畢業(yè)設(shè)計（論文）基于MATLAB環(huán)境的數(shù)字濾波器設(shè)計

1、0本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 引言 引 言隨著信息時代和數(shù)字世界的到來，數(shù)字信號處理已成為今一門極其重要的學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域。數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的基礎(chǔ)，用來對信號進(jìn)行過濾、檢測與參數(shù)估計等處理，在通信、圖像、語音、雷達(dá)等許多領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用。尤其在圖像處理、數(shù)據(jù)壓縮等方面取得了令人矚目的進(jìn)展和成就2。所以，數(shù)字濾波器的設(shè)計就顯的尤為重要。在與模擬濾波器相比，數(shù)字濾波器是利用離散時間系統(tǒng)的特性對輸入信號波形或頻率進(jìn)行加工處理?；蛘哒f，把輸入信號變成一定的輸出信號，從而達(dá)到改變信號頻譜的目的。它具有精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配以及能實現(xiàn)模擬濾波器無法進(jìn)行的特殊濾波等優(yōu)點。

2、目前數(shù)字濾波器的設(shè)計有很多現(xiàn)成的高級語言設(shè)計程序，但它們都存在設(shè)計效率低，不具有可視圖形，不便于修改等缺點，而matlab的fdatool工具為數(shù)字濾波器的研究和應(yīng)用提供了一個直觀、高效、便捷的利器。它以矩陣運算為基礎(chǔ)，把計算、可視化、仿真設(shè)計融合到一個交互式的工作環(huán)境中。matlab擁有多樣的工具箱，它們?yōu)楦黝I(lǐng)域帶來了直觀方便的應(yīng)用。其中，信號處理、圖像處理等工具箱為數(shù)字濾波研究的蓬勃發(fā)展提供了有力的工具。本文介紹了一種基于matlab環(huán)境下對數(shù)字濾波器進(jìn)行設(shè)計與仿真的方法。 在基于matlab環(huán)境的數(shù)字濾波器的設(shè)計過程中，matlab工具箱提供了幾種模擬濾波器的原型產(chǎn)生函數(shù)；模擬低通濾波器

3、原型向低通、高通、帶通、帶阻的轉(zhuǎn)變函數(shù)；從模擬濾波器向數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換的雙線性變換和沖激響應(yīng)不變法；數(shù)字濾波器直接設(shè)計函數(shù)等。這一套設(shè)計函數(shù)在matlab中對于濾波器的設(shè)計帶來了極大的方便。在使用時，可以隨時對比設(shè)計要求和濾波器特性調(diào)整參數(shù)，直觀簡便，極大的減輕了工作量，有利于濾波器設(shè)計的最優(yōu)化。410本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 1 數(shù)字濾波器及matlab語言概述 1數(shù)字濾波器及matlab語言概述1.1數(shù)字濾波器概述1.1.1 濾波器的發(fā)展過程 凡是有能力進(jìn)行信號處理的裝置都可以稱為濾波器。在所有的電子部件中，使用最多，技術(shù)最復(fù)雜，濾波器的優(yōu)劣直接決定產(chǎn)品的優(yōu)劣，所以，對濾波器的研究和生產(chǎn)歷來為各

4、國所重視。1917年美國和德國科學(xué)家分別發(fā)明了lc濾波器，次年美國第一個多路復(fù)用系統(tǒng)出現(xiàn)。到20世紀(jì)50年代，無源濾波器ei日趨成熟。到60年代中期，形成了數(shù)字濾波器的完整而正規(guī)的理論。具體來說，人們提出了各種濾波器結(jié)構(gòu)，有的以運算誤差最小為特點，有的則以運算速度高見長，而有的則二者兼而有之。70年代以后濾波器的主攻方向為低耗能、高精度、小體積、多工藝、穩(wěn)定可靠并且價廉，這就導(dǎo)致數(shù)字濾波器、rc有源濾波器、開關(guān)電容濾波器和電荷轉(zhuǎn)移濾波器等各種濾波器的飛速發(fā)展。到了80年代，人們開始致力于各種新型濾波器的研究，如對自適應(yīng)濾波器的廣發(fā)研究，所取得的成果在通信、雷達(dá)、語音、圖像等領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用。

