高中數(shù)學必修五第一章解三角形知識點總結(jié)及練習題

1、第一章解三角形1、正弦定理:有:c中, asina、b、c分別為角sin sinc2r.2、正弦定理的變形公式: a 2rsin、c的對邊，r為c的外接圓的半徑，則 sin 2r a:b:c sina.asin sinsin2rsin b:sin csinc2r:sin c ;asinsinc2rsinc；c一;2rbsincsinc注意：正弦定理主要用來解決兩類問題:1、已知兩邊和其中一邊所對的角，求其余的量。2、已知兩角和一邊，求其余的量。對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無解三中情況）如：在三角形 abc中，已知a、b、a （a為銳角）求b。具體的做法是：

2、 數(shù)形結(jié)合思想畫出圖：法一：把 a擾著c點旋轉(zhuǎn)，看所得軌跡以 當無交點則b無解、ad有無交點:當有一個交點則 b有一解、當有兩個交點則 b有兩個解。法二：是算出 cd=bsina,看a的情況:當absina ,則b無解當bsinaa b時，b有一解注：當a為鈍角或是直角時以此類推既可。3、三角形面積公式：c 1,.1 , .八 1s c bcsin absinc acsin2224、余弦定理：c 中，有 a2 b2 c2 2bccos ,b22-c 2accos22, 2cab 2abcosc .5、余弦定理的推論:,222b c acos2bccos2accosc2ab（余弦定理主要解決的問

3、題:1、已知兩邊和夾角，求其余的量。2、已知三邊求角）5c的對邊,則:6、如何判斷三角形的形狀：設a、b、c是c的角若 a2 b2 c2 ,則 c 90;若 a2b2c2,則 c90;若 a2b2c2,則 c90 .7、正余弦定理的綜合應用：如圖所示：隔河看兩目標 a、b,但不能到達，在岸邊選取相距j3千米的c、d兩點，并測得 / acb=75, /bcd=45, /adc=30, /adb=45（a、b、c、d在同一平面內(nèi)）,求兩目標 a附：三角形的五個“心”；重心：三角形三條中線交點.外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點 內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點 垂心：三角形三邊上的高相交于一

4、點練習題一、選擇題1、在4abc 中，a=10,b=60,c=45 ，則c等于（b ）a. 10.3 b,10 ,3 1c. 3 1 d.10,32、三角形的兩邊分別為5和3,它們夾角的余弦是方程5x2 7x 6 0的根，則三角形的另一邊長為a. 52b. 2而 c. 16d. 43、在 abc中，若（a c）（a c） b（b c）,則 a （ ca 900 b600c1200 d 15004、在 abc中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個解的是（d ）a. b = 10 , a = 45 , b = 70 b , a = 60 , c = 48 , b = 100c. a = 7 , b

5、 = 5 , a = 80 d , a = 14 , b = 16 , a = 45 5、已知 ab汕，a： b ： c=1 ： 3 : 2,則 a： b： c等于（a ）a. 1 ： 2 ： 3b, 2 ： 3 ： 1c. 1 : 3: 2d , 3: 1: 2 6、若 abc的周長等于20,面積是10、,3, a= 60。，則bc邊的長是（ c ）a. 5c. 7d. 8、填空題（每題 5分，共25分）7、在 abc 中，已知 sina:sinb:sinc 6:5:4,則 cosa 8、在 abc, a=60 , b=1,面積為3,則 a b c=sin a sin b sin c9、在

6、abc中，已知 ab=4, ac=7, bc邊的中線ad g ,那么bc=10、在abc中，已知角a、b、c所對的邊分別是a、b、c,邊c7，且c 60,又4abc的 面積為述，則a b 2三.解答題（2小題，共40分）113、在 abc中，sin（c a） 1 , sinb= . （i ）求 sina 的值；（ii）設 ac=/6 ,求 abc的面積. 3知識點鞏固練習（一）一、選擇題1 .在 abc中，若 c 900,a 6, b 30,則 c b等于（）a. 1 b .1 c . 23 d .2032 .若a為 abc的內(nèi)角，則下列函數(shù)中一定取正值的是（）1a. sin a b . co

