第3章_微分運(yùn)動(dòng)和速度

1、第3章 微分運(yùn)動(dòng)和速度3.1 引言微分運(yùn)動(dòng)指機(jī)構(gòu)（這里指機(jī)器人）的微小運(yùn)動(dòng)，可以用它來推導(dǎo)不同部件之間的速度關(guān)系。依據(jù)定義，微分運(yùn)動(dòng)就是小的運(yùn)動(dòng)。因此，如果在一個(gè)小的時(shí)間段內(nèi)測(cè)量或計(jì)算這個(gè)運(yùn)動(dòng)，就能得到速度關(guān)系。本章將學(xué)習(xí)坐標(biāo)系相對(duì)于固定坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)、機(jī)器人關(guān)節(jié)相對(duì)固定坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)、雅可比矩陣以及機(jī)器人速度關(guān)系。本章包含了相當(dāng)多的速度方面的術(shù)語，它們應(yīng)該在動(dòng)力學(xué)課程中見過。但是如果現(xiàn)在已記不起這些術(shù)語，建議在學(xué)習(xí)下面的內(nèi)容之前復(fù)習(xí)有關(guān)的知識(shí)。3.2 微分關(guān)系首先要了解什么是微分關(guān)系。為此，先考慮如圖3.1所示的具有兩個(gè)自由度的簡單機(jī)構(gòu)。其中每個(gè)連桿都能獨(dú)立旋轉(zhuǎn)，表示第一個(gè)連桿相對(duì)參考坐

2、標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度，表示第二個(gè)連桿相對(duì)第一個(gè)連桿的旋轉(zhuǎn)角度。對(duì)機(jī)器人也類似，每個(gè)連桿的運(yùn)動(dòng)都是指連桿相對(duì)于固連在前一個(gè)連桿上的當(dāng)前坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)。圖 3.1 (a)具有兩個(gè)自由度的平面機(jī)構(gòu)；(b)速度圖點(diǎn)的速度可以計(jì)算如下： (3.1)將速度方程寫為矩陣形式得出如下結(jié)果： (3.2)方程左邊表示點(diǎn)速度的x和y分量?？梢钥吹剑匠逃疫叺木仃嚦艘詢蓚€(gè)連桿的相應(yīng)角速度便可以得到點(diǎn)速度。接下來，通過對(duì)描述點(diǎn)位置的方程求微分（而不采用從速度關(guān)系中直接推導(dǎo)的方程）可以找出相同的速度關(guān)系，具體如下： (3.3)對(duì)上述方程組中的變量和求微分，得： (3.4)寫成矩陣形式為： (3.5) 點(diǎn)的 雅可比 關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)

3、 矩陣 微分運(yùn)動(dòng)可以注意到，式(3.2)與式(3.5)無論在內(nèi)容上還是形式上都很相似。不同的是，式(3.2)是速度關(guān)系，而式(3.5)是微分運(yùn)動(dòng)關(guān)系。如果式(3.5)兩邊都除以，就是和，因此式(3.6)和式(3.2)是完全相同的： (3.6)同樣，在我們所講解的四（多）自由度的機(jī)器人中，可用同樣的方法將關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)（或速度）與手的微分運(yùn)動(dòng)（或速度）聯(lián)系起來。3.3 雅可比矩陣雅可比矩陣表示機(jī)構(gòu)部件隨時(shí)間變化的幾何關(guān)系，它可以將單個(gè)關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)或速度轉(zhuǎn)換為感興趣的微分運(yùn)動(dòng)或速度，也可將單個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)與整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來。由于和的值是隨時(shí)間變化的，從而雅可比矩陣各元素的大小也隨時(shí)間變化，因

4、此雅可比矩陣是與時(shí)間相關(guān)的。從3.2節(jié)中可知，雅可比矩陣是由位置方程的各元素對(duì)和求微分所得到的。因此，可以通過使用每個(gè)位置方程對(duì)所有變量求導(dǎo)來計(jì)算雅可比矩陣。假如有一組變量為的方程： (3.7)由的微分變化引起的的微分變化為： (3.8)式(3.8)可以寫成矩陣形式，它表示各單個(gè)變量和函數(shù)間的微分關(guān)系。如式(3.9)所示，包含這一關(guān)系的矩陣便是雅可比矩陣。因此，可以通過在每一個(gè)方程中對(duì)所有的變量求導(dǎo)來計(jì)算雅可比矩陣，也可以用同樣的原理來計(jì)算機(jī)器人的雅可比矩陣。 (3.9)同樣，根據(jù)上述的關(guān)系，對(duì)機(jī)器人的位置方程求微分，可以寫出下列方程，它建立了機(jī)器人的關(guān)節(jié)微分運(yùn)動(dòng)和機(jī)器人手坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)之間的

