2.17微積分基本定理ppt課件

1、一、引例：變速直線運動中位置函數(shù)與一、引例：變速直線運動中位置函數(shù)與 速度函數(shù)之間的聯(lián)系速度函數(shù)之間的聯(lián)系 三、牛頓三、牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式 第27講 微積分基本定理 二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù) 第四章第四章 一、引例一、引例 變速直線運動中位置變速直線運動中位置 S(t) 與速度與速度v(t)的聯(lián)系的聯(lián)系 另一方面另一方面, 2 1 2 1 d)(d)( T T T T ttsttv )()(tvts ,)( 21 TTttss 路路程程： 2 1 d)( T T ttvs )()( 12 TsTs )()( 12 TsTs 一方面，一方面， 猜測猜測:,

2、),()()1(baxxfxF 一一般般地地，若若 b a b a xxFxxfd)(d)( )()(aFbF ? ：考考慮慮, 1 TT )()( 1 TsTs T T ttv 1 d)( (2) )()(d)( d d 1 TvTsttv T T T )(d)( d d xfttf x x a 一一般般地地， ? 二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù) 積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) x a ttfxd)()( ( )d b a f tt ，( )d x a f tt ,bax ,bax 幾何意義幾何意義 圖中陰影部分面積圖中陰影部分面積 1.引入引入上連續(xù)，上連續(xù)，在在設設,)(

3、baxf 2. 定理定理1 那那 么么 ( )( )d x a xf tt 證證 ()axb可導，且可導，且 d ( )( )d d x a xf tt x ，( )f x ,bax 時時，當當),(1bax x a ttfxd)()( hx a ttfhxd)()( x a ttfd)( hx x ttfd)( ）（xhx)( hx x ttfd)( )(xfy xba o y x hx )(x ,)(上上連連續(xù)續(xù)在在設設baxf 那那 么么h xhx)()( hx x ttf h d)( 1 )(f hxx h xhx h )()( lim 0 )(lim 0 f h )(xf ）（xhx

4、)( hx x ttfd)( , 0 h取取).()(afa , 0 h取取).()(bfb )(xfy xba o y x hx )(x ( )f x , xa b ( ) , f xC a b x a ttf x xd)( d d )(需需證證 )( x 故故 時，時，當當ax 2 時，時，當當bx 3 3. 變限積分求導問題變限積分求導問題 （原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理） x a ttf x d)( d d 1 ）（)(xf )( d)( d d 2 x a ttf x ）（)()(xxf )( )( d)( d d 3 x x ttf x ）（)()()()(xxfxxf ） )

5、( )( d)(d)( x a a x ttfttf )( )( d)( x x ttf（因（因 定理定理2 .)(d)(的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)是是）（則則xfttfx x a 上上連連續(xù)續(xù)，在在若若,)(baxf 例例1 解解 求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)： ；）（）（ttx x a d2cos1 2 t t x b x d 1 1 2 3 ）（）（ ）（）（x1 xt t 2 2cos 2 2cos x ）（）（x2 xt t 3 1 1 3 1 1 x ttxx x a dsin3 2 ）（）（ 2 )dsin(3 x x a ttxx ）（）（ x a tt dsin 22 s

6、inxx 例例2 解解 tex x a t d1 22 3 ）（）（ ttx x x d)1ln(2 3 2 2 ）（）（ ）（）（x1xe x 2 4 3 ）（）（x2xxxx2)1ln(3)1ln( 426 )sin( 2 cos xe x 例例3 求求 解解 0 lim x I 0 0 x2e2 1 . d lim 2 1 cos 0 2 x te I x t x 例例4 確定常數(shù)確定常數(shù) a , b , c 的值的值, 使使 ).0( d)1ln( sin lim 2 0 cc tt xxa I x b x 解解,0sin0 xxax時,因因 ,0 c .0 b得得 0 0 )1ln(

