第四篇 平面向量

1、第四篇平面向量第1講平面向量的概念及其線(xiàn)性運(yùn)算【2014年高考會(huì)這樣考】1在平面幾何圖形中考查向量加法的平行四邊形法則及加減法的三角形法則2考查共線(xiàn)向量定理的應(yīng)用考點(diǎn)梳理1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線(xiàn)向量，規(guī)定：0與任一向量共線(xiàn)(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量2向量的加法與減法向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換

2、律：abba. (2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法向量a加上向量b的相反向量，叫做a與b的差，即a(b)ab三角形法則aba(b)3.向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(1)定義：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作a，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：|a|a|；當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0.(2)運(yùn)算律：設(shè)，是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則(a)()a；()aaa； (ab)ab.4共線(xiàn)向量定理向量a(a0)與b共線(xiàn)的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba.【助學(xué)微博】一條規(guī)律一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量一個(gè)結(jié)論在ABC

3、中，若D為BC的中點(diǎn)，則()一個(gè)關(guān)系向量的平行與直線(xiàn)的平行不同，向量的平行包括兩向量所在直線(xiàn)平行和重合兩種情形考點(diǎn)自測(cè)1若向量a與b不相等，則a與b一定()A有不相等的模 B不共線(xiàn)C不可能都是零向量 D不可能都是單位向量解析因?yàn)樗械牧阆蛄慷际窍嗟鹊南蛄?，故只有C正確答案C2若mn，nk，則向量m與向量k()A共線(xiàn) B不共線(xiàn)C共線(xiàn)且同向 D不一定共線(xiàn)解析當(dāng)n0時(shí)，k與m不共線(xiàn)，故選D.答案D3若O，E，F(xiàn)是不共線(xiàn)的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是()A. B.C. D.解析.答案B4D是ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量等于()A BC. D.解析如圖，.答案A5設(shè)a與b是兩個(gè)不共線(xiàn)向量，且向量ab

4、與2ab共線(xiàn)，則_.解析由題意知：abk(2ab)，則有：k，.答案考向一平面向量的有關(guān)概念【例1】給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中正確命題的序號(hào)是_審題視點(diǎn) 以概念為判斷依據(jù)，或通過(guò)舉反例解析不正確兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同正確，|且，又A，B，C，D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且|，因此，.正確ab，a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同；又bc，b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，a，c的長(zhǎng)度相等且方向

5、相同，故ac.不正確當(dāng)ab且方向相反時(shí)，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件綜上所述，正確命題的序號(hào)是.答案 準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，特別是對(duì)相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例進(jìn)行否定也是行之有效的方法【訓(xùn)練1】 給出下列四個(gè)命題：a與b共線(xiàn)，b與c共線(xiàn)，則a與c也共線(xiàn)；任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四頂點(diǎn)；向量a與b不共線(xiàn)，則a與b都是非零向量；有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行其中所有正確命題的序號(hào)是_解析由于零向量與任一向量都共線(xiàn)，命題中的b可能為零向量，從而不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向

6、量是自由向量，所以?xún)蓚€(gè)相等的非零向量可以在同一直線(xiàn)上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，更不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以命題不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān)，所以命題不正確；正確綜上所述，正確命題的序號(hào)是.答案考向二平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算【例2】如圖，在梯形ABCD中，|2|，M，N分別是DC，AB的中點(diǎn)若e1，e2，用e1，e2表示，.審題視點(diǎn) 結(jié)合圖形，靈活運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行加減運(yùn)算解；e2e1；e1e2. 用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：觀察各向量的位置；尋找相應(yīng)的三角形或平行四邊形；運(yùn)用法則找關(guān)系；化簡(jiǎn)結(jié)果【訓(xùn)練2】 如圖，在ABC中，DE

