傅里葉變換11

1、積分變換積分變換 第1-1頁(yè) 電子教案 工程數(shù)學(xué) 積 分 變 換 (第四版第四版) 積分變換積分變換 第1-2頁(yè) 電子教案 引言引言: 所謂積分變換所謂積分變換,就是通過(guò)積分運(yùn)算就是通過(guò)積分運(yùn)算,把一個(gè)函數(shù)把一個(gè)函數(shù) 變成另一個(gè)函數(shù)的變換變成另一個(gè)函數(shù)的變換. ( )( )( , ). b a Ff t K tdt ( )Af t中的函數(shù) ( )BF中的函數(shù) ( , )K t其中,是一個(gè)確定的二元函數(shù),.稱為積分變換的核 ( ,) j t K te 當(dāng)時(shí) ( , ) st K te 當(dāng)時(shí) Fourier變換變換 Laplace變換變換 ( )( )( )f tFf t稱為象原函數(shù), 稱為的象函

2、數(shù), 在一定條件下,它們是一一對(duì)應(yīng)且變換可逆. 積分變換積分變換 第1-3頁(yè) 電子教案 第一章第一章 傅里葉變換傅里葉變換 1.1 1.1 傅里葉積分傅里葉積分 1.2 1.2 傅里葉變換傅里葉變換 1.3 1.3 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 1.4 1.4 卷積與相關(guān)函數(shù)卷積與相關(guān)函數(shù) 1.5 1.5 傅里葉變換的應(yīng)用傅里葉變換的應(yīng)用 積分變換積分變換 第1-4頁(yè) 電子教案 傅里葉生平傅里葉生平 1、1768年生于法國(guó)年生于法國(guó) 2、1807年提出年提出“任何周期信號(hào)都可用正任何周期信號(hào)都可用正 弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示” 3、拉格朗日反對(duì)發(fā)表、拉格朗日反對(duì)發(fā)表 4、1822年首次

3、發(fā)表在年首次發(fā)表在“熱的解析理論熱的解析理論” 一書(shū)中一書(shū)中 5、1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件 2、非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示、非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示 傅里葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)傅里葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn) 1、周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和、周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和 1.1 1.1 傅里葉積分傅里葉積分 1.1 1.1 傅里葉積分傅里葉積分 積分變換積分變換 第1-5頁(yè) 電子教案 傅里葉分析的工程意義傅里葉分析的工程意義 各種頻率的正弦信號(hào)的產(chǎn)生、傳輸、分離和變換各種頻率的正弦信號(hào)的產(chǎn)生、傳輸、分離和

4、變換 容易工程實(shí)現(xiàn)。容易工程實(shí)現(xiàn)。 正弦量只需三要素即可描述，正弦量只需三要素即可描述，LTILTI系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)的輸入和 輸出的差別只有兩要素，即系統(tǒng)的作用只改變信號(hào)輸出的差別只有兩要素，即系統(tǒng)的作用只改變信號(hào) 的振幅和相位。的振幅和相位。 是是LTILTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，系統(tǒng)的特征函數(shù)， 響應(yīng)易求且簡(jiǎn)單。響應(yīng)易求且簡(jiǎn)單。 tt t jsincose j 1 1、傅里葉分析的基本信號(hào)單元、傅里葉分析的基本信號(hào)單元 1.1 1.1 傅里葉積分傅里葉積分 積分變換積分變換 第1-6頁(yè) 電子教案 2、適用于廣泛的信號(hào)、適用于廣泛的信號(hào) 由虛指數(shù)或正弦信號(hào)的線性組合可以組成工程中各種信號(hào)，由虛指數(shù)

5、或正弦信號(hào)的線性組合可以組成工程中各種信號(hào)， 使得對(duì)任意信號(hào)作用下的使得對(duì)任意信號(hào)作用下的LTILTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析成為一件容易系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析成為一件容易 的事情。的事情。利于濾波、壓縮處理。利于濾波、壓縮處理。 1.1 1.1 傅里葉積分傅里葉積分 3、頻域分析的優(yōu)勢(shì)、頻域分析的優(yōu)勢(shì) 任意信號(hào)分解成不同頻率虛指數(shù)（正弦）信號(hào)的線性組合，任意信號(hào)分解成不同頻率虛指數(shù)（正弦）信號(hào)的線性組合， 分析分析LTILTI系統(tǒng)對(duì)這些不同頻率單元信號(hào)作用的響應(yīng)特性的過(guò)程系統(tǒng)對(duì)這些不同頻率單元信號(hào)作用的響應(yīng)特性的過(guò)程 就是頻域分析。就是頻域分析。 頻域分析可以方便求解系統(tǒng)響應(yīng)。頻域分析可以方便求解系統(tǒng)響應(yīng)

