天文學(xué)基礎(chǔ)04-行星系統(tǒng)和行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律

1、天文學(xué)基礎(chǔ) （公共選修課教程） 1、意義 2、數(shù)學(xué)表達(dá) 2 21 r mm GF 表示任何兩個(gè)相距為r并具有質(zhì)量m1及m2的質(zhì)點(diǎn)之間必 然存在的相互吸引的力F。 G為萬(wàn)有引力常數(shù)，G=6.6725910-11 m3/kgs2 天文學(xué)中取天文單位、太陽(yáng)質(zhì)量和日（天文學(xué)中取天文單位、太陽(yáng)質(zhì)量和日（86400秒）為長(zhǎng)度、秒）為長(zhǎng)度、 質(zhì)量、時(shí)間的單位，則質(zhì)量、時(shí)間的單位，則G=k2，k=0.01720209895，名為，名為 “高斯常數(shù)高斯常數(shù)”，是天文常數(shù)系統(tǒng)中視作不變的，是天文常數(shù)系統(tǒng)中視作不變的“定義常定義常 數(shù)數(shù)”。 庫(kù)侖定律： 2 21 r qq kf 注意 具有密度分層均勻的同心球?qū)咏Y(jié)構(gòu)

2、的正 球體各向同性的正球體與質(zhì)量集中于 球心的一個(gè)具有嚴(yán)格意義的質(zhì)點(diǎn)等價(jià)。 1、什么是二體問(wèn)題？ 2、二體問(wèn)題的空間示意圖 O P Q x y z r P r Q r 建立任一空間坐標(biāo)系O- xyz，P和Q分別是兩個(gè) 天體 是天體P的位置矢量 是天體Q的位置矢量 是天體Q相對(duì)于天體P 的位置矢量。 P r Q r PQ r-rr r 為便于理解可以把天體為便于理解可以把天體P看看 作太陽(yáng)，把天體作太陽(yáng)，把天體Q看作行星?？醋餍行恰?天體P受天體Q的引力： r r r mm k 2 Qp P F 天體Q受天體P的引力： r r- r mm k 2 Qp Q F 根據(jù)牛頓第二定律： 2 2 dt

3、rd m dt )vmd ( F r r mm k r 2 32 2 dt d m Qp P pP F r r r r mm kr-r r 2 332 2 2 2 dt d dt d Qp pQ -)( PQ r-rr 又 r r mm k r 2 32 2 dt d m Qp Q pQ F x x 32 2 rdt d y y 32 2 rdt d z z 32 2 rdt d 222 zyxr 這是一組聯(lián)立的二階非線性常微分方程，通解是包含6個(gè)相互 獨(dú)立的積分常數(shù)的6個(gè)積分。 解的結(jié)果表明，行星運(yùn)動(dòng)是沿著圓錐曲線的平面運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng) 位于一個(gè)焦點(diǎn)上。 6個(gè)積分常數(shù)決定了軌道的空間位置和某一時(shí)刻

4、行星在軌道上 的位置，在天文學(xué)中成為6個(gè)軌道根數(shù)。 二體問(wèn)題的微分方程及其積分，完滿地解釋了開(kāi)普勒行星運(yùn) 動(dòng)定律的動(dòng)力學(xué)原因，徹底地解決了只有兩個(gè)天體時(shí)全部的 運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題。 兩個(gè)天體在萬(wàn)有引力作用下如何運(yùn)動(dòng)的二體問(wèn)題已經(jīng)獲得十分精確兩個(gè)天體在萬(wàn)有引力作用下如何運(yùn)動(dòng)的二體問(wèn)題已經(jīng)獲得十分精確 而完滿的解答，但是實(shí)際天體不止兩個(gè)，只要再多出一個(gè)天體，即而完滿的解答，但是實(shí)際天體不止兩個(gè)，只要再多出一個(gè)天體，即 “三體三體”問(wèn)題，求解就相當(dāng)困難。問(wèn)題，求解就相當(dāng)困難。 對(duì)于空間直角坐標(biāo)系，n個(gè)天體在相互之間存在的萬(wàn)有引力的作用 下，可以列出3n個(gè)二階微分方程組，其通解由6n個(gè)積分組成，共 包含6n個(gè)

5、積分常數(shù)，其中有10個(gè)積分總是可以得出的： n個(gè)天體的質(zhì)量中心運(yùn)動(dòng)定律3個(gè)積分 n個(gè)天體的總動(dòng)量守恒定律3個(gè)積分 n個(gè)天體的總動(dòng)量矩守恒定律3個(gè)積分 n個(gè)天體的總能量守恒定律1個(gè)積分 如果再找出余下的6n-10個(gè)積分，n體問(wèn)題就能徹底解決。 1843年，雅克比證明：如果包括10個(gè)初積分在內(nèi)的6n-2個(gè)積分都已找 到，則最后兩個(gè)積分就一定能找到。 3 13 13 3 2 3 12 12 2 2 2 1 2 d d r qq mk r qq mk t q iiiii 3 23 23 3 2 3 12 21 1 2 2 2 2 d d r qq mk r qq mk t q iiiii 3 23 3

