第3章 平面彎曲

1、 本章主要討論的四個(gè)問題：本章主要討論的四個(gè)問題： (1) 平面彎曲變形的概念平面彎曲變形的概念； (2) 平面彎曲的內(nèi)力；平面彎曲的內(nèi)力； (3)平面彎曲的強(qiáng)度條件；平面彎曲的強(qiáng)度條件； (4)平面彎曲的剛度條件。平面彎曲的剛度條件。 3.1 平面彎曲的實(shí)例和概念平面彎曲的實(shí)例和概念 圖 4 - 1 橋 式 起 重 機(jī) 受 力 模 型 一、彎曲變形實(shí)例：一、彎曲變形實(shí)例： P q AB 3.1 平面彎曲的實(shí)例和概念平面彎曲的實(shí)例和概念 一、彎曲變形實(shí)例：一、彎曲變形實(shí)例： 3.1 平面彎曲的實(shí)例和概念平面彎曲的實(shí)例和概念 二、桿件變形的幾種形式：二、桿件變形的幾種形式： 1、拉壓變形；、拉壓

2、變形； 2、彎曲變形；、彎曲變形； 3、剪切變形；、剪切變形； 4、扭轉(zhuǎn)變形；、扭轉(zhuǎn)變形； 三、彎曲的概念三、彎曲的概念 1、一直桿在通過桿的軸線的一個(gè)縱向平面內(nèi)，如果受到垂直于軸線的、一直桿在通過桿的軸線的一個(gè)縱向平面內(nèi)，如果受到垂直于軸線的 外力外力(即橫向力即橫向力) 或力偶作用，桿的軸線就變成一條曲線，這種變形稱為或力偶作用，桿的軸線就變成一條曲線，這種變形稱為 彎曲變形彎曲變形。 2、縱向?qū)ΨQ面：由橫截面對稱軸和梁的軸線組成的平面，稱為、縱向?qū)ΨQ面：由橫截面對稱軸和梁的軸線組成的平面，稱為縱向?qū)v向?qū)?稱面。稱面。 3、梁在變形時(shí)，它的軸線將彎曲成在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條曲線，這種、梁在

3、變形時(shí)，它的軸線將彎曲成在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條曲線，這種 情況稱為情況稱為平面彎曲。平面彎曲。 3.1 平面彎曲的實(shí)例和概念平面彎曲的實(shí)例和概念 四、梁的三種基本類型：四、梁的三種基本類型： 簡支梁簡支梁 外伸梁外伸梁 懸臂梁懸臂梁 3.1 平面彎曲的實(shí)例和概念平面彎曲的實(shí)例和概念 五、作用在梁上的載荷的基本類型：五、作用在梁上的載荷的基本類型： 集中載荷集中載荷 F 分布載荷分布載荷 q 集中力偶集中力偶 M0 3.2 直梁彎曲的內(nèi)力分析直梁彎曲的內(nèi)力分析 一、梁彎曲時(shí)橫截面上的內(nèi)一、梁彎曲時(shí)橫截面上的內(nèi) 力力剪力和彎矩剪力和彎矩 x1 RA Q1 M1 RA F Q2 M2 x2 A AB

4、BB B F Fa a M M = = R R l l- - F Fa a = = 0 0 R R = = l l y yA AB BA A F Fb b F F = = R R - - F F + + R R = = 0 0 R R = = l l yA11yA11 FbFb F = R - Q = 0 Q =F = R - Q = 0 Q = l l C C1 11 1A A1 11 11 1 F Fb b M M= = M M - - R R x x = = 0 0 M M = =x x l l y yA A2 22 2 F Fa a F F = = R R + + Q Q - - F

