船體振動學 第3章

1、船體振動學船體振動學 第第3 3章章 梁的橫向振動梁的橫向振動 Ship Vibration 3.1 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng) 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的 橫向自由振動的影響橫向自由振動的影響 3.5 梁的橫向自由振動的近似解法梁的橫向自由振動的近似解法 Ship Vibration 3.1 3.1 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng) Ship Vibration 各種工程結構和構件，例如桿、梁、板、殼等都各種工程結構和構件，例如桿、梁、板、殼等都 是具有分布質量的彈性體。要確定彈性體上

2、各點是具有分布質量的彈性體。要確定彈性體上各點 的位置需要無限多個廣義坐標，因此彈性體是具的位置需要無限多個廣義坐標，因此彈性體是具 有有無限多自由度的系統(tǒng)無限多自由度的系統(tǒng)，也稱為，也稱為連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)。 Ship Vibration 3.1 3.1 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng) 對于圖示的簡支梁，在第對于圖示的簡支梁，在第2章中提到的處理方法章中提到的處理方法 是將梁離散化，即將梁近似的看作是由是將梁離散化，即將梁近似的看作是由 個集中個集中 質量組成的無質量的梁。當梁作橫向彎曲振動時，質量組成的無質量的梁。當梁作橫向彎曲振動時， 用有限個離散點處的橫向位移用有限個離散點處的橫向位移 來代替真實的、

3、連續(xù)的動撓來代替真實的、連續(xù)的動撓 度曲線。顯然，采用這種方法得到的解只是梁的度曲線。顯然，采用這種方法得到的解只是梁的 真實解的一種近似。隨著離散點的數(shù)目不斷增加，真實解的一種近似。隨著離散點的數(shù)目不斷增加， 所得到的解將逐漸收斂于梁的真實解。所得到的解將逐漸收斂于梁的真實解。 Ship Vibration 3.1 3.1 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng) n )(,),(),( 21 twtwtw n 連續(xù)系統(tǒng)具有連續(xù)系統(tǒng)具有連續(xù)分布的質量和彈性連續(xù)分布的質量和彈性，它的振動，它的振動 規(guī)律要用規(guī)律要用時間和空間坐標的連續(xù)函數(shù)時間和空間坐標的連續(xù)函數(shù)來描述，其來描述，其 運動微分方程是運動微分方程是偏微分

4、方程偏微分方程。在數(shù)學上，離散系。在數(shù)學上，離散系 統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)代表兩種不同類型的系統(tǒng)。但在本統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)代表兩種不同類型的系統(tǒng)。但在本 課程里，離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)只不過是描述同一課程里，離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)只不過是描述同一 物理系統(tǒng)的兩個數(shù)學模型而已。盡管離散系統(tǒng)的物理系統(tǒng)的兩個數(shù)學模型而已。盡管離散系統(tǒng)的 振動用常微分方程來描述，連續(xù)系統(tǒng)的振動用偏振動用常微分方程來描述，連續(xù)系統(tǒng)的振動用偏 微分方程來描述，但是在物理本質上以及振動的微分方程來描述，但是在物理本質上以及振動的 基本概念、分析方法上連續(xù)系統(tǒng)的振動與離散系基本概念、分析方法上連續(xù)系統(tǒng)的振動與離散系 統(tǒng)的振動是相似的。統(tǒng)的振動是相似

5、的。 Ship Vibration 3.1 3.1 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng) 彈性體的振動需要用偏微分方程來描述彈性體的振動需要用偏微分方程來描述 ，不同彈，不同彈 性體的振動方程是不同的。只有對一些簡單的、性體的振動方程是不同的。只有對一些簡單的、 規(guī)則的彈性體才能得到振動方程的精確解，如均規(guī)則的彈性體才能得到振動方程的精確解，如均 勻直桿的縱向振動、均勻圓軸的扭轉振動以及均勻直桿的縱向振動、均勻圓軸的扭轉振動以及均 勻直梁的橫向振動等等。對于大多數(shù)的實際彈性勻直梁的橫向振動等等。對于大多數(shù)的實際彈性 體的振動，仍然要采用各種近似的離散化方法，體的振動，仍然要采用各種近似的離散化方法， 將連續(xù)系統(tǒng)轉

6、化為離散系統(tǒng)來處理。但本章討論將連續(xù)系統(tǒng)轉化為離散系統(tǒng)來處理。但本章討論 的離散化不同于上一章的的離散化不同于上一章的將分析模型離散化將分析模型離散化，而，而 是是按固有振型離散化按固有振型離散化。 Ship Vibration 3.1 3.1 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng) 梁是彈性體中最常見的，也是最基本的構件。對梁是彈性體中最常見的，也是最基本的構件。對 于橫截面具有兩條對稱軸線的梁，存在著四種形于橫截面具有兩條對稱軸線的梁，存在著四種形 式的振動，即式的振動，即垂直平面內的振動垂直平面內的振動、水平面內的振水平面內的振 動動、縱向振動縱向振動和和扭轉振動扭轉振動。本章僅介紹梁在垂直。本章僅介紹梁在垂

