第二章 物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、第二章第二章 物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2-1 引言引言 2-2 元件和系統(tǒng)運動方程的建立元件和系統(tǒng)運動方程的建立 2-3 運動方程的線性化運動方程的線性化 2-4 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 2-5 用拉普拉斯變換方法解微分方程用拉普拉斯變換方法解微分方程 2-6 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 2-7 結(jié)構(gòu)圖等效變換結(jié)構(gòu)圖等效變換 2-8 反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 第二章第二章 物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 引言引言 何謂數(shù)學(xué)模型 描述系統(tǒng)描述系統(tǒng)輸入輸入、輸出變量輸出變量以及以及內(nèi)部各變量內(nèi)部各變量之間關(guān)系的之間關(guān)系的 數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)表達(dá)式。 數(shù)學(xué)表達(dá)式具有多種

2、形式數(shù)學(xué)表達(dá)式具有多種形式，同一系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型具有，同一系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型具有 多樣性多樣性。 不同形式的數(shù)學(xué)模型所反映的量和量之間的本質(zhì)不同形式的數(shù)學(xué)模型所反映的量和量之間的本質(zhì) 關(guān)系不變。關(guān)系不變。 為什么要建立數(shù)學(xué)模型為什么要建立數(shù)學(xué)模型 物理系統(tǒng)的內(nèi)部變量對輸入有依賴，內(nèi)部變量對輸出物理系統(tǒng)的內(nèi)部變量對輸入有依賴，內(nèi)部變量對輸出 有影響，內(nèi)部變量之間也會相互影響，如何影響，影響程有影響，內(nèi)部變量之間也會相互影響，如何影響，影響程 度如何，都需要用數(shù)學(xué)語言來精確地定量描述，只有用數(shù)度如何，都需要用數(shù)學(xué)語言來精確地定量描述，只有用數(shù) 學(xué)語言描述后系統(tǒng)，其特性才得以精確地反映，才能為控學(xué)語言描述

3、后系統(tǒng)，其特性才得以精確地反映，才能為控 制器所理解、所利用。制器所理解、所利用。 實際物理系統(tǒng)實際物理系統(tǒng)( (不管是機械的、電氣的、熱力學(xué)的、不管是機械的、電氣的、熱力學(xué)的、 液壓，也不管是單一元件組成的簡單系統(tǒng)或者眾多液壓，也不管是單一元件組成的簡單系統(tǒng)或者眾多 原件組成的復(fù)雜系統(tǒng)原件組成的復(fù)雜系統(tǒng)) )都可以用微分方程來描述其輸都可以用微分方程來描述其輸 入輸出關(guān)系。通過對其求解可以獲得系統(tǒng)的響應(yīng)。入輸出關(guān)系。通過對其求解可以獲得系統(tǒng)的響應(yīng)。 許多看似非常不同的物理系統(tǒng)，卻可以用許多看似非常不同的物理系統(tǒng)，卻可以用結(jié)構(gòu)完結(jié)構(gòu)完 全一樣全一樣的微分方程（數(shù)學(xué)模型）來表達(dá)。的微分方程（數(shù)學(xué)

4、模型）來表達(dá)。本課程就本課程就 是以這些模型為基礎(chǔ)，研究不同領(lǐng)域?qū)ο蠊餐?guī)律是以這些模型為基礎(chǔ)，研究不同領(lǐng)域?qū)ο蠊餐?guī)律 的。的。 如何獲取系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，方法有兩類： 1 1、實驗法（系統(tǒng)辨識法）實驗法（系統(tǒng)辨識法）人為施加某種測試信號，人為施加某種測試信號， 記錄基本輸出響應(yīng)。根據(jù)測試信號及響應(yīng)信號隨時間的變記錄基本輸出響應(yīng)。根據(jù)測試信號及響應(yīng)信號隨時間的變 化規(guī)律，依賴某種算法，計算出模型的結(jié)構(gòu)及參數(shù)。特點：化規(guī)律，依賴某種算法，計算出模型的結(jié)構(gòu)及參數(shù)。特點： 把系統(tǒng)當(dāng)黑匣子處理，無需了解其結(jié)構(gòu)、組成及工作機理。把系統(tǒng)當(dāng)黑匣子處理，無需了解其結(jié)構(gòu)、組成及工作機理。 黑黑 匣匣 子子 輸輸

5、 入入 （ 已已 知知 ） 輸輸 出出 （ 已已 知知 ） 2、解析法（機理分析法）解析法（機理分析法） 對系統(tǒng)各部分的運動機理進(jìn)行分析，依據(jù)系統(tǒng)及元件各變對系統(tǒng)各部分的運動機理進(jìn)行分析，依據(jù)系統(tǒng)及元件各變 量之間所遵循的物理、化學(xué)定律，列出變量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，量之間所遵循的物理、化學(xué)定律，列出變量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式， 建立數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型。 建模步驟建模步驟 l分析系統(tǒng)工作情況，明確各元部件或子系統(tǒng)的輸入和輸出分析系統(tǒng)工作情況，明確各元部件或子系統(tǒng)的輸入和輸出 變量變量,并引入必要的中間變量并引入必要的中間變量 l從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循從輸入端開始，按照信號

