第6章-彎曲變形

1、單輝祖,材料力學(xué)教程1 第 6 章 彎曲變形 彎曲變形基本方程 計(jì)算梁位移的方法 簡單靜不定梁分析 梁的剛度條件與設(shè)計(jì) 本章主要研究： 單輝祖,材料力學(xué)教程2 1 引言 2 梁變形基本方程 3 計(jì)算梁位移的積分法 4 計(jì)算梁位移的奇異函數(shù)法 5 計(jì)算梁位移的疊加法 6 簡單靜不定梁 7 梁的剛度條件與合理設(shè)計(jì) 單輝祖,材料力學(xué)教程3 1 引 言 彎曲變形及其特點(diǎn)彎曲變形及其特點(diǎn) 撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角 單輝祖,材料力學(xué)教程4 彎曲彎曲變形及其特點(diǎn)變形及其特點(diǎn) 撓曲軸是一條連續(xù)、光滑曲線撓曲軸是一條連續(xù)、光滑曲線 對稱彎曲時，撓曲軸為位于縱向?qū)ΨQ面的平面曲線對稱彎曲時，撓曲軸為位于縱向?qū)ΨQ面的平面

2、曲線 對于細(xì)長梁，剪力對彎曲變形影響一般可忽略不計(jì)對于細(xì)長梁，剪力對彎曲變形影響一般可忽略不計(jì), 因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交 撓曲軸撓曲軸 變彎后的梁軸，稱為變彎后的梁軸，稱為撓曲軸撓曲軸 研究彎曲變形的目的，進(jìn)行梁的剛度計(jì)算，分析靜研究彎曲變形的目的，進(jìn)行梁的剛度計(jì)算，分析靜 不定梁，為研究壓桿穩(wěn)定問題提供有關(guān)基礎(chǔ)不定梁，為研究壓桿穩(wěn)定問題提供有關(guān)基礎(chǔ) 單輝祖,材料力學(xué)教程5 撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 撓度撓度 撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系 （小變形小變形） x w d d tan 撓度撓度橫截面形心在垂直于梁軸方向的位移橫截面形心在垂

3、直于梁軸方向的位移 )( xww 撓曲軸方程撓曲軸方程 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角橫截面的角位移橫截面的角位移 )(x 轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程 （忽略剪力影響忽略剪力影響） x w d d （rad） 單輝祖,材料力學(xué)教程6 2 梁變形基本方程 撓曲軸微分方程撓曲軸微分方程 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程 單輝祖,材料力學(xué)教程7 撓曲軸微分方程撓曲軸微分方程 EI xM x )( )( 1 3/2 2 1 )( 1 w w x EI xM w w)( 1 3/2 2 EI M 1 （純彎純彎） （推廣到非純彎推廣到非純彎） w彎矩引起的撓度彎矩引起的撓度 s smax s sp 撓曲軸微分方程撓曲軸微分方程 單

4、輝祖,材料力學(xué)教程8 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程 小變形時小變形時：1 2 b 時時 0 0 11 wx處，處，在在 0 22 wlx處，處，在在 2121 wwaxx 處處，在在 處，處，在在 21 axx 位移邊界條件：位移邊界條件：位移連續(xù)條件：位移連續(xù)條件： 0 21 DD)( 6 22 21 lb EIl Fb CC 2211 d/dd/d xwxw 2. 確定積分常數(shù)確定積分常數(shù) 發(fā)生在發(fā)生在AC段段 111 3 11 6 DxCx EIl Fb w 222 3 2 3 22 )( 66 DxCax EI F x EIl Fb w 0 d d 1 1 x w 單輝祖,材料

5、力學(xué)教程15 例 3-2 建立撓曲軸建立撓曲軸 微分方程，寫出邊界條件，微分方程，寫出邊界條件，EI 為常數(shù)為常數(shù) 2 qa FAy 2 3qa FBy 1 2 1 1 2 2d d x EI qa x w 2 2 2 2 2 2 2d d x EI q x w 解：1. 建立撓曲軸近似微分方程建立撓曲軸近似微分方程 AB段段:CB段段: 2. 邊界條件與連續(xù)條件邊界條件與連續(xù)條件 0 0 11 wx處，處，在在 0 11 wax處處，在在 2121 wwaxx 處處，在在 處，處，在在 21 axx 位移邊界條件：位移邊界條件：位移連續(xù)條件：位移連續(xù)條件： 2 2 1 1 d d d d x