7、直 平面內的橫向振動。假定梁的平面內的橫向振動。假定梁的材料均質材料均質、各向同各向同 性性，以及服從虎克定律（表示振動時梁內的應力，以及服從虎克定律（表示振動時梁內的應力 不超過材料的比例極限，使得梁的不超過材料的比例極限，使得梁的應力與應變關應力與應變關 系是線性的系是線性的）。其次假定振動是微小的，使得）。其次假定振動是微小的，使得應應 變與位移的幾何關系也是線性的變與位移的幾何關系也是線性的。最后假定梁在。最后假定梁在 平衡狀態(tài)下的軸線是一直線，發(fā)生振動變形前垂平衡狀態(tài)下的軸線是一直線，發(fā)生振動變形前垂 直于梁軸線的橫截面，在發(fā)生振動變形后仍然保直于梁軸線的橫截面，在發(fā)生振動變形后仍然

8、保 持為平面。持為平面。 Ship Vibration 3.1 3.1 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng) 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 Ship Vibration 梁的橫向振動的運動微分方程梁的橫向振動的運動微分方程 如圖所示，考慮梁在如圖所示，考慮梁在 平面內的振動。假定發(fā)生平面內的振動。假定發(fā)生 振動變形前垂直于梁軸線的橫截面是平面，在發(fā)振動變形前垂直于梁軸線的橫截面是平面，在發(fā) 生振動變形后該橫截面仍然是平面且仍然垂直于生振動變形后該橫截面仍然是平面且仍然垂直于 變形后的梁軸線，即變形后的梁軸線，即忽略了橫截面的剪切變形和忽略了橫截面的剪切變形和 轉動慣量的影響轉動慣量的影響，這種

9、梁模型也稱為歐拉，這種梁模型也稱為歐拉-伯努利伯努利 梁。梁。 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 xz 梁的橫向位移是梁的橫向位移是 ，長度是，長度是 ，橫截面面積，橫截面面積 是是 ，橫截面對中性軸的慣性矩是，橫截面對中性軸的慣性矩是 ；梁的密度；梁的密度 是是 ，材料的彈性模量是，材料的彈性模量是 ；單位長度梁上作用；單位長度梁上作用 的分布外力是的分布外力是 。在梁上。在梁上 處取長為處取長為 的的 微段，微段微段，微段 的受力圖如圖所示。的受力圖如圖所示。 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 ),

10、(txw l A I E dx),(txfx dx 由牛頓第二定律寫出微段沿由牛頓第二定律寫出微段沿 軸的力平衡方程軸的力平衡方程 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 dxtxfdx x Q QQ t w Adx),( 2 2 ),( 2 2 txf x Q t w A z 化簡為化簡為 再寫出微段繞再寫出微段繞 軸的力矩平衡方程軸的力矩平衡方程 ，得，得 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 0 22 ),( 2 2 2 2 dx t wA dxdx x Q QMdx txf dx x M M x M Q

11、略去略去 的二次項后，得的二次項后，得 y dx 將將 代入代入 ，得，得 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 ),( 2 2 txf x Q t w A ),( 2 2 2 2 txf t w A x M 由材料力學知由材料力學知 ，并代入上式，得，并代入上式，得 2 2 x w EIM ),( 2 2 2 2 2 2 txf t w A x w EI x 上式就是歐拉上式就是歐拉-伯努利梁橫向振動的運動微分方程伯努利梁橫向振動的運動微分方程 。 對于等截面梁，則對于等截面梁，則 是常數(shù)，上式又可寫成是常數(shù)，上式又可寫成 ),( 2 2 4 4 t

12、xf t w A x w EI EI x M Q 固有頻率和振型固有頻率和振型 在上式中令在上式中令 得到梁橫向自由振動的運得到梁橫向自由振動的運 動微分方程動微分方程 運動微分方程的解可以用運動微分方程的解可以用 的函數(shù)的函數(shù) 與與 的簡的簡 諧函數(shù)的乘積表示，即諧函數(shù)的乘積表示，即 其中其中 是是主振型主振型或或振型函數(shù)振型函數(shù)，即梁上各點按，即梁上各點按 振型振型 作同步簡諧振動。作同步簡諧振動。 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 ),( 2 2 4 4 txf t w A x w EI 0),(txf 0 2 2 4 4 t w A x w

13、 EI )(xWxt )sincos)(),(tBtAxWtxw )(xW )(xW 將上式代入運動微分方程將上式代入運動微分方程 ， 得得 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 上式可改寫成上式可改寫成 0 2 2 4 4 t w A x w EI )( )( 4 4 4 xW dx xWd 0)( )( 2 4 4 xAW dx xWd EI )sincos)(),(tBtAxWtxw 式中式中 EI A 2 4 上述方程的通解是上述方程的通解是 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 也可以表示為也可以表示