6、。 例如相量法。例如相量法。 頻域分析的結(jié)果具有明顯的物理意義，例如抽樣定理和無(wú)頻域分析的結(jié)果具有明顯的物理意義，例如抽樣定理和無(wú) 失真?zhèn)鬏敻拍疃际穷l域分析的結(jié)果。失真?zhèn)鬏敻拍疃际穷l域分析的結(jié)果。 可直接在頻域內(nèi)設(shè)計(jì)可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，例如濾波器的設(shè)計(jì)?？芍苯釉陬l域內(nèi)設(shè)計(jì)可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，例如濾波器的設(shè)計(jì)。 積分變換積分變換 第1-7頁(yè) 電子教案 在工程計(jì)算中在工程計(jì)算中, 無(wú)論是電學(xué)還是力學(xué)無(wú)論是電學(xué)還是力學(xué), 經(jīng)常要和隨時(shí)間而變的周期經(jīng)常要和隨時(shí)間而變的周期 函數(shù)函數(shù)fT(t)打交道打交道. 例如例如: 具有性質(zhì)具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t), 其中其中T稱作周期稱作周期, 而而1/T代表單位時(shí)

7、間振代表單位時(shí)間振 動(dòng)的次數(shù)動(dòng)的次數(shù), 單位時(shí)間通常取秒單位時(shí)間通常取秒, 即每秒重復(fù)多少次即每秒重復(fù)多少次, 單位是赫單位是赫 茲茲(Hz). 一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) t 積分變換積分變換 第1-8頁(yè) 電子教案 最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù) fT(t)=Asin( t+j j) 其中其中 =2p p/T 而而Asin( t+j j)又可以看作是兩個(gè)周期函數(shù)又可以看作是兩個(gè)周期函數(shù) sin t和和cos t的線性組合的線性組合 Asin( t+j j)=asin t+bcos t t 積分變換積分變換 第1-9頁(yè) 電子教案 人們發(fā)現(xiàn)人們

8、發(fā)現(xiàn), 所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的 三角函數(shù)的線性組合來(lái)逼近三角函數(shù)的線性組合來(lái)逼近. 方波方波 4個(gè)正弦波的逼近個(gè)正弦波的逼近 100個(gè)正弦波的逼近個(gè)正弦波的逼近 積分變換積分變換 第1-10頁(yè) 電子教案 狄利赫利條件狄利赫利條件 1.1 1.1 傅里葉積分傅里葉積分 研究周期函數(shù)實(shí)際上只須研究其中的一個(gè)周期內(nèi)的情況即可研究周期函數(shù)實(shí)際上只須研究其中的一個(gè)周期內(nèi)的情況即可, 通常研究在閉區(qū)間通常研究在閉區(qū)間-T/2,T/2內(nèi)函數(shù)變化的情況內(nèi)函數(shù)變化的情況. 并非理論上的并非理論上的 所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級(jí)數(shù)逼近所有周期函數(shù)都可以

9、用傅里葉級(jí)數(shù)逼近, 而是要滿足狄利赫利而是要滿足狄利赫利 (Dirichlet)條件條件, 即在區(qū)間即在區(qū)間-T/2,T/2上上 1, 連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn) 2, 只有有限個(gè)極值點(diǎn)只有有限個(gè)極值點(diǎn) 這兩個(gè)條件實(shí)際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù)這兩個(gè)條件實(shí)際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù). 積分變換積分變換 第1-11頁(yè) 電子教案 第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)的區(qū)別第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)的區(qū)別: 第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn) 積分變換積分變換 第1-12頁(yè) 電子教案 是在區(qū)間是在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。上的完備正交

10、函數(shù)集。 完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集 （1）三角函數(shù)集）三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(n t)，n=1,2, 將任一函數(shù)將任一函數(shù)f(t)用這用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似。個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似。 1.1 1.1 傅里葉積分傅里葉積分 ), 3 , 2 , 1,(0dcoscos ), 3 , 2 , 1,(0dsinsin ), 3 , 2 , 1,(0dcossin ), 3 , 2 , 1(0dsin ), 3 , 2 , 1(0dcos 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 mnmnttmtn mnmnttmtn mnmnttmtn nttn nttn Tt t T