6、 w x w 單輝祖,材料力學(xué)教程16 F=qa 例 3-3 繪制撓曲軸的大致形狀繪制撓曲軸的大致形狀 F=qa 單輝祖,材料力學(xué)教程17 4 計(jì)算梁位移的奇異函數(shù)法 奇異函數(shù)奇異函數(shù) 彎矩通用方程彎矩通用方程 梁位移通用方程梁位移通用方程 例題例題 單輝祖,材料力學(xué)教程18 奇異函數(shù)奇異函數(shù) 當(dāng)需分段建立當(dāng)需分段建立 M 或或 EI 方程時，用積分法求解需要方程時，用積分法求解需要 確定許多積分常數(shù)，利用奇異函數(shù)簡化了分析計(jì)算確定許多積分常數(shù)，利用奇異函數(shù)簡化了分析計(jì)算 )( )(axaxax )( 0axax )0( )( naxxF n n Cax n xax nn1 1 1 d 定義

7、奇異函數(shù)（或麥考利函數(shù)） )( 0 0 axax 單輝祖,材料力學(xué)教程19 彎矩通用方程彎矩通用方程 用奇異函數(shù)建立用奇異函數(shù)建立最后梁段最后梁段 DE 的彎矩方程的彎矩方程： 2 32 0 1e 2 lx q lxFlxMxFM Ay 適用于各梁段適用于各梁段。 e MxFM Ay 1- 0 0- 0 132 lxlxlx由由于于 例如對于例如對于 BC 段段（ l1, l2） 單輝祖,材料力學(xué)教程20 梁位移通用方程梁位移通用方程 2 32 0 1e 2 lx q lxFlxMxFM Ay 2 32 0 1e 2 2 2 1 d d lx q lxFlxMxF EIx w Ay Clx q

8、 lx F lxMx F EIx w Ay 3 3 2 21e 2 622 1 d d DCxlx q lx F lx M x F EI w Ay 4 3 3 2 2 1 e 3 24626 1 適用于任一梁段適用于任一梁段, 僅包括兩個積分常數(shù)僅包括兩個積分常數(shù) , 由邊界條件確定由邊界條件確定 單輝祖,材料力學(xué)教程21 例例 題題 例 4-1 用奇異函數(shù)法計(jì)算用奇異函數(shù)法計(jì)算 A ，EI 為常數(shù)為常數(shù) 解：1. 建立梁位移通用方程建立梁位移通用方程 l M FF ByAy e 0 e e 2 l xMx l M M 0 e e 2 2 2 d dl xMx l M x w EI C l x

9、Mx l M x w EI 22 d d e 2e DCx l x M x l M EIw 2 e3e 226 單輝祖,材料力學(xué)教程22 2. 確定積分常數(shù)確定積分常數(shù) 0 , 0 0 wlxwx處處，在在處處，在在 0 , 24 e D lM C得得： EI lM A 24 e （） C l xMx l M x w EI 22d d e 2e DCx l x M x l M EIw 2 e3e 226 3. 計(jì)算轉(zhuǎn)角計(jì)算轉(zhuǎn)角 2422 1 d d e e 2 e lMl xMx l M EIx w 單輝祖,材料力學(xué)教程23 例 4-2 用奇異函數(shù)法計(jì)算用奇異函數(shù)法計(jì)算wA，EI為常數(shù)為常數(shù)

10、解： FFBy2 FFCy 0 22axFaaxFFxwEI CaxFaaxFx F wEI 2 2 2 2 DCxax Fa ax F x F EIw 23 3 2 236 0 , 3 ;0 , waxwax處處在在處處在在 12 11 , 12 13 32 Fa D Fa C EI Fa wwA 12 11 0 3 （ ） 單輝祖,材料力學(xué)教程24 例 4-3 建立通用撓曲軸微分方程，寫出位移邊界條件建立通用撓曲軸微分方程，寫出位移邊界條件 解： 2 2 222 l x q x q M 2 2 2 2 222d dl x q x q x w EI 0 d d , 0 : x w wlx處處

11、在在 單輝祖,材料力學(xué)教程25 5 計(jì)算梁位移的疊加法 疊加法疊加法 逐段分析求和法逐段分析求和法 例題例題 單輝祖,材料力學(xué)教程26 疊加法疊加法 方法方法 qAFAA www , 分解載荷分解載荷分別計(jì)算位移分別計(jì)算位移 求位移之和求位移之和 )( 83 43 EI ql EI Fl )( 3 3 , EI Fl w FA )( 8 4 , EI ql w qA ? A w 當(dāng)梁上作用幾個載荷時，任一橫截面 的總位移，等于各載荷單獨(dú)作用時在 該截面引起的位移的代數(shù)和或矢量和 單輝祖,材料力學(xué)教程27 理論依據(jù) )()()(xMxMxM qF )( d d 2 2 xM x w EI )()