5、F = = 0 0 Q Q = = l l 2 22 F ()lx C C2 22 2A A2 2 M M= = M M + + ( (x x - - a a) )- - R R x x = = 0 0 F Fa a M M = = l l F 12 21 x1 x2 l ab A C B (1)整體受力分析整體受力分析 (2)用截面法分析橫截面內(nèi)力用截面法分析橫截面內(nèi)力 a 3.2 直梁彎曲的內(nèi)力分析直梁彎曲的內(nèi)力分析 剪力和彎矩符號的規(guī)定剪力和彎矩符號的規(guī)定 剪力符號規(guī)則：凡使一微剪力符號規(guī)則：凡使一微 段梁發(fā)生左側(cè)截面向上，段梁發(fā)生左側(cè)截面向上， 右側(cè)截面向下作相對錯(cuò)動(dòng)右側(cè)截面向下作相對

6、錯(cuò)動(dòng) 的剪力為正，反之為負(fù)。的剪力為正，反之為負(fù)。 (順時(shí)針為正順時(shí)針為正) 彎矩符號規(guī)則：彎矩彎矩符號規(guī)則：彎矩M 使使 梁彎曲時(shí)，梁彎曲時(shí)，凹凹面向上的彎面向上的彎 矩矩M 為為正正值，值，凸凸面向上的面向上的 彎矩為彎矩為負(fù)負(fù)值值。 3.2 直梁彎曲的內(nèi)力分析直梁彎曲的內(nèi)力分析 桿件內(nèi)力分析的一般方法：桿件內(nèi)力分析的一般方法： (1)取整個(gè)桿件作為分離體，先畫出主動(dòng)力，再在解除約束的取整個(gè)桿件作為分離體，先畫出主動(dòng)力，再在解除約束的 地方根據(jù)約束的性質(zhì)畫出約束反力；畫出受力圖后，利用力地方根據(jù)約束的性質(zhì)畫出約束反力；畫出受力圖后，利用力 學(xué)原理求出未知力大小和方向。學(xué)原理求出未知力大小和

7、方向。 (2)用截面法把桿件分開，取桿件的一端用截面法把桿件分開，取桿件的一端(左端或右端左端或右端)作為分離作為分離 體，先畫出外力；體，先畫出外力；將截面處看成是固定端約束將截面處看成是固定端約束，畫出截面處，畫出截面處 應(yīng)該有的約束反力應(yīng)該有的約束反力(即內(nèi)力即內(nèi)力)，并利用力學(xué)原理求出內(nèi)力大小和，并利用力學(xué)原理求出內(nèi)力大小和 方向，列出內(nèi)力方程。方向，列出內(nèi)力方程。(若內(nèi)力的方向無法判斷，可以假設(shè)內(nèi)若內(nèi)力的方向無法判斷，可以假設(shè)內(nèi) 力的方向，但要根據(jù)力的方向，但要根據(jù)假設(shè)的方向假設(shè)的方向和相關(guān)的規(guī)定在內(nèi)力方程中和相關(guān)的規(guī)定在內(nèi)力方程中 添加正、負(fù)號添加正、負(fù)號) (3)求出內(nèi)力方程之后

8、，根據(jù)內(nèi)力方程畫出內(nèi)力分布圖。求出內(nèi)力方程之后，根據(jù)內(nèi)力方程畫出內(nèi)力分布圖。 3.2 直梁彎曲的內(nèi)力分析直梁彎曲的內(nèi)力分析 11 Fb Q = (0 x a) l 二、剪力和彎矩方程二、剪力和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 F 12 21 x1 x2 l ab A C B AC段梁的剪力方程為段梁的剪力方程為 22 Fa Q = - (a x l) l CB段梁的剪力方程為段梁的剪力方程為 畫出剪力圖畫出剪力圖 x Q Fb l Fa l max Fa Q= l 3.2 直梁彎曲的內(nèi)力分析直梁彎曲的內(nèi)力分析 二、剪力和彎矩方程二、剪力和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 F 12