11、t t Tt t Tt t Tt t 積分變換積分變換 第1-13頁(yè) 電子教案 （2）虛指數(shù)函數(shù)集）虛指數(shù)函數(shù)集 ejnt，n=0，1，2， 將任一函數(shù)將任一函數(shù)f(t)用這用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似。個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似。 ejntcos(nt）+ j sin(nt） e-jntcos(nt）- j sin(nt） 是在區(qū)間是在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。上的完備正交函數(shù)集。 因?yàn)橐驗(yàn)?積分變換積分變換 第1-14頁(yè) 電子教案 1、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式 設(shè)周期信號(hào)設(shè)周期信號(hào)f(t)，其周期為，其周期為T(mén)，角頻率，角頻率=2p p/T

12、，當(dāng)滿足，當(dāng)滿足狄里赫利狄里赫利 (Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù) 稱為稱為f(t)的的傅傅 里葉級(jí)數(shù)里葉級(jí)數(shù) 11 0 )sin()cos( 2 )( n n n n tnbtna a tf 系數(shù)系數(shù)an , bn稱為稱為傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) 2 2 d)cos()( 2 T Tn ttntf T a 2 2 d)sin()( 2 T Tn ttntf T b 可見(jiàn)，可見(jiàn)， an 是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， bn是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 積分變換積分變換 第1-15頁(yè) 電子教案 1 0 )cos( 2 )( n nn tnA A tfj 式

13、中，式中，A0 = a0 22 nnn baA n n n a b arctanj 上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。 其中，其中， A0/2為為直流分量直流分量； A1cos(t+j j1)稱為稱為基波或一次諧波基波或一次諧波，它的角頻率與原周期，它的角頻率與原周期 信號(hào)相同；信號(hào)相同； A2cos(2t+j j2)稱為稱為二次諧波二次諧波，它的頻率是基波的，它的頻率是基波的2倍；倍； 一般而言，一般而言，Ancos(nt+j jn)稱為稱為n次諧波次諧波。 可見(jiàn)可見(jiàn)An是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， j jn是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。

14、an = Ancosj jn， bn = Ansin j jn，n=1,2, 將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫(xiě)為將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫(xiě)為 積分變換積分變換 第1-16頁(yè) 電子教案 2、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式 三角形式三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因 而經(jīng)常采用而經(jīng)常采用指數(shù)形式指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。的傅里葉級(jí)數(shù)。 1 jj 0 1 jjjj 0 jjjj 2 j 2 j 2 2 j 22 )( : 2 jsin, 2 cos n tn nn tn nn n tntn n tntn nT e ba e baa ee

15、 b ee a a tf eeee jjjj jj得由 如令如令 n=n (n=0, 1, 2,.) n tj n n tj n tj nT nn n nn n nnn ecececctf n jba c jba c a c 1 0 0 0 )( , 3 , 2 , 1, 2 , 2 , 2 且令 積分變換積分變換 第1-17頁(yè) 電子教案 給定給定fT(t), cn的計(jì)算如下的計(jì)算如下: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d)( 1 dsin)cos( 1 dsin)( 1 dcos)( 1 2 1 d)( 1 2 0 0 T T T T T T T T T T tetf T ttnjt

16、ntf T ttntf T jttntf T jba c n ttf T a c tjn TT TT nn n T 時(shí)當(dāng) n t T n t nT t Tn tn Tn nn n n T T nn T T n T T eef T ectf ndtetf T c dtetf T c ba c jjj j j 2 2 2 2 2 2 d)( 1 )( ), 2, 1, 0()( 1 )( 1 2 j 子因此可以合寫(xiě)成一個(gè)式 而 積分變換積分變換 第1-18頁(yè) 電子教案 11 0 )sin()cos( 2 )( n n n n tnbtna a tf n tjn n ctf e)( 1 0 )cos

17、( 2 )( n nn tnA A tfj 3、三角形式與指數(shù)形式的比較、三角形式與指數(shù)形式的比較 三角形式便于電路計(jì)算，便于對(duì)稱性分析三角形式便于電路計(jì)算，便于對(duì)稱性分析 可推出傅里葉變換可推出傅里葉變換 代表頻譜代表頻譜 表達(dá)最簡(jiǎn)練表達(dá)最簡(jiǎn)練 n = 0, 1, 2， 2 2 de)( 1 T T tjn n ttf T c 2 2 d)cos()( 2 T Tn ttntf T a 2 2 d)sin()( 2 T Tn ttntf T b 指數(shù)形式的優(yōu)勢(shì)指數(shù)形式的優(yōu)勢(shì) n j nn ecc j 積分變換積分變換 第1-19頁(yè) 電子教案 An n = 0, 1, 2， cn n = 0,