6、的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循 的物理或化學(xué)定律，列寫元部件動態(tài)方程的物理或化學(xué)定律，列寫元部件動態(tài)方程 l消去中間變量，得到系統(tǒng)輸入、輸出之間的微分方程消去中間變量，得到系統(tǒng)輸入、輸出之間的微分方程 l標(biāo)準(zhǔn)化，將關(guān)于輸入的項按照導(dǎo)數(shù)階次由高到低的順序?qū)憳?biāo)準(zhǔn)化，將關(guān)于輸入的項按照導(dǎo)數(shù)階次由高到低的順序?qū)?在等號右邊，輸出項按照相同的方式寫在左邊，并將最高階在等號右邊，輸出項按照相同的方式寫在左邊，并將最高階 項系數(shù)歸一化項系數(shù)歸一化 m fr k xc m kxc c dx f dt fr 2 2 c c rc xdx mfkxf dt d d t 2 2 c c cr xdx mfkxf dt

7、 d d t 彈簧彈簧-質(zhì)量質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)阻尼器系統(tǒng) f 牛頓第二定律 若m、k、f為常數(shù)，則為 二階常系數(shù)線性微分方程 2 2 1 c c cr xdxmf xf kk dtk d d t 令 2 , m T k 2 f T k , m T k 2 f mk 時間單位，稱為時間常數(shù)無量綱，稱阻尼系數(shù)或阻尼比 m fr k xc m kxc c dx f dt F f 2 2 2 1 2 c c cr xdx TTxf dtk d d t 1 , n T 2 2 2 2 2 c cn nncr xdx xf dtk d d t 令 標(biāo)準(zhǔn)形式1： 特點： l最低導(dǎo)數(shù)項系數(shù)為1 l每項系數(shù)的量剛

8、都是時間的若干次冪 ，冪次等于該項的導(dǎo)數(shù)階數(shù) 有 標(biāo)準(zhǔn)形式2： n 為無阻尼震蕩頻率 稱 彈簧彈簧-質(zhì)量質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)阻尼器系統(tǒng) + - + - uc (t) (t) RLCRLC電路電路 i(t) 2 c 2 ( ) 1 ( )( ) ( )( ) Lc R c c ci t i di Lidt i dtC d iC dt i tdt LCRCtt dd u uuu Riu u d uu uu tt 又有： 為中間變量，消去，得： iu 克希霍夫回路電壓定律 若L、C、R為常數(shù)，則為 二階常系數(shù)線性微分方程 2 ,TLC2 TRC令,TLC 2R CL或 2 2 2 ( )( ) 2( )

9、( ) c c ci u tdu t TTu tu t dt d d t 2 22 2 ( )( ) 2( )( ) c c nncnc u tdu t u tu t dt d d t 標(biāo)準(zhǔn)形式： U U1 1 R R1 1R R2 2 U U2 2C C1 1C C2 2 圖圖2 2- -1 1 R RC C組組成成的的四四端端網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò) 右圖為由一RC組成的四 端無源網(wǎng)絡(luò)。試列寫以 U1(t)為輸入量，U2(t) 為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方 程。 RCRC四端網(wǎng)絡(luò)四端網(wǎng)絡(luò) 設(shè)回路電流i1、i2，根據(jù)克?；舴蚨桑袑懛匠蹋?1111c UiRU dtii C U c )( 1 21 1 1 222

10、1cc UiRU dti C U c2 2 2 1 22c UU i1 i2 1111c UiRU dtii C U c )( 1 21 1 1 2221cc UiRU dti C U c2 2 2 1 22c UU dt dU C dt dU Ci c2 2 2 22 dt dU C dt dU Ci dt dU Ci cc2 2 1 12 1 11 由、得 由導(dǎo)出 11 12 22c UR iR iU 2 2 22 2 2 1 11 )(U dt dU CR dt dU C dt dU CR c 將i1、i2代入、，則得 11 12 22c UR iR iU 2 2 22 2 2 1 11

11、 )(U dt dU CR dt dU C dt dU CR c 2 2 22 2 222211 )(U dt dU CR dt dU CUiR dt d CR 2 2 22 2 21 2 11 2 2 2 2211 U dt dU CR dt dU CR dt dU CR dt Ud CRCR 2 22 121211122221 2 ()= d UdU R R C CR CR CR CUU dtdt 2 T2 T 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程 電樞控制的他勵直流電動機電樞控制的他勵直流電動機 + - e i 負(fù)載 L R gM + - u fi f M J 輸入的電樞電壓u在