5、聯(lián)系。 (3.10)其中，中的，及表示機(jī)器人手沿，及軸的微分運(yùn)動(dòng)，中的，及表示機(jī)器人手繞，及軸的微分旋轉(zhuǎn)，表示關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)。正如前面所提到的，如果這兩個(gè)矩陣都除以，那么它們表示的就是速度而非微分運(yùn)動(dòng)。由于在所有關(guān)系中只要將微分運(yùn)動(dòng)除以便可以得到速度，所以在這一章所處理的都是微分運(yùn)動(dòng)而非速度。下面我們分析SCARA四自由度機(jī)器人的連桿速度及雅可比矩陣。1. 雅可比矩陣 末端連桿的角速度和線速度相對(duì)于基坐標(biāo)系簡寫為，根據(jù)廣義速度公式 (3.11)它與關(guān)節(jié)速度q之間的關(guān)系就是由雅可比矩陣組成的線性映射 (3.12)2. SCARA四自由度機(jī)器人的連桿速度、雅可比矩陣 SCARA四自由度機(jī)器人的結(jié)構(gòu)

6、和運(yùn)動(dòng)具有如下特點(diǎn)：四個(gè)關(guān)節(jié)，四個(gè)關(guān)節(jié)中有三個(gè)是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)（關(guān)節(jié)1、2、4），一個(gè)是移動(dòng)關(guān)節(jié)（關(guān)節(jié)3）。根據(jù)速度傳遞法可推導(dǎo)出雅可比矩陣如下：旋轉(zhuǎn)矩陣： (3.13)由于基坐標(biāo)系固定不動(dòng)，因而 (3.14)連桿1的角速度和速度為； (3.15)連桿2的角速度和速度為； (3.16)連桿3的角速度和速度為 (3.17)手爪4的角速度和速度為； (3.18)由以上推導(dǎo)可得雅可比矩陣為= (3.19)其中：，以下相同。旋轉(zhuǎn)變換：= (3.20)末端手爪相對(duì)于基坐標(biāo)系0角速度和速度為； (3.21)末端手爪的笛卡爾廣義速度為 (3.22)由以上推導(dǎo)可得雅可比矩陣為 (3.23)例3.1 給定某一時(shí)刻的機(jī)

7、器人雅克比矩陣如下，計(jì)算給定關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)，求機(jī)器人手坐標(biāo)系的線位移微分運(yùn)動(dòng)和角位移微分運(yùn)動(dòng)。 解：將上述矩陣代入式(3.10)，得到：3.4 坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)假設(shè)坐標(biāo)系相對(duì)于參考坐標(biāo)系做一個(gè)微量的運(yùn)動(dòng)。一種情況是可以不考慮產(chǎn)生微分運(yùn)動(dòng)的原因來觀察坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)，另一種情況是通過引起微分運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)來考慮該微分運(yùn)動(dòng)。對(duì)前一種情況，將只研究坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)以及坐標(biāo)系表示的變化（如圖3.2(a)所示）。對(duì)后一種情況，將研究產(chǎn)生該運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)的微分運(yùn)動(dòng)以及它與坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系。如圖3.2(b)所示，機(jī)器人手坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)是機(jī)器人每一個(gè)關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)所引起的。因此，當(dāng)機(jī)器人的關(guān)節(jié)做微量運(yùn)動(dòng)時(shí)，手坐標(biāo)系也產(chǎn)

8、生微量運(yùn)動(dòng)，所以必須將機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)與坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來。圖 3.2 (a)坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)；(b)相對(duì)于機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)為了理解上面所說的實(shí)際含義，假設(shè)有一個(gè)機(jī)器人要將兩片工件焊接在一起，為了獲得最好的焊接質(zhì)量，要求機(jī)器人以恒速運(yùn)動(dòng)，也就是說要求指定的手坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)能表示按特定姿態(tài)的恒速運(yùn)動(dòng)。這就涉及到坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)，而該運(yùn)動(dòng)是由機(jī)器人產(chǎn)生的（也可由其他方式產(chǎn)生，但這里只以機(jī)器人為例）。因此，應(yīng)計(jì)算出每一時(shí)刻各關(guān)節(jié)的速度，以使得由機(jī)器人產(chǎn)生的總的運(yùn)動(dòng)就等于坐標(biāo)系的期望速度。在這一節(jié)，首先研究坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)，然后研究機(jī)器人機(jī)構(gòu)的微分運(yùn)動(dòng)，最后建立兩者之間的聯(lián)系。