18、 1, 2， nn j n j n T T tjn n eceAttf T c jj 2 1 de)( 1 2 2 4、周期函數(shù)的頻譜及特點(diǎn)、周期函數(shù)的頻譜及特點(diǎn) 傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) 幅度關(guān)系幅度關(guān)系 n次正弦諧波分量的振幅 n A cn n次指數(shù)諧波分量的模 相位關(guān)系相位關(guān)系 nn jj 正弦諧波初相 指數(shù)諧波輻角 n tjn n ctf e)( nnn Acc 2 1 1 0 )cos( 2 )( n nn tnA A tfj 積分變換積分變換 第1-20頁(yè) 電子教案 （1）信號(hào)頻譜的概念）信號(hào)頻譜的概念 從廣義上說(shuō)，信號(hào)的某種從廣義上說(shuō)，信號(hào)的

19、某種特征量特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系， 稱為稱為信號(hào)的頻譜信號(hào)的頻譜，所畫(huà)出的圖形稱為信號(hào)的，所畫(huà)出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖頻譜圖。 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨 頻率的變化關(guān)系，即頻率的變化關(guān)系，即 將將An和和j jn的關(guān)系分別畫(huà)在以的關(guān)系分別畫(huà)在以為橫軸的平面上得到為橫軸的平面上得到 的兩個(gè)圖，分別稱為的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖振幅頻譜圖和和相位頻譜圖相位頻譜圖。因?yàn)椤Ｒ驗(yàn)閚0，所，所 以稱這種頻譜為以稱這種頻譜為單邊譜單邊譜。 也可畫(huà)也可畫(huà)|cn|和和j jn的關(guān)系，稱為的關(guān)系，稱為雙邊譜雙邊譜。

20、若。若cn為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)， 也可直接畫(huà)也可直接畫(huà)cn 。 積分變換積分變換 第1-21頁(yè) 電子教案 指數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖 p 2 25. 0 15. 0 O n j j p 1 A 2 A 2O 2 4.2 11 n A 2 n A 三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的頻譜圖 2 5 . 0 O 12. 1 2 12. 1 5 . 01 n F p p p p 2 25. 0 15. 0 O 15. 0 2 25. 0 n j j 例例 積分變換積分變換 第1-22頁(yè) 電子教案 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 11 0 )sin()cos( 2 )( n n n

21、 n tnbtna a tf 1、三角形式、三角形式 之一之一 2 2 d)cos()( 2 T Tn ttntf T a 2 2 d)sin()( 2 T Tn ttntf T b 積分變換積分變換 第1-23頁(yè) 電子教案 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 2、三角形式、三角形式 之二之二 1 0 )cos( 2 )( n nn tnA A tfj A0 = a0 22 nnn baA n n n a b arctanj 積分變換積分變換 第1-24頁(yè) 電子教案 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 3、虛指數(shù)形式、虛指數(shù)形式 n tjn n ctf e)

22、( n = 0, 1, 2， 2 2 de)( 1 T T tjn n ttf T c 積分變換積分變換 第1-25頁(yè) 電子教案 j jn，相位頻譜圖相位頻譜圖 周期函數(shù)的頻譜周期函數(shù)的頻譜 1、三角形式（、三角形式（單邊譜單邊譜） |cn| 2、虛指數(shù)形式（、虛指數(shù)形式（雙邊譜雙邊譜） An，振幅頻譜圖振幅頻譜圖 j jn 積分變換積分變換 第1-26頁(yè) 電子教案 （2）周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)）周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn) 舉例：有一幅度為舉例：有一幅度為1，脈沖寬度，脈沖寬度 為為 的周期矩形脈沖，其周期為的周期矩形脈沖，其周期為 T，如圖所示。求頻譜。，如圖所示。求頻譜。 f(t) t 0 T-T 1

23、 2 2 t T ttf T c tjn T T tjn n de 1 de)( 1 2 2 2 2 2 2 sin n n T 令令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)）取樣函數(shù)） n n TjnT tjn) 2 sin( 2e1 2 2 O pppp 1 Sa(x) x 積分變換積分變換 第1-27頁(yè) 電子教案 )() 2 ( T n Sa T n Sa T cn p , n = 0 ,1，2， cn為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)頻譜圖。設(shè)為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)頻譜圖。設(shè)T = 4畫(huà)圖。畫(huà)圖。 零點(diǎn)為零點(diǎn)為 p m n 2 所以所以 p m n 2 ，m為整數(shù)。為整數(shù)。 特點(diǎn)特點(diǎn)： (1)周期