12、電樞回 路中產(chǎn)生電樞電流i，再由 電流i與激磁磁通相互作用 產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)距 ，從而拖 動負(fù)載運動。因此，直流 電動機的運動方程可由以 下三部分組成。 電樞回路電壓平衡方程 電磁轉(zhuǎn)矩方程 電動機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方 程 g M 電樞控制的他勵直流電動機電樞控制的他勵直流電動機 + - e i 負(fù)載 L R gM + - （1）電樞回路(克?；舴蚨? d dt i ieuLR （2）反電勢(楞次定律) ( )( ) e tt eC （3）電磁力矩（安培定律） ( )( ) g M Mtt C i （4）軸上動力學(xué)方程 ( )( )( )( ) g ffM d JMtttt dt C iMM u fi

13、f M J 消去中間變量, , g i e M 2 2 1 ( ) 1 MeMee LJRJdf u t f C CC CdtC d MeMe dM R d M tC CdtC C Ce反電勢系數(shù) （電動機和負(fù)載折合到電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量） m eM RJ T C C ， 1 m e K C ， M eM R C C K 忽略電感忽略電感L并認(rèn)為負(fù)載轉(zhuǎn)矩為常數(shù)，則方程簡化為并認(rèn)為負(fù)載轉(zhuǎn)矩為常數(shù)，則方程簡化為： 1 ( ) Mee RJd u t f C CdtC Me R M C C ( ) mm d TK u tKM Mf dt d dt 令則 具有時間的量綱， 稱為機電時間常數(shù) 轉(zhuǎn)速/電壓

14、轉(zhuǎn)速/轉(zhuǎn)矩 若以轉(zhuǎn)角為輸出，因為 2 2 ( ) mm dd TK u tKM Mf dtdt 2 2 ( ) mm dd TK u t dtdt 有 有些小功率系統(tǒng)，負(fù)載較小，則 系統(tǒng)運動方程的列寫（教材圖系統(tǒng)運動方程的列寫（教材圖1-71-7的隨動系統(tǒng)）的隨動系統(tǒng)） 系統(tǒng)原理框圖為： 電位器放大器電動機減速器 r 2 uK u , ,u u uu c rc 1 uK c i - 比較元件： 放大器： 電動機： 2 2 ( ) mm dd TK u t dtdt 電位器： 減速器： 消去中間變量得 2 2 1 mcc cr T dd K dtK dt 即： 2 12 2 ,/ cc mcrm

15、 dd TKKKK K Ki dtdt 其中 22 22 22 2,2 cccc crnncr dddd TT dtdtdtdt 標(biāo)準(zhǔn)化： 上述系統(tǒng)表面上雖然很不相同，但都可用二階常上述系統(tǒng)表面上雖然很不相同，但都可用二階常 系數(shù)線性微分方程描述，這表明其輸出對輸入的系數(shù)線性微分方程描述，這表明其輸出對輸入的 依賴關(guān)系從結(jié)構(gòu)上講是相同的，我們把這樣的兩依賴關(guān)系從結(jié)構(gòu)上講是相同的，我們把這樣的兩 個或多個系統(tǒng)稱為個或多個系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)相似系統(tǒng)。 能用二階線性微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)，能用二階線性微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)， 很多系統(tǒng)經(jīng)過簡化后，都可歸為二階系統(tǒng)。三階很多系統(tǒng)經(jīng)過簡化后

16、，都可歸為二階系統(tǒng)。三階 或三階以上系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)。或三階以上系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)。 微分方程是動態(tài)方程，即系統(tǒng)在運動狀態(tài)下的輸微分方程是動態(tài)方程，即系統(tǒng)在運動狀態(tài)下的輸 入輸出關(guān)系，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，其關(guān)系用代數(shù)方程表入輸出關(guān)系，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，其關(guān)系用代數(shù)方程表 示。示。 上面的系統(tǒng)都是針對線性元器件建立的，其數(shù)學(xué)上面的系統(tǒng)都是針對線性元器件建立的，其數(shù)學(xué) 模型是線性微分方程。對非線性元器件又當(dāng)如何模型是線性微分方程。對非線性元器件又當(dāng)如何 處理？處理？ 2-3 運動方程的線性化 嚴(yán)格地將，實際物理系統(tǒng)都是非線性的；嚴(yán)格地將，實際物理系統(tǒng)都是非線性的； 建模原則是在保證模型具有可接受精確度的前提下應(yīng)該

