全國各地中考數(shù)學(xué)真題分類匯編—第26章矩形、菱形與正方形

1、2011年全國各地中考數(shù)學(xué)真題分類匯編矩形、菱形與正方形1. （2011福建福州，21，12分）已知,矩形中,的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、,垂足為. (1)如圖10-1,連接、.求證四邊形為菱形,并求的長；(2)如圖10-2,動點(diǎn)、分別從、兩點(diǎn)同時出發(fā),沿和各邊勻速運(yùn)動一周.即點(diǎn)自停止,點(diǎn)自停止.在運(yùn)動過程中,已知點(diǎn)的速度為每秒5,點(diǎn)的速度為每秒4,運(yùn)動時間為秒,當(dāng)、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,求的值.若點(diǎn)、的運(yùn)動路程分別為、(單位:,),已知、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求與滿足的數(shù)量關(guān)系式.圖10-1圖10-2備用圖【答案】(1)證明:四邊形是矩形,垂直平分,垂足為 四邊形為平行四

2、邊形又四邊形為菱形設(shè)菱形的邊長,則 在中,由勾股定理得,解得(2)顯然當(dāng)點(diǎn)在上時,點(diǎn)在上,此時、四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形;同理點(diǎn)在上時,點(diǎn)在或上,也不能構(gòu)成平行四邊形.因此只有當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時,才能構(gòu)成平行四邊形以、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,點(diǎn)的速度為每秒5,點(diǎn)的速度為每秒4,運(yùn)動時間為秒,解得以、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,秒.由題意得,以、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,點(diǎn)、在互相平行的對應(yīng)邊上.分三種情況:i)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時,即,得ii)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時, 即,得iii)如圖3,當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時,即,得綜上所述,與滿足的數(shù)量關(guān)系式是圖1圖2圖32

3、. （2011廣東廣州市，18，9分） 如圖4，ac是菱形abcd的對角線，點(diǎn)e、f分別在邊ab、ad上，且ae=af 求證：aceacf圖4abcdef【答案】四邊形abcd為菱形bac=dac又ae=af，ac=acaceacf（sas）3. （2011山東濱州，24，10分）如圖，在abc中，點(diǎn)o是ac邊上（端點(diǎn)除外）的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)o作直線mnbc.設(shè)mn交bca的平分線于點(diǎn)e,交bca的外角平分線于點(diǎn)f，連接ae、af。那么當(dāng)點(diǎn)o運(yùn)動到何下時，四邊形aecf是矩形？并證明你的結(jié)論。（第24題圖）【答案】當(dāng)點(diǎn)o運(yùn)動到ac的中點(diǎn)（或oa=oc）時，四邊形aecf是矩形2分證明：ce平分b

4、ca,1=2，3分又mnbc, 1=3，3=2，eo=co. 5分同理，fo=co6分eo=fo又oa=oc, 四邊形aecf是平行四邊形7分又1=2，4=5，1+5=2+4. 8分又1+5+2+4=1802+4=909分四邊形aecf是矩形10分4. （2011山東濟(jì)寧，22，8分）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖，正方形的邊長為，為邊延長線上的一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的垂直平分線交邊于，交邊的延長線于.當(dāng)時，與的比值是多少？經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過作直線平行于交，分別于，如圖，則可得：，因為，所以.可求出和的值，進(jìn)而可求得與的比值.(1) 請按照小明的思路寫出求解過程.(

5、2) 小東又對此題作了進(jìn)一步探究，得出了的結(jié)論.你認(rèn)為小東的這個結(jié)論正確嗎？如果正確，請給予證明；如果不正確，請說明理由.(第22題)（1）解：過作直線平行于交，分別于點(diǎn)， 則，.，.2分，. 4分（2）證明：作交于點(diǎn)，5分則，.，.，.7分.8分(第22題)5. （2011山東威海，24，11分）如圖，abcd是一張矩形紙片，ad=bc=1,ab=cd=5在矩形abcd的邊ab上取一點(diǎn)m，在cd上取一點(diǎn)n，將紙片沿mn折疊，使mb與dn交于點(diǎn)k，得到mnk（1）若1=70，求mnk的度數(shù)（2）mnk的面積能否小于？若能，求出此時1的度數(shù)；若不能，試說明理由（3）如何折疊能夠使mnk的面積最大