7、BC交AC于點(diǎn)E，BC邊上的中線(xiàn)AM交DE于點(diǎn)N.設(shè)a，b，用a，b表示向量，.解b，ba.由ADEABC，得(ba)又AM是ABC的邊BC上的中線(xiàn)，DEBC，(ba)aa(ba)(ab)由(ab)考向三共線(xiàn)向量定理的應(yīng)用【例3】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(xiàn)(1)若ab，2a8b，3(ab)求證：A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線(xiàn)審題視點(diǎn) (1)先證明，共線(xiàn)，再說(shuō)明它們有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)利用共線(xiàn)向量定理列出方程組求k.(1)證明ab，2a8b，3(ab)2a8b3(ab)5(ab)5.，共線(xiàn)，又它們有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)(2)解假設(shè)kab與akb共線(xiàn)，則存在實(shí)

8、數(shù)，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是兩不共線(xiàn)的非零向量，kk10.k210.k1. 共線(xiàn)向量定理的條件和結(jié)論是充要條件關(guān)系，既可以證明向量共線(xiàn)，也可以由向量共線(xiàn)求參數(shù)利用兩向量共線(xiàn)證明三點(diǎn)共線(xiàn)要強(qiáng)調(diào)有一個(gè)公共點(diǎn)【訓(xùn)練3】 若a，b是兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，a與b起點(diǎn)相同，則當(dāng)t為何值時(shí)，a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上？解設(shè)a，tb，(ab)，ab，tba.要使A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，只需.即abtba.又a與b為不共線(xiàn)的非零向量，有當(dāng)t時(shí)，三向量終點(diǎn)在同一直線(xiàn)上.方法優(yōu)化8準(zhǔn)確把握平面向量的概念和運(yùn)算【命題研究】 通過(guò)近三年的高考試題分析，平面向量的概念和運(yùn)算時(shí)常以

9、選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)解答題的題設(shè)條件也以向量的形式給出，命題的出發(fā)點(diǎn)主要是以平面圖形為載體表達(dá)平面向量、借助向量表達(dá)相交或共線(xiàn)等問(wèn)題借助平面幾何、解析幾何等知識(shí)，考查線(xiàn)性運(yùn)算法則及其幾何意義以及兩個(gè)向量共線(xiàn)的充要條件，或以向量為載體求參數(shù)的值【真題探究】 (2012浙江)設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量()A若|ab|a|b|，則abB若ab，則|ab|a|b|C若|ab|a|b|，則存在實(shí)數(shù)，使得baD若存在實(shí)數(shù)，使得ba，則|ab|a|b|教你審題 思路1 根據(jù)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行排除思路2 將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的形式進(jìn)行分析一般解法 (排除法)選項(xiàng)A，若ba，則等式|ab|a|b|成立，顯然a

10、b不成立；選項(xiàng)B，若ab且|a|b|，則|a|b|0，顯然，|ab|a|0，故|ab|a|b|不成立；選項(xiàng)D，若ba，則|a|b|0，顯然，|ab|2|a|0，故|ab|a|b|不成立綜上，A，B，D都不正確，故選C.優(yōu)美解法 (數(shù)量積法)把等式|ab|a|b|兩邊平方，得(ab)2(|a|b|)2，即2ab2|a|b|，而ab|a|b|cosa，b，所以cosa，b1.又因?yàn)閍，b0，所以a，b，即a，b為方向相反的共線(xiàn)向量故C正確反思 在高考結(jié)束后，了解到部分學(xué)生做錯(cuò)的主要原因是：題中的條件“|ab|a|b|”在處理過(guò)程中誤認(rèn)為“|ab|ab|”，從而得到“ab”這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論【試一試】

11、在OAB中，a，b，OD是AB邊上的高，若，則實(shí)數(shù)()A. B.C. D.解析由，|.又|a|cos A|a|，|ba|，.故選C.答案CA級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿(mǎn)分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1已知O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，且20，那么()A. B.2C.3 D2解析由20可知，O是底邊BC上的中線(xiàn)AD的中點(diǎn)，故.答案A2(2013北京海淀一模)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是DC，BC的中點(diǎn)，那么()A.BCD.解析在CEF中，有，因?yàn)镋為DC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，所以.所以.答案D3(2012大連四所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知a，b，c