5、90年代至今仍致力于把各類濾波器應(yīng)用在產(chǎn)品的開發(fā)和研制上。當(dāng)然，對濾波器本身的研究仍在不斷進(jìn)行。我國廣泛使用濾波器是在50年代以后，經(jīng)過半個世紀(jì)的發(fā)展，我國在研制、生產(chǎn)和應(yīng)用等方面已納入國際發(fā)展步伐，現(xiàn)有濾波器的種類和所覆蓋的頻率也基本上可以滿足各種電信產(chǎn)品。 1.1.2 濾波器的原理 濾波器，其作用是對輸入信號起到濾波的作用。對于圖1-1所示的lsi系統(tǒng)，其時域輸入輸出關(guān)系為： (1-1) x(n) y(n) h(n)圖 1-1 若y(n),x(n)的傅立葉變換存在，則輸入輸出的頻域關(guān)系是： （1-2） 當(dāng)輸入信號x(n)通過濾波器系統(tǒng)h(n)后，其輸出y(n)中不再含有|c的頻率成分，僅使

6、|c的信號成分通過。因此，濾波器的形狀不同，其濾波后的信號結(jié)果也不一樣。 當(dāng)濾波器的輸入、輸出都是離散時間信號，那么該濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)也必然是離散的，這種濾波器稱為數(shù)字濾波器（df）。當(dāng)用硬件實現(xiàn)一個df時，所需元件是延遲器、乘法器和加法器；而利用matlab軟件時，它僅需要線性卷積程序便可實現(xiàn)。而模擬濾波器（af）只能用硬件實現(xiàn)。因此df比af容易實現(xiàn)，且更容易獲得理想的濾波特性。數(shù)字濾波器具有以下優(yōu)點：精度和穩(wěn)定性高；系統(tǒng)函數(shù)容易改變；靈活性高；不存在阻抗匹配 ；便于大規(guī)模集成；可實現(xiàn)多維濾波。 在濾波器中，把信號能夠通過的頻率范圍，稱為通頻帶或通帶；反之，信號受到很大衰減或完

7、全被抑制的頻率范圍稱為阻帶；通帶和阻帶之間的分界頻率稱為截止頻率；理想濾波器在通帶內(nèi)的電壓增益為常數(shù)，在阻帶內(nèi)的電壓增益為零；實際濾波器的通帶和阻帶之間存在一定頻率范圍的過渡帶。1.2 數(shù)字濾波器的定義及分類1.2.1 數(shù)字濾波器的定義 數(shù)字濾波器是指完成信號濾波處理功能的，用有限精度算法實現(xiàn)的離散時間線性非時變系統(tǒng)，信號通過線性系統(tǒng)后，其輸出就是輸入信號和系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。因此，數(shù)字濾波器本身既可以是用數(shù)字硬件裝配成的一臺完成給定運算的專用的數(shù)字計算機，也可以將所需要的運算編程程序，讓通用計算機來執(zhí)行。數(shù)字濾波器，輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定的運算關(guān)系，改變輸入信號中所含頻率成分的相對比

8、例，或則濾除某些頻率成分的器件。1.2.2數(shù)字濾波器的分類 數(shù)字濾波器可以有很多的分類方法，但總體上可以分為兩大類。一類稱為經(jīng)典濾波器，即一般的濾波器，其特點是輸入信號中的有用成分和希望濾除的成分占用不同的頻帶，通過合適的選頻濾波器可以實現(xiàn)濾波。例如，若輸入信號中有干擾，信號和干擾的頻帶互不重疊，則可濾除信號中的干擾得到純信號。但是，如果輸入信號中信號和干擾的頻帶相重疊，則干擾就不能被有效的濾除。另一類稱為現(xiàn)代濾波器，如維納濾波器、卡爾曼濾波器等，其輸入信號中有用信號和希望濾除的成分頻帶重疊。對于經(jīng)典濾波器，從頻域上也可以分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器。從時域特性上看，數(shù)字濾波器還可以分為有