6、？請你利用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，求出最大值（備用圖）【答案】 解：abcd是矩形，amdn，knm=1kmn=1，knm=kmn1=70，knm=kmn=70mnk=40（2）不能過m點(diǎn)作medn，垂足為點(diǎn)e，則me=ad=1,由（1）知knm=kmnmk=nk又mkme,nk1mnk的面積最小值為，不可能小于（3）分兩種情況：情況一：將矩形紙片對折，使點(diǎn)b與點(diǎn)d重合，此時點(diǎn)k也與點(diǎn)d重合設(shè)mk=md=x，則am=5-x，由勾股定理，得,解得，即 （情況一）情況二：將矩形紙片沿對角線ac對折，此時折痕為ac設(shè)mk=ak= ck=x，則dk=5-x，同理可得即mnk的面積最大值為1.3 （情

7、況二）6. （2011山東煙臺，24,10分）已知：如圖，在四邊形abcd中，abc90，cdad，ad2cd22ab2（1）求證：abbc；abcde（2）當(dāng)bead于e時，試證明：beaecd【答案】（1）證明：連接ac，abc90，ab2bc2ac2.cdad，ad2cd2ac2.ad2cd22ab2，ab2bc22ab2，abbc.（2）證明：過c作cfbe于f.bead，四邊形cdef是矩形.cdef.abebae90，abecbf90，baecbf，baecbf.aebf.bebfef aecd.7. (2011 浙江湖州，22，8) 如圖已知e、f分別是abcd的邊bc、ad上的

8、點(diǎn)，且be=df(1) 求證：四邊形aecf是平行四邊形；(2) 若bc10，bac90，且四邊形aecf是菱形，求be的長 【答案】（1）證明：四邊形abcd是平行四邊形，adbc，且ad=bc，afec，be=df，af=ec，四邊形aecf是平行四邊形.（2）四邊形aecf是，aece，12，bac90，3902，4901，34，aebe，beaecebc5.8（2011寧波市，23，8分）如圖，在abcd中，e、f分別為邊abcd的中點(diǎn)，bd是對角線，過a點(diǎn)作agdb交cb的延長線于點(diǎn)g（1）求證：debf；（2）若g90，求證四邊形debf是菱形解：（1）abcd 中，abcd，ab

9、cde、f分別為ab、cd的中點(diǎn)dfdc，beabdfbe，dfbe四邊形debf為平行四邊形debf(2)證明：agbdgdbc90dbc 為直角三角形又f為邊cd的中點(diǎn)bfdcdf又四邊形debf為平行四邊形四邊形debf是菱形9. （2011浙江衢州，22,10分）如圖，中，是邊上的中線，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作與分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，連接求證：;當(dāng)時，求證：四邊形是菱形；在（2）的條件下，若，求的值.（第22題）【答案】.證明：(1)解法1：因為de/ab,ae/bc,所以四邊形abde是平行四邊形，所以ae/bd且ae=bd，又因為ad是邊bc上的中線，所以bd=cd，所以ae平行且等于cd，所以四

10、邊形adce是平行四邊形，所以ad=ec.解法2： 又 (2)解法1：證明是斜邊上的中線 又四邊形是平行四邊形 四邊形是菱形解法2證明： 又四邊形是平行四邊形 四邊形是菱形解法3證明： 四邊形是平行四邊形 又四邊形是菱形解法1解：四邊形是菱形的中位線，則解法2解：四邊形是菱形10. （2011浙江省嘉興，23，12分）以四邊形abcd的邊ab、bc、cd、da為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為e、f、g、h，順次連結(jié)這四個點(diǎn)，得四邊形efgh（1）如圖1，當(dāng)四邊形abcd為正方形時，我們發(fā)現(xiàn)四邊形efgh是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形abcd為矩形時，請判斷：四邊形efgh的形狀（不

11、要求證明）；（2）如圖3，當(dāng)四邊形abcd為一般平行四邊形時，設(shè)adc=（090）， 試用含的代數(shù)式表示hae； 求證：he=hg； 四邊形efgh是什么四邊形？并說明理由 （第23題圖2）（第23題圖3）（第23題圖1）【答案】（1）四邊形efgh是正方形(2) hae=90a在abcd中，abcd，bad=180adc=180a；had和eab都是等腰直角三角形，had=eab=45，hae=360hadeabbad3604545（180a）90aaeb和dgc都是等腰直角三角形，ae=ab，dg=cd，在abcd中，ab=cd，ae=dg，had和gdc都是等腰直角三角形，dha=cdg