14、為 )( )( 4 4 4 xW dx xWd xCxCxCxCxWcoshsinhcossin)( 4321 根據(jù)梁的邊界條件可以確定根據(jù)梁的邊界條件可以確定 值及振型函數(shù)值及振型函數(shù) 中的待定常數(shù)。邊界條件要考慮四個量，即撓度、中的待定常數(shù)。邊界條件要考慮四個量，即撓度、 轉角、彎矩和剪力，一般情況下梁的每個端點都轉角、彎矩和剪力，一般情況下梁的每個端點都 與其中的兩個量有關。與其中的兩個量有關。 xjxjxx eCeCeCeCxW 4321 )( )(xW 常見的簡單邊界條件常見的簡單邊界條件 有如下幾種。有如下幾種。 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫

15、向自由振動 1. 固定端固定端 在梁的固定端上撓度在梁的固定端上撓度 和轉角和轉角 等于零，即等于零，即 x w 2. 簡支端簡支端 在梁的簡支端上撓度在梁的簡支端上撓度 和彎矩和彎矩 等于等于 零，即零，即 ）或（lxx 0 w 0 )( , 0)( dx xdW xW w 2 2 x w EIM 0 )( , 0)( 2 2 dx xWd xW Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 3. 自由端自由端 在梁的自由端上彎矩在梁的自由端上彎矩 和和 剪力剪力 等于零，即等于零，即 3 3 x w EIQ 下面討論在兩種邊界條件下，梁的固有頻率和主下面討

16、論在兩種邊界條件下，梁的固有頻率和主 振型。振型。 0 )( , 0 )( 3 3 2 2 dx xWd dx xWd 2 2 x w EIM Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 1. 兩端簡支兩端簡支 這時的邊界條件是這時的邊界條件是 0 )( , 0 0 )( , 0 2 2 0 2 2 0 lxlx xx dx xWd W dx xWd W 將將 代入代入4個邊界條件，得個邊界條件，得 xCxCxCxCxWcoshsinhcossin)( 4321 0sinhsin 31 lClC 0 42 CC 0sinhsin 31 lClC Ship V

17、ibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 由于由于 可得可得 ，因此應有，因此應有 這是簡支梁的頻率方程。由上式得這是簡支梁的頻率方程。由上式得 0sinhl 對應于對應于 的固有頻率是的固有頻率是 0sinhsin0sinhsin0 313142 lClClClCCC 0 3 C 0sinl l i iil i i , 2 , 1 i , 2 , 1 2 22 i A EI l i i EI A 2 4 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 可見，各固有頻率與梁長可見，各固有頻率與梁長 的平方成反比。的平方成反比。 因此主振

18、型函數(shù)是因此主振型函數(shù)是 前三階主振型如圖所示前三階主振型如圖所示 l , 2 , 1sin)(ix l i xWi , 2 , 1 2 22 i A EI l i i xCxCxCxCxWcoshsinhcossin)( 4321 l i i Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 2. 左端固定，右端自由左端固定，右端自由 這時的邊界條件是這時的邊界條件是 將將 代入代入4個邊界條件，得個邊界條件，得 0 )( , 0 )( 0 )( , 0 3 3 2 2 00 lxlx xx dx xWd dx xWd dx xdW W xCxCxCxCxWco

19、shsinhcossin)( 4321 0)sinhsin()cosh(cos 0)cosh(cos)sinh(sin 00 21 21 3142 llCllC llCllC CCCC Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 因此有因此有 這就是懸臂梁的頻率方程。方程的前四個根是這就是懸臂梁的頻率方程。方程的前四個根是 解得解得 0)cosh(cos)sinhsin)(sinh(sin 2 llllll 0)sinhsin()cosh(cos 0)cosh(cos)sinh(sin 00 21 21 3142 llCllC llCllC CCCC 996

20、.10,855. 7,694. 4,875. 1 4321 llll 1coshcosll Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 對應于對應于 的固有頻率是的固有頻率是 前三階主振型如圖所示前三階主振型如圖所示 因此主振型函數(shù)是因此主振型函數(shù)是 i xx ll ll xxxW ii ii ii iii sinhsin )cosh(cos )sinh(sin coshcos)( , 2 , 1 4 2 i Al EI l ii EI A 2 4 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 例例：如圖所示，懸臂梁的自由端

21、附加一集中質：如圖所示，懸臂梁的自由端附加一集中質 量量 ，將附加質量看作為質點，求頻率方程和主，將附加質量看作為質點，求頻率方程和主 振型函數(shù)。振型函數(shù)。 M Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 解：其邊界條件是解：其邊界條件是 )(, 0 0, 0)0( 2 3 3 2 2 0 lMW dx Wd EI dx Wd dx dW W lxlx x 將將 代入代入4個邊界條件，得個邊界條件，得 xCxCxCxCxWcoshsinhcossin)( 4321 00 4231 CCCC Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫

22、向自由振動 上面兩式是關于上面兩式是關于 的線性齊次代數(shù)方程組，的線性齊次代數(shù)方程組， 具有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式必須具有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式必須 為零，由此得到為零，由此得到 這就是頻率方程。這就是頻率方程。 因此主振型函數(shù)是因此主振型函數(shù)是 0)sinh(sin)cosh(cos 12 CllCll 0)sinh(sin)coshcos( )cosh(cos)sinh(sin 1 23 2 23 CllMllEI CllMllEI )sinhcoscosh(sin)coshcos1 ( 23 llllMllEI , 2 , 1)sinh(sin sinhsin c

23、oshcos coshcos)( ixx ll ll xxxW ii ii ii iii 21,C C 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 Ship Vibration 主振型的正交性主振型的正交性 梁作橫向振動時，振型函數(shù)也具有正交性。這里梁作橫向振動時，振型函數(shù)也具有正交性。這里 只討論具有簡單邊界條件的梁的主振型的正交性。只討論具有簡單邊界條件的梁的主振型的正交性。 取特征值問題的任意兩個解取特征值問題的任意兩個解 和和 代入代入 ，得到，得到 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 )(, 2 xWi i )(, 2 xW jj 0

24、)( )( 0)( )( 2 4 4 2 4 4 xAW dx xWd EI xAW dx xWd EI jj j ii i 0)( )( 2 4 4 xAW dx xWd EI 以以 乘以左式，以乘以左式，以 乘以右式，并且都乘以右式，并且都 沿梁的長度沿梁的長度 對對 進行積分，得進行積分，得 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 )(xWi)(xW j 0)( )( 0)( )( 2 4 4 2 4 4 xAW dx xWd EIxAW dx xWd EI jj j ii i dxWAWdx dx Wd EIW dxWAWdx dx Wd EIW

25、 l jij l j i l jii l i j 0 2 0 4 4 0 2 0 4 4 lx 分別對上面兩式左邊進行分別對上面兩式左邊進行兩次分部積分兩次分部積分，得，得 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 dxWAWdx dx Wd dx Wd EI dx Wd EI dx dW dx Wd EIW dx dx Wd EI dx dW dx Wd EIWdx dx Wd EIW l jij l j i l j i l j i l j i l j i l j i 0 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 3 3 0 3 3 0 3 3 0 4 4

26、 dxWAWdx dx Wd dx Wd EI dx Wd EI dx dW dx Wd EIW dx dx Wd EI dx dW dx Wd EIWdx dx Wd EIW l jii l i j l i j l i j l i j l i j l i j 0 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 3 3 0 3 3 0 3 3 0 4 4 dxWAWdx dx Wd EIWdxWAWdx dx Wd EIW l jij l j i l jii l i j 0 2 0 4 4 0 2 0 4 4 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 對于前面介紹

27、的任何一種簡單邊界條件，以上二對于前面介紹的任何一種簡單邊界條件，以上二 式已積分出來的各項均為零。因此有式已積分出來的各項均為零。因此有 l jiji dxWAW 0 22 0)( dxWAWdx dx Wd dx Wd EI dxWAWdx dx Wd dx Wd EI l jij l j i l jii l i j 0 2 0 2 2 2 2 0 2 0 2 2 2 2 ji ji 上面兩式相減，得上面兩式相減，得 如果如果 時，有時，有 ，則由上式得，則由上式得 jidxWAW l ji 0 0 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 上式就是梁

28、的上式就是梁的主振型關于質量的正交性主振型關于質量的正交性。 dxWAWdx dx Wd dx Wd EIdx dx Wd EIW l jii l i j l i j 0 2 0 2 2 2 2 0 4 4 jidx dx Wd EIW jidx dx Wd dx Wd EI l i j l i j 0 0 0 4 4 0 2 2 2 2 將上式代入將上式代入 上面兩式就是梁的上面兩式就是梁的主振型關于剛度的正交性主振型關于剛度的正交性。 jidxWAW l ji 0 0 可得可得 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 令令 dx dx Wd EIWd

29、x dx Wd EIKdxAWM l j j l j pj l jpj 0 4 4 0 2 2 2 0 2 pjpj KM ,常數(shù)常數(shù) 分別稱為第分別稱為第 階階主質量主質量及第及第 階階主主 剛度剛度。它們之間的關系可以由下式得到。它們之間的關系可以由下式得到 即即 j dxWAWdx dx Wd dx Wd EI l jii l i j 0 2 0 2 2 2 2 j jp jp j M K 2 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 如果主振型中的常數(shù)按下述歸一化條件來確定，如果主振型中的常數(shù)按下述歸一化條件來確定， 即即 2 0 4 4 0 2