9、限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器（fir）和無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器（iir）。 對于有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器（fir），其輸出y(n)只取決于有限個過去和現(xiàn)在的輸入，x(n),x(n-1),x(n-m),濾波器的輸入輸出關(guān)系可表示為： (1-3) 對于無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器（iir），它的輸出不僅取決于過去和現(xiàn)在的輸入，而且還取決于過去的輸出，其差分方程為： (1-4) 該差分方程的單位沖激響應(yīng)是無限延續(xù)的。1.2.3常用濾波器的性能指標(biāo) 濾波器性能一般用系統(tǒng)頻率特性h(ejw)來說明，常用的性能指標(biāo)主要有以下三個參數(shù)：1. 幅度平方函數(shù) (1-5)該性能指標(biāo)主要用來說明系統(tǒng)的幅頻特性。2. 相位函數(shù) (1

10、-6) 其中： (1-7)該指標(biāo)主要用來說明系統(tǒng)的相位特性。3. 群延時 (1-8) 定義為相位對角頻率導(dǎo)致的負(fù)值，說明了濾波器對不同的頻率成分的平均延時。當(dāng)要求在通帶內(nèi)的群延遲是常數(shù)時，濾波器相位響應(yīng)特性是線性的。 實際設(shè)計中所能得到的濾波器的頻率特性與理想濾波器的頻率特性之間存在著一些顯著的差別，現(xiàn)以低通濾波器的頻率特性為例進(jìn)行說明。1. 理想低通濾波器的特性：設(shè)濾波器輸入信號為x(t),信號中混入噪音u(t),它們有不同的頻率成分。濾波器的單位脈沖響應(yīng)為h(t)。則理想濾波器輸出為： (1-9)即噪音信號被濾除u(t)*h(t)=0.而信號無失真只有延時和線性放大。對上式作傅立葉變換得：

11、 (1-10)假定噪音信號被濾除，即： (1-11) 整理得： (1-12) 圖1-2 理想濾波器頻率特性 圖1-3 理想濾波器單位脈沖響應(yīng)假定信號頻率成分為，噪音頻率成分為。則完成濾波的理想低通濾波器特性是： (1-13)即： (1-14) (1-15)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為： (1-16)理想低通濾波器的頻率特性如圖1-2所示，單位脈沖響應(yīng)的波形如圖1-3所示。理想濾波器具有非因果、無限長的單位脈沖響應(yīng)和不連續(xù)的頻率特性，要用穩(wěn)定的線性時不變（lti）系統(tǒng)來實現(xiàn)這樣的特性是不可能的。工程上是用脈沖響應(yīng)為有限長的、因果的、穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)或具有連續(xù)頻率特性的線性時不變系統(tǒng)來逼近理想特性。在

12、滿足一定的誤差要求的情況下來實現(xiàn)理想濾波特性。因此實際的濾波器的頻率特性如圖1-4所示。 圖1-4 實際濾波器的頻率特性其中：c截止頻率s阻帶起始頻率s-c過渡帶寬在通帶內(nèi)幅度響應(yīng)以的誤差接近于1，即： (1-17)s為阻帶起始頻率，在阻帶內(nèi)幅度響應(yīng)以小于的誤差接近于零，即： (1-18) 為了使逼近理想低通濾波器的方法成為可能，還必須提供一帶寬為s-c的不為零的過渡帶。在這個頻帶內(nèi)，幅度響應(yīng)從通帶平滑的下落到阻帶。1.3 matlab軟件概述 matlab是美國mathworks公司開發(fā)的一種功能極其強大的高技術(shù)計算語言和內(nèi)容極其豐富的軟件庫，集數(shù)值計算、矩陣運算和信號處理與顯示于一身。該軟

