究當(dāng)角是一個(gè)任意角時(shí)，其三是一個(gè)任意角時(shí)，其三 角函數(shù)的定義及其幾何表示角函數(shù)的定義及其幾何表示 4青苗輔導(dǎo)1 1.任意角的三角函數(shù)的定義 設(shè)設(shè)銳角銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸軸的非負(fù)半軸 重合重合,那么那么的終邊在第一象限，在的終邊在第一象限，在的終邊上任意一點(diǎn)的終邊上任意一點(diǎn) P(

3、a,b)(除開頂點(diǎn)除開頂點(diǎn)O),它與原點(diǎn)它與原點(diǎn)(即頂點(diǎn)即頂點(diǎn))的距離是的距離是r(r0),那么那么 根據(jù)初中所學(xué)過的三角函數(shù)的定義，有根據(jù)初中所學(xué)過的三角函數(shù)的定義，有 O O x y r (1)(1)正弦正弦:sin= ;:sin= ; b r (2)(2)余弦余弦:cos= ;:cos= ; a r (3)(3)正切正切:tan= .:tan= . b a P P( (a, ,b) ) b a 由相似三角形的知識(shí)知道，這些比值不會(huì)隨點(diǎn)由相似三角形的知識(shí)知道，這些比值不會(huì)隨點(diǎn)P的位的位 置改變而改變，所以通常取置改變而改變，所以通常取r=1的位置。的位置。 5青苗輔導(dǎo)1 P(P(a, ,b

4、) ) 0 0 x y M M A(1,0)A(1,0) 1 1 設(shè)設(shè)銳角銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸軸的非負(fù)半軸 重合重合,那么那么的終邊在第一象限，在的終邊在第一象限，在的終邊上的點(diǎn)的終邊上的點(diǎn)P(a,b)與與 原點(diǎn)原點(diǎn)(即頂點(diǎn)即頂點(diǎn))的距離是的距離是1,那么根據(jù)初中所學(xué)過的三角函數(shù)那么根據(jù)初中所學(xué)過的三角函數(shù) 的定義，有的定義，有 (1)(1)正弦正弦:sin= =:sin= =b ; ; MP OP (2)(2)余弦余弦:cos= =:cos= =a ; ; OM OP (3)(3)正切正切:tan= .:tan= . MPb OMa 我們稱以原

5、點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為我們稱以原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓單位圓. 1.任意角的三角函數(shù)的定義 同樣我們可以利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)同樣我們可以利用單位圓定義任意角的三角函數(shù). 6青苗輔導(dǎo)1 1、任意角的三角函數(shù)的定義一 設(shè)設(shè)是任意一個(gè)角是任意一個(gè)角,的終邊與單位圓交于點(diǎn)的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(P(x, ,y), ), 那么那么 (1)(1)正弦正弦:sin=:sin=y ; ; (2)(2)余弦余弦:cos=:cos=x ; ; (3)(3)正切正切:tan= (:tan= (x0).0). y x P(P(x, ,y) ) 0 0 x y A(1,0)A(1,0

6、) 正弦、余弦、正切都是以角正弦、余弦、正切都是以角( (弧度弧度) )為自變量，以單位為自變量，以單位 圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它 們統(tǒng)稱為們統(tǒng)稱為三角函數(shù)三角函數(shù)。 三角函數(shù)三角函數(shù)sinsincoscostantan 定義域定義域 7青苗輔導(dǎo)1 角的概念推廣后，實(shí)際上是把角的集合角的概念推廣后，實(shí)際上是把角的集合 與實(shí)數(shù)集與實(shí)數(shù)集R之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系： 實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R角的集合角的集合 正角正角 零角零角 負(fù)角負(fù)角 正實(shí)數(shù)正實(shí)數(shù) 零零 負(fù)實(shí)數(shù)負(fù)實(shí)數(shù) 8青苗輔導(dǎo)1 53 (1);(2);

7、(3). 32 例例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：求下列角的正弦、余弦和正切值： 解：解： （1）在直角坐標(biāo)系中，作）在直角坐標(biāo)系中，作 5 3 AOP （如圖），（如圖）， 得的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為得的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為 5 sin 3 5 cos 3 5 tan 3 3 , 2 1 , 2 3. 13 (,). 22 P 9青苗輔導(dǎo)1 53 (1);(2);(3). 32 例例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：求下列角的正弦、余弦和正切值： 解：解： （2） 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中， 角角 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 1,

8、0).P sin 1, cos 0,tan 0. （3） 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 3 2 在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中， 角角 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (0, 1).P 3 sin 2 1, 3 cos 2 0, 3 tan 2 不存在不存在. x y O 10青苗輔導(dǎo)1 特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值 sin cos tan 030456090180270360 0 6 4 3 2 2 3 2 0 00 0 00 0 0 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 3 3 3不存在不存在 弧度 11青苗輔導(dǎo)1 例例2.已知角已知角終邊

