空間幾何0427

1、確定確定 ，使直線使直線 1 2 1 1 1 zyx 和直線和直線 11 1 1 1zyx 相交。相交。 1 2 1 1 因?yàn)橐驗(yàn)?所以兩直線不平行所以兩直線不平行 兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成向量兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成向量 s=2,-2,1, 與第二條直線在與第二條直線在 同一面同一面 ,法向取法向取 4 5 ,只要共面即相交只要共面即相交 2 ssn 它與第一條線方向向量垂直，所以它與第一條線方向向量垂直，所以 0 1 sn 1 , 1 , 1 2 s cbaabc)( 直線過點(diǎn)直線過點(diǎn) A (-3,5,-9) 且和兩直線且和兩直線 32 53 : 1 xz xy l 105 74 : 2 xz xy l 相交，相交，

2、求此直線方程。求此直線方程。 過點(diǎn)過點(diǎn) A 及直線及直線 l1 作平面作平面 、 1 過點(diǎn)過點(diǎn) A 及直線及直線 l2 作平面作平面2 則則 2 的交線即為所求直線。的交線即為所求直線。 故作過直線故作過直線 l1 的平面束的平面束0)53(32 yxzx 將將 A 點(diǎn)坐標(biāo)代入點(diǎn)坐標(biāo)代入，, 0 得得所以所以 1 032: 1 zx 同理可求得同理可求得053634: 2 zyx 所以所求直線為所以所求直線為 053634 032 zyx zx 一直線一直線 L 繞一相交的定直線在空間轉(zhuǎn)動(dòng)繞一相交的定直線在空間轉(zhuǎn)動(dòng)， 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)始終與定直線保持定角轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)始終與定直線保持定角 ), 2 0( 則這直

3、線形成則這直線形成 動(dòng)直線與定直線的交點(diǎn)動(dòng)直線與定直線的交點(diǎn)， 定角定角 稱為稱為 求圓錐面的方程。求圓錐面的方程。 x y z L 的曲面的曲面，稱為稱為。 稱為稱為， 在在yoz坐標(biāo)面上坐標(biāo)面上，L的方程為的方程為： ,tan z y 即即0cot yz 現(xiàn)繞現(xiàn)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)， 則所得旋轉(zhuǎn)面則所得旋轉(zhuǎn)面（即圓錐面）即圓錐面） 0cot)( 22 yxz 即即 2222 cot)(yxz cot a其中其中 x y z L )( 222 yxa 方程為方程為： 與平面解析幾何中規(guī)定的二次與平面解析幾何中規(guī)定的二次 曲線相類似，我們把三元二次方程曲線相類似，我們把三元二次方程 F (x,

4、 y, z ) = 0 所表示的曲面稱為所表示的曲面稱為 。 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 截痕法截痕法 a b c y x z o 2 2 2 2 2 2 1 c h b y a x 2 2 2 2 2 2 1 b m c z a x 2 2 2 2 2 2 1 a n c z b y x z y 0 z q y p x 2 2 2 2 2 a q y p x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 q b z p x 2 2 2 2 2 p c z q y x z y 0 z q y p x 2 2 2 2 雙曲拋物面雙曲拋物面 2 2 2 2 p b z q y b

5、x bx 雙曲拋物面雙曲拋物面 x z y 0 z q y p x 2 2 2 2 a q y p x 2 2 2 2 雙曲拋物面雙曲拋物面 x z y 0 z q y p x 2 2 2 2 z p x 2 2 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面1 2 2 2 22 c z a yx 單葉雙曲面單葉雙曲面 1 2 22 2 2 c zy a x 旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 雙葉雙曲面雙葉雙曲面 負(fù)號(hào)負(fù)號(hào)單單為為單葉單葉，負(fù)號(hào)負(fù)號(hào)雙雙為為雙葉雙葉。 橢圓錐面橢圓錐面 2 2 2 2 2 z b

6、y a x 截曲面截曲面用用cz z x y o 1 )()( 2 2 2 2 cb y ca x 截曲面截曲面用用0 y 2 2 2 z a x 截曲面截曲面用用0 x 2 2 2 z b y x y z azx bzy 0 x bzy 表示兩直線表示兩直線 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 空間曲面空間曲面 三元方程三元方程 0),(zyxF 球面球面 22 0 2 0 2 0 )()()(Rzzyyxx 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 如如, 曲線曲線 0 0),( x zyf 繞繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面軸的旋轉(zhuǎn)曲面: 0),( 22 zyxf 柱面柱面 如如,曲面曲面0),(yxF表示母線平行表示母線平行 z 軸