9、21 x1 x2 l ab A C B AC段梁的彎矩方程為段梁的彎矩方程為 CB段梁的彎矩方程為段梁的彎矩方程為 畫出彎矩圖畫出彎矩圖 x M Fab l max Fab M= l 111 Fb M =x (0 xa) l 222 Fa M =(l - x ) (axl) l 3.2 直梁彎曲的內(nèi)力分析直梁彎曲的內(nèi)力分析 AB ql R = R = 2 例例3-1 在簡略計(jì)算管道強(qiáng)度時(shí)，可把管道簡化為如圖所示受均布載荷作用的簡支梁。在簡略計(jì)算管道強(qiáng)度時(shí)，可把管道簡化為如圖所示受均布載荷作用的簡支梁。 已知物料和管道的重為已知物料和管道的重為qN/ m，管道跨度為，管道跨度為lm，試作管道的剪

10、力圖和彎矩圖。，試作管道的剪力圖和彎矩圖。 q AB RA RB RA M x (1) 先求出支座反力先求出支座反力 (2) 列出剪力方程和彎矩方程列出剪力方程和彎矩方程 1 Q =ql -qx (0 x l) 2 2 11 M =qlx -qx (0 xl) 22 Q 3.2 直梁彎曲的內(nèi)力分析直梁彎曲的內(nèi)力分析 AB ql R = R = 2 例例3-1 在簡略計(jì)算管道強(qiáng)度時(shí)，可把管道簡化為如圖所示受均布載荷作用的簡支梁。在簡略計(jì)算管道強(qiáng)度時(shí)，可把管道簡化為如圖所示受均布載荷作用的簡支梁。 已知物料和管道的重為已知物料和管道的重為qN/ m，管道跨度為，管道跨度為lm，試作管道的剪力圖和彎

11、矩圖。，試作管道的剪力圖和彎矩圖。 q AB RA RB (1) 先求出支座反力先求出支座反力 (2) 列出剪力方程和彎矩方程列出剪力方程和彎矩方程 1 Q =ql -qx (0 x l) 2 2 11 M =qlx -qx (0 xl) 22 (3) 作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖 x x Q M 1 ql 2 1 ql 2 2 1 ql 8 2 max ql M= 8 max 1 Q=ql 2 3.2 直梁彎曲的內(nèi)力分析直梁彎曲的內(nèi)力分析 AB ql R = R = 2 例例3-1 在簡略計(jì)算管道強(qiáng)度時(shí)，可把管道簡化為如圖所示受均布載荷作用的簡支梁。在簡略計(jì)算管道強(qiáng)度時(shí)，可把管道簡化為如

12、圖所示受均布載荷作用的簡支梁。 已知物料和管道的重為已知物料和管道的重為qN/ m，管道跨度為，管道跨度為lm，試作管道的剪力圖和彎矩圖。，試作管道的剪力圖和彎矩圖。 (1) 先求出支座反力先求出支座反力 (2) 列出剪力方程和彎矩方程列出剪力方程和彎矩方程 1 Q =ql -qx (0 x l) 2 2 11 M =qlx -qx (0 xl) 22 (3) 作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖 2 max ql M= 8 max 1 Q=ql 2 由彎矩方程可知彎矩圖是一拋物由彎矩方程可知彎矩圖是一拋物 線，故要定出幾點(diǎn)線，故要定出幾點(diǎn)(如如5個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)) 的的M 值，才能近似地作出彎矩圖。值，

13、才能近似地作出彎矩圖。 3.2 直梁彎曲的內(nèi)力分析直梁彎曲的內(nèi)力分析 例例3-2 臥式容器可簡化為圖所示的受均布載荷臥式容器可簡化為圖所示的受均布載荷q作用的外伸梁。已知此臥式容器的作用的外伸梁。已知此臥式容器的 總長度為總長度為L，求支座應(yīng)放在什么位置，使容器受力情況最好。，求支座應(yīng)放在什么位置，使容器受力情況最好。 AB RA RB C D 1 1 2 1 L la x1 2 x2 a q 3.2 直梁彎曲的內(nèi)力分析直梁彎曲的內(nèi)力分析 (1) 先求出支座反力先求出支座反力RA 、RB (2) 列出剪力方程和彎矩方程列出剪力方程和彎矩方程 CA段：段： AB段：段： AB qq R =(l