30、2 2 j l j j l j jp dx dx Wd EIWdx dx Wd EIK 由此得到的主振型函數(shù)稱為由此得到的主振型函數(shù)稱為正則振型函數(shù)正則振型函數(shù)，表示，表示 為為 。這時相應的第。這時相應的第 階主剛度是階主剛度是 j , 2 , 11 0 2 jMdxWA jp l j )( xW j Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 梁橫向振動的強迫響應梁橫向振動的強迫響應 梁的橫向強迫振動的運動微分方程是梁的橫向強迫振動的運動微分方程是 假設運動微分方程的解是假設運動微分方程的解是 其中其中 是是正則振型函數(shù)正則振型函數(shù)， 是是正則坐標正則坐

31、標。 將上式代入將上式代入 ，得，得 )( xWi ),( 2 2 4 4 txf t w A x w EI 1 )()( ),( i ii tqxWtxw )(tqi ),( 2 2 4 4 txf t w A x w EI ),( 11 4 4 txfqWAq dx Wd EI i ii i i i Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 上式兩邊乘以上式兩邊乘以 并沿梁長并沿梁長 對對 積分，有積分，有 利用正交性及歸一化條件，上式可以簡化為利用正交性及歸一化條件，上式可以簡化為 )( xW j x l ),( 11 4 4 txfqWAq dx

32、Wd EI i ii i i i dxWtxfdxWWAqdx dx Wd EIWq l j i ji l i i i l ji 0 1 0 4 4 1 0 ),( )( 2 tFqq iiii 上式即是用第上式即是用第 個正則坐標表示的梁的橫向強迫個正則坐標表示的梁的橫向強迫 振動的運動微分方程。其中振動的運動微分方程。其中 ，稱為第稱為第 個正則坐標的廣義力。個正則坐標的廣義力。 i dxxWtxftF l ii 0 )( ),()( i Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 假設假設 ，則，則 式中式中 如果作用在梁上的載荷不是分布簡諧力如果作用

33、在梁上的載荷不是分布簡諧力 ，而是集中簡諧力，而是集中簡諧力 ，利用狄拉克，利用狄拉克 函數(shù)，函數(shù)， 集中力可以表示為集中力可以表示為 tFtdxxWxfdxxWtxftF l i l ii sinsin)( )()( ),()( 0 00 txftxfsin)(),( dxxWxfF l i 0 0 )( )( dxxWtxftF l ii 0 )( ),()( txfsin)( tFcsin txFtxf c sin)(),( tFtWF tdxxWxFdxxWtxftF ic l ic l ii sinsin)( sin)( )()( ),()( 0 00 Ship Vibration

34、3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 假設梁的初始條件是假設梁的初始條件是 將將 代入上式，有代入上式，有 )(, )()0 ,( 201 xw t w xwxw t 1 )()( ),( i ii tqxWtxw 將以上兩式兩邊分別乘以將以上兩式兩邊分別乘以 并沿梁長并沿梁長 對對 積分，利用正交條件可以得到用正則坐標表示積分，利用正交條件可以得到用正則坐標表示 的梁的初始條件是的梁的初始條件是 l ii l ii dxxWxAwqdxxWxAwq 0 2 0 1 )( )()0()( )()0( 1 20 1 1 )0()( )()0()( )()0 ,( i iit i ii

35、 qxWxw t w qxWxwxw )( xWA j x l Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 用第用第 個正則坐標表示的梁的橫向強迫振動的運個正則坐標表示的梁的橫向強迫振動的運 動微分方程是動微分方程是 上述運動微分方程的全解是上述運動微分方程的全解是 tF tFt q tqtq i i ii i i i iii sin 1 sin 1 sin )0( cos)0()( 22 0 22 0 )( 2 tFqq iiii tFtdxxWxfdxxWtxftF l i l ii sinsin)( )()( ),()( 0 00 l ii l ii

36、dxxWxAwqdxxWxAwq 0 2 0 1 )( )()0()( )()0( i Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 由此即可得到梁在初始條件下對簡諧激勵的響應由此即可得到梁在初始條件下對簡諧激勵的響應 1 22 0 22 0 1 sin 1 sin 1 sin )0( cos)0( )()( ),( i i i ii i i i ii i i ii tF tFt q tq W tqxWtxw Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 例：如圖所示，一簡支梁在其中點受到常力例：如圖所示，一簡支梁在其中點受到

37、常力 作作 用而產生變形，求當力用而產生變形，求當力 突然移去時梁的響應。突然移去時梁的響應。 , 2 , 1 2 22 i A EI l i i , 2 , 1sin)(ix l i CxW ii P P 解：前面已求出兩端簡支梁的固有頻率及主振型解：前面已求出兩端簡支梁的固有頻率及主振型 函數(shù)是函數(shù)是 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 將主振型代入歸一化條件將主振型代入歸一化條件 Al C dx l xi CAdxAW i l i l i 2 1sin1 0 2 0 2 x l i Al xWi sin 2 )( 從而得到正則振型函數(shù)是從而得到