7、的柱面軸的柱面. 又如又如,橢圓柱面橢圓柱面, 雙曲柱面雙曲柱面, 拋物柱面等拋物柱面等 . 2. 二次曲面 三元二次方程三元二次方程 ),(同號(hào)qp 橢球面橢球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 拋物面拋物面:橢圓拋物面橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲拋物面 z q y p x 22 22 z q y p x 22 22 雙曲面雙曲面: 單葉雙曲面單葉雙曲面 2 2 2 2 b y a x 2 2 c z 1 雙葉雙曲面雙葉雙曲面 2 2 2 2 b y a x 2 2 c z 1 橢圓錐面橢圓錐面: 2 2 2 2 2 z b y a x 一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一

8、般方程 二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲面的參數(shù)表示三、空間曲面的參數(shù)表示 四、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影四、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 第六節(jié)第六節(jié) 空間曲線及其方程空間曲線及其方程 空間曲線空間曲線 C 可看成兩張空間曲面的交線：可看成兩張空間曲面的交線： x y z 0 C 0),( 0),( : zyxG zyxF C(1) 曲線上的點(diǎn)必須同時(shí)曲線上的點(diǎn)必須同時(shí) 滿足兩個(gè)方程滿足兩個(gè)方程, , (1) 稱為空間曲線稱為空間曲線 C 的一般方程的一般方程。 即滿足方程組即滿足方程組 (1), 1 y x z o 。的交線的交線及及畫出曲面畫出曲面Lyxzyxz 2 2

9、222 2 1 y x z o L 。的交線的交線及及畫出曲面畫出曲面Lyxzyxz 2 2222 2222 azyx z x y o .)0( 22222 Laaxyxyxaz的交線的交線及及畫出曲面畫出曲面 a 2222 azyx 22 axyx x y o z .)0( 22222 Laaxyxyxaz的交線的交線及及畫出曲面畫出曲面 ax y z o .)0( 22222 Laaxyxyxaz的交線的交線及及畫出曲面畫出曲面 L 設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線 C 上任一點(diǎn)為上任一點(diǎn)為 M (x, y, z), 如果其坐標(biāo)如果其坐標(biāo) x, y, z 可表示為參數(shù)可表示為參數(shù) t 的函數(shù)的函數(shù)：

10、且隨著且隨著 t 在某一范圍內(nèi)變化在某一范圍內(nèi)變化，點(diǎn)點(diǎn) M 描出了描出了 曲線曲線 C 上的全部點(diǎn)上的全部點(diǎn)。 )( )( )( tzz tyy txx (2) 則稱則稱 (2) 為空間曲線的為空間曲線的。 P 同時(shí)又沿平行于同時(shí)又沿平行于z軸的正軸的正 方向方向等線速度等線速度v上升。上升。 其軌跡就是圓柱螺線其軌跡就是圓柱螺線。 圓柱面圓柱面 222 ayx y z 0 x a x = y = z = 設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻 t 動(dòng)點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)在M(x,y,z) M 螺線從點(diǎn)螺線從點(diǎn) P Q bPQ 2叫螺距叫螺距 N Q 點(diǎn)點(diǎn)P在圓柱面上以等角速度在圓柱面上以等角速度 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)； t ta

11、 cos ta sin vt v b 其中其中 22 yxz 當(dāng)當(dāng) 從從 0 2 ， 例例 將下列曲線化為參數(shù)方程表示將下列曲線化為參數(shù)方程表示: : 632 1 )1( 22 zx yx 0 )2( 22 222 xayx yxaz 解解: : 根據(jù)第一方程引入?yún)?shù)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù), , txcos tysin )cos26( 3 1 tz 得所求為得所求為 )20( t (1) 例例 將下列曲線化為參數(shù)方程表示將下列曲線化為參數(shù)方程表示: : 632 1 )1( 22 zx yx 0 )2( 22 222 xayx yxaz (2) , 4 ) 2 ( 2 22 a y a x 故所求

12、為故所求為 t aa xcos 22 t a ysin 2 tazcos 2 1 2 1 )20( t 將第二方程變形為將第二方程變形為 例例2.2. 求空間曲線求空間曲線 : : )(tx )(ty )(tz )( t繞繞 z 軸軸 旋轉(zhuǎn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)曲面方程. . 解解: :,)(, )(, )( 1 tttM 任取點(diǎn)任取點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn) M1 繞繞 z 軸軸 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn), ,轉(zhuǎn)過角度轉(zhuǎn)過角度 后到點(diǎn)后到點(diǎn) , ),(zyxM 則則 cos)()( 22 ttx sin)()( 22 tty )(tz 20 t 這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程. . 例如例如,