6、2 2 2 3 13 31 1 2 2 3 2 d d r qq mk r qq mk t q iiiii 321,i 設(shè)有1，2，3三個(gè)天體，質(zhì)量分別為沒(méi)m1, m2, m3；r12 , r23 , r 13分別表 示它們相互之間的距離。在空間直角坐標(biāo)系中，用q1i , q2i , q3i , i=1,2,3表 示三個(gè)天體對(duì)應(yīng)于x軸（i=1），y軸（i=2），z軸（i=3）的三組坐標(biāo)。 三組共9個(gè)聯(lián)立的二階 非線性常微分方程， 通解是包含18個(gè)相互 獨(dú)立的積分常數(shù)的18 個(gè)積分。 除10個(gè)初積分外，還剩8個(gè)積分，按雅克比定理，只要找出其中6個(gè)積 分，三體問(wèn)題就徹底解決，但不幸的是，直到現(xiàn)在一

7、個(gè)也沒(méi)有找到。 1900年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，希爾伯提出了23個(gè)數(shù)學(xué)難題，另外還舉 了兩個(gè)大難題，即費(fèi)馬大定理和三體問(wèn)題 （1994年費(fèi)馬大定理被美國(guó)的懷爾斯徹底解決） 19世紀(jì)末，龐加萊等證明，找到三體問(wèn)題的全部代數(shù)函數(shù)形式的解 是不可能的，于是數(shù)學(xué)家和力學(xué)家轉(zhuǎn)而尋找級(jí)數(shù)形式的解。 1912年，芬蘭數(shù)學(xué)家松德曼找到了附加限制條件的冪級(jí)數(shù)解，但是 這些級(jí)數(shù)收斂得非常慢，以至于沒(méi)有使用價(jià)值。 如要獲得三體問(wèn)題的一個(gè)位置數(shù)據(jù)，級(jí)數(shù)至少要取108000項(xiàng)！ 為了計(jì)算行星軌道和預(yù)知天體的位置，人們探求有效的近似求解的 方法，提出了攝動(dòng)理論。 攝動(dòng)是指在二體問(wèn)題中天體沿軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，因受到其他天體的影響 而

8、偏離原來(lái)的軌道。 如圖，M是中心天體，m是作軌道運(yùn)動(dòng)的天體，m是攝動(dòng)天體，M、 m、m分別是他們的質(zhì)量。r、r、p表示兩兩之間的距離。 1、攝動(dòng)力 M m m r r p -g1 g2 -g2 g1 g3 g0 g g2 g -g2 根據(jù)萬(wàn)有引力，M對(duì)m的力產(chǎn)生m的運(yùn)動(dòng)加速度 m的存在使M產(chǎn)生加速度 2 2 r k M g 0 m也使M產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)加速度 2 2 r k m g 1這兩個(gè)加速度相反。 2 2 r k m g2使m產(chǎn)生加速度 2 2 p k m g 3 g2的作用相當(dāng)于使m產(chǎn)生了相對(duì)于M的加速度-g2 ， 于是m的存在形成和了g3和-g2的合成加速度g g相應(yīng)的作用力就是攝動(dòng)力 g3

9、 a) 在日、地、月三體問(wèn)題中，地球是中心天體，月球是繞地球作軌道 運(yùn)動(dòng)的天體，而太陽(yáng)是攝動(dòng)天體。 b) 設(shè)r和R分別為月球和太陽(yáng)到地球的距離。在朔時(shí)，太陽(yáng)使月球產(chǎn)生 的引力加速度g3=k2M/(R-r)2（M為太陽(yáng)質(zhì)量），太陽(yáng)使地球產(chǎn)生的引 力加速度g2=k2M/R2，則g= g3 -g3 =k2M(2Rr-r2)/R2(R-r)2，若忽略r， 可得到近似結(jié)果： g=2 k2rM/R3 。同理，在望時(shí)， g3=k2M/(R+r)2 ， g2=k2M/R2， g=-2 k2rM/R3 。這兩個(gè)結(jié)果都表明太陽(yáng)的攝動(dòng)影響 使月球偏向地球的反方向，即遠(yuǎn)離地球。 c) 單純從萬(wàn)有引力公式計(jì)算，太陽(yáng)對(duì)月