12、，d，且四邊形ABCD為平行四邊形，則()Aabcd0 Babcd0Cabcd0 Dabcd0解析依題意，得，故0，即0，即有0，則abcd0.選A.答案A4(2012威海高三質(zhì)量檢測(cè))已知平面上不共線(xiàn)的四點(diǎn)O，A，B，C.若23，則的值為()A. B. C. D.解析由23，得22，即2，所以.故選A.答案A二、填空題(每小題5分，共10分)5(2013泰安模擬)設(shè)a，b是兩個(gè)不共線(xiàn)向量，2apb，ab，a2b，若A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)p的值為_(kāi)解析2ab，又A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，存在實(shí)數(shù)，使.即p1.答案16.如圖，在矩形ABCD中，|1，|2，設(shè)a，b，c，則|abc|_.解析根據(jù)向量

13、的三角形法則有|abc|2|4.答案4三、解答題(共25分)7(12分)如圖，在平行四邊形OADB中，設(shè)a，b，.試用a，b表示，及.解由題意知，在平行四邊形OADB中，()(ab)ab，則babab.()(ab)ab，(ab)abab.8(13分)(1)設(shè)兩個(gè)非零向量e1，e2不共線(xiàn)，如果2e13e2，6e123e2，4e18e2，求證：A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)(2)設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，求k的值(1)證明因?yàn)?e123e2，4e18e2，所以10e115e2.又因?yàn)?e13e2，得5，即，又因?yàn)?，有公共點(diǎn)B，所以A，B，D

14、三點(diǎn)共線(xiàn)(2)解e13e22e1e24e2e1，2e1ke2，若A，B，D共線(xiàn)，則，設(shè)，所以k8.B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿(mǎn)分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1(2013濟(jì)南一模)已知A，B，C 是平面上不共線(xiàn)的三點(diǎn)，O是ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則點(diǎn)P一定為三角形ABC的()AAB邊中線(xiàn)的中點(diǎn)BAB邊中線(xiàn)的三等分點(diǎn)(非重心)C重心DAB邊的中點(diǎn)解析設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則，(2)，即32，也就是2，P，M，C三點(diǎn)共線(xiàn)，且P是CM上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)答案B2(2012四平質(zhì)檢)若點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足53，則ABM與ABC的面積比為()A. B. C. D.解析設(shè)

15、AB的中點(diǎn)為D，由53，得3322，即32.如圖所示，故C，M，D三點(diǎn)共線(xiàn)，且，也就是ABM與ABC對(duì)于邊AB的兩高之比為35，則ABM與ABC的面積比為，選C.答案C二、填空題(每小題5分，共10分)3若點(diǎn)O是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足|2|，則ABC的形狀為_(kāi)解析2，|.故A，B，C為矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，ABC為直角三角形答案直角三角形4.如圖所示，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若mA，nA，則mn的值為_(kāi)解析O是BC的中點(diǎn)，()又mA，nA，A.M，O，N三點(diǎn)共線(xiàn)，1，則mn2.答案2三、解答題(共25分)5(12分)如圖所示，在ABC中

16、，在AC上取一點(diǎn)N，使得ANAC，在AB上取一點(diǎn)M，使得AMAB，在BN的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)P，使得NPBN，在CM的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)Q，使得C時(shí)，試確定的值解()()，M，又，M，即MM，.6(13分)已知點(diǎn)G是ABO的重心，M是AB邊的中點(diǎn)(1)求；(2)若PQ過(guò)ABO的重心G，且a，b，ma，nb，求證：3.(1)解2，又2G，0.(2)證明顯然(ab)因?yàn)镚是ABO的重心，所以(ab)由P，G，Q三點(diǎn)共線(xiàn)，得，所以，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使G.而(ab)maab，nb(ab)ab，所以ab.又因?yàn)閍，b不共線(xiàn)，所以消去，整理得3mnmn，故3.特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子