9、坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)可以分為：1. 微分平移2. 微分旋轉(zhuǎn)3. 微分變換（平移與旋轉(zhuǎn)）3.4.1 微分平移微分平移就是坐標(biāo)系平移一個(gè)微分量，因此它可以用來表示，其含義是坐標(biāo)系沿3條坐標(biāo)軸做了微小量的運(yùn)動(dòng)。3.4.2 微分旋轉(zhuǎn)微分旋轉(zhuǎn)是坐標(biāo)系的小量旋轉(zhuǎn)，它通常用來描述，即坐標(biāo)系軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度。特別要說明，繞，軸的微分運(yùn)動(dòng)分別定義為，。因?yàn)樾D(zhuǎn)很小，所以可以用如下的近似等式： （3.24）因此，表示繞，軸的微分旋轉(zhuǎn)矩陣為： (3.25)可能會(huì)注意到，上述矩陣違反了前面所建立的每個(gè)向量長度為1的規(guī)定，例如。然而由于微分值很小，在數(shù)學(xué)上，高階微分是可以忽略不計(jì)的，因此可將其略去。如果確實(shí)略去像那樣的高階微分，那

10、么可以接受這樣的向量長度。在矩陣的乘法計(jì)算中，矩陣的順序十分重要。如果矩陣的乘法順序改變，結(jié)果也將發(fā)生變化。如果使兩個(gè)微分運(yùn)動(dòng)以不同順序相乘，將得到兩個(gè)不同的結(jié)果。然而，如上所述，如果忽略了高階微分，例如，則上述兩式的結(jié)果是完全相同的。因此，在微分運(yùn)動(dòng)中，可認(rèn)為相乘的順序并不重要，即。在動(dòng)力學(xué)課程中已經(jīng)學(xué)過，角度不能以不同的順序相加，因?yàn)樗鼈儾荒芙粨Q。然而速度是向量，它可以按照向量相加。正如前面所述，如果忽略高階微分，則乘法的順序并不重要。實(shí)際上，由于速度就是由微分運(yùn)動(dòng)除以時(shí)間得出的，因此對(duì)于速度說以上的結(jié)論也是正確的。3.4.3 繞一般軸的微分旋轉(zhuǎn)基于上述討論，對(duì)于微分旋轉(zhuǎn)，乘法順序并不重要

11、，因此可以用任意的順序?qū)ξ⒎中D(zhuǎn)進(jìn)行乘法運(yùn)算。假設(shè)繞一般軸的微分運(yùn)動(dòng)是由繞三條坐標(biāo)軸的三個(gè)微分運(yùn)動(dòng)以任意的順序構(gòu)成的，因此繞一般軸的微分運(yùn)動(dòng)可以表示為： (3.26)如果忽略所有的高階微分，可得： (3.27)例3.2 求繞三個(gè)，坐標(biāo)軸做微分旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的總微分變換，其中弧度，弧度，弧度。解：將給定的旋轉(zhuǎn)值代入式(3.27)，得：3.4.4 坐標(biāo)系的微分變換坐標(biāo)系的微分變換是微分平移和微分旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的合成。如果用T表示原始坐標(biāo)系，并假定由于微分變換所引起的坐標(biāo)系的變化量用表示，則有： (3.28)其中是單位矩陣。表示經(jīng)微分變換后的坐標(biāo)系的變化，式(3.28)可以寫成： (3.29)（或簡寫為）稱為

12、微分算子，是由微分平移和微分旋轉(zhuǎn)的乘積減去單位矩陣所得到的。用微分算子乘以一個(gè)坐標(biāo)將導(dǎo)致坐標(biāo)系的變化，微分算子可以用矩陣相乘并減去單位矩陣求得： (3.30)應(yīng)注意的是，微分算子并不是變換矩陣或坐標(biāo)系，它不遵循所要求的標(biāo)準(zhǔn)格式，而僅僅是一個(gè)算子并在坐標(biāo)系中產(chǎn)生變化。例3.3 寫出以下微分變換的微分算子矩陣：，解：將所給值代入式(3.30)，得：例3.4 對(duì)如下的坐標(biāo)系B,繞軸做0.1弧度的微分轉(zhuǎn)動(dòng)，然后微分平移0.1，0，0.2，求微分變換的結(jié)果。解：如前所述，坐標(biāo)系的改變通過微分算子左乘該坐標(biāo)系求得。代入已知數(shù)據(jù)，即，用微分算子乘以坐標(biāo)系矩陣，得： (3.31)3.5 微分變化的解釋式(3.