13、件最初是由美國教授cleve moler創(chuàng)立的。1980年前后，他在教線性代數(shù)課程時，發(fā)現(xiàn)用其他高級語言編程時極不方便，便構(gòu)思開發(fā)了matlab，即矩陣實驗室（matrix laboratory）。該軟件利用了當(dāng)時代表數(shù)值線性代數(shù)領(lǐng)域最高水平的eispack和linpack兩大軟件包，并且利用fortran語言編寫了最初的一套交互式軟件系統(tǒng)，matlab的最初版本便由此產(chǎn)生了。 最初的matlab由于語言單一，只能進(jìn)行矩陣的運算，繪圖也只能用原始的描點法，內(nèi)部函數(shù)只有幾十個，因此功能十分簡單。1984年該公司推出了第一個matlab的商業(yè)版，并用c語言作出了全部改寫?，F(xiàn)在的matlab程序是m

14、athworks公司用c語言開發(fā)的，第一版由steve bangert主持開發(fā)翻譯解釋程序的，steve kleiman完成圖形功能的設(shè)計，john little和cleve moler主持開發(fā)了各類數(shù)學(xué)分析的子模塊、撰寫用戶指南和大部分的m文件。接著又添加了豐富的圖形圖像處理、多媒體功能、符號運算和與其它流行軟件的接口功能，使matlab的功能越來越強大。 matlab系統(tǒng)主要由以下五個部分組成3： （1）matlab語言體系。 matlab是高層次的矩陣(數(shù)組)語言，具有條件控制、函數(shù)調(diào)用、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、面向?qū)ο蟮瘸绦蛘Z言特性。利用它既可以進(jìn)行小規(guī)模編程，完成算法設(shè)計和算法實驗的基本任務(wù)，也可

15、以進(jìn)行大規(guī)模編程，開發(fā)復(fù)雜的應(yīng)用程序。 （2）matlab工作環(huán)境。 這是對matlab提供給用戶使用的管理功能的總稱。包括管理工作空間中的變量數(shù)據(jù)輸入輸出的方式和方法，以及開發(fā)、調(diào)試、管理m文件的各種工具。 （3）圖形句相系統(tǒng)。 這是matlab圖形系統(tǒng)的基礎(chǔ)，包括完成2d和3d數(shù)據(jù)顯示、圖像處理、動畫生成、圖形顯示等功能的高層matlab命令，也包括用戶對圖形圖像等對象進(jìn)行特性控制的低層matlab命令，以及開發(fā)gui(圖形用戶界面，graphic user interface)應(yīng)用程序的各種工具。 （4）matlab數(shù)學(xué)函數(shù)庫。這是對matlab使用的各種數(shù)學(xué)算法的總稱。包括各種初等函數(shù)

16、的算法，也包括矩陣運算、矩陣分析等高層次數(shù)學(xué)算法。 （5）matlab應(yīng)用程序接口（api）。這是matlab為用戶提供的一個函數(shù)庫，使得用戶能夠在matlab環(huán)境中使用c程序或fortran程序，包括從matlab中調(diào)用于程序，讀取mat文件的功能。 除此之外，matlab系統(tǒng)還具有如下特點： a可以在多種操作系統(tǒng)下運行，如dos、windows95/98/2000/nt、compaq alpha、linuxsun solaris等。 b有超過500種的數(shù)學(xué)、統(tǒng)計、科學(xué)及工程方面的函數(shù)，使用簡單快捷，并且有很強的用戶自定義函數(shù)的能力。 c. 有強大的圖形繪制和可視化功能，可以進(jìn)行視覺數(shù)據(jù)處理