13、直線直線 1 x ty tz2 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面 cos1 2 tx sin1 2 ty tz2 20 t 消去消去 t 和和 , 得得旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)曲面方程為 4)(4 222 zyx x z o y 方程為方程為 空間曲線空間曲線 0),( 0),( : zyxG zyxF C 求求C 在在 xoy 平面上的投影曲線方程平面上的投影曲線方程。 (1) 作投影作投影： 過過 C 上每一點(diǎn)作上每一點(diǎn)作 xoy 平面平面 的垂線，的垂線， 即相當(dāng)于作了一個(gè)即相當(dāng)于作了一個(gè) 母線母線 / z 軸軸，準(zhǔn)線為曲線準(zhǔn)線為曲線 C 的柱面的柱面 稱為曲線稱為曲線 C 關(guān)于

14、關(guān)于 xoy 平面的平面的。 z y x C C 投影柱面投影柱面 與與 xoy 平面平面 的交線的交線 C 即為曲線即為曲線 C 在在xoy平面上的投影曲線平面上的投影曲線。 (2) 求投影柱面方程求投影柱面方程： 投影柱面投影柱面 / z 軸軸， 方程中應(yīng)無變量方程中應(yīng)無變量 z。 只要在曲線只要在曲線 C 的方程組中消去變量的方程組中消去變量 z , 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?H (x, y) = 0 則則方程為：方程為： H (x, y) = 0 z = 0 z y x C C 求曲線求曲線 C 在在 yoz 平面上的投影曲線平面上的投影曲線： 只要在曲線只要在曲線 C 的方程組中消去變量的方

15、程組中消去變量 x , R (y, z) = 0 則投影曲線方程為：則投影曲線方程為： 得投影柱面方程：得投影柱面方程： 求曲線求曲線 C 在在 xoz 平面上的投影曲線平面上的投影曲線： 只要在曲線只要在曲線 C 的方程組中消去變量的方程組中消去變量 y , 得投影柱面方程：得投影柱面方程： T (x, z) = 0 則投影曲線方程為：則投影曲線方程為： 同理同理， R (y, z) = 0 x = 0 T (x, z) = 0 y = 0 平面的投影。平面的投影。在在的交線的交線及及求曲面求曲面 2 2222 xoyLyxzyxz 22 22 2 yxz yxz 1 1 y x z o o

16、 L： 例例 z =0 2 1 y x z o L 所求投影曲線為所求投影曲線為 1 22 yx 0 1 22 z yx 投影柱面投影柱面 22 22 2 yxz yxz L： 例例 平面的投影。平面的投影。在在的交線的交線及及求曲面求曲面 2 2222 xoyLyxzyxz 例例： 1)1()1( 1 : 222 222 zyx zyx C求求 在在 xoy 平面上的投影曲線方程平面上的投影曲線方程，并說明是什么并說明是什么 曲線。曲線。 解解: : 0122 1 : 222 222 zyzyx zyx C 消去消去 z ， (1) (2) 01 zy ,1yz 代入代入 (2) ： 1)(

17、)1( 222 yyx022 22 yyx 為投影柱面方程。為投影柱面方程。 (1) - (2) : 022 22 yyx 為投影柱面方程。為投影柱面方程。 022 22 yyx C 在在 xoy 平面上的投影曲線方程平面上的投影曲線方程： z = 0 是什么曲線是什么曲線 ? 2 1 ) 2 1 (2 22 yx 曲線為曲線為 1 )5 . 0( 22 yx 5 . 025. 0 0 z 為為 xoy 平面上的一條橢圓曲線平面上的一條橢圓曲線。 z y x C 1 o .(0,1,1) 例：例： )(2 : 22 22 yxz yxz C求求 在三坐標(biāo)面上的投影曲線方程，并說明是什么曲線。在三坐標(biāo)面上的投影曲線方程，并說明是什么曲線。 解解: : 方程組中消去方程組中消去 z ， 投影在投影在 xoy 平面平面： (1) - (2) : (1) (2) 1 22 yx 為投影柱面方程。為投影柱面方程。 投影曲線方程：投影曲線方程： . 0 1 22 z yx 為為 xoy 平面上的一個(gè)圓平面上的一個(gè)圓。 x y z . 2 1 )(2 : 22 22 yxz yxz C (1) (2) 投影在投影在 yoz 平面平面： 方程組中消去方程組中消去 x ， (1) + (2) 得得： 為投影柱面方程。為投影柱面方程。 投影