漸開線與擺線

1、2021/3/10講解：XX1 四四 漸開線與擺線漸開線與擺線 參數(shù)方程中曲線欣賞參數(shù)方程中曲線欣賞 - -漸開線與擺線漸開線與擺線 教學(xué)目標教學(xué)目標: 1.了解圓的漸開線的參數(shù)方程了解圓的漸開線的參數(shù)方程 2.了解擺線的生成過程及它的參數(shù)方程了解擺線的生成過程及它的參數(shù)方程 3.學(xué)習(xí)用向量知識推導(dǎo)運動軌跡曲線的方法和步驟學(xué)習(xí)用向量知識推導(dǎo)運動軌跡曲線的方法和步驟 講解：XX2 2021/3/10 1、漸開線的定義 探究：探究： 把一條沒有彈性的細繩繞在一個圓盤上，在繩的把一條沒有彈性的細繩繞在一個圓盤上，在繩的 外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持

2、繩子與圓相切 而逐漸展開，那么鉛筆會畫出一條曲線。而逐漸展開，那么鉛筆會畫出一條曲線。 這條曲線的形狀怎樣？能否求出它的軌跡方程？這條曲線的形狀怎樣？能否求出它的軌跡方程？ 動點（筆尖）滿足什么幾何條件？動點（筆尖）滿足什么幾何條件？ A B M O 設(shè)開始時繩子外端（筆尖）位于點A， 當(dāng)外端展開到點M時，因為繩子對圓心角 的一段弧AB， 展開后成為切線，所以 切線BM的長就是AB的長， 這是動點（筆尖）滿足的幾何條件。 我們把筆尖畫出的曲線叫做我們把筆尖畫出的曲線叫做圓的漸開線，圓的漸開線， 相應(yīng)的定圓叫做相應(yīng)的定圓叫做漸開線的基圓。漸開線的基圓。 講解：XX3 2021/3/10 A B

3、M O x y 2 2、漸開線的參數(shù)方程、漸開線的參數(shù)方程 以基圓圓心以基圓圓心O為原點，直線為原點，直線OA為為x軸，建立平面軸，建立平面 直角坐標系。直角坐標系。 設(shè)基圓的半徑為設(shè)基圓的半徑為r，繩子外端，繩子外端M的坐標為（的坐標為（x，y）。）。 顯然，點顯然，點M由角由角 唯一確定。唯一確定。 B取 為參數(shù)，則點 的坐標為（rcos ,rsin ）,從而 (cos ,sin ),|.BMxryrBMr 1(cos ,sin)eOB 由于向量是與同方向的單位向量， 2(sin ,cos )eBM 因而向量是與向量同方向的單位向量。 2| (),BMre 所以即 | (cos ,sin)

4、(sin,cos )BMxryrr (cossin) () (sincos ) xr yr 解得 是參數(shù) 。 這就是這就是圓的漸開線的參數(shù)方程圓的漸開線的參數(shù)方程。 講解：XX4 2021/3/10 3 3、漸開線的參數(shù)方程、漸開線的參數(shù)方程 A B M O x y (cossin) () (sincos ) xr yr 是參數(shù) 。 漸開線的應(yīng)用：漸開線的應(yīng)用： 由于漸開線齒行的齒輪磨損少，傳動平穩(wěn)，制造安裝較為方便，由于漸開線齒行的齒輪磨損少，傳動平穩(wěn)，制造安裝較為方便， 因此大多數(shù)齒輪采用這種齒形。因此大多數(shù)齒輪采用這種齒形。 設(shè)計加工這種齒輪，需要借助圓的漸開線方程。設(shè)計加工這種齒輪，需

5、要借助圓的漸開線方程。 在機械工業(yè)中，廣泛地使用齒輪傳遞動力。在機械工業(yè)中，廣泛地使用齒輪傳遞動力。 講解：XX5 2021/3/10 4、擺線的定義 思考：思考：P43P43 如果在自行車的輪子上噴一個白色印記，那么自行車在筆直如果在自行車的輪子上噴一個白色印記，那么自行車在筆直 的道路上行使時，白色印記會畫出什么樣的曲線？的道路上行使時，白色印記會畫出什么樣的曲線？ 同樣地，我們先分析圓在滾動過程中，圓周上的這個動點滿足的幾何條件。同樣地，我們先分析圓在滾動過程中，圓周上的這個動點滿足的幾何條件。 我們把點我們把點M的軌跡叫做的軌跡叫做平擺線平擺線，簡稱，簡稱擺線擺線，又叫，又叫旋輪線。旋

6、輪線。 上述問題抽象成數(shù)學(xué)問題就是：上述問題抽象成數(shù)學(xué)問題就是：當(dāng)一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時，圓周當(dāng)一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時，圓周 上一個定點的軌跡是什么？上一個定點的軌跡是什么？ OA B M OAMAOAr線段的長等于的長，即。 擺線在它與定直線擺線在它與定直線 的兩個相鄰交點之間的兩個相鄰交點之間 的部分叫做的部分叫做一個拱一個拱。 講解：XX6 2021/3/10 x y O DAE B M C 5 5、擺線的參數(shù)方程、擺線的參數(shù)方程 OA B M 根據(jù)點根據(jù)點M滿足的幾何條件，我們?nèi)《ㄖ本€為滿足的幾何條件，我們?nèi)《ㄖ本€為X軸，定點軸，定點M滾動時落在定滾動時落在定

7、直線上的一個位置為原點，建立直角坐標系。直線上的一個位置為原點，建立直角坐標系。 設(shè)圓的半徑為設(shè)圓的半徑為r。 MxAB設(shè)開始時定點在原點，圓滾動了 角后與 軸相切于點 ，圓心在點 。 MABxCD從點分別做， 軸的垂線，垂足分別是 ， 。 ( , ),Mx yM設(shè)點的坐標為取 為參數(shù)，根據(jù)點滿足的幾何條件，有 sin ,xODOADAOAMCrr cos .yDMACABCBrr 所以，擺線的參數(shù)方程為：所以，擺線的參數(shù)方程為： (sin ), () (1 cos ). xr yr 為參數(shù) 講解：XX7 2021/3/10 x y O DAE B M C 6 6、擺線的參數(shù)方程、擺線的參數(shù)方程 OA B M (sin ), () (1 cos ). xr yr 為參數(shù) 擺線的參數(shù)方程為：擺線的參數(shù)方程為： 思考：思考：P44P44 在擺線的參數(shù)方程中，參數(shù)在擺線的參數(shù)方程中，參數(shù) 的取值范圍是什么？的取值范圍是什么？ 一個拱的寬度與高度各是什么一個拱的