7、sa c . tan a d .tan a3 .在 abc中，角 a,b均為銳角，且cosa sinb,則 abc的形狀是（）a.直角三角形b .銳角三角形 c .鈍角三角形 d .等腰三角形4 .等腰三角形一腰上的高是73,這條高與底邊的夾角為 60 0,一3則底邊長為（）a. 2 b .c . 3 d.2y325 .在 abc中，若b 2asinb,則a等于（）a. 300或600 b . 450或600 c. 1200或600 d . 300或 15006 .邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是（）a . 900 b . 1200 c , 1350 d , 1500二、填空題1

8、 .在rt abc中，c 900,則sin asin b的最大值是 。2 .在 abc中，若 a2 b2 bc c2,則a 。3 .在 abc中，若 b 2,b 300,c 1350，則a 。4 .在 abc中，若 sin a ： sinb ： sinc 7 ： 8 ： 13,則 c 1.在abc中，若acosa bcosb ccosc,則 abc的形狀是什么？2.a在 abc中，求證：abb cosb a c(pcosa)a3.在銳角 abc中，求證:sin a sin bsin c cosa cosb cosc。知識點鞏固練習（二）一、選擇題1 .在 abc中，a:b:c 1:2:3 ,則

9、 a:b:c等于（）a. 1:2:3 b . 3:2:1 c . 1: 73:2 d . 2:73:12 .在 abc中，若角b為鈍角，則sin b sina的值（）a.大于零 b .小于零 c .等于零 d .不能確定3 .在 abc中，若a 2b ,則a等于（）a. 2bsina b . 2bcosa c . 2bsin b d . 2bcosb4 .在 abc中，若 1g sin a 1g cos b 1g sin c 1g 2 ,則 abc的形狀是（）a.直角三角形 b .等邊三角形 c .不能確定d .等腰三角形5 .在 abc中，若（a b c）（b c a） 3bc,貝u a （

10、）a. 90 b . 6001350 d,15006.在 abc中，若a7,b8, cosca.1 b ,156二、填空題13口 a ,人、一，則最大角的余弦是（14181.若在 abc中,a 600,b 1,sabcv3,則sin a sin b sinc6 .若a,b是銳角三角形的兩內(nèi)角，則 tanatanb 1 （填或）。7 .在 abc中，若 sin a 2cosb cosc,則 tan b tanc 8 .在abc中，若a 9,b 10,c 12,則abc的形斗犬是。9 .在 abc中，若 a v3,b v2,c 、則a。2三、解答題1 .在 abc 中，a 1200,c b,a v

11、21, svabc w,求 b,c。#2 .在銳角 abc中，求證：tan a tan b tanc 1。3.在 abc中，求證:sin a sin b sin cabc 4 cos cos cos。2224.在 abc中，若a1200 ,則求證:5.在 abc中，若a co嫉c 2 accos 一22,則求證：a c 2b211知識點鞏固練習（三）一、選擇題1 . a為 abc的內(nèi)角，則sin a cosa的取值范圍是（）a. (72,2)b. ( 22,22)c. ( 1,/6,c 4(v3 1)。解三角形單元測試題 一、選擇題：1、在 abc中，a=3, b= 77 , c=2,那么 b

12、等于()a. 30 b, 45c. 60d. 1202、在 abc中，a=10, b=60 ,c=45 ，則 c 等于 ()a. 10,3 b. 10 .3 1 c. .3 1 d. 10. 33、在 abc中，a= 23 , b= 2短,b= 45 ,則 a等于()a. 30b , 60 c . 30 或 120d. 30 或 1504、在 abc中，a=12, b=13, c= 60 ,此三角形的解的情況是()a.無解b. 一解c.二解d.不能確定5、在 abc中，已知a2b2 c2 bc,則角 a為（）a.b.c. d.或乙333236、在 abc中，若acosa bcosb,則 abc

13、的形狀是（）a.等腰三角形 b.直角三角形7、已知銳角三角形的邊長分別為1c.等腰直角三角形a,則a的范圍是（d.等腰或直角三角形）8、9、a.8,10b.8,. 10c.,8,10d.,10,8在 abc中，已知a.直角三角形2sin acosbb.等腰三角形sin c ,那么 abc一一定是c.等腰直角三角形）d.正三角形 abc中，已知x,b 2,b60,如果 abc兩組解,則x的取值范圍（）a. x 2b. x 2d. 2 x 3310、在 abc中，周長為7.5cm ,且 sina : sinb : sinc = 4： 5： 6,下列結(jié)論： a : b : c 4 :5 : 6 a:

