自動(dòng)控制原理Matlab實(shí)驗(yàn)3(系統(tǒng)根軌跡分析)

1、自動(dòng)控制原理課程實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí) 驗(yàn) 名 稱 系統(tǒng)根軌跡分析 專 業(yè) 班 級(jí) * 學(xué) 號(hào) * 姓 名 * 指 導(dǎo) 教 師 李離 學(xué) 院 名 稱 電氣信息學(xué)院 2012 年 12 月 15 日一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、 掌握利用MATLAB精確繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的方法；2、 了解系統(tǒng)參數(shù)或零極點(diǎn)位置變化對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響；二、實(shí)驗(yàn)設(shè)備1、硬件：個(gè)人計(jì)算機(jī)2、軟件：MATLAB仿真軟件（版本6.5或以上）3、 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和步驟1 根軌跡的繪制利用Matlab繪制跟軌跡的步驟如下：1） 將系統(tǒng)特征方程改成為如下形式：1 + KG( s) = 1 + K=0，其中，K為我們所關(guān)心的參數(shù)。2） 調(diào)用函數(shù) rlocus 生

2、成根軌跡。關(guān)于函數(shù) rlocus 的說明見圖 3.1。 不使用左邊的選項(xiàng)也能畫出根軌跡，使用左邊的選項(xiàng)時(shí)，能 返回分別以矩陣和向量形式表征的特征根的值及與之對(duì)應(yīng)的增益值。圖3.1 函數(shù)rlocus的調(diào)用例如，圖 3.2 所示系統(tǒng)特征根的根軌跡及其繪制程序見圖 3.3。圖3.2 閉環(huán)系統(tǒng)一 圖 3.3 閉環(huán)系統(tǒng)一的根軌跡及其繪制程序圖 3.4 函數(shù) rlocfind 的使用方法注意：在這里，構(gòu)成系統(tǒng) sys 時(shí)，K 不包括在其中，且要使分子和分母中 s 最高次冪項(xiàng)的系數(shù)為1。當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳達(dá)函數(shù)為零、極點(diǎn)形式時(shí)，可調(diào)用函數(shù) zpk 構(gòu)成系統(tǒng) sys:sys = zpk(zero,pole,1);當(dāng)

3、系統(tǒng)開環(huán)傳達(dá)函數(shù)無零點(diǎn)時(shí)，zero寫成空集。對(duì)于圖 3.2 所示系統(tǒng)，G(s)H(s)=*=.可如下式調(diào)用函數(shù) zpk 構(gòu)成系統(tǒng) sys:sys=zpk(-1,0 -2 -3,1)若想得到根軌跡上某個(gè)特征根及其對(duì)應(yīng)的 K 的值，一種方法是在調(diào)用了函數(shù) rlocus 并得到了根 軌跡后調(diào)用函數(shù) rlocfind。然后，將鼠標(biāo)移至根軌跡圖上會(huì)出現(xiàn)一個(gè)可移動(dòng)的大十字。將該十字的 中心移至根軌跡上某點(diǎn)，再點(diǎn)擊鼠標(biāo)左鍵，就可在命令窗口看到該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的根值和 K 值了。另外一種 較為方便的做法是在調(diào)用了函數(shù) rlocus并得到了根軌跡后直接將鼠標(biāo)移至根軌跡圖中根軌跡上某點(diǎn) 并點(diǎn)擊鼠標(biāo)左鍵，這時(shí)圖上會(huì)出現(xiàn)一個(gè)

4、關(guān)于該點(diǎn)的信息框，其中包括該系統(tǒng)在此點(diǎn)的特征根的值及其 對(duì)應(yīng)的 K 值、超調(diào)量和阻尼比等值。圖 3.4 給出了函數(shù) rlocfind 的用法。2實(shí)驗(yàn)內(nèi)容圖3.5 閉環(huán)系統(tǒng)二 1）對(duì)于圖 3.5 所示系統(tǒng)，編寫程序分別繪制當(dāng)（1） G(s)=,（2） G(s)=,（3） G(s)=,（4） G(s)=,（5） G(s)=,（6） G(s)=,（7） G(s)=時(shí)系統(tǒng)的根軌跡，并就結(jié)果進(jìn)行分析。解析：Lab3_1_1.m程序：sys=zpk(,0 -2,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：理論分析:系統(tǒng)極點(diǎn)：p=0、-2 ，無零點(diǎn)，故有兩條漸近線，且=、-。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：=-1。分離點(diǎn)：K

