高考數(shù)學(xué)專題11：函數(shù)

1、專題二 函數(shù)一、函數(shù)的基本概念1、映射的概念：一般的，設(shè)、是兩個(gè)集合，如果按照對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合中任一元素在集合中都有唯一確定的元素與它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)叫集合到的映射。2、函數(shù)的概念：與為非空數(shù)集，按照對(duì)應(yīng)法則，如果中的任一元素在中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，那么到的映射就叫到的函數(shù)。原象集合叫做函數(shù)的定義域 ，象的集合c叫做值域。3、函數(shù)的三要素指定義域、對(duì)應(yīng)法則（解析式）、值域。函數(shù)的表示方法主要有三種，解析法、圖象法 、列表法。4、兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的條件是 它們的定義域與解析式完全相同 。5、若集合、的元素個(gè)數(shù)分別為，則到的映射個(gè)數(shù)為，到的映射個(gè)數(shù)為 mn。到的一一映射個(gè)數(shù)為 m

2、!。6、函數(shù)的解析式：指滿足使解析式有意義 的自變量的取值范圍。同時(shí)，在實(shí)際問(wèn)題和幾何問(wèn)題中還應(yīng)根據(jù)自變量的實(shí)際（幾何意義）來(lái)確定其定義域。函數(shù)的值域指函數(shù)值的 集合。求函數(shù)解析式的常見(jiàn)方法的適用范圍及解題步驟：、根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立一種函數(shù)關(guān)系,引入合適變量,根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)找出函數(shù)關(guān)系式、若在題目中給出函數(shù)特征求函數(shù)解析式,一般用待定系數(shù)法.函數(shù)為二次函數(shù)可設(shè)為,函數(shù)為一次函數(shù)可設(shè)為,根據(jù)題目條件確定待定系數(shù).、換元法求解析式,求的問(wèn)題,往往設(shè),從中解出,代入進(jìn)行換元求解、解方程組法,這是一類已知滿足某個(gè)等式,求的題型.7、函數(shù)的定義域一般要考慮以下幾種情況：、 分母不能為0、 偶次方根的開(kāi)方

3、數(shù)不能小于0、 對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0、 指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1.、 三角函數(shù)中的正切函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義域（1）、已知的定義域，求的定義域：由的定義域，有，解不等式即得到的定義域（2）、已知的定義域，求的定義域：的定義域即為在定義域上的值域。8、函數(shù)的值域的常見(jiàn)求法、適用類型、解題方法（1）觀察法：適用于解析式中自變量x只出現(xiàn)了一次的函數(shù)，如（2）圖象法：適用于基本的初等函數(shù)及能利用圖象變換得出其圖象的函數(shù)，如（3）換元法：適用于有代數(shù)換元法和三角換元法 如（4）均值不等式法：適用于能利用均值不等式的函數(shù)。如（5）導(dǎo)數(shù)法：適用于易于求出其導(dǎo)函數(shù)再研究其單調(diào)性從而畫出簡(jiǎn)圖求得最值的函數(shù)

4、。如（6）判別式法適用于（7）單調(diào)性法：適用于能判斷單調(diào)性的函數(shù)（8）函數(shù)的有界性：適用于 能根據(jù)sinx、cosx等的有界性研究最值的函數(shù)，如（9）數(shù)形結(jié)合法（幾何法）：適用于能利用函數(shù)解析式的幾何意義的函數(shù)，如二函數(shù)的單調(diào)性：定義：對(duì)定義域的某個(gè)子集內(nèi)的任意兩個(gè)數(shù),，若都有且，則稱函數(shù)在此子集內(nèi)是單調(diào)遞增的；若，則稱函數(shù)在此子集內(nèi)是單調(diào)遞減的。判定函數(shù)單調(diào)性的常用方法：（1）定義法： 利用單調(diào)性的定義判斷（2）兩個(gè)增（減）函數(shù)的和為增（減）；一個(gè)增與一個(gè)減的差為增。（3）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性 相同 ；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反 。（4）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)