12、= 45，hdg=hadadccdg90ahaehad是等腰直角三角形，ha=hd，haehdg，he=hg四邊形efgh是正方形由同理可得：gh=gf，fg=fe，he=hg（已證），gh=gf=fg=fe，四邊形efgh是菱形；haehdg（已證），dhg=ahe，又ahd=ahgdhg=90，ehg=ahgahe90，四邊形efgh是正方形13. （2011福建泉州，21，9分）如圖，將矩形abcd沿對角線ac剪開，再把a(bǔ)cd沿ca方向平移得到a1c1d1(1)證明：a1ad1cc1b；(2)若acb30，試問當(dāng)點(diǎn)c1在線段ac上的什么位置時，四邊形abc1d1是菱形. （直接寫出答案）

13、【答案】矩形abcd bc=ad,bcaddac=acb把a(bǔ)cd沿ca方向平移得到a1c1d1a1=dac,a1d1=ad,aa1=cc1a1=acb，a1d1=cb。cbada1c1d1（第21題）a1ad1cc1b（sas）。6分當(dāng)c1在ac中點(diǎn)時四邊形abc1d1是菱形，9分14. （2011甘肅蘭州，27，12分）已知：如圖所示的一張矩形紙片abcd（adab），將紙片折疊一次，使點(diǎn)a與點(diǎn)c重合，再展開，折痕ef交ad邊于點(diǎn)e，交bc邊于點(diǎn)f，分別連結(jié)af和ce。（1）求證：四邊形afce是菱形；（2）若ae=10cm，abf的面積為24cm2，求abf的周長；（3）在線段ac上是否存

14、在一點(diǎn)p，使得2ae2=acap？若存在，請說明點(diǎn)p的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由。abcdefo【答案】（1）由折疊可知efac，ao=coadbceao=fco，aeo=cfoaoecofeo=fo四邊形afce是菱形。（2）由（1）得af=ae=10設(shè)ab=a，bf=b，得a2+b2=100 ，ab=48 +2得 (a+b)2=196，得a+b=14（另一負(fù)值舍去）abf的周長為24cm（3）存在，過點(diǎn)e作ad的垂線交ac于點(diǎn)p，則點(diǎn)p符合題意。abcdefop證明：aep=aoe=90，eap=oaeaoeaep，得ae2=aoap即2ae2=2aoap又ac=2ao2ae2

15、=acap15. （2011廣東株洲，23，8分）如圖，矩形abcd中，點(diǎn)p是線段ad上一動點(diǎn)，o為bd的中點(diǎn)， po的延長線交bc于q.（1）求證： op=oq；（2）若ad=8厘米，ab=6厘米，p從點(diǎn)a出發(fā)，以1厘米/秒的速度向d運(yùn)動（不與d重合）.設(shè)點(diǎn)p運(yùn)動時間為t秒，請用t表示pd的長；并求t為何值時，四邊形pbqd是菱形【答案】（1）證明：四邊形abcd是矩形，adbc， pdo=qbo，又ob=od，pod=qob， podqob， op=oq。 （2）解法一： pd=8-t 四邊形abcd是矩形，a=90，ad=8cm，ab=6cm，bd=10cm，od=5cm. 當(dāng)四邊形pb

16、qd是菱形時， pqbd，pod=a，又odp=adb，odpadb， ，即， 解得,即運(yùn)動時間為秒時，四邊形pbqd是菱形. 解法二：pd=8-t 當(dāng)四邊形pbqd是菱形時，pb=pd=(8-t)cm， 四邊形abcd是矩形，a=90，在rtabp中，ab=6cm， ， ， 解得,即運(yùn)動時間為秒時，四邊形pbqd是菱形. 16. （2011江蘇蘇州，28,9分）（本題滿分9分）如圖，小慧同學(xué)吧一個正三角形紙片（即oab）放在直線l1上，oa邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點(diǎn)a按順時針方向旋轉(zhuǎn)120，此時點(diǎn)o運(yùn)動到了點(diǎn)o1處，點(diǎn)b運(yùn)動到了點(diǎn)b1處；小慧又將三角形紙片ao1b1繞b1點(diǎn)按