5、=-s(s+2),dK/ds=-2s-2,令其=0，則s=-1，此時(shí)K=1。當(dāng)K=0時(shí)，系統(tǒng)根軌跡從極點(diǎn)0，-2處出發(fā)；當(dāng)K=1時(shí)，在實(shí)軸的-1處會(huì)合，分別沿垂直于-1的直線以，-方向延伸，在根軌跡無窮遠(yuǎn)處，K由分析可知，運(yùn)行結(jié)果與理論結(jié)果一致。Lab3_1_2.m程序：sys=zpk(,0 -2 -4,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：理論分析:系統(tǒng)極點(diǎn)：p=0、2、-4，無零點(diǎn)，系統(tǒng)有三條漸近線，且=、-、漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：=-2 。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：令s=jw,帶入特征方程s(s+2)(s+4)+K=0,得：jw(8-)+(K-6)=0,故w=2.83、-2.83 。帶入特征方程

6、驗(yàn)證，K0，實(shí)軸上的根軌跡：-2,0，（-，-4）。-2,0之間的根軌跡：K=0時(shí)，分別從-2,0出發(fā)；當(dāng)K=3.08*2*4=24.64時(shí)會(huì)合，再分別沿漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處，無窮遠(yuǎn)處，K；（-，-4）之間的根軌跡：K=0時(shí)，從-4出發(fā)，沿負(fù)實(shí)軸趨于無窮，無窮遠(yuǎn)處，K由分析可知，運(yùn)行結(jié)果與理論結(jié)果一致。Lab3_1_3.m程序：sys=zpk(,0 -2 -4 -6,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：理論分析:系統(tǒng)極點(diǎn)：p=0、-2、-4、-6 ，無零點(diǎn)，系統(tǒng)有四條漸近線，且=、-、-、 ，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：=-3分離點(diǎn)：，解得：，當(dāng) 帶入特征方程時(shí)，k0）。實(shí)軸上的根軌跡：-2,0,（-

7、，-4）。-2,0之間的根軌跡：當(dāng)K=0時(shí)，分別從-2,0出發(fā)，在s=-0.648此時(shí)K=44.7*2*4*(4+j2)*(4-j2)處會(huì)合，然后沿的漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處，無窮遠(yuǎn)處，K；（-，-4）之間的根軌跡：當(dāng)K=0時(shí)，從-4出發(fā)，沿漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處，無窮遠(yuǎn)處，K，同時(shí)，當(dāng)K=0時(shí)，系統(tǒng)根軌跡分別從-4-j2,-4+j2出發(fā)，沿漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處，無窮遠(yuǎn)處，K運(yùn)行結(jié)果與理論結(jié)果一致。Lab3_1_5.m程序：sys=zpk(-4,0 -2,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：理論分析:系統(tǒng)極點(diǎn)：p=0、-2 ，零點(diǎn)：-4，系統(tǒng)有一條漸近線，=分離點(diǎn)：=，解得：s=-4+2或-4-2 。根

8、軌跡是一個(gè)以-4為圓心，2為半徑的圓，根軌跡分別從-2,0出發(fā)，在s=-4+2處會(huì)合，然后分開，順著圓的軌跡在s=-4-2處會(huì)合，一條終止于s=-4處，另一條終止于s-處。起點(diǎn)處，K=0，終點(diǎn)處，K由分析可知，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果一致。Lab3_1_6.m程序：sys=zpk(-6,0 -2 -4,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：理論分析:系統(tǒng)極點(diǎn)：p=0、-2、-4 ，零點(diǎn)：-6 ，系統(tǒng)有兩條漸近線，且= 、-。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：=0。令s=jw,代入s(s+2)(s+4)+K(s+6)=0得：jw(+8+K)+6(-1)=0,故w=1、-1而此時(shí)，K=-90,所以根軌跡與虛軸沒有交點(diǎn)

9、。實(shí)軸上的根軌跡：-2,0,-6,-4-2,0之間的漸近線：當(dāng)K=0時(shí)，根軌跡分別從-2,0出發(fā)；當(dāng)K=0.603時(shí)，在實(shí)軸上s=0.936處會(huì)合，在分別沿著,-的漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處，無窮遠(yuǎn)處，K。-6,-4之間的根軌跡：當(dāng)K=0時(shí)，從-4出發(fā)，當(dāng)K時(shí)，根軌跡終止于零點(diǎn)-6由以上分析可知，運(yùn)行結(jié)果與理論結(jié)果一致。Lab3_1_7.m程序：sys=zpk(-4-2j -4+2j,0 -2 -4,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：理論分析:系統(tǒng)的極點(diǎn)：p=0、-2、-4 ，零點(diǎn)：-4-j2、-4+j2，系統(tǒng)有一條漸近線，且= 。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：=令s=jw, 代入s(s+2)(s+4)+K