14、+ 2a) R =(l + 2a) 22 111 Q = -qx (0 xa) 2 11 1 M = -qx (0 xa) 2 222 q Q = -qx +(l + 2a) (axa+l) 2 22 2 2 q1 M =(l + 2a)(x -a)-qx (axa+ l) 22 (3) 作剪力圖、彎矩圖作剪力圖、彎矩圖 3.2 直梁彎曲的內(nèi)力分析直梁彎曲的內(nèi)力分析 1 max Q=ql 2 22 max q(l -4a ) M= 8 欲使容器受力情況最佳，就應(yīng)適當(dāng)選擇外伸段的長度欲使容器受力情況最佳，就應(yīng)適當(dāng)選擇外伸段的長度a， 使使A、B截面與跨度中點(diǎn)截面與跨度中點(diǎn)G 截面彎矩的絕對值相等

15、，即截面彎矩的絕對值相等，即 1 22 2 q(l -4a ) qa 28 a = 0.207L 故設(shè)計(jì)時(shí)通常選取外伸梁長度故設(shè)計(jì)時(shí)通常選取外伸梁長度a= 0.2L, 即臥式容器的支座即臥式容器的支座, 應(yīng)布置在應(yīng)布置在a = 0.2L 處。處。 q AB 3.2 直梁彎曲的內(nèi)力分析直梁彎曲的內(nèi)力分析 例例3-3懸臂梁的剪力和彎矩問題懸臂梁的剪力和彎矩問題 M RA(1)求約束反力求約束反力 A R = ql 2 1 M =ql 2 (2)列出剪力方程和彎矩方程列出剪力方程和彎矩方程 Qx RA MMx x Q = q(l - x) (0 xl) 2 x 1 M = -q(l - x) (0

16、x 5 時(shí)時(shí), 梁在橫截面上正應(yīng)力分布與純梁在橫截面上正應(yīng)力分布與純 彎曲時(shí)很接近彎曲時(shí)很接近, 也就是說也就是說, 剪力的影響很小剪力的影響很小, 所以純彎曲正應(yīng)力公式對剪所以純彎曲正應(yīng)力公式對剪 切彎曲仍可適用。切彎曲仍可適用。 3.3 平面彎曲的應(yīng)力計(jì)算平面彎曲的應(yīng)力計(jì)算 四、常用橫截面的慣性矩和抗彎截面模量計(jì)算四、常用橫截面的慣性矩和抗彎截面模量計(jì)算 1、矩形截面、矩形截面 h h 2222 2 2 h h A A- - 2 2 h h h h 2 2 2323 z z 2 2 h h - -2 2 2 2 3 3 h h - - =y dA =ybdy=y dA =ybdy 1 1

17、= by dy = by dy I I b b = by= by= h h 3 31212 3 3 z z 2 2 axax z z m m I Ibhhbhh = 122122y y bhbh W W 6 6 3.3 平面彎曲的應(yīng)力計(jì)算平面彎曲的應(yīng)力計(jì)算 四、常用橫截面的慣性矩和抗彎截面模量計(jì)算四、常用橫截面的慣性矩和抗彎截面模量計(jì)算 2、圓形截面、圓形截面 4 4 z z 3 3 3 3 z z D D I =I = 6464 D D W =0.1DW =0.1D 3232 3、圓環(huán)形截面、圓環(huán)形截面 44 32D 4444 z z z z I =(D - d )I =(D - d ) 6

18、464 W =(D - d )W =(D - d ) 薄壁圓環(huán)形截面薄壁圓環(huán)形截面 3 3 z z 2 2 z z I = 0.393d sI = 0.393d s W = 0.785d sW = 0.785d s 3.3 平面彎曲的應(yīng)力計(jì)算平面彎曲的應(yīng)力計(jì)算 五、彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件五、彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件 maxmax z z M M = = W W max 按梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件按梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件, 也可以對梁進(jìn)行三個(gè)方面的強(qiáng)度計(jì)算：也可以對梁進(jìn)行三個(gè)方面的強(qiáng)度計(jì)算： A A 設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)截面 B B 強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核 C C 計(jì)算許可載荷計(jì)算許可載荷 maxmax z z M M W