17、建模原則是在保證模型具有可接受精確度的前提下應(yīng)該 盡量簡單，階數(shù)盡量低，最好是線性模型。盡量簡單，階數(shù)盡量低，最好是線性模型。采取的方法 是：抓住主要因素忽略次要因素，使系統(tǒng)理想化。 還有些元器件其非線性程度無法在全工作范圍內(nèi)用統(tǒng)一還有些元器件其非線性程度無法在全工作范圍內(nèi)用統(tǒng)一 的線性模型描述；有些較復(fù)雜的系統(tǒng)，即使用一系列假的線性模型描述；有些較復(fù)雜的系統(tǒng)，即使用一系列假 設(shè)簡化后，其輸入、輸出和狀態(tài)量之間的關(guān)系仍是非線設(shè)簡化后，其輸入、輸出和狀態(tài)量之間的關(guān)系仍是非線 性的。例如六自由度飛機運動方程。性的。例如六自由度飛機運動方程。 對非線性系統(tǒng)，一種近似處理方法是在工作點附近進(jìn)行對非線性

18、系統(tǒng)，一種近似處理方法是在工作點附近進(jìn)行 線性化處理，即小擾動線性化方程。線性化處理，即小擾動線性化方程。 含一個自變量的非線性函數(shù) y=f(x)，在x0處連續(xù)可微，則可 將它在該點附件用臺勞級數(shù)展開 2 00000 1 ( )()()()()() 2! yf xf xfxxxfxxx 0000 ( )()()()yyf xf xfxxx 0 ()yfxxk x 0 xxx 0 yyy 令 增量較小時略去其高次冪項，則有 有 0 yyy 兩個變量的非線性函數(shù)線性化 y=f(x1,x2)同樣可在某工作點（x10,x20）附近用臺勞級數(shù) 展開 110110 220220 110110 220220

19、 110 220 1212 121020110220 12 2 2 1212 1101020 2 112 2 12 2 2 ( ,)( ,) ( ,)(,)()() ( ,)( ,)1 ()2()() 2! ( ,) ( xxxx xxxx xxxx xxxx xx xx f x xf x x yf x xf xxxxxx xx f x xf x x xxxxxx xx x f x x x 2 220) xx 110110 220220 1212 1020110220 12 1122 ( ,)( ,) (,)()() xxxx xxxx f x xf x x yf xxxxxx xx ykxk

20、x 即： 這種小偏差線性化方法對于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)是可行的這種小偏差線性化方法對于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)是可行的 例：把非線性方程例：把非線性方程 z=f(x,y)=xyz=f(x,y)=xy在區(qū)域在區(qū)域5x7 5x7 、 10y1210y12上線性化。求用線性化方程來計算當(dāng)上線性化。求用線性化方程來計算當(dāng)x=5x=5， y=10y=10時時z z值所產(chǎn)生的誤差。值所產(chǎn)生的誤差。 由于研究的區(qū)域為5x7、10y12，故 選擇工作點x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=611=66. 求在點x0=6，y0=11，z0=66附近非線性方程的線性 化表達(dá)式。將非線性方程在點x0,y0,z0

21、處展開成泰 勒級數(shù)，并忽略其高階項，則有 0 0 0 0 00 00 0000 000 ( , ) ( , )( , ) (,)()() =y()x() =6611 (6(116)6(11) 11666 高階 線性化增量方 項略去 全量方程 程 x x x x yy yy x xx x yyyy zf x y z f x yf x y f xyxxyy xy zxxyy xy y xy x 全量方程式為： z=11x+6y-66 當(dāng)x=5,y=10時，z的精確值為z=xy=510=50 由線性化方程求得的z值為z=11x+6y-66=55+60-66=49 因此，誤差為50-49=1，表示成百

22、分?jǐn)?shù) 2% 例：鐵芯線圈:輸入ur,輸出i i r u R 0 i 0 i 11 ( )di uK dt 根據(jù)克?；舴蚨?1r uuRi 感應(yīng)電動勢u1： ( ) i磁通量 1 ( ) r di di KRiu didt 注意：系數(shù)是變量，但和系 統(tǒng)狀態(tài)以及輸入輸出無關(guān)時 不影響系統(tǒng)的線性性） 不是常數(shù)，且和輸 出有關(guān) 設(shè)工作過程中，電壓電流只在平衡點（u0,i0）附近微小變化，平衡時磁通量為 0 0 0 100 100 ( )() ()() ( )() ()() r r didii KRiiuu didt didi KRiiuu didt 鐵芯線圈:輸入ur,輸出i i r u R 0 i

23、 0 i 設(shè)工作過程中，電壓電流只在平衡點（u0,i0）附近微小變化，平衡時磁通量為 0 0 0 100 100 ( )() ()() ( )() ()() r r didii KRiiuu didt didi KRiiuu didt 0 0 0 1 0 1 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ()( ) i i i i di ii di di iiCi di diidCidi CC dididi 1100 () r di K CR iRiuu dt 平衡狀態(tài)有 00 Riu 小擾動線性化方程為（增量方程）： 11 () r di K CR iu dt 如果系統(tǒng)中非線性元件 不止一個，則必須