24、信號(hào)的頻譜具有諧波周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散離散)性。譜線位置是基性。譜線位置是基 頻頻的整數(shù)倍；的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。一般具有收斂性。總趨勢(shì)減小。 p 2 B (3)主要能量在第一過(guò)零點(diǎn)內(nèi)。主頻帶寬度為：主要能量在第一過(guò)零點(diǎn)內(nèi)。主頻帶寬度為： 積分變換積分變換 第1-28頁(yè) 電子教案 譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系： (a) T一定，一定， 變小，此時(shí)變小，此時(shí)（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的 譜線數(shù)目：譜線數(shù)目： 1/=（2p p/ ）/(2p p/T)=T/ 增多。增多。 積分變換積分變換 第1-29頁(yè) 電子教案

25、 如果周期如果周期T無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線 間隔將趨近于零，周期信號(hào)的間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜離散頻譜就過(guò)渡到非周期信號(hào)就過(guò)渡到非周期信號(hào) 的的連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小。 (b) 一定，一定，T增大，間隔增大，間隔減小，頻譜變密。幅度減小。減小，頻譜變密。幅度減小。 積分變換積分變換 第1-30頁(yè) 電子教案 二、傅里葉積分二、傅里葉積分 對(duì)任何一個(gè)非周期函數(shù)對(duì)任何一個(gè)非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個(gè)周期函數(shù)都可以看成是由某個(gè)周期函數(shù)fT(t) 當(dāng)當(dāng)T時(shí)轉(zhuǎn)化而來(lái)

26、的。時(shí)轉(zhuǎn)化而來(lái)的。 作周期為作周期為T(mén)的函數(shù)的函數(shù)fT(t)， 使其在使其在 T/2,T/2之內(nèi)等于之內(nèi)等于f(t)， 在在 T/2,T/2之外按周期之外按周期T延拓到整個(gè)數(shù)軸上，延拓到整個(gè)數(shù)軸上， 則則T越大，越大， fT(t)與與 f(t)相等的范圍也越大，相等的范圍也越大， 這就說(shuō)明當(dāng)這就說(shuō)明當(dāng)T時(shí)，時(shí)， 周期函數(shù)周期函數(shù)fT(t)便便 可轉(zhuǎn)化為可轉(zhuǎn)化為f(t)，即有，即有 lim( )( ) T T ftf t 積分變換積分變換 第1-31頁(yè) 電子教案 O t f(t) Ot fT1(t) Ot fT2(t) 積分變換積分變換 第1-32頁(yè) 電子教案 , 2 , , d)( 1 lim

27、)( d)( 1 )( 1 jj jj 2 2 2 2 n nnn n n t T T n t TT T T n eef T tf eef T tf n T T n n T T n pp 或 兩個(gè)相鄰的點(diǎn)的距離為布在整個(gè)數(shù)軸上 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)便均勻分取一切整數(shù)時(shí)當(dāng) T p2 O 1 2 3 n-1n T p2 T p2 T p2 由周期函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式由周期函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式 可知可知 積分變換積分變換 第1-33頁(yè) 電子教案 如圖 n n t T n t T T n T T n n n T T n eef eef T tf p jj 0 jj 2 2 2 2 d)( 2 1 lim

28、 d)( 1 lim)( 當(dāng)當(dāng)T+時(shí)，有時(shí)，有n0，所以，所以 t n nnTn n nnT t TnT nn n n T T n eef T tf eef p p jj 0 jj d)( 2 1 )( )()(, 0 )(lim)( d)( 2 1 )( 2 2 即當(dāng) 令 積分變換積分變換 第1-34頁(yè) 電子教案 jj 0 jj 1 ()( )d 2 ( )lim() ()d( )d 1 ( )( )dd 2 nn n t n Tnn n nn t fee f t f tfee p p 由 最后得 此公式稱為函數(shù)此公式稱為函數(shù)f(t)的傅里葉積分公式，的傅里葉積分公式， 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱傅氏積分公式傅氏積分公式。 上式為傅里葉積分公式的復(fù)指數(shù)形式上式為傅里葉積分公式的復(fù)指數(shù)形式 積分變換積分變換 第1-35頁(yè) 電子教案 傅氏積分定理傅氏積分定理 若若f(t)在在( , + )上滿足條件上滿足條件: 1. f(t)在任一有限在任一有限 區(qū)間上滿足狄氏條件區(qū)間上滿足狄氏條件; 2. f(t)在無(wú)限區(qū)間在無(wú)限區(qū)間( , + )上絕對(duì)可積上絕對(duì)可積, 則有則有 來(lái)代替。 處，應(yīng)以在它的間斷點(diǎn)成立，