19、W maxmax z z M M W W m ma ax xz z M MW W 3.3 平面彎曲的應(yīng)力計(jì)算平面彎曲的應(yīng)力計(jì)算 例例3-4 大型填料塔內(nèi)大型填料塔內(nèi), 支承填料用的支梁可簡化為受均布載荷作用的簡支支承填料用的支梁可簡化為受均布載荷作用的簡支 梁梁, 此梁由工字鋼制成此梁由工字鋼制成, 材料為材料為Q235 A F , 它的跨長為它的跨長為2 .83m,均布載荷的均布載荷的 集度為集度為q = 23 kN/ m, 許用彎曲應(yīng)力許用彎曲應(yīng)力 =140MPa。試確定工字鋼的截面。試確定工字鋼的截面 型號。如果此梁改為矩形截面鋼梁型號。如果此梁改為矩形截面鋼梁, 其材料是否增加。其材料

20、是否增加。 2 2 max 123 2.83 23 88 MqlkN m 33 max 165 10 z M Wmm 查型鋼表：應(yīng)選用查型鋼表：應(yīng)選用18號工字鋼。號工字鋼。 3322 185 10,30.76 10 z WmmAmm 如果改用矩形截面鋼梁如果改用矩形截面鋼梁, 設(shè)設(shè)h = 2 b, 則則 2 332 1 11 7888 165 10,7888,2.56 63076 z Abh WmmAbhmm A 若改用矩形截面梁若改用矩形截面梁, 所需材料增加所需材料增加156%。 3.3 平面彎曲的應(yīng)力計(jì)算平面彎曲的應(yīng)力計(jì)算 例例3-5 支承管道的管架支承管道的管架AB 由兩根由兩根10

21、 號槽鋼組合而成號槽鋼組合而成, 長度長度l = 800mm, 其其A 端是固定端。已知端是固定端。已知B 端管道重端管道重Q = 13kN, 設(shè)槽鋼許用應(yīng)力設(shè)槽鋼許用應(yīng)力 = 140MPa, 試試 校核管架校核管架AB 的強(qiáng)度。的強(qiáng)度。 max 13 0.810.4MQlkN m 由型鋼表查得由型鋼表查得10號槽鋼的抗彎截面模量號槽鋼的抗彎截面模量 33 39.7 10 z Wmm max max 33 10.4 131 2 39.7 10 z MkN m MPa Wmm 故管架在強(qiáng)度方面是安全的。故管架在強(qiáng)度方面是安全的。 3.3 平面彎曲的應(yīng)力計(jì)算平面彎曲的應(yīng)力計(jì)算 六、提高梁彎曲強(qiáng)度的

22、主要途徑六、提高梁彎曲強(qiáng)度的主要途徑 A A 選擇合理的截面選擇合理的截面 (1)(1)根據(jù)應(yīng)力分布規(guī)律選擇根據(jù)應(yīng)力分布規(guī)律選擇 工字形截面，使得應(yīng)力大的地方，截面增大些，應(yīng)力小的地方，截工字形截面，使得應(yīng)力大的地方，截面增大些，應(yīng)力小的地方，截 面相應(yīng)減少些。這樣，截面積大小不變，材料卻能物盡其用，從而提面相應(yīng)減少些。這樣，截面積大小不變，材料卻能物盡其用，從而提 高了經(jīng)濟(jì)性。高了經(jīng)濟(jì)性。 (2) (2) 根據(jù)截面模量選擇根據(jù)截面模量選擇 合理的截面形狀應(yīng)是截面面積相等的條件下具有較大的截面模量者；合理的截面形狀應(yīng)是截面面積相等的條件下具有較大的截面模量者； 把截面豎放時(shí)，不易彎曲；平放時(shí)則