24、依據(jù) 實際系統(tǒng)中各元件所對 應(yīng)的平衡工作點建立線 性化增量方程。 2.6 傳遞函數(shù) l以微分方程為模型的系統(tǒng)分析方法的基本思路是： l缺乏直觀性，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)改變時，上述過程需要反 復(fù)進(jìn)行，非常不便。 l經(jīng)典控制理論中主要以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)來分析、設(shè) 計系統(tǒng)，并同時派生了系統(tǒng)設(shè)計的復(fù)數(shù)域方法（根 軌跡法）和頻域法，這些方法繞過了對微分方程的 求解，可方便地用圖形表示，直觀簡便。 l傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的概念之一。 建立微分方程 代入初值條件 解微分方程 得到響應(yīng)曲線 計算、分析性能指標(biāo) i(t) 0 ( ) ( )( ) 0(0)0 ( )( )( ) 1 ( )( ) 1 o o i

25、ooi oi dt RCU tt dt u RCssss ss RCs u u uuu uu 在 初始條件下() 經(jīng)過變換后，微分方程成了代數(shù)方程 1 1 )( )( )( , 1 1 )( Ts sG s s Ts sG u u i o 則令： )(s ui G(s) )(s uo + uo(t) ui(t) - ( ) 11 ( )11 o i s sRCsTs u u 輸入信號的拉氏變換 由輸入的形式?jīng)Q定 取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù) 而與輸入輸出無關(guān) 傳遞函數(shù) )(s ui G(s) )(s uo 傳遞函數(shù)的定義：傳遞函數(shù)的定義： 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)在在零初始條件零初始條件下，下，輸出量

26、的拉氏變換輸出量的拉氏變換與與輸輸 入量的拉氏變換入量的拉氏變換之比。之比。 結(jié)構(gòu)圖：結(jié)構(gòu)圖： 傳遞函數(shù)給出了元部件（或系統(tǒng)）輸出對輸入的 依賴關(guān)系。在方框圖中用傳遞函數(shù)代替元器件的名 稱，從而構(gòu)成結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖（或傳遞函數(shù)方框圖），結(jié)構(gòu) 圖能從本質(zhì)上揭示系統(tǒng)的運動規(guī)律，因而更為常用。 說明：說明： l僅由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)決定，是系統(tǒng)的動態(tài)模型，和輸入輸僅由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)決定，是系統(tǒng)的動態(tài)模型，和輸入輸 出無關(guān)；出無關(guān)； l傳遞函數(shù)是對線性系統(tǒng)定義的，對非線性系統(tǒng)不適用；傳遞函數(shù)是對線性系統(tǒng)定義的，對非線性系統(tǒng)不適用； l線性時變系統(tǒng)在很多情況下在很小的時間區(qū)間內(nèi)可以當(dāng)做線性時變系統(tǒng)在很多情況下在

27、很小的時間區(qū)間內(nèi)可以當(dāng)做 時不變系統(tǒng)近似處理，可以得到僅適用于該時段的傳遞函數(shù)；時不變系統(tǒng)近似處理，可以得到僅適用于該時段的傳遞函數(shù)； l因為系統(tǒng)具有慣性且能源功率有限，傳遞函數(shù)是復(fù)變量因為系統(tǒng)具有慣性且能源功率有限，傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的的 實系數(shù)有理真分式，通常分子多項式次數(shù)小于等于分母多項實系數(shù)有理真分式，通常分子多項式次數(shù)小于等于分母多項 式次數(shù)。否則，系統(tǒng)物理不可實現(xiàn)。式次數(shù)。否則，系統(tǒng)物理不可實現(xiàn)。 )(s ui G(s) )(s uo l 零初始條件含義有二：輸入是在t=0以后才作用于系統(tǒng)，系 統(tǒng)輸入的各階導(dǎo)數(shù)在t=0-時的值為零；輸入作用之前系統(tǒng) 是相對靜止的，系統(tǒng)輸出量及其各階

28、導(dǎo)數(shù)在t=0-時的值為 零。 2 10102 2 1010 2 10110 ( )( )( )( )( ) (0)(0)(0)0 ( )(0)(0)( )(0)( )( )(0)( ) ( )(0)(0) 系統(tǒng)微分方程 系統(tǒng)輸出及其一階導(dǎo)數(shù)的初值分別為和，輸入函數(shù)的初值為。 ddd r tar ta r tbe tbe t dtdtdt rre s R ssrra sR sra R sb sE seb E s sa s aR ss a rrbs b 1 101 222 101010 ( )(0) 1 ( )( )(0)(0) E sbe bs bs a R sE srr sa s asa s