12、( xwxww qF 故故： )( d d 2 2 xM x w EI F )( xww F )( d d 2 2 xM x w EI q )( xww q 上述微分方程的解，為下列微分方程解的組合上述微分方程的解，為下列微分方程解的組合 （小變形小變形, ,比例極限內(nèi)比例極限內(nèi)）（小變形小變形） 疊加法適用條件疊加法適用條件：小變形小變形，比例極限內(nèi)，比例極限內(nèi) 單輝祖,材料力學(xué)教程28 逐段分析求和法逐段分析求和法 分解梁分解梁 分別計(jì)算各梁段的分別計(jì)算各梁段的 變形在需求位移處引變形在需求位移處引 起的位移起的位移 aw B 1 EI lFa a EI Fal w 33 2 1 EI F

13、a w 3 3 2 21 www )( )( 3 2 al EI Fa 求總位移求總位移 在分析某梁段的變形在 需求位移處引起的位移 時，其余梁段視為剛體 EI lFa B 3 單輝祖,材料力學(xué)教程29 例例 題題 例 5-1 q(x)=q0cos(p px/2l)，利用疊加法求利用疊加法求 wB=? 解：)3( 6 )d( d 2 xl EI xxxq wB x l x EI xlxq d 2 cos 6 )(3 2 0 x l x xlx EI q w l B d 2 )cos(3 60 2 0 p p EI lq 4 34 0 3 24)(2 p p p p ( ) ( ) 單輝祖,材料

14、力學(xué)教程30 例 5-2 解： 21 wwwC aww BB 1 FaBFBB www , 2 3 2 2 2 3 6 5 23EI Fa EI aFa EI Fa ? C w FaBFBB, 2 2 22 2 2 3 2EI Fa EI aFa EI Fa 2 3 1 3 7 EI Fa w 1 3 2 3EI Fa w 1 3 1 3 2 3 2 3 33 7 EI Fa EI Fa EI Fa wC () ()() 單輝祖,材料力學(xué)教程31 例 5-3 圖示組合梁，圖示組合梁，EI=常數(shù)，求常數(shù)，求 wB 與與 A 2 qa FF ByAy FBFBB www By , 2 3 6 2

15、32 2 3 a a EI a F EI aqa 48 13 4 EI qa qA B A a w , 16 5 2448 13 333 EI qa EI qa EI qa () () 解： 單輝祖,材料力學(xué)教程32 例 5-4 圖示剛架，求截面圖示剛架，求截面 C 的鉛垂位移的鉛垂位移 21 ww Cy aww BB 1 )( 3 3 2 EI Fa w )( 33 3 t 23 EI Fa GI lFa EI Fl Cy 解： )( t a GI Fal EI Fl 3 3 單輝祖,材料力學(xué)教程33 例 5-5 求自由端位移求自由端位移d d 故故 撓曲軸與外力作用面不重合撓曲軸與外力作用

16、面不重合 zy II 一般情況下一般情況下 y z d d d d tan tan y z I I 解： sinFFz cosFFy zz y y EI Fl EI lF 3 cos 3 3 3 d d yy z z EI Fl EI lF 3 sin 3 3 3 d d 22 zy d dd dd d 2 2 3 sincos 3 yz I IE Fl 單輝祖,材料力學(xué)教程34 6 簡單靜不定梁 靜不定度與靜不定度與多余約束多余約束 簡單靜不定梁簡單靜不定梁分析方法分析方法 例題例題 單輝祖,材料力學(xué)教程35 靜不定度與靜不定度與多余約束多余約束 多余約束多余約束 凡是多于維持平衡所必須的約

17、束凡是多于維持平衡所必須的約束 多余反力多余反力 與多余約束相應(yīng)的支反力或支反力偶矩與多余約束相應(yīng)的支反力或支反力偶矩 靜不定度靜不定度 未知未知支反力（力偶）數(shù)支反力（力偶）數(shù)有效平衡方程數(shù)有效平衡方程數(shù) 靜不定度靜不定度多余約束數(shù)多余約束數(shù) 4-3 = 1 度度 靜不定靜不定 5-3 = 2 度度 靜不定靜不定 靜不定梁靜不定梁 支反力（含力偶）數(shù)支反力（含力偶）數(shù)超過超過平衡方程數(shù)的梁平衡方程數(shù)的梁 單輝祖,材料力學(xué)教程36 簡單靜不定梁分析方法簡單靜不定梁分析方法 選選 FBy 為為 多余力多余力 EI lF EI Fl w By B 348 5 3 3 0 B w變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)

18、條件 物理方程物理方程 0 348 5 3 3 EI lF EI Fl By 補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程 16 5F FBy 163 0,/FlMM AA 得得 平衡方程平衡方程 1 度靜不定度靜不定 1611 0,/FFF yAy 得得 算例 綜合考慮三方面綜合考慮三方面 求梁的支反力求梁的支反力, EI=常數(shù)常數(shù) 單輝祖,材料力學(xué)教程37 判斷梁的靜不定度判斷梁的靜不定度 用多余力用多余力 代替多余約束代替多余約束 的作用，得的作用，得受力與原靜不定受力與原靜不定 梁相同的靜定梁梁相同的靜定梁相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng) 計(jì)算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約計(jì)算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約 束處的位移，并根據(jù)變形束處的位移，并根據(jù)變形 協(xié)

