高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案（含解析）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精41。1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程提出問(wèn)題右圖是一個(gè)公園內(nèi)的摩天輪該摩天輪總高度為160米,轉(zhuǎn)盤(pán)直徑為153米問(wèn)題1：游客在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中離摩天輪中心的距離一樣嗎？提示：一樣圓上的點(diǎn)到圓心距離都是相等的，都是圓的半徑問(wèn)題2:若以摩天輪中心所在位置為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，游客在任一點(diǎn)(x，y）的坐標(biāo)滿足什么關(guān)系？提示： 。問(wèn)題3：以（1,2)為圓心,3為半徑的圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）滿足什么關(guān)系？提示: 3。導(dǎo)入新知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓,定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為圓的半徑(2)確定圓的要素是圓心和半徑,如圖所示(3）圓

2、的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為c（a，b），半徑長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（xa）2（yb)2r2。當(dāng)ab0時(shí),方程為x2y2r2，表示以原點(diǎn)為圓心、半徑為r的圓化解疑難1由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可直接得到圓的圓心坐標(biāo)和半徑大小;反過(guò)來(lái)說(shuō)，給出了圓的圓心和半徑，即可直接寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,這一點(diǎn)體現(xiàn)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的直觀性，為其優(yōu)點(diǎn)2幾種特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:條件圓的標(biāo)準(zhǔn)方程過(guò)原點(diǎn)(xa)2(yb)2a2b2（a2b20）圓心在x軸上(xa)2y2r2（r0)圓心在y軸上x(chóng)2(yb)2r2(r0）圓心在x軸上且過(guò)原點(diǎn)(xa）2y2a2(a0)圓心在y軸上且過(guò)原點(diǎn)x2（yb)2b2(b0）與x軸相切(xa)2(yb)2b

3、2(b0)與y軸相切（xa)2（yb）2a2（a0)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系提出問(wèn)題愛(ài)好運(yùn)動(dòng)的小華、小強(qiáng)、小兵三人相邀搞一場(chǎng)擲飛鏢比賽，他們把靶子釘在土墻上,規(guī)定誰(shuí)的飛鏢離靶心o越近,誰(shuí)獲勝如圖a,b，c分別是他們擲一輪飛鏢的落點(diǎn)看圖回答下列問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種？提示：三種點(diǎn)在圓外、圓上、圓內(nèi)問(wèn)題2：如何判斷他們的勝負(fù)?提示：利用點(diǎn)與圓心的距離導(dǎo)入新知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（xa)2(yb)2r2，圓心c(a，b），半徑為r.設(shè)所給點(diǎn)為m(x0，y0），則位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法點(diǎn)在圓上mcr點(diǎn)m在圓c上點(diǎn)m(x0，y0)在圓上（x0a）2(y0b)2r2點(diǎn)在圓內(nèi)mcr點(diǎn)m

4、在圓c內(nèi)點(diǎn)m(x0，y0)在圓內(nèi)(x0a)2（y0b)2r2點(diǎn)在圓外mcr點(diǎn)m在圓c外點(diǎn)m(x0，y0）在圓外(x0a)2（y0b)2r2化解疑難1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓內(nèi),點(diǎn)在圓上,點(diǎn)在圓外2判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系常用幾何法和代數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1過(guò)點(diǎn)a(1，1），b(1，1）且圓心在直線xy20上的圓的方程是(）a（x3）2（y1）24b（x3）2(y1)24c（x1）2（y1）24d（x1)2(y1）24答案c類題通法確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是設(shè)法確定圓心c（a,b）及半徑r，其求解的方法:一是待定系數(shù)法，建立關(guān)于a，b，r的方程組，進(jìn)而求得圓的方程；二是借助圓的幾何性質(zhì)直接求得圓心坐

5、標(biāo)和半徑一般地，在解決有關(guān)圓的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡(jiǎn)捷活學(xué)活用求下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)圓心是（4，1）,且過(guò)點(diǎn)(5，2）；（2)圓心在y軸上,半徑長(zhǎng)為5，且過(guò)點(diǎn)（3，4）;(3）求過(guò)兩點(diǎn)c（1，1)和d(1，3），圓心在x軸上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：(1)圓的半徑長(zhǎng)r，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x4)2（y1）210。（2）設(shè)圓心為c(0，b)，則(30)2（4b）252，解得b0或b8,則圓心為（0，0)或（0，8)又半徑r5，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y225或x2(y8)225。（3）直線cd的斜率kcd1，線段cd中點(diǎn)e的坐標(biāo)為（0，2),故線段cd的垂直平分線的方程為y2x，即yx2，

6、令y0，得x2，即圓心為(2,0)由兩點(diǎn)間的距離公式,得r。所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2）2y210。點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例2如圖，已知兩點(diǎn)p1（4,9）和p2（6，3）（1）求以p1p2為直徑的圓的方程；（2)試判斷點(diǎn)m(6,9)，n(3，3）,q(5，3)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外解(1)設(shè)圓心c(a，b），半徑長(zhǎng)為r,則由c為p1p2的中點(diǎn),得a5，b6。又由兩點(diǎn)間的距離公式得rcp1|，故所求圓的方程為（x5)2(y6)210。（2)由(1）知,圓心c(5,6)，則分別計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離：cm，|cn|，cq 3.因此，點(diǎn)m在圓上,點(diǎn)n在圓外，點(diǎn)q在圓內(nèi)類題通法1判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方