23、很容易彎曲。把截面豎放時(shí)，不易彎曲；平放時(shí)則很容易彎曲。 (3) (3) 根據(jù)材料的特性選擇根據(jù)材料的特性選擇 對于抗拉強(qiáng)度與抗壓強(qiáng)度相等的塑性材料對于抗拉強(qiáng)度與抗壓強(qiáng)度相等的塑性材料( (如鋼材如鋼材) )，一般采用對稱，一般采用對稱 于中性軸的截面；對于拉、壓強(qiáng)度不等的脆性材料，在選擇截面時(shí)，于中性軸的截面；對于拉、壓強(qiáng)度不等的脆性材料，在選擇截面時(shí)， 最好使中性軸偏于強(qiáng)度較弱的一邊。最好使中性軸偏于強(qiáng)度較弱的一邊。 3.3 平面彎曲的應(yīng)力計(jì)算平面彎曲的應(yīng)力計(jì)算 B B 合理布置支座和載荷作用位置合理布置支座和載荷作用位置 3.3 平面彎曲的應(yīng)力計(jì)算平面彎曲的應(yīng)力計(jì)算 C C 改變載荷的分

24、布情況改變載荷的分布情況 3.4 平面彎曲的變形平面彎曲的變形撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角 工程上所用的梁，一般說來，不僅要滿足工程上所用的梁，一般說來，不僅要滿足強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件，同，同 時(shí)還要滿足時(shí)還要滿足剛度條件剛度條件。這就是說，梁的變形不能超過規(guī)。這就是說，梁的變形不能超過規(guī) 定的許可范圍定的許可范圍, , 否則就會(huì)影響正常工作。例如行車大梁否則就會(huì)影響正常工作。例如行車大梁 在起吊重物時(shí)，若其彎曲變形過大，則行車行駛時(shí)就要在起吊重物時(shí)，若其彎曲變形過大，則行車行駛時(shí)就要 發(fā)生振動(dòng)；傳動(dòng)軸的彎曲變形過大，則不僅會(huì)使齒輪不發(fā)生振動(dòng)；傳動(dòng)軸的彎曲變形過大，則不僅會(huì)使齒輪不 能很好地嚙合，還會(huì)使軸

25、頸和軸承產(chǎn)生不均勻的磨損；能很好地嚙合，還會(huì)使軸頸和軸承產(chǎn)生不均勻的磨損； 管道的彎曲變形過大，將影響管道內(nèi)物料的正常輸送，管道的彎曲變形過大，將影響管道內(nèi)物料的正常輸送， 出現(xiàn)積液、沉淀和法蘭聯(lián)結(jié)不密等現(xiàn)象。出現(xiàn)積液、沉淀和法蘭聯(lián)結(jié)不密等現(xiàn)象。 ACB C B 3.4 平面彎曲的變形平面彎曲的變形撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角 y = f(x) 曲y = f(x) 曲方方程程撓撓線線 一、彎曲變形的概念一、彎曲變形的概念 y(撓度撓度) (轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角) F x dydy tgtg= y= y dxdx tg與與之值相接近之值相接近 tgtg dydy = y (角= y (角方方程程) ) dxdx 轉(zhuǎn)

26、轉(zhuǎn) 撓度符號規(guī)定：撓度符號規(guī)定： 與與y軸同向?yàn)檩S同向?yàn)?正，與正，與y軸反軸反 向?yàn)樨?fù)。向?yàn)樨?fù)。 轉(zhuǎn)角符號規(guī)定：轉(zhuǎn)角符號規(guī)定： 逆時(shí)針為正逆時(shí)針為正, 順時(shí)針為負(fù)。順時(shí)針為負(fù)。 3.4 平面彎曲的變形平面彎曲的變形撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角 二、梁的撓曲線近似微分方程及其積分二、梁的撓曲線近似微分方程及其積分 上一節(jié)推導(dǎo)的正應(yīng)力公式時(shí)得知：上一節(jié)推導(dǎo)的正應(yīng)力公式時(shí)得知： 1M1M = = EIEI 和和M都是都是x的函數(shù)，所以的函數(shù)，所以 1M(x)1M(x) = = (x)EI(x)EI 由微分學(xué)可知，曲線由微分學(xué)可知，曲線y = f ( x) 上任一點(diǎn)的曲率為上任一點(diǎn)的曲率為 3 3 2 2