14、b:c 2:痣：j6 a 2cm,b 2.5cm, c 3cm a:b:c 4:5:6 其中成立的個數(shù)是a. 0個b. 1個(c. 2個d. 3個11、在 abc中,ab1, / a= 30 ,則4 abc面積為12、已知 abc的面積為2,ca. 30b. 30 或 150c.60d.60或 12013、已知 abc的三邊長a 3,b 5,c6,則 abc的面積為a.14b. 2 .14c. , 15d. 2.1514、某市在“舊城改造”中計劃內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，購買這種草皮至少要（a. 450a 元 b. 225a 元15、甲船在島b的正南方已知這種草皮每平方米

15、a元，則)c.150a 元 d. 300a 元a處，ab= 10千米，甲船以每小6千米的速度向北偏東60的方）時4千米的速度向正北航行，同時乙船自 b出發(fā)以每小時 向駛?cè)?，當甲，乙兩船相距最近時，它們所航行的時間是（a.”0分鐘b.竺分鐘c. 21.5分鐘d. 2.15分鐘7716、飛機沿水平方向飛行， 在a處測得正前下方地面目標c得俯角為30 ,向前飛行米，到達b處，此時測得目標c的俯角為75。，這時飛機與地面目標的水平距離為（10000)a. 5000 米b. 5000、. 2米 c. 4000米d. 4000 v萬米17、在 abc中,a.工64sin10 , b32sin50 , /

16、c= 70。，那么 abc的面積為（c.16d),-818、若 abc的周長等于20,面積是10v3, a= 60 ,則bc邊的長是（a. 5b . 6c. 7d. 819、已知銳角三角形的邊長分別為2、3、x,則x的取值范圍是（）a 1 x 5 b .非 x 盤3 c . 0 x j5 d. ji3 x 520、在 abc中，若空空里sinca.有一內(nèi)角為c.有一內(nèi)角為30的直角三角形30。的等腰三角形b .等腰直角三角形d.等邊三角形二、填空題21、在 abc中，若/ a: / b:/c=1:2:3,則 a：b：c 22、在 abc中，a 33,c 2,b 150 ,則 b=23、在 ab

17、c中,a= 60 , b= 45 , a b 12,貝u a=; b=24、已知 abc中，a 181,b209, a 121 ,則此三角形解的情況是 25、已知三角形兩邊長分別為1和j3,第三邊上的中線長為1,則三角形的外接圓半徑為 26、在 abc中，b c:c a : a b 4:5:6,則 abc的最大內(nèi)角的度數(shù)是 三、解答題27、在 abc中，已知ab 10v2, a= 45 ,在bc邊的長分別為20, 20,3 ,5的情況3下，求相應角co28、在4abc中，bc= a,ac= b,a,b 是方程 x22& 2 0的兩個根，且2 cos a b求：（1）角c的度數(shù)；（2）ab的長度

18、。29、在 abc中，證明:cos2a cos2bb230、在 abc中，a b10, cosc 是方程 2x23x 2 0的一個根，求4abc周長的最2小值。解三角形單元測試答案、選擇題1-5. cbcbc 6-10. dbbcc 11-15. bdbda 16-20. accbb二、填空題21、1： 73:222、723、36 12.6,12,6 2424、無解 25三、解答題、126、 12027、解：由正弦定理得 sincabsin a 10bc bcc 60 或 1201c= 1201(1)當 bc= 20 時，sinc=； bc ab a c c 30 23 sinc =;r 20

19、(2)當bc=1; c 不存在28、解：(1) cosc cos a b cos a b29、證明:30、解:(2)由題設:abab2 ac2cos2a2abc22ac ?bc cosc a2b22ab cos120b2ab一 2ab 2310cos2bb2由正弦定理得:cos2a2- a2x2 3x2sin2 a2 a2 asin a- 2 、sin bb22sin2 b1b222 _sin a sin bb2cos2bb2x12, x2又 cosc是方程2x23x0的一個根cosc由余弦定理可得:c2a2b2ab貝u： c2 100 a 105 2 75當a 5時，c最小且53此時b c 105. 32931、解: abc周長的最小值為10 5,3 (1)由 sin a