38、正則振型函數(shù)是 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 由結構力學得知初始條件是由結構力學得知初始條件是 0)( 2 43 2 043 )()0 ,( 20 3 3 1 xw t w lx l l xl l xl w l x l x l x w xwxw t st st 其中其中 是梁中點的靜撓度。是梁中點的靜撓度。 EI Pl w 48 3 t s Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 用正則坐標表示的初始條件是用正則坐標表示的初始條件是 , 5 , 3 , 10)0( ) 1() 1( 48 sin43 si

39、n43)0( 2 1 44 4 2 1 44 2 3 3 2 0 iq C EIi APl i l CAw dx l xi C l xl l xl Aw dx l xi C l x l x wAq i i i i ist l l ist ist l i 因為沒有激勵力，正則廣義力等于零。所以用正因為沒有激勵力，正則廣義力等于零。所以用正 則坐標表示的梁的自由振動響應是則坐標表示的梁的自由振動響應是 tqtq iii cos)0()( Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 因此，梁的自由振動響應是因此，梁的自由振動響應是 , 3 , 1 4 2 1 4

40、3 , 3 , 1 2 1 44 4 1 cossin ) 1(2 cos) 1(sin )()( ),( i i i i i i ii i ii t l xi iEI Pl tC EIi APl l xi C tqxWtxw 由上式可見，梁在中點受常力作用產生的靜變形由上式可見，梁在中點受常力作用產生的靜變形 只激發(fā)對稱振型的振動。只激發(fā)對稱振型的振動。 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 例：如圖所示，均勻簡支梁在例：如圖所示，均勻簡支梁在 處作用有一處作用有一 正弦激勵正弦激勵 ，求梁的強迫振動響應，梁的，求梁的強迫振動響應，梁的 初始條件為零

41、。初始條件為零。 1 xx tPsin Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 解：由上例的結果可知正則振型函數(shù)解：由上例的結果可知正則振型函數(shù) t l xi P Al tdxxxPxWtF l ii sinsin 2 sin)()( )( 1 0 1 x l i Al xWi sin 2 )( 用狄拉克用狄拉克 函數(shù)把集中力表示成分布力的形式函數(shù)把集中力表示成分布力的形式 txxPtxfsin)(),( 1 正則廣義力是正則廣義力是 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 由于初始條件為零，所以用正則坐標表示的梁

42、的由于初始條件為零，所以用正則坐標表示的梁的 強迫振動響應是強迫振動響應是 1 1 22 1 sinsinsinsin 2 )()( ),( i i ii i ii tt l xi x l iP Al tqxWtxw 因此，梁的強迫振動響應是因此，梁的強迫振動響應是 tFtFtq i i ii i sin 1 sin 1 )( 22 0 22 0 l xi P Al F 1 0 sin 2 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 例：如圖所示，簡支梁左端承受正弦支撐運例：如圖所示，簡支梁左端承受正弦支撐運 動，動， ，求梁的穩(wěn)態(tài)強迫振動響應。，求梁的穩(wěn)態(tài)

43、強迫振動響應。 twtgsin)( 0 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 解：令解：令 l x tgtxwg1)(),( 利用材料力學的等截面假設，彎矩與撓度之間的利用材料力學的等截面假設，彎矩與撓度之間的 關系是關系是 2 2 ),(),( ),( x txwtxw EItxM g 0 )( 2 2 4 4 t w A x ww EI g 因此，梁振動的運動微分方程是因此，梁振動的運動微分方程是 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 令令 ，即，即 代入運動微分方程代入運動微分方程 2 2 2 *2 4

44、*4 t w A t w A x w EI g 0 )( 2 2 4 4 t w A x ww EI g 即即 g www * g www * t l x wA t w A x w EIsin1 0 2 2 *2 4 *4 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 運動微分方程的解為運動微分方程的解為 ： 式中式中 是正則振型函數(shù)，是正則振型函數(shù)， 代入運動微分方程，得：代入運動微分方程，得： x l i Al xWi sin 2 )( 1 * )()( i ii tqxWw )( xWi t l x wA t w A x w EIsin1 0 2 2 *

45、2 4 *4 t l x wAqWAq dx Wd EI i iii i sin1 0 2 1 4 4 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 將上式兩邊分別乘以將上式兩邊分別乘以 并沿梁長并沿梁長 對對 積分，積分， 得得 利用正交性及歸一化條件，上式可以簡化為利用正交性及歸一化條件，上式可以簡化為 由此可以求得用正則坐標表示的梁的穩(wěn)態(tài)強迫振由此可以求得用正則坐標表示的梁的穩(wěn)態(tài)強迫振 動響應是動響應是 x)( xW j t l x wAqWAq dx Wd EI i iii i sin1 0 2 1 4 4 tdxW l x wAdxWWAqdx dx