13、28)和式(3.29)中的矩陣表示由于微分運(yùn)動(dòng)所引起的坐標(biāo)系的變化。這個(gè)矩陣中的各元素為： (3.32)式(3.31)中的矩陣表示坐標(biāo)系B的變化，它也如式(3.32)所示。因此，該矩陣的每個(gè)元素表示坐標(biāo)系中相應(yīng)元素的變化。例如，式(3.31)中意味著該坐標(biāo)系沿軸移動(dòng)了0.4個(gè)單位的微小量，沿軸無運(yùn)動(dòng)，沿軸移動(dòng)了-0.8個(gè)單位的微小量。它也意味著坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)使得向量沒有改變，而在向量的分量上改變了0.1，在向量的分量上改變了-0.1。例3.5 求例3.4中坐標(biāo)系B運(yùn)動(dòng)后的位姿。解：坐標(biāo)系新的位姿可通過對(duì)初值增加一個(gè)變化量而求得：試解釋其最終結(jié)果仍然是一個(gè)有效的坐標(biāo)系。3.6 坐標(biāo)之間的微分變化式

14、(3.29)中的微分算子表示相對(duì)于固定參考坐標(biāo)系的微分算子，記做。然而也可以定義其他微分算子，這時(shí)算子相對(duì)于當(dāng)前坐標(biāo)系本身，這樣使得可以在該坐標(biāo)系中計(jì)算同樣的變換。既然相對(duì)于該坐標(biāo)系的微分算子就是相對(duì)于當(dāng)前坐標(biāo)系的，為了求出坐標(biāo)系中的變化，必須用右乘該坐標(biāo)系，結(jié)果應(yīng)是相同的，因?yàn)閮烧叨际敲枋鲎鴺?biāo)系中的相同變化。于是有： (3.33)因此，式(3.33)可以用來計(jì)算相對(duì)于本身坐標(biāo)系的微分算子。將式(3.33)中的矩陣相乘并加以化簡，得到的結(jié)果如下（假設(shè)坐標(biāo)系是用表示的矩陣）： (3.34)應(yīng)注意，看上去如同矩陣，但所有元素都是相對(duì)于當(dāng)前坐標(biāo)系的，這些元素可從以上矩陣相乘的結(jié)果求得，結(jié)果歸納如下：

15、 (3.35)例3.6 求出例3.4中的。解：由給定的信息可以得到以下向量，并將這些值代入式(3.35)來計(jì)算向量和：代入式(3.34)得：可以看出，的值與的值并不同，但是用右乘矩陣后，得到的結(jié)果與前面相同。例3.7 直接根據(jù)微分算子計(jì)算3.6中解：根據(jù)式(3.33)，可以直接計(jì)算出為：當(dāng)然它與例3.6中的結(jié)果相同。3.7 機(jī)器人及機(jī)器人手坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)前幾節(jié)所討論的坐標(biāo)系的變化是由微分運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的結(jié)果，但僅僅涉及到坐標(biāo)系的變換，而不涉及變換是如何實(shí)現(xiàn)的。在這一節(jié)中，將變換和機(jī)構(gòu)聯(lián)系起來，也就是和實(shí)現(xiàn)微分運(yùn)動(dòng)的機(jī)器人聯(lián)系起來。下面將研究機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)是如何轉(zhuǎn)換為機(jī)器人手坐標(biāo)系的變化的。在此之前

16、，所討論的坐標(biāo)系可以是任意一個(gè)坐標(biāo)系，包括機(jī)器人手坐標(biāo)系。描述向量各分量的變化。如果這個(gè)坐標(biāo)系是機(jī)器人手的坐標(biāo)系，則需要找出機(jī)器人關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)是如何與手坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)的，尤其是與的關(guān)系。當(dāng)然，這種關(guān)系就是機(jī)器人的構(gòu)型和設(shè)計(jì)的函數(shù)，但同時(shí)也是機(jī)器人即時(shí)位姿的函數(shù)。例如，簡單的旋轉(zhuǎn)機(jī)器人和第2章中提到的斯坦福機(jī)械手臂，因?yàn)樗鼈兊臉?gòu)型不同，所以類似的機(jī)械手速度所要求的關(guān)節(jié)速度會(huì)有所不同。然而對(duì)于上述的任何一種機(jī)器人，手臂是否能夠完全地伸展以及能否指向任意方位，都需要將其轉(zhuǎn)化為不同的關(guān)節(jié)速度從而產(chǎn)生相同的手的速度。正如前面式(3.10)所示，機(jī)器人的雅可比矩陣將建立關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)與手運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系，