9、上經(jīng)過點(diǎn)終邊上經(jīng)過點(diǎn)P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值求角的正弦、余弦和正切值. P P0 0(-3,-4)(-3,-4) 0 0 x y M M0 0 P(P(x, ,y) ) M M 如圖，設(shè)角如圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x, y)， 解：解： 分別過點(diǎn)分別過點(diǎn)P、P0作作x軸的垂線軸的垂線MP，M0P0， 則則 000 | 5,| 4,|,OPM PMPy 0 | 3,|,OMOMx 00 ,OMPOM P 且且 siny | | MP OP 00 0 | | M P OP 4 ; 5 1 y cosx 1 x | | OM OP 0 0 | | O

10、M OP 3 ; 5 tan y x sin cos 4 . 3 12青苗輔導(dǎo)1 一般地一般地，設(shè)角，設(shè)角終邊上任意一點(diǎn)終邊上任意一點(diǎn)( (異于原點(diǎn)異于原點(diǎn)) )P P( (x, ,y),),它它 到原點(diǎn)到原點(diǎn)( (頂點(diǎn)頂點(diǎn)) )的距離為的距離為r00，則，則 sinsin= ;cos= ;cos= ;tan= ;tan= .= . y x x r y r 三角函數(shù)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)的坐標(biāo)定義 ： (見教材見教材86頁頁) 13青苗輔導(dǎo)1 例例2.已知角已知角終邊上經(jīng)過點(diǎn)終邊上經(jīng)過點(diǎn)P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值求角的正弦、余弦和正切值. 解法解法2：點(diǎn)點(diǎn)P0(-3,-4),到

11、原點(diǎn)的距離為到原點(diǎn)的距離為 22 ( 3)( 4)r 5. 故由三角函數(shù)的坐標(biāo)定義知：故由三角函數(shù)的坐標(biāo)定義知： sin y r 4 , 5 cos x r . 3 , 5 tan y x 4 . 3 P P0 0(-3,-4)(-3,-4) 0 0 x y M M0 0 14青苗輔導(dǎo)1 變式變式1 1：已知角已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2a,-3a)(a0)，求，求 角角的正弦、余弦、正切值的正弦、余弦、正切值 15青苗輔導(dǎo)1 變式變式2 2：已知角已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2a,-3a)，求角，求角的的 正弦、余弦、正切值正弦、余弦、正切值 16青苗輔導(dǎo)1 變式3 _, 13

12、 13 sin 3( m mp 則且 終邊上的一點(diǎn)，）是角，已知點(diǎn) 2 3rm解析： 13 13 3 2 m m 2 1 劃歸的思想劃歸的思想 313 22 mm 4 1 2 m 17青苗輔導(dǎo)1 例例3. 若角的終邊落在直線若角的終邊落在直線 y=2x上，求上，求的三角函數(shù)值的三角函數(shù)值. 解：解： 若角的終邊在第一象限，若角的終邊在第一象限， x y O 可在其終邊上取一點(diǎn)可在其終邊上取一點(diǎn) P(1 , 2)， . P 則則| POr 22 125 , 由三角函數(shù)坐標(biāo)定義得：由三角函數(shù)坐標(biāo)定義得： sin y r 2 5 2 5 , 5 cos x r 1 5 5 , 5 tan y x 2

13、 . 18青苗輔導(dǎo)1 例例3. 若角的終邊落在直線若角的終邊落在直線 y=2x上，求上，求的三角函數(shù)值的三角函數(shù)值. 解：解： 若角的終邊在第三象限，若角的終邊在第三象限， x y O 可在其終邊上取一點(diǎn)可在其終邊上取一點(diǎn) P(-1 , -2)， .P 則則| POr 22 125 , 由三角函數(shù)坐標(biāo)定義得：由三角函數(shù)坐標(biāo)定義得： sin y r 2 5 2 5 , 5 cos x r 1 5 5 , 5 tan y x 2 . 19青苗輔導(dǎo)1 2、三角函數(shù)值的符號(hào) 均為正均為正sinsin tantan x0 0 y coscos 口訣：口訣：“一全、二正、三切、四余一全、二正、三切、四余”

14、 (1)(1)正弦正弦:sin=:sin=y ; ; (2)(2)余弦余弦:cos=:cos=x ; ; (3)(3)正切正切:tan= (:tan= (x0).0). y x 規(guī)律：規(guī)律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正” “一全二正弦，三切四余弦一全二正弦，三切四余弦” 20青苗輔導(dǎo)1 例4 判斷下列各三角函數(shù)值得符號(hào) ）（）；（）；（）（672-tan3 4 -sin2250cos1 21青苗輔導(dǎo)1 思考：思考：若若 成立時(shí)，角成立時(shí)，角為第幾象限角？為第幾象限角？ sin0 tan0 解：解： sin0 tan0 由由 知知 的終邊在第三或第四象限或與的終邊在第三或第四象限或與x軸的非正半軸重合軸的非正半軸重合 的終邊在第一或第三象限的終邊在第一或第三象限 故角故角為第三象限角為第三象限角. . 22青苗輔導(dǎo)1 23青苗輔導(dǎo)1 1. 角角的終邊經(jīng)過點(diǎn)的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(0, b)則則( ) A.sin =0 B.sin =1 C.sin =-