17、順時針方向旋轉(zhuǎn)120，點(diǎn)a運(yùn)動到了點(diǎn)a1處，點(diǎn)o1運(yùn)動到了點(diǎn)o2處（即頂點(diǎn)o經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)o2處）.小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)過程中，頂點(diǎn)o運(yùn)動所形成的圖形是兩段圓弧，即弧oo1和弧o1o2，頂點(diǎn)o所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩端圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形aoo1的面積、ao1b1的面積和扇形b1o1o2的面積之和.小慧進(jìn)行類比研究：如圖，她把邊長為1的正方形紙片oabc放在直線l2上，oa邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)a按順時針方向旋轉(zhuǎn)90，此時點(diǎn)o運(yùn)動到了點(diǎn)o1處（即點(diǎn)b處），點(diǎn)c運(yùn)動到了點(diǎn)c1處，點(diǎn)b運(yùn)動到了點(diǎn)b1處；小慧又將正方形紙片

18、ao1c1b1繞b1點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)90，按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后，她提出了如下問題：問題：若正方形紙片oabc按上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)o經(jīng)過的路程，并求頂點(diǎn)o在此運(yùn)動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形oabc按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)o經(jīng)過的路程；問題：正方形紙片oabc按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)o經(jīng)過的路程是？請你解答上述兩個問題.【答案】解問題：如圖，正方形紙片oabc經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)o運(yùn)動所形成的圖形是三段弧，即弧oo1、弧o1o2以及弧o2o3，頂點(diǎn)o運(yùn)動過程中經(jīng)過的路程為.頂點(diǎn)o在此運(yùn)動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積為=1+.正方形

19、oabc經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)o經(jīng)過的路程為.問題：方形oabc經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)o經(jīng)過的路程為=20+.正方形紙片oabc經(jīng)過了81次旋轉(zhuǎn).17. （2011江蘇泰州，24，10分）如圖，四邊形abcd是矩形，直線l垂直平分線段ac，垂足為o，直線l分別與線段ad、cb的延長線交于點(diǎn)e、f（1）abc與foa相似嗎？為什么？（2）試判定四邊形afce的形狀，并說明理由【答案】(1)相似.由直線l垂直平分線段ac，所以af=fc，fac=acf，又abc=aof=90，abcfoa（2）四邊形afce是菱形。理由：aecf，eao=fco，又aoco，aoe=cof，aoecof，ae=cf，又a

20、ecf，四邊形afce為平行四邊形，又af=fc，所以平行四邊形afce為菱形18. （2011江蘇泰州，28，12分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，邊長為a（a為大于0的常數(shù)）的正方形abcd的對角線ac、bd相交于點(diǎn)p，頂點(diǎn)a在x軸正半軸上運(yùn)動，頂點(diǎn)b在y軸正半軸上運(yùn)動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)o），頂點(diǎn)c、d都在第一象限（1）當(dāng)bao=45時，求點(diǎn)p的坐標(biāo);(2)求證：無論點(diǎn)a在x軸正半軸上、點(diǎn)b在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動，點(diǎn)p都在aob的平分線上；（3）設(shè)點(diǎn)p到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由【答案】解：（1）當(dāng)bao=45時，pao=90，在rtaob中，oaab

21、，在rtapb中，paab。點(diǎn)p的坐標(biāo)為（，）（2）過點(diǎn)p分別作x軸、y軸的垂線垂足分別為m、n，則有pma=pnb=npm=bpa=90，mpa=npb，又papb，pampbn，pm=pn，于是，點(diǎn)p都在aob的平分線上；（3）h。當(dāng)點(diǎn)b與點(diǎn)o重合時，點(diǎn)p到ab的距離為，然后頂點(diǎn)a在x軸正半軸上向左運(yùn)動，頂點(diǎn)b在y軸正半軸上向上運(yùn)動時，點(diǎn)p到ab的距離逐漸增大，當(dāng)bao=45時，pax軸，這時點(diǎn)p到ab的距離最大為，然后又逐漸減小到，x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)o ，點(diǎn)p到x軸的距離的取值范圍是h。19. （2011山東濟(jì)寧，17， 5分）如圖，在平行四邊形abcd中，對角線ac

22、、bd相交于點(diǎn)o，過點(diǎn)o作直線efbd，分別交ad、bc于點(diǎn)e和點(diǎn)f，求證：四邊形bedf是菱形第17題【答案】證明：四邊形abcd是菱形，adbc，ob=od，1分edo=fbo，oed=ofb，2分oedofb，de=bf，3分又debf，四邊形bedf是平行四邊形，4分efbd，四邊形bedf是菱形5分20（2011山東聊城，25，12分）如圖，在矩形abcd中，ab12cm，bc8cm，點(diǎn)e、f、g分別從點(diǎn)a、b、c三點(diǎn)同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向移動，點(diǎn)e、g的速度均為2cm/s，點(diǎn)f的速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)f追上點(diǎn)g（即點(diǎn)f與點(diǎn)g重合）時，三個點(diǎn)隨之停止移動設(shè)移動開始后第t秒時