17、和分析，進(jìn)行圖形、圖像的顯示及編輯，能夠繪制二維、三維圖形，使用戶可以制作高質(zhì)量的圖形，從而寫出圖文并茂的文章。 d.有和其他高級語言（如c、c+，fortran,java）編寫的外部程序相接口的能力，也可以把matlab程序轉(zhuǎn)換成上述高級語言的子程序。 e.有從外部文件及外部硬件設(shè)備讀入數(shù)據(jù)的能力。 f.有豐富的網(wǎng)絡(luò)資源，從相關(guān)的web網(wǎng)站可以直接獲得全套的matlab聯(lián)機幫助文件和說明書的電子文檔，還可以獲得各類技術(shù)支持與幫助。 g. matlab的缺點是，與其他高級程序相比，程序執(zhí)行的速度較慢。由于matlab的程序不用編譯等預(yù)處理，也不生成可執(zhí)行文件，程序為解釋執(zhí)行，所以速度較慢。 h

18、功能強大的工具箱是matlab的另一特色。matlab包含兩個部分：核心部分和各種可選的工具箱。核心部分中有數(shù)百個核心內(nèi)部函數(shù)。其工具箱又分為兩類：功能性工具箱和學(xué)科性工具箱。功能性工具箱主要用來擴充matlab的符號計算、圖形可視化、建模仿真、文字處理等功能以及與硬件實時交互的功能。功能性工具箱用于多種學(xué)科。學(xué)科性工具箱是按學(xué)科領(lǐng)域來分類的，如信號處理、控制、通信、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)圖像處理、系統(tǒng)辨識、模糊邏輯等工具箱。 matlab中的信號處理工具箱內(nèi)容豐富，使用簡便。在數(shù)字信號處理中常用的算法，如fft，卷積，相關(guān)，濾波器設(shè)計，參數(shù)模型等，幾乎都只用一條語句即可調(diào)用。數(shù)字信號處理中常用的函數(shù)有波形

19、的產(chǎn)生、濾波器的分析和設(shè)計、傅里葉變換、z變換等。 matlab數(shù)字信號處理工具箱和濾波器設(shè)計工具箱專門應(yīng)用于信號處理領(lǐng)域。工具箱可以使原來繁瑣的程序設(shè)計簡化成函數(shù)的調(diào)用。只要以正確的指標(biāo)參數(shù)調(diào)用相應(yīng)的濾波器設(shè)計程序或工具箱函數(shù)，便可以得到正確的設(shè)計結(jié)果，使用非常方便。接下來將分別要對iir數(shù)字濾波器和fir數(shù)字濾波器的設(shè)計實現(xiàn)進(jìn)行分析討論。在具體的設(shè)計工程中，將充分發(fā)揮matlab軟件在數(shù)值計算、圖像處理中的優(yōu)勢，并充分利用其強大的濾波器設(shè)計工具箱（fdtool）及圖像用戶界面工具輔助設(shè)計分析。 0本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 2 iir濾波器設(shè)計 0本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 2 iir濾波器設(shè)計 2.

20、 iir濾波器設(shè)計2.1 數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述數(shù)字濾波器設(shè)計的一個重要步驟是確定一個可實現(xiàn)的傳遞函數(shù)h（z），這個確定傳遞函數(shù)h（z）的過程稱為數(shù)字濾波器的設(shè)計。數(shù)字濾波器設(shè)計的一般步驟為：1.按照實際需要，確定濾波器的性能要求（通常在頻域內(nèi)給定數(shù)字濾波器的性能要求）。2.尋找一滿足預(yù)定性能要求的離散時間線性系統(tǒng)。3.用有限精度的運算實現(xiàn)所設(shè)計的系統(tǒng)。4.通過模擬，驗證所設(shè)計的系統(tǒng)是否符合給定性能要求。2.2 iir濾波器的設(shè)計 iir數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)h(n)是無限長的，其輸入輸出關(guān)系為： (2-1) 系統(tǒng)函數(shù)為： (2-2) 設(shè)計無限長單位脈沖響應(yīng)（iir）數(shù)字濾波器一般可有三種方法：