7、法(1)只需計(jì)算該點(diǎn)與圓的圓心距離，與半徑作比較即可；(2）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,判斷式子兩邊的符號(hào)，并作出判斷2靈活運(yùn)用若已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，也可利用以上兩種方法列出不等式或方程，求解參數(shù)范圍活學(xué)活用若點(diǎn)(1,1)在圓（xa）2(ya）24的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）aa1a1ba|0a1ca|a1或a1daa1答案：a10求解圓的方程中漏解典例已知某圓圓心在x軸上，半徑長(zhǎng)為5,且截y軸所得線段長(zhǎng)為8,求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解法一：如圖所示，由題設(shè)|acr5,ab8，ao4.在rtaoc中，oc| 3.設(shè)點(diǎn)c坐標(biāo)為(a，0），則oc|a|3，a3.所求圓的方程為（x3）2y225，或（x3

8、)2y225.法二：由題意設(shè)所求圓的方程為（xa）2y225.圓截y軸線段長(zhǎng)為8，圓過(guò)點(diǎn)a（0，4）代入方程得a21625，a3。所求圓的方程為(x3）2y225，或（x3）2y225。易錯(cuò)防范1若解題分析只畫(huà)一種圖形,而忽略兩種情況,考慮問(wèn)題不全面，漏掉圓心在x軸負(fù)半軸的情況而導(dǎo)致出錯(cuò)2借助圖形解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，只能是定性分析，而不能定量研究,要定量研究問(wèn)題,就要考慮到幾何圖形的各種情況成功破障圓心在直線2xy70上的圓c與y軸交于兩點(diǎn)a(0，4）,b(0，2)，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)答案:(x2）2（y3）25隨堂即時(shí)演練1圓（x1)2（y2）24的圓心、半徑分別是（）a(1,2），4b(1，2

9、)，2c(1，2），4 d(1,2），2答案：d2點(diǎn)p（m,5)與圓x2y224的位置關(guān)系是（)a在圓外 b在圓內(nèi)c在圓上 d不確定答案：a3圓(x3）2(y1)225上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是_答案：54經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，圓心在x軸的負(fù)半軸上，半徑為2的圓的方程是_答案：(x2）2y245求以a(2,2），b（5,3)，c(3,1)為頂點(diǎn)的三角形的外接圓的方程答案：（x4）2(y1）25課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1已知點(diǎn)p(3,2)和圓的方程(x2）2（y3）24，則它們的位置關(guān)系為()a在圓心b在圓上c在圓內(nèi) d在圓外答案：c2以p（2，3)為圓心，且與y軸相切的圓的方程是（)a（x2)2(y3)24b

10、(x2)2(y3)24c(x2)2（y3)29d(x2)2（y3)29答案：b3圓心在y軸上,半徑為1，且過(guò)點(diǎn)（1，2）的圓的方程為（）ax2(y2）21bx2(y2）21c(x1)2(y3)21dx2（y3)21答案：a4已知圓c經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(2,4）和點(diǎn)q(4，4）,直徑為2，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為(）a（x1)2(y3）210b（x1）2(y5)210c（x1)2（y3)210或(x1)2（y5)210d(x1）2(y3)210或（x1）2（y5）210答案：d5當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線（a1)xya10恒過(guò)定點(diǎn)c，則以c為圓心,為半徑的圓的方程為(）a(x1)2(y2）25b（x1)2(y2）2

11、5c（x1)2(y2）25d(x1）2（y2)25答案：c二、填空題6圓心為直線xy20與直線2xy80的交點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_答案:(x2）2（y4）2207點(diǎn)（51，)在圓（x1）2y226的內(nèi)部，則a的取值范圍是_答案:0，1）8若圓心在x軸上，半徑為的圓c位于y軸左側(cè)，且與直線x2y0相切，則圓c的方程是_答案:(x5)2y25三、解答題9求經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（1，4）,b（3,2）兩點(diǎn)且圓心在y軸上的圓的方程解：法一：設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，b）圓心在y軸上，a0。設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（yb）2r2。該圓過(guò)a,b兩點(diǎn)，解得所求圓的方程為x2(y1)210.法二:線段ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3)，kab，弦ab的垂直平分線方程為y32（x1），即y2x1.由解得點(diǎn)（0，1）為所求圓的圓心由兩點(diǎn)間的距離公式,得圓的半徑r，所求圓的方程為x2（y1)210。10求過(guò)點(diǎn)a(1，2）和b(1,10)且與直線x2y10相切的圓的方程解：圓心在線段ab的垂直平分線y6上，設(shè)圓心為（a,6）,半徑為r，則圓的方程為(xa）2(y6