29、asa s a l 為什么要規(guī)定零初始條件: 便于分析研究；為“公正地” 分析評價系統(tǒng)，需要對他們在相同條件下考察。如：初始 條件都規(guī)定為零；輸入通常都用階躍信號。如同跑步比賽， 都跑完100米，都從靜止開始。 l 為什么可以規(guī)定零初始條件：研究系統(tǒng)的響應(yīng)，都是從開 始研究它的瞬時才把信號加上去的；絕大多數(shù)系統(tǒng)，當(dāng)輸 入為0時，都處于相對靜止?fàn)顟B(tài)；零初始條件的規(guī)定，并 不妨礙非零初條件時系統(tǒng)全響應(yīng)的求解(可以由G(s)回到系 統(tǒng)微分方程，加上初條件求解). l傳函的局限性1：對非零初始條件的系統(tǒng)，傳遞函數(shù)不能完 全描述其行為。 l傳函的局限性2：傳遞函數(shù)只是通過系統(tǒng)的輸入變量與輸出 變量之間的

30、關(guān)系來描述系統(tǒng)，即系統(tǒng)的外部描述，對內(nèi)部其 他變量卻不完全知道。能同時反映內(nèi)部變量運動特性的模型 是狀態(tài)空間模型。 l傳函的局限性3：只適合單輸入單輸出（SISO）系統(tǒng) )(. 01 )1( 1 )( 01 )1( 1 )( trbrbrbrbcacacaca m m m m n n n n )( . . )( )( 01 1 1 01 1 1 sG asasasa bsbsbsb sR sC n n n n m m m m )(.)(. 01 1 101 1 1 sRbsbsbsbsCasasasa m m m m n n n n 微分方程一般形式微分方程一般形式： 拉氏變換拉氏變換： 傳遞

31、函數(shù)：傳遞函數(shù)： r(t)為輸入，為輸入，c(t)為輸出，為輸出，a0，,an以及以及b0，,bm是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)決定的。是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)決定的。 11 110110 (s).(s). mmnn mmnn Mb sbsbsbNa sasa sa 令； ( ) ( ) ( ) M s G s N s 0s 令令 0 0 (0) b G a 得系統(tǒng)放大系數(shù) 系統(tǒng)放大系數(shù)的物理意義：系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時，輸出與輸入之比系統(tǒng)放大系數(shù)的物理意義：系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時，輸出與輸入之比 傳遞函數(shù)的一般形式傳遞函數(shù)的一般形式 首首1 1標(biāo)準(zhǔn)型：標(biāo)準(zhǔn)型： 尾尾1 1標(biāo)準(zhǔn)型：標(biāo)準(zhǔn)型： )( . . )( )( 01 1

32、1 01 1 1 sG asasasa bsbsbsb sR sC n n n n m m m m 分子分母系 數(shù)都除以an 分子分母系 數(shù)都除以a0 n i i m j j ps zsK sG 1 1 * )( )( )( 零極點模型 21 12 1 22 1 1 22 1 )12()1( )12()1( )( n j jj n i i m k ll m l k sTsTsTs sss KsG v 典型環(huán)節(jié)形式 根軌跡增益根軌跡增益 K*=bm/an 增益 K=b0/a0 兩種增益間的關(guān)系：兩種增益間的關(guān)系： * (-) (-) m j j n i i Kz K p 1 1 當(dāng)傳函中不存在積

33、分環(huán)節(jié)時，有當(dāng)傳函中不存在積分環(huán)節(jié)時，有 ( )( ), ( ) ( ) ( ) y tKx t Y s G sK X s ( )( ), ( )1 ( ) ( ) y tx t dt Y s G s X ss 1.1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)K K 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) 3.3.純微分環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié) ( ) ( ) ( ) dx t y tK dt G sKs 12 12 22 11 22 11 (1)(21) ( ) (1)(21) v mm kll kl nn ijj ij sss G sK sTsT sT s 1 ( ), 2 2 21 G s T ss T 2 ( )( ) 2 2( )( )0

34、 2 d y tdy t TTy tx tt dt dt ， ( ) ( )( ) ( )1 dx t y tx t dt G ss 1 1 )( )( )( )()( )( TssX sY sG txty dt tdy T 2 2 2 22 ( )( ) ( )2( ) ( )21 x tdx t y tx t dt d G ss d t s n i i m j j ps zsK sG 1 1 * )( )( )( 12 , m z zz 零極點模型零極點模型 零點：使傳遞函數(shù)分子多項式取值為零的點。 12 , m p pp極點：使傳遞函數(shù)分母多項式取值為零的點。 零極點分布圖：把傳遞函數(shù)的