46、 Wd WEIq l j i ji l i i l i ji sin 1 0 0 2 1 0 1 0 4 4 ,.2 , 1, sin 2 0 2 2 i i tw Alqq iii ,.2 , 1,sin 1 2 22 0 2 it i w Alq i i l Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 簡支梁的固有頻率是簡支梁的固有頻率是 代入代入 ，得，得 ), 2 , 1(, 2 22 i A EI l i i 1 * )()( i ii tqxWw 1 22 0 2 1 22 0 2 * 1 sin 1 sin2 sin 1 2sin 2 i i

47、i i l xi i t w t i w Al l xi Al w 1 22 2 0 0 1 22 0 2 * 1 sin 1 21sin 1sin 1 sin 1 sin2 i i i i g l xi il x tw l x tw l xi i t w www 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力轉動慣量和剪切變形以及軸向力 對梁的橫向自由振動的影響對梁的橫向自由振動的影響 Ship Vibration 當梁的橫截面尺寸與長度相比并不是很小或者在當梁的橫截面尺寸與長度相比并不是很小或者在 分析高階振動時，就需要考慮轉動慣量和剪切變分析高階振動時，就需要考慮轉動慣量和剪切變 形對梁的

48、橫向振動的影響，這時的梁稱為鐵木辛形對梁的橫向振動的影響，這時的梁稱為鐵木辛 柯梁?？铝?。 Ship Vibration 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向 自由振動的影響自由振動的影響 取一微段取一微段 ，畫出由剪力及彎矩引起的變形。當，畫出由剪力及彎矩引起的變形。當 剪力為零時，微段剪力為零時，微段 的中心線垂直于橫截面，令的中心線垂直于橫截面，令 是由彎矩引起的截面轉角，是由彎矩引起的截面轉角， 是由剪力引起的剪是由剪力引起的剪 切角，由彎矩和剪力共同作用引起的梁軸線的實切角，由彎矩和剪力共同作用引起的梁軸線的實 際轉角是際轉角是

49、 ，于是剪切角，于是剪切角 Ship Vibration dx x w x w dx 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向 自由振動的影響自由振動的影響 利用材料力學的基本公式利用材料力學的基本公式 Ship Vibration k G 6 5 kA kGA Q x EIM 10 9 k 式中式中 是截面的剪切修正系數(shù)（圓形截面是截面的剪切修正系數(shù)（圓形截面 ； 矩形截面矩形截面 ），）， 是剪切彈性模量，是剪切彈性模量， 是橫截是橫截 面面積。面面積。 x w kGAkGAQ 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣

50、量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向 自由振動的影響自由振動的影響 由牛頓第二定律寫出微段沿由牛頓第二定律寫出微段沿 軸的力平衡方程軸的力平衡方程 考慮轉動慣量的影響后，寫出微段繞考慮轉動慣量的影響后，寫出微段繞 軸的力矩軸的力矩 平衡方程平衡方程 Ship Vibration x Q t w Adx x Q QQ t w Adx 2 2 2 2 Q x M t I dx t wA dxdx x Q QMdx x M M t Idx 2 2 2 2 2 2 2 0 2 y 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向 自由振動的影響自由振動的影響 z

51、 Ship Vibration Q x M t I x Q t w A 2 2 2 2 將將 代入上述兩式，得代入上述兩式，得 假設梁是等截面的，并由上述兩式中消去假設梁是等截面的，并由上述兩式中消去 ，得，得 到鐵木辛柯梁橫向自由振動的運動微分方程到鐵木辛柯梁橫向自由振動的運動微分方程 x w kGAQ x EIM , 0 0 2 2 2 2 x w kGA x EI xt I x w x kGA t w A 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向 自由振動的影響自由振動的影響 01 4 42 22 4 2 2 4 4 t w kG I

52、tx w kG E I t w A x w EI Ship Vibration 01 4 42 22 4 2 2 4 4 t w kG I tx w kG E I t w A x w EI 式中第三項和第四項表示剪切變形和轉動慣量的式中第三項和第四項表示剪切變形和轉動慣量的 影響，上述方程仍可用分離變量法求解。影響，上述方程仍可用分離變量法求解。 現(xiàn)以簡支梁為例。假設運動微分方程的解是現(xiàn)以簡支梁為例。假設運動微分方程的解是 將上式代入運動微分方程，得將上式代入運動微分方程，得 )sin(sin),( iiii t l xi Ctxw 01 4 2 2 2 2 4 iii kG I l i kG