10、(s+4+j2)(s+4-j2)=0,得jw(8+8K-)+(20K-6-)=0.令實(shí)部和虛部分別為0，得w=-10+j或-10-j.而此時(shí)K0,故根軌跡與虛軸無交點(diǎn)。實(shí)軸上的根軌跡：-2,0,(-)。-2,0之間的根軌跡：當(dāng)K=0時(shí)，根軌跡分別從-2,0出發(fā)；當(dāng)K=0.232*=0.58時(shí)，在實(shí)軸的s=-1.06處會(huì)合；在K時(shí)，終止于零點(diǎn)-4-j2,-4+j2。(-)之間的根軌跡：當(dāng)K=0時(shí)，根軌跡從-4出發(fā)，在K時(shí)，終止于負(fù)實(shí)軸的無窮遠(yuǎn)處由以上分析可知，運(yùn)行結(jié)果與理論結(jié)果一致。Lab3_2_1.ma=10時(shí)程序：sys=zpk(-1,0 0 -10,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：

11、圖1Lab3_2_2.ma=9時(shí)程序：sys=zpk(-1,0 0 -9,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果： 圖2Lab3_2_3.ma=8時(shí)程序：sys=zpk(-1,0 0 -8,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果： 圖3Lab3_2_4.ma=3時(shí)程序：sys=zpk(-1,0 0 -3,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：圖4Lab3_2_5.ma=1時(shí)程序：sys=zpk(-1,0 0 -1,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：圖5理論分析:特征方程為：，K=-，令 得2。，當(dāng)a=1或a=9時(shí)，有唯一根，則根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)只有一個(gè)，圖2及圖5可以證明。當(dāng)1a9時(shí)，方程

12、有兩個(gè)實(shí)根，又因?yàn)樵赼9時(shí)恒成立，跟在(-a,-1)段故根軌跡在實(shí)軸上有兩個(gè)不同的分離點(diǎn)。圖1可以證明。Lab3_3_1.ma=1時(shí)程序：sys=zpk(-2,0 -1 -1,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：Lab3_3_2.ma=1.12時(shí)程序：p=1 2;q=1 2 1.12 0;sys=tf(p,q);rlocus(sys)仿真結(jié)果：Lab3_3_3.ma=1.185時(shí)程序：p=1 2;q=1 2 1.185 0;sys=tf(p,q);rlocus(sys)仿真結(jié)果：Lab3_3_4.ma=3時(shí)程序：p=1 2;q=1 2 3 0;sys=tf(p,q);rlocus(sys)仿

13、真結(jié)果：理論分析:特征方程為：s()+k(s+2)=0,則K=-，令=0，得當(dāng)a=1，解得s=-2.6180，-1.0000，-0.3820。開環(huán)極點(diǎn)為0，-1，-1，開環(huán)零點(diǎn)為-2.所以實(shí)軸上的根軌跡為(-2,-1),(-1,0)段。所以實(shí)軸上的分離點(diǎn)為（-0.3820,0）。漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)，漸近線傾角=當(dāng)a=1.12, 解得s= -2.6501，-0.8564，-0.4935,解得s= -1.0000 + 0.3464i,-1.0000 - 0.3464i ,開環(huán)極點(diǎn)0，-1.0000+0.3464i,-1.0000 -0.3464i開環(huán)零點(diǎn)-2，所以實(shí)軸上的根軌跡為-2,0段。實(shí)軸上的

14、分離點(diǎn)為（-0.8564，0），（-0.4935，0）。漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)，漸近線傾角=。當(dāng)a=1.185, 解得s= -2.6666， -0.6763，-0.6571,解得s= -1.0000 + 0.4301i，-1.0000 - 0.4301i,開環(huán)極點(diǎn)0，-1.0000 + 0.4301i，-1.0000 - 0.4301i，開環(huán)零點(diǎn)-2，所以實(shí)軸上的根軌跡為-2,0段。實(shí)軸上的分離點(diǎn)為-0.6763，-0.6571。漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)，漸近線傾角=。當(dāng)a=3, 解得s= -3.0000 ，-0.5000 + 0.8660i，-0.5000 - 0.8660i，,解得s= -1.0000 +