17、資源見(jiàn)創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí)光盤(pán)中內(nèi)容.第2講平面向量的基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算【2014年高考會(huì)這樣考】1考查應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的模2考查應(yīng)用平面向量基本定理進(jìn)行向量的線(xiàn)性運(yùn)算3考查應(yīng)用向量的垂直與共線(xiàn)條件，求解參數(shù)考點(diǎn)梳理1平面向量基本定理前提：e1，e2是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量條件：對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2滿(mǎn)足a1e12e2.結(jié)論：不共線(xiàn)的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)表示(1)向量的夾角定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，如右圖，作a，b，則AOB(0180)叫做a與b的夾角當(dāng)0時(shí)，a與b共線(xiàn)同向當(dāng)180時(shí)，a與b共線(xiàn)反向當(dāng)

18、90時(shí)，a與b互相垂直(2)平面向量的正交分解向量正交分解是把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量(3)平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得axiyj.這樣，a可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a(x，y)其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)(4)規(guī)定相等的向量坐標(biāo)相等，坐標(biāo)相等的向量是相等的向量；向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線(xiàn)段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)系3平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a

19、(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.4平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，abx1y2x2y10.【助學(xué)微博】?jī)牲c(diǎn)提醒(1)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2x

20、2y10.三個(gè)重要結(jié)論(1)若a與b不共線(xiàn)，ab0，則0.(2)已知OO(，為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是1.(3)平面的基底中一定不含零向量考點(diǎn)自測(cè)1(2012廣東)若向量(1,2)，(3,4)，則()A(4,6) B(4，6)C(2，2) D(2,2)解析(1,2)(3,4)(4,6)答案A2若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，則c()A3ab B3abCa3b Da3b解析設(shè)cxayb，則c3ab.答案B3(2013湘潭調(diào)研)已知向量a(4，x)，b(4,4)，若ab，則x的值為()A0 B4 C4 D4解析若ab，則有444x0，解得x4.答案C4已知四邊形AB

21、CD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A. B.C(3,2) D(1,3)解析設(shè)D(x，y)，(x，y2)，(4,3)，又2，故選A.答案A5(課本改編題)已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，則m_.解析ab(1，m1)(ab)c，2(1)(m1)0，m1.答案1考向一平面向量基本定理及其應(yīng)用【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知c，d，試用c，d表示，.審題視點(diǎn) 直接用c，d表示，有難度，可換一個(gè)角度，由，表示，進(jìn)而求，.解法一設(shè)a，b，則ad，bc.將代入，得ad，adc(2dc)，將

22、代入，得bc(2dc)(2cd)(2dc)，(2cd)法二設(shè)a，b.因M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)， 所以b，a，因而即(2dc)，(2cd) 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線(xiàn)向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的【訓(xùn)練1】 如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且|O|1，|2，若OO(，R)，則的值為_(kāi)解析如圖，以，為一組基底，將在，方向上分解，得RtOCA，其中OC2，OCA為直角，COA30，則OA4OA，OB2OB，即4，2，所以6.答案6考向二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

23、【例2】已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2.求M，N的坐標(biāo)和.審題視點(diǎn) 求，的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程組求M，N.解A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，(1,8)，(6,3)33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)設(shè)M(x，y)，則(x3，y4)得M(0,20)同理可得N(9,2)，(90,220)(9，18) 解決向量的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，關(guān)鍵是掌握線(xiàn)性運(yùn)算法則及坐標(biāo)運(yùn)算的特點(diǎn)一般地，已知有向線(xiàn)段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)解題時(shí)注意利用向量相等(橫、縱坐標(biāo)分別相等)建立方程(組)的思想【訓(xùn)練2】 (1)已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，則向量ab

24、()A(2，1) B(2,1) C(1,0) D(1,2)(2)在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線(xiàn)，若(2,4)，(1,3)，則()A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)解析(1)a，b，故ab(1,2)(2)由題意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)答案(1)D(2)B考向三平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)運(yùn)算【例3】平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)求滿(mǎn)足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(2)若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k.審題視點(diǎn) (1)向量相等對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等，列方程解之；(2)由兩向量平行的條件列方程解之解(1)由題意得(3,2)m(1