23、，efg的面積為s（cm2）（1）當(dāng)t1秒時，s的值是多少？（2）寫出s和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍（3）若點(diǎn)f在矩形的邊bc上移動，當(dāng)t為何值時，以點(diǎn)e、b、f為頂點(diǎn)的三角形與以f、c、g為頂點(diǎn)的三角形相似？請說明理由【答案】（1）如圖甲，當(dāng)t1秒時，ae2，eb10，bf4，fc4，cg2，由ss梯形egcgsebfsfcg(102)81044224(2)如圖（甲），當(dāng)0t2時，點(diǎn)e、f、g分別在ab、bc、cd上移動，此時ae2t，eb122t，bf4t，fc84t，s8t232t48（0t2）（3）如圖乙，當(dāng)點(diǎn)f追上點(diǎn)g時，4t2t8，解得t4，當(dāng)2t4時，cf4t8

24、，cg2t，fgcgcf82t，即s8t32(2t4)，(3)如圖（甲），當(dāng)點(diǎn)f在矩形的邊bc上移動時，0t2，在eff和fcg中，bc90，若，即，解得t，又t滿足0t2，所以當(dāng)t時ebfgcf若，即，解得t，又t滿足0t2，所以當(dāng)t時ebfgcf，綜上知，當(dāng)t或時，以點(diǎn)e、b、f為頂點(diǎn)的三角形與以f、c、g為頂點(diǎn)的三角形相似21. （2011山東濰坊，18，8分）已知正方形abcd的邊長為a，兩條對角線ac、bd相交于點(diǎn)o，p是射線ab上任意一點(diǎn)，過p點(diǎn)分別做直線ac、bd的垂線pe、pf，垂足為e、f.（1）如圖1，當(dāng)p點(diǎn)在線段ab上時，求pe+pf的值；（2）如圖2，當(dāng)p點(diǎn)在線段ab的

25、延長線上時，求pepf的值. 【解】（1）四邊形abcd為正方形，acbd.pfbd，pf/ac，同理pe/bd.四邊形pfoe為矩形，故pe=of.又pbf=45，pf=bf.pe+pf=of+fb=ob=.（2）四邊形abcd為正方形，acbd.pfbd，pf/ac，同理pe/bd.四邊形pfoe為矩形，故pe=of.又pbf=45，pf=bf.pepf=ofbf= ob=.22. （2011四川廣安，23，8分）如圖5所示，在菱形abcd中，abc= 60，deac交bc的延長線于點(diǎn)e求證：de=be圖5【答案】證明：abcd是菱形，abc= 60 bc=ac=ad 又deac aced

26、為平行四邊形 ce=ad=bc de=ac de=ce=bc de=be23. (2011江蘇南京，21，7分)如圖，將abcd的邊dc延長到點(diǎn)e，使ce=dc，連接ae，交bc于點(diǎn)f求證：abfecf若afc=2d，連接ac、be求證：四邊形abec是矩形abcdef(第21題)【答案】證明：四邊形abcd是平行四邊形，abcd,ab=cdabf=ecf.ec=dc, ab=ec在abf和ecf中，abf=ecf，afb=efc，ab=ec，abfecf（2）解法一：ab=ec ，abec，四邊形abec是平行四邊形af=ef， bf=cf四邊形abcd是平行四邊形，abc=d，又afc=2

27、d，afc=2abcafc=abf+baf，abf=baffa=fb fa=fe=fb=fc, ae=bc口abec是矩形解法二：ab=ec ，abec，四邊形abec是平行四邊形四邊形abcd是平行四邊形，adbc，d=bce又afc=2d，afc=2bce，afc=fce+fec，fce=fecd=fecae=ad又ce=dc，acde即ace=90口abec是矩形24. （2011江蘇南通，26，10分）（本體滿分10分）已知：如圖1，o為正方形abcd的中心，分別延長oa到點(diǎn)f，od到點(diǎn)e，使of2oa，oe2od，連結(jié)ef，將foe繞點(diǎn)o逆時針旋轉(zhuǎn)角得到（如圖2）.（1） 探究ae與