17、如下所示：3.8 雅可比矩陣的計(jì)算雅克比矩陣的每一個(gè)元素是對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程對(duì)其中一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)。參考式(3.10)可以看到中的第一個(gè)元素是，它表示第一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程必須沿軸的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然也就是。換句話說，表示手的坐標(biāo)系沿軸的運(yùn)動(dòng)，它的導(dǎo)數(shù)為。同樣，和也是如此。若考慮用表示矩陣，對(duì)應(yīng)的元素，和求微分就得到，和。例如，對(duì)于例2.19中的簡單旋轉(zhuǎn)臂，機(jī)器人的正動(dòng)力學(xué)方程的最后一列為： (3.36)對(duì)求導(dǎo)得：由此，得到雅可比矩陣的第一行為： (3.37)對(duì)于下面兩行也可以同樣處理。但是，因?yàn)闆]有單一的方程來描述繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)（僅有關(guān)于三條軸的姿態(tài)向量的分量），也就沒有單個(gè)方程可以用于繞三軸（即，）的微分轉(zhuǎn)動(dòng)。

18、因此，只能用不同的方法對(duì)它們進(jìn)行計(jì)算。事實(shí)上，相對(duì)于最后一個(gè)坐標(biāo)系T6的雅克比矩陣的計(jì)算要比相對(duì)于第一個(gè)坐標(biāo)系簡單的多。因此，我們將用下面的方法進(jìn)行計(jì)算?？梢詫⑾鄬?duì)于最后一個(gè)坐標(biāo)系的速度方程寫為： (3.38)這就意味著，用相同關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)來左乘最后一個(gè)坐標(biāo)系的雅克比矩陣，則可得到機(jī)器人首相對(duì)于最后一個(gè)坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)。我們可以用以下簡單的方程來計(jì)算最后一個(gè)坐標(biāo)系的雅克比矩陣：1. 方程的微分運(yùn)動(dòng)關(guān)系可以寫成：2. 假設(shè)A1,A2,An的任意組合可以用相應(yīng)的矩陣表示，則矩陣中相應(yīng)的元素可以用來計(jì)算雅可比矩陣。3. 如果所考慮的關(guān)節(jié)為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，那么： (3.39)4. 如果所考慮的關(guān)節(jié)為滑動(dòng)關(guān)

19、節(jié)，那么： (3.40)5. 對(duì)于式(3.39)和式(3.40)，對(duì)第列用，它的具體計(jì)算如下：例3.8 用式(3.36)求出簡單旋轉(zhuǎn)機(jī)器人的雅可比矩陣的第二行的元素。解：關(guān)于雅可比矩陣的第二行元素，必須對(duì)式(3.36)中的表達(dá)式進(jìn)行如下的求微分計(jì)算：整理得例3.9 求簡單旋轉(zhuǎn)機(jī)器人的雅可比矩陣中的和元素。解：因?yàn)橐?jì)算的是雅可比矩陣第1列的兩個(gè)元素，因此需要利用矩陣。由例2.19得：用相應(yīng)的值以及適用于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的式(3.39)可以得到： (3.41)在式(3.37)與式(3.41)中，元素的結(jié)果不同，其原因是：一個(gè)是相對(duì)于參考坐標(biāo)系；另一個(gè)是相對(duì)于當(dāng)前坐標(biāo)系或坐標(biāo)系。3.9 如何建立雅可比矩陣