35、零點和極點同時表示在復(fù)平面上的圖形 特殊傳遞函數(shù)特殊傳遞函數(shù)頻率特性頻率特性 令s j ( )() sj G sG j 即稱該式為系統(tǒng)的頻率特性 頻率特性是s只能在虛軸上取值的特殊傳遞函數(shù) 頻率特性是描述系統(tǒng)特性的另一種數(shù)學(xué)模型 頻率特性是系統(tǒng)頻域分析、設(shè)計方法的基礎(chǔ) 例例 已知某系統(tǒng)在已知某系統(tǒng)在0 0初條件下的單位階躍響應(yīng)為：初條件下的單位階躍響應(yīng)為： 試求試求：（：（1 1） 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；系統(tǒng)的傳遞函數(shù)； （2 2） 系統(tǒng)的增益；系統(tǒng)的增益； （3 3） 系統(tǒng)的特征根及相應(yīng)的模態(tài)；系統(tǒng)的特征根及相應(yīng)的模態(tài)； （4 4） 畫出對應(yīng)的零極點圖；畫出對應(yīng)的零極點圖； （5 5） 求系統(tǒng)的單

36、位脈沖響應(yīng)；求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)； （6 6） 求系統(tǒng)微分方程；求系統(tǒng)微分方程； （7 7） 當(dāng)當(dāng) c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 時，求系統(tǒng)的響應(yīng)。時，求系統(tǒng)的響應(yīng)。 解解. .（1 1） )4)(1( )2(2 4 1 3 1 1 1 3 21 )( sss s sss sC )4)(1( )2(2 )( 1 )( )( )( )( ss s sGs s SC sR sC sG tt eetc 4 3 1 3 2 1)( 1 4 22 K t t e e 4 2 1 4 1 41)4)(1( )2(2 )()( 2

37、1111 s C s C L ss s LsGLtk 3 2 4 )2(2 lim 1 1 s s C s tt ee ss Ltk 41 3 4 3 2 4 1 3 4 1 1 3 2 )( )( )( 45 42 )4)(1( )2(2 )( 2 sR sC ss s ss s sG 2 1 (54) ( )(24) ( ) :( )5 ( )4 ( )2 ( )4 ( ) ssC ssR s Lc tc tc tr tr t (2)(2) (4) (4) 如圖所示如圖所示 (3)(3) (5)(5) (6)(6) 3 4 1 )2(2 lim 4 2 s s C s 1 (s 1) C(

38、s)2(s2) 2 G(s) 1 R(s)(s 1)(s4) (s 1)( s 1) 4 3 4 4 )5( lim 1 1 s s C s )(4 )0()( 5 )0()0()(: 2 sC cssC cscsCsL 22 2(2)15 ( ) 5454 ss C s sssss 4 1 3 1 1 1 3 4 41)4)(1( )5( )( 21 0 sss C s C ss s sC 4 0 41 33 ( ) tt c tee 44 0 2141 ( )( )( )11 2 3333 ttttt r c tc tc teeeee （7 7） 其中初條件引起的自由響應(yīng)部分其中初條件引起

39、的自由響應(yīng)部分 )()2(2)0()0()5()()45( 2 sRsccssCss 3 1 1 )5( lim 4 2 s s C s 1 :( )5 ( )4 ( )2 ( )4 ( )Lc tc tc tr tr t 結(jié)構(gòu)圖等效變換及梅遜公式 + - + - uc(t) ru (t) i(t) R RC網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò) 1 ( )( )( )( )-( )( ) 1 ( )( ) rcrc c UsRI sUsUsUsI s R UsI s Cs 即 ( ) c Us 不消掉中間變量，而是直接進(jìn)行拉氏變換 1 rc c uRiu uidt C ( ) r Us( )I s 1 R ( )I s

40、1 Cs ( ) c Us - ( ) c Us ( ) r Us( )I s 1 R ( )I s 1 Cs ( ) c Us - ( ) c Us ( ) r Us 1 RCs ( ) c Us - ( ) c Us ( ) r Us 1 1RCs l建立系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的步驟 建立控制系統(tǒng)各元部件的微分方程 對各元部件的微分方程分別進(jìn)行拉氏變換，并作出各 元部件的結(jié)構(gòu)圖 按照系統(tǒng)中各信號的傳遞順序，依次將各元件結(jié)構(gòu)圖 連接起來，便得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 教材圖教材圖1-71-7的隨動系統(tǒng)的隨動系統(tǒng) 系統(tǒng)原理框圖為： 電位器放大器電動機減速器 r 2 uK u uu c rc 1 uK c i - 比

41、較元件： 放大器： 電動機： 2 2 ( ) mm dd TK u t dtdt 電位器： 減速器： 拉 氏 變 換 ( )( )( ) rc sss 1 ( )( )UsKs 2 ( )UK Us 1( )( ) mm s T ssK U s 1 ( )( ) c ss i 2 uK u rc 1 uK c i 比較元件： 放大器： 電動機： 2 2 ( ) mm dd TK u t dtdt 電位器： 減速器： 拉 氏 變 換 ( )( )( ) rc sss 1 ( )( )UsKs 2 ( )( )U sK Us 1( )( ) mm s T ssK U s 1 ( )( ) c ss