28、bf的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（2） 當(dāng)30時，求證：aoe為直角三角形.【答案】（1）aebf證明：如圖2，在正方形abcd中， acbdaodaob90即aoeaofbofaofaoebof又oaobod，oe2od，of2oaoeofoaeobfaebf（2）作aoe的中線am，如圖3.則oe2om2od2oaoaom30aom60aom為等邊三角形mamome，又amo即26030aoe306090aoe為直角三角形.25. （2011山東臨沂，22，7分）如圖，abc中，abac，ad、cd分別是abc兩個外角的平分線在直角梯形abcd中，abcd，abc90，2cd，對角線ac與bd

29、相交于點(diǎn)o，線段oa，ob的中點(diǎn)分別為點(diǎn)e，f（1）求證：acad；（2）若b60，求證：四邊形abcd是菱形； 【解】（1）證明：abac，bbca，eacbbca2b，ad平分fac，fadb，adbc，（2分）ddce，cd平分ace，acddce，dacd，（3分）acad；（4分）（2）證明：b60，acb60，facace120，dceb60，（5分）dcab,adbc，四邊形abcd為平行四邊形，（6分）又由（1）知acad，abad，四邊形abcd是菱形（7分）26. （2011山東臨沂，25，11分)如圖1，獎三角板放在正方形abcd上，使三角板的直角頂點(diǎn)e與正方形abcd的

30、頂點(diǎn)a重合，三角板的一邊交cd于點(diǎn)f，另一邊交cb的延長線于點(diǎn)g（1）求證：efeg；（2）如圖2，移動三角板，使頂點(diǎn)e始終在正方形abcd的對角線ac上，其他條件不變（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，情給予證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，將（2）中的“正方形abcd”改為“矩形abcd”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)b，其他條件不變，若aba,bcb，求的值 圖1 圖2 圖3（1）證明：gebbef90，defbef90， defgeb，（ 1分） 又edbe， rtfedrtgeb，（ 2分） efeg（ 3分）(2)成立（ 4分） 證明：如圖，過點(diǎn)e分別作bc、cd的垂線，垂足分別

31、為h、i， 則ehei，hei90，（ 5分） gehhef90，iefhef90， iefgeh，（ 6分） rtfeirtgeh, efeg（7分） (3)解：如圖，過點(diǎn)e分別作bc、cd的垂線，垂足分別為m、n ，則men90，emab，enad,（ 8分） ， , （9分） gemmef90，fenmef90， fengem，rtfenrtgem, （10分）（11分） 27. （2011上海，23，12分）如圖，在梯形abcd中，ad/bc，abdc，過點(diǎn)d作debc，垂足為e，并延長de至f，使efde聯(lián)結(jié)bf、cf、ac（1）求證：四邊形abfc是平行四邊形；（2）如果de2be

32、ce，求證四邊形abfc是矩形【答案】（1）連接bddebc，ef=de，bd=bf，cd=cf在梯形abcd中，ad/bc，ab=dc，四邊形abcd是等腰梯形bd=acac=bf，ab=cf四邊形abfc是平行四邊形（2）de2 =bece，ef=de，ef2 =bece又debc，cef=feb=90ceffebcfe=fbefbe+bfe=90，cfe +bfe=90即bfc=90由（1）知四邊形abfc是平行四邊形，證四邊形abfc是矩形20 28. （2011四川樂山20，10分）如圖，e、f分別是矩形abcd的對角線ac和bd上的點(diǎn)，且ae=df。求證：be=cf【答案】證明：四

33、邊形abcd為矩形 oa=ob=oc=od ab=cd ae=df oe=of 在boe與cof中， boecof(sas) be=cf29. （2011湖南衡陽，26，10分）如圖，在矩形abcd中，ad=4，ab=m(m4)，點(diǎn)p是ab邊上的任意一點(diǎn)（不與a、b重合），連結(jié)pd，過點(diǎn)p作pqpd，交直線bc于點(diǎn)q(1)當(dāng)m=10時，是否存在點(diǎn)p使得點(diǎn)q與點(diǎn)c重合？若存在，求出此時ap的長；若不存在，說明理由；(2)連結(jié)ac，若pqac,求線段bq的長（用含m的代數(shù)式表示）(3)若pqd為等腰三角形，求以p、q、c、d為頂點(diǎn)的四邊形的面積s與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍【解】(1)