25、,2)n(4,1)， 所以得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，(akc)(2ba)， 2(34k)(5)(2k)0，k. (1)一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線(xiàn)的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為a(R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(2)如果已知兩向量共線(xiàn)，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y1”解題比較方便【訓(xùn)練3】 (1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊ABDC，ADBC.已知點(diǎn)A(2,0)，B(6,8)，C(8,6)，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)(2)已知向量a(m，1)，b(1，2)

26、，c(1,2)，若(ab)c，則m_.解析(1)由條件中的四邊形ABCD的對(duì)邊分別平行，可以判斷該四邊形ABCD是平行四邊形設(shè)D(x，y)，則有，即(6,8)(2,0)(8,6)(x，y)，解得(x，y)(0，2)，即D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，2)(2)由題意知ab(m1，3)，c(1,2)，由(ab)c，得(3)(1)(m1)20，所以m. 答案(1)(0，2)(2)熱點(diǎn)突破8?？汲Ｐ碌钠叫邢蛄康倪\(yùn)算問(wèn)題【命題研究】 通過(guò)近三年高考試題分析，以坐標(biāo)法考查向量共線(xiàn)的應(yīng)用較多，主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大，屬容易題【真題探究】 (2011湖南)設(shè)向量a，b滿(mǎn)足|a|2，b(2,1)，且a與b

27、的方向相反，則a的坐標(biāo)為_(kāi)教你審題 可設(shè)ab，但應(yīng)抓住“a與b方向相反”這一條件解法 a與b方向相反，可設(shè)ab(0，若(a2b)(2ab)，則x_.解析a2b，2ab(16x，x1)，由題意得(82x)(x1)(16x)，整理得x216，又x0，所以x4.答案4A級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿(mǎn)分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1(2013湛江模擬)設(shè)平面向量a(3,5)，b(2,1)，則a2b()A(6,3) B(7,3) C(2,1) D(7,2)解析a2b(3,5)2(2,1)(7,3)答案B2(2012聊城模擬)已知平面內(nèi)任一點(diǎn)O滿(mǎn)足xOyO(x，yR)，則“xy1”是“點(diǎn)P在

28、直線(xiàn)AB上”的()A必要不充分條件 B充分不必要條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析根據(jù)平面向量基本定理知：xOyO(x，yR)且xy1等價(jià)于P在直線(xiàn)AB上答案C3設(shè)向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向線(xiàn)段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d為()A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)解析設(shè)d(x，y)，由題意知4a(4，12)，4b2c(6,20)，2(ac)(4，2)，又4a4b2c2(ac)d0，解得x2，y6，所以d(2，6)故選D.答案D4已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實(shí)數(shù)，(ab)c，則()

29、A. B. C1 D2解析依題意得ab(1，2)，由(ab)c，得(1)4320，. 答案B二、填空題(每小題5分，共10分)5若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共線(xiàn)，則的值為_(kāi)解析(a2，2)，(2，b2)，依題意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以. 答案6(2013杭州模擬)已知A(7,1)，B(1,4)，直線(xiàn)yax與線(xiàn)段AB交于C，且2，則實(shí)數(shù)a_.解析設(shè)C(x，y)，則(x7，y1)，(1x,4y)，2，解得C(3,3)又C在直線(xiàn)yax上，3a3，a2. 答案2三、解答題(共25分)7(12分)已知a(1,2)，b(3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，kab與a

30、3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？解法一kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，當(dāng)kab與a3b平行時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)使kab(a3b)，由(k3,2k2)(10，4)得，解得k，當(dāng)k時(shí)，kab與a3b平行，這時(shí)kabab(a3b)0，kab與a3b反向法二由法一知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，kab與a3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k，此時(shí)kab(a3b)當(dāng)k時(shí)，kab與a3b平行，并且反向8(13分)已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及t，求：(1)t為何值時(shí)，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？(2

31、)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)t(13t,23t)若P在x軸上，則23t0，t；若P在y軸上，則13t0，t；若P在第二象限，則t.(2)因?yàn)?1,2)，(33t,33t)若OABP為平行四邊形，則.無(wú)解，所以，四邊形OABP不能成為平行四邊形B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿(mǎn)分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1(2012保定模擬)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，則角C的大小為()A30 B60 C90 D120解析由pq，得(ac)(ca)b(ba)，整理得b2a2