27、2 2 1y1y = = (x)(x) (1+ y)(1+ y) 由于由于y值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1，所以，所以 1 1 = =y y ( (x x) ) M(x)M(x) y =y = EIEI 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 3.4 平面彎曲的變形平面彎曲的變形撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角 M(x)M(x) y =y = EIEI M(x)M(x) y =y = EIEI = y= y 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 3.4 平面彎曲的變形平面彎曲的變形撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角 例例3-7 有一支承管道的懸臂梁有一支承管道的懸臂梁AB 。已知承受管道的重為。已知承受管道的重為

28、F，梁長為，梁長為l ，抗，抗 彎剛度為彎剛度為EI，求梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角。，求梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角。 (1)列出彎矩方程：列出彎矩方程： M(x)= -F(l - x)= -Fl + Fx (2)建立撓曲線微分方程：建立撓曲線微分方程： EIy = -Fl + Fx 積分一次：積分一次： = 2 Fx EIy-Flx+C 2 再積分一次：再積分一次： = 23 FlxFx EIy-+Cx+ D 26 (3)確定積分常數(shù)：確定積分常數(shù)： (為了確定積分常數(shù)為了確定積分常數(shù)C、D, 就要考慮懸臂梁的邊界條件就要考慮懸臂梁的邊界條件) ， ， A A x = 0 = 0 x = 0 y = 0 當(dāng)當(dāng)

29、時(shí)時(shí) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 代入積分式得：代入積分式得： = =C D 0 3.4 平面彎曲的變形平面彎曲的變形撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角 (4)確定轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程：確定轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程： = 2 23 1Fx = y =(-Flx+) EI2 1FlxFx y(-+) EI26 角角方方程程： 曲曲方方程程： 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 撓撓線線 (5)確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度: 當(dāng)當(dāng)x = l時(shí)，撓度和轉(zhuǎn)角最大：時(shí)，撓度和轉(zhuǎn)角最大： 3 = = 22 2 maxB 33 maxB 1FlFl =(-Fl +)= - EI22EI 1FlFlFl yy(-+)= - EI263EI 在各種載荷作用下，

30、梁的撓度、轉(zhuǎn)角方程和在各種載荷作用下，梁的撓度、轉(zhuǎn)角方程和ymax、max的公式，可查閱的公式，可查閱 表表3-2或機(jī)械設(shè)計(jì)手冊?；驒C(jī)械設(shè)計(jì)手冊。 3.4 平面彎曲的變形平面彎曲的變形撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角 三、用疊加法求梁的變形三、用疊加法求梁的變形 3.4 平面彎曲的變形平面彎曲的變形撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角 四、彎曲時(shí)的剛度條件四、彎曲時(shí)的剛度條件 max max yy 根據(jù)梁的工作性質(zhì)根據(jù)梁的工作性質(zhì), 對許可變形量有不同的要求。對許可變形量有不同的要求。 在設(shè)計(jì)時(shí)查閱機(jī)械設(shè)計(jì)的手冊。在設(shè)計(jì)時(shí)查閱機(jī)械設(shè)計(jì)的手冊。 3.4 平面彎曲的變形平面彎曲的變形撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角 五、提高梁彎曲剛度的

31、主要途徑五、提高梁彎曲剛度的主要途徑 在一定的集中載荷在一定的集中載荷F或均布載荷或均布載荷q作用下，梁的變形取決于它的跨度作用下，梁的變形取決于它的跨度l、 截面的慣性矩截面的慣性矩I和材料的彈性模量和材料的彈性模量E等。因此，提高梁彎曲剛度的主要等。因此，提高梁彎曲剛度的主要 方法是方法是: (1)減小跨度或增加支座減小跨度或增加支座 梁的跨度梁的跨度l對變形的影響最大。若受集中力對變形的影響最大。若受集中力F 作用，則撓度作用，則撓度y與與l3成正比，成正比， 若受均布載荷若受均布載荷q作用，則作用，則y與與l4成正比。因此，設(shè)法減小梁的跨度或增加成正比。因此，設(shè)法減小梁的跨度或增加 中