34、 假設(shè)當(dāng)m=10時，存在點(diǎn)p使得點(diǎn)q與點(diǎn)c重合（如下圖），pqpddpc=90，apdbpc=90，又adpapd=90，bpc=adp，又b=a=90，pbcdap，或8，存在點(diǎn)p使得點(diǎn)q與點(diǎn)c重合，出此時ap的長2 或8(2) 如下圖，pqac，bpq=bac，bpq=adp，bac=adp，又b=dap=90，abcdap，即，pqac，bpq=bac，b=b，pbqabc，即，(3)由已知 pqpd，所以只有當(dāng)dp=pq時，pqd為等腰三角形（如圖），bpq=adp，又b=a=90，pbqdap，pb=da=4，ap=bq=，以p、q、c、d為頂點(diǎn)的四邊形的面積s與m之間的函數(shù)關(guān)系式為

35、：s四邊形pqcd= s矩形abcdsdapsqbp=16（48）30. （2011貴州貴陽，18，10分）如圖，點(diǎn)e是正方形abcd內(nèi)一點(diǎn)，cde是等邊三角形，連接eb、ea，延長be交邊ad于點(diǎn)f（1）求證：adebce；（5分）（2）求afb的度數(shù)（5分）（第18題圖）【答案】解：（1）四邊形abcd是正方形，adc=bcd=90，ad=bccde是等邊三角形，cde=dce=60，de=ce adc=bcd=90，cde=dce=60，ade=bce=30ad=bc，ade=bce，de=ce，adebce（2）adebce，ae=be，bae=abebae+dae=90，abe+af

36、b=90，bae=abe，dae=afbad=cd=de，dae=deaade=30，dae=75，afb=7531. （2011廣東肇慶，20，7分）如圖，在正方形abcd中，e為對角線ac上一點(diǎn)，連接eb、ed（1）求證：becdec；（2）延長be交ad于點(diǎn)f，若deb 140，求afe的度數(shù) abcdef【答案】解：（1）證明：四邊形abcd 是正方形 cdcb， ac是正方形的對角線 dcabca 又 ce ce becdec (2）deb 140由becdec可得dec bec140270， aef bec70，又ac是正方形的對角線， dab90 dac bac90245， 在a

37、ef中，afe180 70 4565 32. （2011廣東肇慶，22，8分）如圖，矩形abcd的對角線相交于點(diǎn)o，deac，cebd（1）求證：四邊形oced是菱形；（2）若acb30，菱形oced的面積為，求ac的長abcdeo【答案】解：（1）證明：deoc ，ceod，四邊形oced是平行四邊形 四邊形abcd是矩形 aoocbood 四邊形oced是菱形 abcdeo圖8f（2）acb30 dco 90 30 60又od oc， ocd是等邊三角形 過d作dfoc于f，則cfoc，設(shè)cf，則oc 2，ac4在rtdfc中，tan 60 dffc tan 60 由已知菱形oced的面積

38、為得oc df，即 ， 解得 2， ac428 33. （2011湖北襄陽，25，10分)如圖9，點(diǎn)p是正方形abcd邊ab上一點(diǎn)（不與點(diǎn)a，b重合），連接pd并將線段pd繞點(diǎn)p順時針方向旋轉(zhuǎn)90得到線段pe，pe交邊bc于點(diǎn)f，連接be，df.（1）求證：adpepb；（2）求cbe的度數(shù)；（3）當(dāng)?shù)闹档扔诙嗌贂r，pfdbfp？并說明理由. 圖9【答案】（1）證明：四邊形abcd是正方形apbc90，abad，adpapd901分dpe90 apdepb90adpepb.2分（2）過點(diǎn)e作egab交ab的延長線于點(diǎn)g，則egpa903分又adpepb，pdpe，padegpegap，adab

39、pg，apegbg4分cbeebg45.5分（3）方法一：當(dāng)時，pfebfp.6分adpfpb，apbf，adpbpf7分設(shè)adaba，則appb，bfbp8分，9分又dpfpbf90，adpbfp10分方法二：假設(shè)adpbfp，則.6分adpfpb，apbf，adpbpf7分，8分，9分pbap， 當(dāng)時，pfebfp.10分34. （2011湖南永州，25，10分）探究問題：方法感悟：如圖，在正方形abcd中，點(diǎn)e，f分別為dc，bc邊上的點(diǎn)，且滿足eaf=45，連接ef，求證de+bf=ef感悟解題方法，并完成下列填空：將ade繞點(diǎn)a順時針旋轉(zhuǎn)90得到abg，此時ab與ad重合，由旋轉(zhuǎn)可得