21、 第一種方法：先設(shè)計一個合適模擬濾波器，然后將其數(shù)字話，即將s平面映射到z平面得到所需的數(shù)字濾波器。模擬濾波器的設(shè)計技巧非常成熟，不僅得到的是閉合形式的公式，而且設(shè)計系數(shù)已經(jīng)表格化了。因此，由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器的方法準(zhǔn)確，簡便，得到普遍采用。對于這種方法，工程上有兩種常見的變換法脈沖響應(yīng)不變法及雙線性變換法。 第二種方法：在z平面直接設(shè)計iir數(shù)字濾波器，給出閉合形式的公式，或者以所希望的濾波器響應(yīng)作為依據(jù)，直接在z平面上通過多次選定極點和零點的位置，以逼近該響應(yīng)。 第三種方法：利用最優(yōu)化技術(shù)設(shè)計參數(shù)，選定極點和零點在z平面上的合適位置，在某種最優(yōu)化準(zhǔn)則意義上逼近所希望的響應(yīng)。但一般不能

22、得到濾波器的系數(shù)（即零，極點的位置）作為給定響應(yīng)的閉合形式函數(shù)表達(dá)式。優(yōu)化設(shè)計需要完成大量的迭代運算，這種設(shè)計法實際上也是iir濾波器的直接設(shè)計法。 利用模擬濾波器成熟的理論設(shè)計iir數(shù)字濾波器的過程是： （1）確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶邊界頻率p、通帶最大衰減p、阻帶截止頻率s、阻帶最小衰減s。 （2）將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo) （3）按照模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計過渡模擬濾波器。 （4）用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)h(z)設(shè)計流程圖如下： 開始讀入數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)將指標(biāo)轉(zhuǎn)化為歸一化模擬低通濾波器的指標(biāo)設(shè)計歸一化的模擬低通濾

23、波器階數(shù)n和3db截止頻率模擬域頻率變換，將g（p）變換成模擬帶通濾波器h(s)用雙線性變換法將h（s）換成數(shù)字帶通濾波器h（z）輸入信號后顯示相關(guān)結(jié)果h（s）結(jié)束圖2-1 數(shù)字濾波器設(shè)計流程圖利用用模擬濾波器設(shè)計的方法主要有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。而本文也重點介紹這兩種方法。2.2.1 脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計iir數(shù)字濾波器脈沖響應(yīng)不變法就是要求數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)序列與模擬濾波器的脈沖響應(yīng)的采樣值相等，即 (2-3) 式中，t為采樣周期。根據(jù)模擬信號的拉普拉斯與離散序列的z變換之間的關(guān)系，我們知道 (2-4) 此式表明，的拉普拉斯變換在s平面上沿虛軸，按照周期s=2/t延拓后，按式，進(jìn)行

24、z變換，就可以將映射為。事實上，用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計iir濾波器，只適合于有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式階次的情況。將用部分分式表示： (2-5) 式中，lt代表拉普拉斯變換，為單階極點。將進(jìn)行拉普拉斯反變換，即可得到 (2-6) 式中，u(t)是單位階躍函數(shù)。則的離散序列： (2-7) 對進(jìn)行z變換后，可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) (2-8) 對比與,我們就會發(fā)現(xiàn)：s域中的極點是,映射到z平面之后，其極點變成了esit，而系統(tǒng)沒有發(fā)生變化，仍為ai。因此，在設(shè)計iir濾波器時，我們只要找出模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的極點和系數(shù)ai,通過脈沖響應(yīng)不變法，代入的表達(dá)式中，即可求出，實現(xiàn)連續(xù)系