7、 cos lim 2 0 x xa I x c x xa x 2 0 cos lim 故故.1 a 又由又由 2 2 1 cos1xx , 得得. 2 1 c （c 0） 三、牛頓三、牛頓 萊布尼茨公式萊布尼茨公式 上連續(xù)，上連續(xù)，在在設設,)(baxf )()(d)(aFbFxxf b a ( 牛頓牛頓 - 萊布尼茨公式萊布尼茨公式) 證證 由定理由定理 2,)(d)(的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是xfxxf x a 故故 CxxfxF x a d)()( ,ax 令令, )(aFC 得得)()(d)(aFxFxxf x a ,bx 再令再令得得 )()(d)(aFbFxxf b a 記作記作

8、 )(xF a b 定理定理3 原函數(shù)原函數(shù) , 那么那么 的的一一個個是是)()(xfxF 例例5 xarctan 1 3 )1arctan(3arctan 3 12 7 ) 4 ( xxI 0 d2cos12 ）（ xx dcos2 0 2 xx dcos2 0 2 0 dcos2 xxdcos 2 xx sinsin2 2 2 0 xx 22 3 1 2 d 1 1 1x x I）（ 例例6 軸軸所所圍圍成成上上與與，在在xxy0sin 求曲線求曲線 的面積的面積 . 解解 xxA 0 dsin xcos 0 1 1 2 y ox xysin 例例7 汽車以每小時汽車以每小時 36 km

9、 的速度行駛的速度行駛 , 速停車速停車, 2 s m 5 a 解解 （1先求剎車后車速及停車時刻先求剎車后車速及停車時刻t1 初速度初速度 0 v)(10 s m )( s m 3600 100036 減速行駛速度減速行駛速度 tavtv 0 )(t510 ,0510)( ttv令令得停車時刻得停車時刻(s)2 1 t 2 0 d)(ttvs 2 0 d)510(tt 2 2 5 10tt (m)10 0 2 )(36 h mk 剎車剎車, , 問剎車距離問剎車距離? 到站需要減到站需要減 以等加速度以等加速度 （2剎車距離剎車距離 內(nèi)容小結內(nèi)容小結 ）（)()(xfxF 1. 微積分基本公

10、式微積分基本公式 xxf b a d)()()(aFbF 牛頓牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式 2. 變限積分求導公式變限積分求導公式 x a ttf x d)( d d 1 ）（)(xf )( d)( d d 2 x a ttf x ）（)()(xxf 思考題思考題 解解 1. 設設 ,*1)(d)(2 2 0 2 ）（ x xftf )(xf可導，且滿足方程可導，且滿足方程 ).(xf求求 （*）對）對x求導：求導： xxf2)(2 2 xxf2)( 2 ，得，得令令 2 xu ，2 )( )( uf uf xu uf uf d2d )( )( ,2)(lnCuuf Cu euf 2 )(,

11、 2 1 u eC .)( 2 1 x eCxf 故故 得：得：），?。∮桑ㄓ桑?* x1)0(0 f1 1 C .)( 2x exf 3 2 3 4 )( 2 xxxf 解解 ,d)(2d)()( 2 0 1 0 2 xxfxxfxxxf求求 ).(xf 定積分為常數(shù)定積分為常數(shù) , ,d)( 1 0 axxf 設設 bxxf 2 0 d)( abxxxf2)( 2 , 那那 么么 1 0 d)(xxfa 3 3 x 2 2 bx ax2 0 1 2 0 d)(xxfb 3 3 x 2 2 bx ax2 0 2 a b 2 23 1 ab42 3 8 , 3 1 a 3 4 b 故應用積

12、分法定此常數(shù)故應用積分法定此常數(shù) . 2. .,d 0 2 xtex xt 求求 解解 ,d 0 2 tex xt 因因為為 由定理由定理1,得得 . 2 x ex 這說明這說明 .d 22 0 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是 xxt etex 備用題備用題 例例1-1 例例5-55-5 解解 2 xya 為為何何值值時時，拋拋物物線線當當 所圍成的圖形面積最小所圍成的圖形面積最小. 與與三三直直線線 ,ax , 1 ax0 y 如右圖，設所圍面積為如右圖，設所圍面積為 ,S 1 2 d a a xxS ;)1( 3 1 32 aa 22 )1()(aaaS . 12 a , 0)( a S令令 xo y a1 a x o