40、：ab=ad,bg=de, 1=2，abg=d=90,abg+abf=90+90=180，因此，點(diǎn)g，b，f在同一條直線上eaf=45 2+3=bad-eaf=90-45=451=2， 1+3=45即gaf=_又ag=ae，af=afgaf_=ef，故de+bf=ef （第25題）方法遷移：如圖，將沿斜邊翻折得到adc，點(diǎn)e，f分別為dc，bc邊上的點(diǎn)，且eaf=dab試猜想de，bf，ef之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想（第25題）問題拓展：如圖，在四邊形abcd中，ab=ad，e，f分別為dc,bc上的點(diǎn)，滿足,試猜想當(dāng)b與d滿足什么關(guān)系時，可使得de+bf=ef請直接寫出你的猜想（不必說

41、明理由）（第25題）【答案】eaf、eaf、gfde+bf=ef，理由如下：假設(shè)bad的度數(shù)為，將ade繞點(diǎn)a順時針旋轉(zhuǎn)得到abg，此時ab與ad重合，由旋轉(zhuǎn)可得：ab=ad,bg=de, 1=2，abg=d=90,abg+abf=90+90=180，因此，點(diǎn)g，b，f在同一條直線上eaf= 2+3=bad-eaf=1=2， 1+3=即gaf=eaf又ag=ae，af=afgafeafgf=ef，又gf=bg+bf=de+bf de+bf=ef （第25題）解得圖當(dāng)b與d互補(bǔ)時，可使得de+bf=ef35. （2011江蘇鹽城，27，12分）情境觀察將矩形abcd紙片沿對角線ac剪開，得到ab

42、c和acd，如圖1所示.將acd的頂點(diǎn)a與點(diǎn)a重合，并繞點(diǎn)a按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)d、a(a)、b在同一條直線上，如圖2所示觀察圖2可知：與bc相等的線段是 ，cac= 圖1 圖2問題探究如圖3，abc中，agbc于點(diǎn)g，以a為直角頂點(diǎn)，分別以ab、ac為直角邊，向abc外作等腰rtabe和等腰rtacf，過點(diǎn)e、f作射線ga的垂線，垂足分別為p、q. 試探究ep與fq之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖3拓展延伸如圖4，abc中，agbc于點(diǎn)g，分別以ab、ac為一邊向abc外作矩形abme和矩形acnf，射線ga交ef于點(diǎn)h. 若ab= k ae，ac= k af，試探究he與hf之間的數(shù)量

43、關(guān)系，并說明理由.圖4【答案】情境觀察ad（或ad），90 問題探究結(jié)論：ep=fq. 證明：abe是等腰三角形，ab=ae，bae=90.bag+eap=90.agbc，bag+abg=90，abg=eap.epag，agb=epa=90，rtabgrteap. ag=ep.同理ag=fq. ep=fq. 拓展延伸結(jié)論： he=hf. 理由：過點(diǎn)e作epga，fqga，垂足分別為p、q.四邊形abme是矩形，bae=90，bag+eap=90.agbc，bag+abg=90，abg=eap.agb=epa=90，abgeap， = . 同理acgfaq， = . ab= k ae，ac= k

44、 af， = = k， = . ep=fq. ehp=fhq，rtephrtfqh. he=hf.36. (20011江蘇鎮(zhèn)江,23,7分)已知:如圖,在梯形abcd中abcd,bc=cd,adbd,e為ab中點(diǎn),求證:四邊形bcde是菱形.答案:證明：adbd，adb=90。又e為ab中點(diǎn)，de=ab,be=ab, de=be dbe =edb又abcd, bdc =edbbc=cd, dbc =dbcbcde.ebcd四邊形bcde是平行四邊形bc=cd四邊形bcde是菱形。37. (20011江蘇鎮(zhèn)江,25,6分)已知:如圖1,圖形滿足:ad=ab,md=mb, a=72, m=144.圖形與圖形恰好拼成一個菱形(如圖2).記作ab的長度為a,bm的長度為b. (1)圖中中b=_度,圖中中e=_度.(2)小明有兩種紙片各若干張,其中一種紙片的形狀及大小與圖形相同,這咱紙片稱為“風(fēng)箏一號”另一種紙片的形狀及大小與圖形相同,這種紙片稱為“飛鏢一號”.小明僅有“,風(fēng)箏一號”紙片拼成一個邊長為b的正十邊形,需要這種紙片_張;小明用若干張