32、c2ab，由余弦定理得cos C，又0C0，b0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則的最小值為_(kāi)解析(a1,1)，(b1,2)A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，.2(a1)(b1)0，2ab1.(2ab)442 8.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 的最小值是8. 答案84.(2013青島期末)設(shè)i，j是平面直角坐標(biāo)系(坐標(biāo)原點(diǎn)為O)內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，且2ij，4i3j，則OAB的面積等于_解析由題意得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,3)，|，|5.sinAOBsin(AOyBOy)sinAOycosBOycosAOysinBOy.故SAOB|sinAOB55. 答案5三、解答題(共

33、25分)5(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量a(2,1)，A(1,0)，B(cos ，t)(1)若a，且|，求向量的坐標(biāo)；(2)若a，求ycos2cos t2的最小值解(1)(cos 1，t)， 又a，2tcos 10.cos 12t.又|，(cos 1)2t25.由得，5t25，t21.t1.當(dāng)t1時(shí)，cos 3(舍去)，當(dāng)t1時(shí)，cos 1，B(1，1)，(1，1)(2)由(1)可知t，ycos2cos cos2cos 2，當(dāng)cos 時(shí)，ymin.6(13分)已知向量v(x，y)與向量d(y,2yx)的對(duì)應(yīng)關(guān)系用df(v)表示(1)設(shè)a(1,1)，b(1,0)，求向量f(

34、a)與f(b)的坐標(biāo)；(2)求使f(c)(p，q)(p，q為常數(shù))的向量c的坐標(biāo)；(3)證明：對(duì)任意的向量a，b及常數(shù)m，n恒有f(manb)mf(a)nf(b)(1)解f(a)(1,211)(1,1)，f(b)(0,201)(0，1)(2)解設(shè)c(x，y)，則由f(c)(y,2yx)(p，q)，得所以 所以c(2pq，p)(3)證明設(shè)a(a1，a2)，b(b1，b2)， 則manb(ma1nb1，ma2nb2)，所以f(manb)(ma2nb2,2ma22nb2ma1nb1)又mf(a)m(a2,2a2a1)，nf(b)n(b2,2b2b1)，所以mf(a)nf(b)(ma2nb2,2ma2

35、2nb2ma1nb1) 故f(manb)mf(a)nf(b).特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見(jiàn)創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí)光盤(pán)中內(nèi)容.第3講平面向量的數(shù)量積【2014年高考會(huì)這樣考】1考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算、化簡(jiǎn)、向量平行與垂直的充要條件的應(yīng)用2以平面向量的數(shù)量積為工具，考查其他綜合應(yīng)用題，常與三角函數(shù)等知識(shí)結(jié)合考點(diǎn)梳理1平面向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cos ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a0.(2)幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a

36、的方向上的投影|b|cos 的乘積2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角(1)數(shù)量積：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夾角：cos .(4)ab的充要條件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)|x1x2y1y2| .3平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba(交換律) (2)ab(ab)a(b)(結(jié)合律) (3)(ab)cacbc(分配律)【助學(xué)微博】?jī)蓚€(gè)結(jié)論(1)兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角，則有ab0，反之不成立(因?yàn)閵A角為0時(shí)不成立)(2)兩個(gè)向量a與b的夾角為鈍角，則

37、有ab0，反之不成立(因?yàn)閵A角為時(shí)不成立)三點(diǎn)提醒(1)若a，b，c是實(shí)數(shù)，則abacbc(a0)；但對(duì)于向量就沒(méi)有這樣的性質(zhì)，即若向量a，b，c若滿(mǎn)足abac(a0)，則不一定有bc，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量(2)數(shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即(ab)ca(bc)，這是由于(ab)c表示一個(gè)與c共線(xiàn)的向量，a(bc)表示一個(gè)與a共線(xiàn)的向量，而a與c不一定共線(xiàn)，因此(ab)c與a(bc)不一定相等(3)向量夾角的概念要領(lǐng)會(huì)，比如在等邊三角形ABC中，與的夾角應(yīng)為120，而不是60.考點(diǎn)自測(cè)1(2012遼寧)已知向量a(1，1)，b(2，x)若ab1，則x()A1 B