10、球的引力比地球?qū)υ虑虻囊?大一倍多，但由于月球繞地公轉(zhuǎn)，太陽(yáng)的引力只起攝動(dòng)作用，而攝 動(dòng)力的大小與距離的立方成反比，所以決定月球運(yùn)動(dòng)的主力不是來(lái) 自太陽(yáng)而是地球。 d) 太陽(yáng)對(duì)月球的攝動(dòng)力比地球?qū)υ虑虻囊π?0倍，但這一攝動(dòng)力在 太陽(yáng)系內(nèi)仍是相對(duì)較大的。因此月球繞地公轉(zhuǎn)比單純的橢圓運(yùn)動(dòng)要 復(fù)雜得多，精確確定月球的位置通常要考慮好幾百項(xiàng)因素。 2、潮汐現(xiàn)象 由于地球自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)和月球的運(yùn)動(dòng)，海洋各處輪流處于A或B的位置， 造成海水有漲有落的潮汐現(xiàn)象。 A相對(duì)于O而言的加速度為： 3 2 22 2 D 2rm k D 1 r)(D 1 mk B相對(duì)于O而言的加速度為： 3 2 22 2 D 2r

11、m k D 1 r)(D 1 mk 起源于月亮、太陽(yáng)或其它天體的引力而造成潮汐現(xiàn)象的力稱為引潮力 或起潮力。其數(shù)值與引力來(lái)源天體的質(zhì)量成正比，與兩天體間的距離 的立方成反比。 2、洛希極限 式中，R為行星半徑，為衛(wèi)星密度， 為行星密度。系數(shù)2.45539是假 定衛(wèi)星質(zhì)量同行星質(zhì)量之比可以忽略時(shí)洛希給出的值。 如果這一比值不能忽略，系數(shù)應(yīng)有變化，達(dá)爾文給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下： 19世紀(jì)法國(guó)天文學(xué)家洛希在研究衛(wèi)星形狀理論中提出一個(gè)使衛(wèi)星解體 的極限數(shù)據(jù)，稱為洛希極限洛希極限。 R455392A 31/ )/(. 當(dāng)衛(wèi)星（流體團(tuán)）與行星的距離小于洛希極限，說(shuō)明引潮力超過(guò)極 限，那么衛(wèi)星將會(huì)解體分散。 二

12、體問(wèn)題的行星運(yùn)動(dòng)軌道是圓錐曲線，包括橢圓、拋物線、 雙曲線三種類型。決定軌道在空間的位置和行星在軌道上 的位置依賴于6個(gè)常數(shù)，稱為軌道根數(shù)。（以下以橢圓軌 道為例） 1、開(kāi)普勒 2、開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律 2、開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律 3 2 3 1 2 2 2 1 T T a a 常數(shù) 22 3 2 1 3 2 2 2 3 1 4 GM TTT i i aaa 2、開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律 1 2 3 2 3 1 2 2 2 1 mM mM T T a a 常數(shù) 22 3 4 G m)MT( a 3、開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的推論 第二定律行星在軌道上運(yùn)動(dòng)的速度是不均勻的，且在近 日點(diǎn)附近要比遠(yuǎn)日點(diǎn)附

13、近運(yùn)動(dòng)得快。 第三定律行星離太陽(yáng)越遠(yuǎn)，公轉(zhuǎn)周期越長(zhǎng)，且軌道半長(zhǎng) 徑與周期之間有確切的數(shù)量關(guān)系。 第三定律離太陽(yáng)越遠(yuǎn)的行星，公轉(zhuǎn)角速度越小，公轉(zhuǎn)線 速度也越小。 第三定律可以計(jì)算太陽(yáng)質(zhì)量和有衛(wèi)星繞轉(zhuǎn)的大行星的質(zhì) 量 1、行星軌道三大基本特征 近圓性軌道的偏心率都比較小，使得軌道接近于 圓形，偏心率最大的是冥王星（0.2482） 和水星（0.2056） 同向性公轉(zhuǎn)方向都是自西向東，無(wú)一例外。 共面性行星的軌道基本都在一個(gè)平面上，即黃道 面。軌道傾角最大：冥王星（17）、水 星（7 ） 2、提丟斯波得定則 1766年，德國(guó)的一位中學(xué)教師提丟斯在自然的探索德文 版中首次提出了后來(lái)被稱為“提丟斯波得”定則的見(jiàn)解，不過(guò) 并未做出任何解釋。 1772年，德國(guó)天文學(xué)家波得在星空研究指南一書(shū)中研究 并引用了提丟斯的見(jiàn)解，也未做說(shuō)明。 1、（地）內(nèi)行星 2、（地）外行星 兩次發(fā)生同一