53、 E IA l i EI 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向 自由振動的影響自由振動的影響 由于最后一項由于最后一項 與與 相比是微小量，在相比是微小量，在 研究剪切變形的影響時可以略去，從而可以得到研究剪切變形的影響時可以略去，從而可以得到 式中式中 是不計剪切變形和轉動慣量時簡支是不計剪切變形和轉動慣量時簡支 梁的固有頻率。梁的固有頻率。 Ship Vibration 4 l i EI 4 2 i kG I 0 4 2 2 2 2 2 4 iii kG I l i kG IE l i IA l i EI kG E Al Ii l i

54、 EI l i kG E IA i ii 1 2 1 1 2 22 0 4 2 2 2 A EI l i 2 0 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向 自由振動的影響自由振動的影響 由上式可以看出，考慮了剪切變形和轉動慣量以由上式可以看出，考慮了剪切變形和轉動慣量以 后，系統(tǒng)的固有頻率減小了。這是因為系統(tǒng)的固后，系統(tǒng)的固有頻率減小了。這是因為系統(tǒng)的固 有頻率取決于它的質量和剛度，考慮剪切變形和有頻率取決于它的質量和剛度，考慮剪切變形和 轉動慣量以后，系統(tǒng)的有效質量增加，有效剛度轉動慣量以后，系統(tǒng)的有效質量增加，有效剛度 減小，因而導致系統(tǒng)

55、的固有頻率減小。剪切變形減小，因而導致系統(tǒng)的固有頻率減小。剪切變形 和轉動慣量對高階頻率的影響更加顯著。和轉動慣量對高階頻率的影響更加顯著。 Ship Vibration kG E Al Ii i 1 2 1 2 22 0 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向 自由振動的影響自由振動的影響 如果僅考慮轉動慣量的影響，則如果僅考慮轉動慣量的影響，則 如果僅考慮剪切變形的影響時，則如果僅考慮剪切變形的影響時，則 比較以上二式可以看到，剪切變形的影響要比轉比較以上二式可以看到，剪切變形的影響要比轉 動慣量的影響大。假設動慣量的影響大。假設 ，且

56、梁的橫截面，且梁的橫截面 是長方形的，是長方形的， ，則，則 即剪切變形的影響是轉動慣量的影響的即剪切變形的影響是轉動慣量的影響的3.2倍。倍。 Ship Vibration kG E Al Ii i 1 2 1 2 22 0 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向 自由振動的影響自由振動的影響 Al Ii i 2 22 0 2 1 kGAl EIi i 2 22 0 2 1 38GE 65k2 . 3)(kGE Ship Vibration 假設梁的兩端受到軸向拉力假設梁的兩端受到軸向拉力 的作用，且梁在振的作用，且梁在振 動過程中梁截面

57、上的軸向力動過程中梁截面上的軸向力 保持不變，如圖所保持不變，如圖所 示。示。 由牛頓第二定律寫出微段沿由牛頓第二定律寫出微段沿 軸的力平衡方程軸的力平衡方程 T T 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向 自由振動的影響自由振動的影響 z x Q t w A dx x Q QQ t w Adx 2 2 2 2 再寫出微段繞再寫出微段繞 軸的力矩平衡方程軸的力矩平衡方程 ，得，得 略去略去 的二次項后，得的二次項后，得 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 0 2 2 2 2 dx t wA dx

58、x w Tdxdx x Q QMdx x M M x w T x M Q y dx 將將 代入代入 ，得，得 由材料力學知由材料力學知 ，并代入上式，得到，并代入上式，得到 軸向受載的均勻歐拉軸向受載的均勻歐拉-伯努利梁橫向自由振動的伯努利梁橫向自由振動的 運動微分方程運動微分方程 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 0 2 2 2 2 2 2 x w T x M t w A 2 2 x w EIM 0 2 2 2 2 4 4 t w A x w T x w EI x w T x M Q x Q t w A 2 2 Ship Vibration 假設

59、運動微分方程的解是假設運動微分方程的解是 代入運動微分方程，得代入運動微分方程，得 )sin()(),(txWtxw 0 2 2 2 4 4 AW dx Wd T dx Wd EI EI A EI T 242 , 0 2 2 2 2 4 4 t w A x w T x w EI 0 4 2 2 2 4 4 W dx Wd dx Wd 令令 ，代入上式，得，代入上式，得 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向 自由振動的影響自由振動的影響 Ship Vibration 假設上述方程的解是假設上述方程的解是 xCxCxCxCxW 2423121

60、1 coshsinhcossin)( 式中式中 4 42 2 4 42 1 42 , 42 0 )( , 0)( 0 2 2 0 x x dx xWd xW 0 4 2 2 2 4 4 W dx Wd dx Wd 以簡支梁為例，其邊界條件是以簡支梁為例，其邊界條件是 0 )( , 0)( 2 2 lx lx dx xWd xW 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向 自由振動的影響自由振動的影響 Ship Vibration 將將 代入代入4個邊界條件，得個邊界條件，得 利用利用 和和 的系數(shù)的行列式為零的條件，得到頻的系數(shù)的行列式為零的條