25、統(tǒng)的離散化1。 但是脈沖響應(yīng)不變法只適用于設(shè)計低通和帶通濾波器，而不適用于設(shè)計高通和帶阻濾波器。因為，如果模擬信號的頻帶不是介于/t之間，則會在/t的奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，映射到z平面后，則會在=附近產(chǎn)生頻率混疊的現(xiàn)象。從而使所設(shè)計的數(shù)字濾波器不同程度的偏離模擬濾波器在=附近的頻率特性，嚴(yán)重時使數(shù)字濾波器不滿足給定的技術(shù)指標(biāo)。為此，希望設(shè)計的濾波器是帶限濾波器，如果不是帶限的，例如，高通濾波器、帶阻濾波器，需要在高通濾波器、帶阻濾波器之前加保護(hù)濾波器，濾出高于折疊頻率/t以上的頻帶，以免產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。但這樣會增加系統(tǒng)的成本和復(fù)雜性。因此，高通與帶阻濾波器不適合用這種方法。 在matl

26、ab中，脈沖響應(yīng)不變法的調(diào)用函數(shù)是impinvar,其調(diào)用格式為： a.bz,az=impinvar(b,a,fs) b.bz,az=impinvar(b,a) c.bz,az=impinvar(b,a,fs,tol) 該函數(shù)的功能是將分子向量中為b、分母向量為a的模擬濾波器，轉(zhuǎn)換為分子向量為bz、分母向量為az的數(shù)字濾波器。fs為采樣頻率，單位為hz，默認(rèn)值為1hz。tol指誤差容限，表示轉(zhuǎn)換后的離散系統(tǒng)函數(shù)是否有重復(fù)的極點。 例如，設(shè)計一個濾波器除指定正弦信號中的噪聲，還原正弦信號。該正弦信號為sin(2*pi*100*t),噪聲信號是sin(2*pi*50*t)和sin(2*pi*150

27、*t)。信號采樣頻率為2khz。濾波器的性能指標(biāo)：巴特沃斯iir帶通濾波器；fs=2000hz,wp1=90hz,wp2=110hz,ws1=80hz,ws2=120hz,rp=1,rs=20。 程序如下所示： clear wp1=90; wp2=110; ws1=80; ws2=120; fs=2000; rp=1; rs=20; wp=wp1,wp2*2*pi; ws=ws1,ws2*2*pi; bw=wp2*2*pi-wp1*2*pi; wo=2*pi*sqrt(wp2*wp1); n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s); %估計濾波器階數(shù) z,p,k=buttap(n)

28、; %產(chǎn)生模擬低通濾波器原型 b,a=zp2tf(z,p,k); %轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)換函數(shù)形式 bb,ab=lp2bp(b,a,wo,bw); %轉(zhuǎn)化為帶通濾波器 bbz,abz=impinvar(bb,ab,fs); %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 h,w=freqz(bbz,abz,512); %計算頻率響應(yīng) subplot(2,3,1); %創(chuàng)建子圖 plot(w/pi)*fs/2,20*log10(abs(h); %平面線圖 grid; %畫分格線 xlabel(w/pi); %定義x軸 ylabel(數(shù)字帶通幅度(db); %定義y軸 t1=0:1/2000:0.5; a=0.5*sin(2*pi*5

29、0*t1); b=sin(2*pi*100*t1); c=2*sin(2*pi*150*t1); subplot(2,3,2); plot(t1,a); subplot(2,3,3); plot(t1,b); subplot(2,3,4); plot(t1,c); d=a+b+c; subplot(2,3,5); plot(t1,d); e=filter(bbz,abz,d); %生成濾波器函數(shù) subplot(2,3,6); plot(t1,e);圖2-2 濾波器響應(yīng)曲線圖2.2.2 雙線性變換法設(shè)計iir數(shù)字濾波器 從s平面到z平面是多值的映射關(guān)系會造成頻率響應(yīng)的混疊失真。為了克服這一缺點

30、，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到/t/t之間，再用轉(zhuǎn)換到z平面上。也就是說，第一步先將整個s平面壓縮到s1平面的/t/t一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個z平面上去。這樣就使s平面與z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻率混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如下圖所示。 s平面 s1平面 z平面 圖2-3雙線性變換映射關(guān)系圖為了將s平面的整個虛軸j壓縮到s1平面j1軸上的/t/t段上，可以通過以下正切變換實現(xiàn) (2-9)式中，t仍為采樣間隔。當(dāng)1由/t經(jīng)過0變化到/t時，由經(jīng)過0變化到，也即映射了整個j軸。將式（2-9）寫成 (2-10)將