32、間支座，將會(huì)有效地減小梁的變形。中間支座，將會(huì)有效地減小梁的變形。 (2)選用合理的截面形狀選用合理的截面形狀 由于梁的撓度和轉(zhuǎn)角與截面的慣性矩由于梁的撓度和轉(zhuǎn)角與截面的慣性矩I成反比，而決定截面慣性矩的主成反比，而決定截面慣性矩的主 要因素又是截面的高度。因此，在截面面積不變的情況下，適當(dāng)?shù)卦鲆蛩赜质墙孛娴母叨取Ｒ虼?，在截面面積不變的情況下，適當(dāng)?shù)卦?加截面高度，選用合理的幾何形狀增大截面慣性矩加截面高度，選用合理的幾何形狀增大截面慣性矩I，可減小變形。所，可減小變形。所 以工程上常采用工字形或箱形等薄壁截面結(jié)構(gòu)形式。以工程上常采用工字形或箱形等薄壁截面結(jié)構(gòu)形式。 3.5 超靜定梁超靜定梁

33、 化工廠中常見的一些設(shè)備化工廠中常見的一些設(shè)備, 如管道、臥式貯槽、回轉(zhuǎn)干燥器等如管道、臥式貯槽、回轉(zhuǎn)干燥器等, 都可視作都可視作 一根直梁。若梁的跨度過長一根直梁。若梁的跨度過長, 則可能產(chǎn)生過大的彎矩或過大的彎曲變形則可能產(chǎn)生過大的彎矩或過大的彎曲變形, 常需增加支座常需增加支座, 以減小跨度以減小跨度, 使梁能同時(shí)滿足強(qiáng)度和剛度的要求。隨著支使梁能同時(shí)滿足強(qiáng)度和剛度的要求。隨著支 座的增加座的增加, 梁的未知約束反力也就增加梁的未知約束反力也就增加, 若未知反力的數(shù)目超過了所能列若未知反力的數(shù)目超過了所能列 出的獨(dú)立靜力平衡方程的數(shù)目時(shí)出的獨(dú)立靜力平衡方程的數(shù)目時(shí), 這些反力就不能僅用靜

34、力平衡方程求這些反力就不能僅用靜力平衡方程求 解解, 這種梁就稱為這種梁就稱為超靜定梁超靜定梁。解超靜定梁時(shí)。解超靜定梁時(shí), 除了列出靜力平衡方程外除了列出靜力平衡方程外, 與求解其他超靜定問題一樣與求解其他超靜定問題一樣, 還需要還需要根據(jù)變形諧調(diào)條件根據(jù)變形諧調(diào)條件, 和力與變形間的和力與變形間的 物理關(guān)系物理關(guān)系, 列出補(bǔ)充方程列出補(bǔ)充方程, 才能才能求得梁的全部約束反力。求得梁的全部約束反力。 q 本章習(xí)題講解本章習(xí)題講解 3-2 某鼓風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)軸可簡化成圖示的外伸梁，已知聯(lián)軸器重某鼓風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)軸可簡化成圖示的外伸梁，已知聯(lián)軸器重G1= 0.6kN，葉輪重，葉輪重 G2=2kN，輪軸自身重

35、，輪軸自身重q=0 .5kN/ m。試作出彎矩圖并求出最大彎矩。試作出彎矩圖并求出最大彎矩Mmax 。 解解:(1)求支座反力：求支座反力： AB12AB12 B B yAB12yAB12 A A M = R M = R 3.2+G 3.2+G 1.3-G 1.3-G 2.52.5 -q -q4.54.5 (2.25-1.3)= 0(2.25-1.3)= 0 R =1.987kN R =1.987kN F =R +R -G -G -qF =R +R -G -G -q4.5 = 04.5 = 0 R = 2.863kN R = 2.863kN (2)列出彎矩方程：列出彎矩方程： 2 2 2 2 2 2 x x CA段CA段： M = -(0.6x+) M = -(0.6x+) (0 x 1.3) (0 x 1.3) 4 4 x x AD段AD段