38、C. D1解析由ab2x1，得x1.答案D2若非零向量a，b滿(mǎn)足|a|b|，(2ab)b0，則a與b的夾角為()A30 B60 C120 D150解析由題意得(2ab)b2abb22|a|2cosa，ba20，所以cosa，b，所以a，b的夾角為120，故選C.答案C3(2012福建)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，則ab的充要條件是()Ax Bx1Cx5 Dx0解析ab2(x1)210x0.答案D4在RtABC中，C90，AC4，則等于()A16 B8 C8 D16解析因?yàn)閏os A，故|cos AAC216，故選D.答案D5(2012新課標(biāo)全國(guó))已知向量a，b夾角為45，且|a|1，

39、|2ab|，則|b|_.解析由題意得：(2ab)24|a|2|b|24ab4|b|241|b|cos 4510，即|b|22|b|60，解得：|b|3. 答案3考向一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【例1】(1)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，滿(mǎn)足條件(8ab)c30，則x_.(2)(2013安慶模擬)已知e1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)審題視點(diǎn) (1)直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可；(2)由條件表示出ab，然后找到關(guān)于k的等式進(jìn)行求解解析(1)依題意可得8ab(6,3)，(8ab)c363x30，解得x4.(2)ab(e12e2)(k

40、e1e2)ke(12k)e1e22ek(12k)cos 22k0，解得k. 答案(1)4(2) (1)向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式ab|a|b|cos ；二是坐標(biāo)公式abx1x2y1y2. (2)求較復(fù)雜的向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)【訓(xùn)練1】 (1)已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1e12e2，b23e14e2，則b1b2_.(2)(2012合肥模擬)在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，|1，2，則()_.解析(1)e1，e2，|e1|1，|e2|1，b1b2(e12e2)(3e14e2)3|e1|22e1e28|e2|232cos 8318

41、6.(2)如圖，因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以2，又2，|1，所以()2P4|2|2，故填.答案(1)6(2)考向二向量的夾角與向量的模【例2】(1)已知向量a，b滿(mǎn)足ab0，|a|1，|b|2，則|2ab|_.(2)(2011浙江)若平面向量a，b滿(mǎn)足|a|1，|b|1，且以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為，則a和b的夾角的取值范圍是_審題視點(diǎn) (1)利用|a|2aa求解；(2)找出平行四邊形的面積與|a|b|的關(guān)系式解析因?yàn)閨2ab|2(2ab)24a2b24ab4a2b2448，故|2ab|2.(2)依題意有|a|b|sin ，即sin ，由|b|1，得sin 1，又0，故有. 答案(1)

42、2(2) (1)在數(shù)量積的基本運(yùn)算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對(duì)|a|要引起足夠重視，是求模常用的公式(2)利用向量數(shù)量積的定義，知cos ，其中兩向量夾角的范圍為0180，求解時(shí)應(yīng)求出三個(gè)量：ab，|a|，|b|或者找出這三個(gè)量之間的關(guān)系【訓(xùn)練2】 (1)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，則|ab|_.(2)已知a與b是兩個(gè)非零向量，且|a|b|ab|，則a與ab的夾角為_(kāi)解析(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，ab6.|ab|2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|.(2)設(shè)a與ab的夾角為，由|a|b|，得|a|2|b|2.又由|b|2|ab|2|a|22ab|b|2.ab|a|2，而|ab|2|a|22ab|b|23|a|2，|ab|a|.cos .0180，30，即a與ab的夾角為30.答案(1)(2)30考向三平面向量的垂直問(wèn)題【例3】已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0)(1)求證：ab與ab互相垂直；(2)若kab與akb的模相等，求.(其中k為非零實(shí)數(shù))審題視點(diǎn)