31、此關(guān)系解析延拓到整個s平面和s1平面，令j=s,j1=s1,則得： (2-11)再將s1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到z平面z=es1t從而得到s平面和z平面的單值映射關(guān)系： (2-12) (2-13) 式子（2-12）與式子（2-13）是s平面與z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換。 式子（2-9）與式子（2-12）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點要求：首先，把z=ej,可得 (2-14)即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓。其次，將s=+j代入（2-13）得 (2-15)因此 (2-16) 由此看出，當(dāng)0時，|z|1；當(dāng)0時，|z|1.也就是說，s平

32、面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)，s平面的右半平面映射到z平面的單位圓外，s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 雙線性變換法的優(yōu)缺點： 雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因為s平面與z平面是單值的一一對應(yīng)的關(guān)系。s平面整個j軸單值地對應(yīng)于z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。關(guān)系式為： (2-17)這個式子表明，s平面上與z平面的成非線性的正切關(guān)系，如下圖所示。由其映射關(guān)系圖可以看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字角頻率之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)進(jìn)一步增加時，增長的越來

33、越慢，最后當(dāng)時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖2-4雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 但是，雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，如式（2-14）及圖（2-3）所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似于某一常數(shù)，不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變。這種頻率的畸

34、變可以通過頻率的預(yù)畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。 在matlab中，雙線性變換法的調(diào)用函數(shù)是bilinear.調(diào)用格式為： a.zd,pd,kd=bilinear(z,p,k,fs) b.zd,pd,kd=bilinear(z,p,k,fs,fp) c.numd,dend=bilinear(num,den,fs) d.numd,dend=bilinear(num,den,fs,fp) e.aa,bb,cc,dd=bilinear(a,b,c,d,fs) f.aa,bb,cc,dd=bilinear(a,b,c,d,fs,fp) zd,

35、pd,kd=bilinear(z,p,k,fs)是把模擬濾波器的零極點模型轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的零極點模型，fs為采樣頻率，z,p,k分別為濾波器的零點、極點和增益； numd,dend=bilinear(num,den,fs)是把模擬濾波器的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的傳遞模型； aa,bb,cc,dd=bilinear(a,b,c,d,fs)是把模擬濾波器的狀態(tài)方程模型轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器狀態(tài)方程模型。 例如，用雙線性變換法設(shè)計一個低通濾波器，給定的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)為fp=100hz,fs=300hz,p=3db, s=20db,抽樣頻率fs=1000hz。 程序如下所示： clear al

36、l; fp=100; fs=300; fs=1000; rp=3; rs=20; wp=2*pi*fp/fs; ws=2*pi*fs/fs; fs=fs/fs; %firstly to finish frequency prewarping; wap=tan(wp/2); was=tan(ws/2); n,wn=buttord(wap,was,rp,rs,s)n = 2wn = 0.4363 %note;s! z,p,k=buttap(n); bp,ap=zp2tf(z,p,k)bp = 0 0 1ap = 1.0000 1.4142 1.0000 bs,as=lp2lp(bp,ap,wap)

37、 %低通模擬的頻率轉(zhuǎn)換bs =0.1056as = 1.0000 0.4595 0.1056 %note;s=(2/ts)(z-1)(z+1);ts=1,that is 2fs=1,fs=0.5; bz,az=bilinear(bs,as,fs/2) %調(diào)用雙線性變換法 bz = 0.0675 0.1349 0.0675az = 1.0000 -1.1430 0.4128 h,w=freqz(bz,az,256,fs*1000); plot(w,abs(h); grid on;圖2-5 濾波器的特性曲線圖0本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 3 fir濾波器設(shè)計 3.fir濾波器設(shè)計由于iir數(shù)字濾波器能夠保留一些模擬濾波器