5、性相 同（5）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則： 同增異減（6）求導(dǎo)：先求導(dǎo)函數(shù)，再研究單調(diào)區(qū)間從而得解（7）耐克函數(shù)的單調(diào)性：的單調(diào)區(qū)間：與遞增，上遞減（8）分段函數(shù)在定義域的各區(qū)間的并集上嚴(yán)格單調(diào)的條件： 左段的最小值不小于右段的最大值（遞減）或左段的最大值不大于右段的最小值（遞增）。三、函數(shù)的奇偶性：1定義：兩個(gè)條件（1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 （2）= 變式（1）=0（2）2定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。奇函數(shù)的定義域內(nèi)若含0，則 。3奇、偶函數(shù)的圖象分別關(guān)于原點(diǎn)、軸對(duì)稱。4奇偶性相同的兩函數(shù)相乘（除）結(jié)果為偶（奇/偶）；奇偶性相異的兩函數(shù)相乘（除）結(jié)果為奇（奇/偶）；5奇偶性與單調(diào)性

6、的關(guān)系：奇（偶）函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相同（反）6非=0(=0)的偶函數(shù) 無(wú)有/無(wú)）反函數(shù)；若奇函數(shù)有反函數(shù)，則其反函數(shù)是奇（奇/偶）函數(shù)。7若奇函數(shù)=關(guān)于點(diǎn)（,0）（0）對(duì)稱，則=為周期函數(shù)，= 2|。若奇函數(shù)=關(guān)于直線=（0）對(duì)稱，則=為周期函數(shù)，= 4| 。若偶函數(shù)=關(guān)于點(diǎn)（,0）（0）對(duì)稱，則=為周期函數(shù)，= 4|若偶函數(shù)=關(guān)于直線=（0）對(duì)稱，則=為周期函數(shù)，= 2|。四、反函數(shù)1、定義：由=反求出=()，再交換、，并求出原函數(shù)中y的范圍即為反函數(shù)定義域。2、反函數(shù)與原函數(shù)的定義域與值域互換，圖象關(guān)于=對(duì)稱。3、只有從定義域到值域上的一一映射確定的函數(shù)才有反函數(shù)。嚴(yán)格單調(diào)函

7、數(shù)必有反函數(shù) ；奇函數(shù)的反函數(shù)也必是奇函數(shù)。4、求函數(shù)的反函數(shù)的一般步驟：（1）由y=f(x)的解析式求出=()（2）將,對(duì)換，得出反函數(shù)的一般表達(dá)式；（3）確定反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。5、若點(diǎn)（,）在原函數(shù)圖象上，則（,）必在其反函數(shù)上，即7、周期函數(shù)不存在反函數(shù)。五周期性1、定義式：(+)=2、若(+)=(-)，則的周期為2 3、若 = (+)，則的周期為24、若(x)= 則的周期為25、若的圖象關(guān)于點(diǎn)（,0），（,0）對(duì)稱，則的周期為2|-|6、若的圖象關(guān)于點(diǎn)（,0）及直線=對(duì)稱，則的周期為4|-|7、若的圖象關(guān)于直線=及=對(duì)稱，則的周期為2|-|8、若奇函數(shù)=關(guān)于點(diǎn)（,0）（0）

8、對(duì)稱，則=為周期函數(shù)，= 2|9、若奇函數(shù)=關(guān)于直線=（0）對(duì)稱，則=為周期函數(shù)，= 4|10、若偶函數(shù)=關(guān)于點(diǎn)（,0）（0）對(duì)稱，則=為周期函數(shù)= 4|11、若偶函數(shù)=關(guān)于直線（0）對(duì)稱，則=為周期函數(shù)，=2|12、下列函數(shù)是否為周期函數(shù)，若是，求出最小正周期，若不是，分析原因。（1）=| 不是（2）=|sin|（0）是（3）=sin|（0）不是（4）=|sin|+|cos| 是，六、函數(shù)圖象1、描點(diǎn)法作圖三個(gè)步驟：列表 、描點(diǎn) 、連線2、三種圖象變換：（1）平移變換：點(diǎn)（2）對(duì)稱變換=與=關(guān)于軸對(duì)稱；=與= 關(guān)于軸對(duì)稱；=與= 關(guān)于 原點(diǎn)對(duì)稱；=與關(guān)于=對(duì)稱；= (|)可由= ：先做=在軸右邊的圖象，再把它對(duì)稱到左邊（右邊保留）得來(lái)；=可由=| ：先做=的圖象，再將其軸下方部分翻折到上方（下方不要）得來(lái)；（3）伸縮變換=a (0)的圖象可由=橫坐標(biāo)標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得來(lái)；=()(0)的圖象可由= 橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得來(lái)；七、抽象函數(shù)解題基本思想：賦值法1.特征式：指能反映抽象函數(shù)基本性質(zhì)的代數(shù)式，例如()=+()2.求特殊點(diǎn)的函