20、和微分算子之間的關(guān)聯(lián)以上已經(jīng)分別討論了雅可比矩陣和微分算子，現(xiàn)將二者聯(lián)系起來。假設(shè)機(jī)器人的關(guān)節(jié)移動(dòng)一個(gè)微分量，由式(3.10)以及已知的雅克比矩陣可以計(jì)算出矩陣，它包括的值（機(jī)器人的微分運(yùn)動(dòng)）。將它們代入式(3.30)便構(gòu)成了微分算子。然后，利用式(3.29)來計(jì)算，由此來確定機(jī)器人手的新位姿。也可以用式(3.32)以及雅克比矩陣來計(jì)算矩陣，它包括的值。將它們代入式(3.34)便構(gòu)成了微分算子，然后像前面一樣可以用式(3.33)來計(jì)算。例3.10 給定如下的五自由度機(jī)器人手的坐標(biāo)系，這時(shí)的雅克比矩陣的具體數(shù)值以及一組微分運(yùn)動(dòng)，這個(gè)機(jī)器人具有2RP2P構(gòu)型，求經(jīng)微分運(yùn)動(dòng)后手的新位置。解：由于機(jī)器

21、人只有五個(gè)自由度，并假設(shè)它只能繞和軸旋轉(zhuǎn)。由式(3.10)，可以計(jì)算出矩陣，再代入式(3.30)得：由式(3.29)得：在微分運(yùn)動(dòng)之后坐標(biāo)系的新位置為：3.10 雅可比矩陣求逆為了計(jì)算機(jī)器人關(guān)節(jié)上的微分運(yùn)動(dòng)(或速度)以得到所需要的手的微分運(yùn)動(dòng)(或速度)，需要計(jì)算雅可比矩陣的逆，并且將它用于下列方程： (3.42)類似地 (3.43)這就是說，知道了雅可比矩陣的逆，就可以計(jì)算出每個(gè)關(guān)節(jié)需要以多快的速度運(yùn)動(dòng)，才能使機(jī)器人的手產(chǎn)生所期望的微分運(yùn)動(dòng)獲達(dá)到期望的速度。實(shí)際上，微分運(yùn)動(dòng)分析的主要目的是進(jìn)行分析而不是進(jìn)行計(jì)算。設(shè)想一個(gè)機(jī)器人在一個(gè)平板上涂膠，機(jī)器人不僅要沿平板上某一特定的路徑運(yùn)動(dòng)，而且還必須

22、保持恒定的速度，否則，它無法將膠涂均勻，所做的也只是無用的操作。在這種情況下，它與以前的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的情況類似。那時(shí)必須將路徑分成若干小段，并不斷計(jì)算關(guān)節(jié)值以確保機(jī)器人能夠沿著預(yù)期的路徑運(yùn)動(dòng)，而這時(shí)為了確保機(jī)器人手保持期望的速度，必須不斷地計(jì)算關(guān)節(jié)的速度。如前面提到的，隨著機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)及機(jī)器人構(gòu)型的變化，機(jī)器人雅可比矩陣中所有元素的實(shí)際值都是時(shí)變的，因此，雖然雅可比矩陣的符號(hào)方程相同，但它們的數(shù)值改變了。此時(shí)，需要不斷地計(jì)算雅克比矩陣的值。這就是說，為了能夠在每秒內(nèi)計(jì)算出足夠多的精確關(guān)節(jié)速度，需要保證計(jì)算過程非常高效和快速，否則，結(jié)果將是不精確的。求雅可比矩陣的逆有兩種方法，兩者都十分困難，它

23、們不僅計(jì)算量大而且費(fèi)時(shí)。一種方法是求出符號(hào)形式的雅克比矩陣的逆，然后把值代入其中并計(jì)算出速度；另一種方法是將數(shù)據(jù)代入雅克比矩陣，然后用高斯消去法或其他類似的方法來求該數(shù)值矩陣的逆。盡管這些方法都是可行的，但它們并不常用。一個(gè)替代的方法是，可以用逆動(dòng)力學(xué)方程來計(jì)算關(guān)節(jié)的速度?？紤]式(2.62)，它給出了簡單旋轉(zhuǎn)機(jī)器人的值：可以通過對(duì)該關(guān)系式進(jìn)行微分計(jì)算來求取，即的微分值。 (3.44)類似地，由式(2.68)得到： (3.45)式(3.45)給出了用已知值表示的三個(gè)微分運(yùn)動(dòng)的組合。由于是矩陣的微分變化，等可以從矩陣中得到，即： (3.46)然后，對(duì)式(2.64)求微分，得到的關(guān)系式如下：(3.47)雖然式(3.34)比較長，但其中所有的元素都是已知的，因此可以計(jì)算出。接下來，對(duì)式(2.70)求微分，得到： (3.48)從上式可以計(jì)算出。因?yàn)槭街兴衅渌囟际且阎?，進(jìn)而可以通過式(3.45)計(jì)算出。然后對(duì)式(2.73)中的求微分，得到： (3.49)從上式可求