19、調(diào)條件建立補(bǔ)充方程協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程 由補(bǔ)充方程確定多余力，由平衡方程求其余支反力由補(bǔ)充方程確定多余力，由平衡方程求其余支反力 通過相當(dāng)系統(tǒng)計(jì)算內(nèi)力、位移與應(yīng)力等通過相當(dāng)系統(tǒng)計(jì)算內(nèi)力、位移與應(yīng)力等 依據(jù)綜合考慮三方面依據(jù)綜合考慮三方面關(guān)鍵確定多余支反力關(guān)鍵確定多余支反力 分析方法與步驟 相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng) 相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng) 注意注意: : 相當(dāng)系統(tǒng)有多種選擇相當(dāng)系統(tǒng)有多種選擇 單輝祖,材料力學(xué)教程38 例例 題題 例 6-1 求支反力求支反力 BA M,AM,AF,AA BA M,BM,BF,BB EI lM EI lM EIl blFab BA 636 )( EI lM EI lM EIl

20、alFab BA 366 )( 0 0 解：1. 問題分析問題分析 2. 解靜不定解靜不定 0 0 BA , 2 2 2 2 l bFa M, l Fab M BA 3 2 3 2 )2( )2( l blFa F, l alFb F ByAy 水平反力忽略不水平反力忽略不 計(jì)計(jì), ,2多余未知力多余未知力 單輝祖,材料力學(xué)教程39 例 6-2 懸臂梁懸臂梁 AB，用短梁，用短梁 DG 加固，試分析加固效果加固，試分析加固效果 EI lFF wC 48 )2(5 3 R 解：1. 靜不定分析靜不定分析 GC ww EI lF EI lF wG 243 /2)( 3 R 3 R 4 5 R F

21、F EI lF EI lFF 2448 )2(5 3 R 3 R 單輝祖,材料力學(xué)教程40 EI Fl EI lF EI Fl wB 64 13 48 5 3 33 R 3 4 5 R F F 2. 加固效果分析（剛度）加固效果分析（剛度） 2 max Fa M 減少減少 50% 減少減少39.9% EI Fl wB 3 3 , 未未加加固固 FaM 未未加加固固,max 3. 加固效果分析（強(qiáng)度）加固效果分析（強(qiáng)度） 單輝祖,材料力學(xué)教程41 3 2/ 3 N EI lFF wB EA lF EA lF l NN 22 EA lF EI l F F N 3 N 2 3 2 2 2 N 26

22、2 AlI FAl F 例 6-3 圖示桿梁結(jié)構(gòu)，圖示桿梁結(jié)構(gòu)，試求桿試求桿 BC 的軸力的軸力 lwB 2 解：梁截面形心的軸向位移一般忽略不計(jì)梁截面形心的軸向位移一般忽略不計(jì) 單輝祖,材料力學(xué)教程42 例 5-4 直徑為直徑為d 的圓截面梁的圓截面梁, ,支座支座 B 下沉下沉 d d，s smax=? 解：, B 0 EI lF EI lM By B B 2 2 EI lF EI lM w By B B 32 3 2 23 6 12 l EI M, l EI F BBy d dd d z W Mmax max s s I d l EI/26 2 max d d s s d d B w 2

23、 3 l dEd d d d 0 單輝祖,材料力學(xué)教程43 7 梁的剛度條件與合理設(shè)計(jì) 梁的剛度條件梁的剛度條件 梁的合理剛度設(shè)計(jì)梁的合理剛度設(shè)計(jì) 例題例題 單輝祖,材料力學(xué)教程44 梁的剛度條件梁的剛度條件 d d max w max 最大位移控制 指定截面的位移控制 許用撓度許用撓度 d d 許用轉(zhuǎn)角許用轉(zhuǎn)角 500 750 ll d d橋橋式式起起重重機(jī)機(jī)梁梁： 10000 5 10000 3 ll d d一般用途的軸：一般用途的軸： 例如滑動軸承處例如滑動軸承處: d dw rad 001. 0 單輝祖,材料力學(xué)教程45 梁的合理剛度設(shè)計(jì)梁的合理剛度設(shè)計(jì) 橫截面形狀的合理選擇橫截面形狀的合理選擇 材料的合理選擇材料的合理選擇 使用較小的截面面積使用較小的截面面積 A，獲得較大慣性矩，獲得較大慣性矩 I 的截面形的截面形 狀，例如工字形與盒形等薄壁截面狀，例如工字形與盒形等薄壁截面 影響梁剛度的