42、 i ( ) c s ( )U s ( ) s (1) m m K s T s ( ) s 1 i ( ) r s ( ) c s - ( ) s ( )Us 1 K ( ) s ( )U s 2 K ( )Us 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖是一種描述系統(tǒng)各組成元部件之 間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形，它同時能表述系統(tǒng) 輸入輸出之間的關(guān)系，還能表示系統(tǒng)內(nèi)各變量之 間的關(guān)系 結(jié)構(gòu)圖是一種數(shù)學(xué)模型，它是原理方框圖和數(shù)學(xué) 方程的結(jié)合。原理方框圖不是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 采用直接對元器件微分方程進(jìn)行拉氏變換的方法 建立的結(jié)構(gòu)圖往往比較復(fù)雜，如何簡化？ 簡化的原則：保持系統(tǒng)輸出、輸入之間的關(guān)系不 變，即所謂的等效變換 ) s (

43、G ) s ( G 21 ) s ( Xc ) s ( Xr ) s ( G1 ) s ( G2 ) s ( Xr ) s ( Xc ) s ( X1 ) s ( G ) s ( G ) s ( X ) s ( X ) s ( X ) s ( X ) s ( X ) s ( X ) s (G ) s (G ) s ( X ) s ( X ),s ( G ) s ( X ) s ( X ),s ( G ) s ( X ) s ( X 21 1 c r 1 r c r c 2 1 c 1 r 1 則： 又 結(jié)論：兩個傳遞函數(shù)串聯(lián)后的等效傳遞函數(shù)等于這兩個傳遞函數(shù)的乘積結(jié)論：兩個傳遞函數(shù)串聯(lián)后的等效

44、傳遞函數(shù)等于這兩個傳遞函數(shù)的乘積 推廣：推廣：N N個傳遞函數(shù)串聯(lián)后的等效傳遞函數(shù)等于這個傳遞函數(shù)串聯(lián)后的等效傳遞函數(shù)等于這N N個傳遞函數(shù)的乘積個傳遞函數(shù)的乘積 ) s ( G1 ) s ( G2 ) s ( Xr ) s ( X1 ) s ( X2 + + ) s ( Xc ) s ( G ) s ( G 21 ) s ( Xr ) s ( Xc 12 1212 12 12 c rr c rr ss ssssXs ss sss G sss ss XX GGXX XX XXX GG XX ( )( ) ( ),( ),又( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 有： ( )( )

45、( ) ( )( ) 結(jié)論：兩個傳遞函數(shù)并聯(lián)的等效傳遞函數(shù)等于這兩個傳遞函數(shù)的結(jié)論：兩個傳遞函數(shù)并聯(lián)的等效傳遞函數(shù)等于這兩個傳遞函數(shù)的代數(shù)和代數(shù)和 推廣：推廣：N N個傳遞函數(shù)并聯(lián)的等效傳遞函數(shù)等于這個傳遞函數(shù)并聯(lián)的等效傳遞函數(shù)等于這N N個傳遞函數(shù)的代數(shù)和個傳遞函數(shù)的代數(shù)和 ) s (G ) s (H ) s ( Xr B(s) + - E(s) ) s ( Yc ) s (H) s (G1 ) s (G ) s ( Xr ) s ( Yc ) s ( Y ) s (H) s (B )s (B) s ( X )s (G) s ( Y c rc ( )( )( )( )( ) ( )( )(

46、)( )( )( ) crc ccr sG ssH ss sG s H ssG ss YXY YYX )()(1 )( )( )( sHsG sG s s X Y r c 當(dāng)H(s)=1時，上述系統(tǒng)稱為單位反饋系統(tǒng)。對單位負(fù)反饋系統(tǒng)有 ( ) ( ) ( )1( ) c r s G s sG s Y X ) s (G ) s (H ) s ( Xr B(s) + + E(s) ) s ( Yc ( ) 1( )( ) G s G s H s ) s ( Xr ) s ( Yc ( )( )( )( ) ( )( )( ) cr c sG ssB s B sH ss YX Y ( )( )( )

47、( )( ) ( )( )( )( )( )( ) crc ccr sG ssH ss sG s H ssG ss YXY YYX ( ) ( ) ( )1( )( ) c r s G s sG s H s Y X 當(dāng)H(s)=1時，上述系統(tǒng)稱為單位反饋系統(tǒng)。對單位負(fù)反饋系統(tǒng)有 ( ) ( ) ( )1( ) c r s G s sG s Y X ( ) c Us ( ) r Us( )I s 1 R ( )I s 1 Cs ( ) c Us - ( ) c Us ( ) r Us 1 RCs ( ) c Us - ( ) c Us ( ) r Us 1 1RCs 1 1 1 1 1 RCs RCs RCs R 1 X 1 C 2 X R 2 X 2 C 1 X 112 221 12 CRXX CRXX CC +- ) s (G Y X1 X2 ) s (G ) s (G X1 X2