第七章二階電路零輸入響應

1、7.5 7.5 二階電路的零輸入響應二階電路的零輸入響應 uc(0+)=U0 i(0+)=0 0 2 c cc u dt du RC dt ud LC 01 2 RCPLCP L CLRR P 2 /4 2 LCL R L R1 ) 2 ( 2 2 已知：已知： 1. 1. 二階電路的零輸入響應二階電路的零輸入響應 R R L L C C + + - - i uc 特征根：特征根： 特征方程：特征方程： 電路方程：電路方程： 2. 2. 零狀態(tài)響應的三種情況零狀態(tài)響應的三種情況 二二個個不不等等負負實實根根 2 C L R 二二個個相相等等負負實實根根 2 C L R 二二個個共共軛軛復復根根

2、 2 C L R L CLRR P 2 /4 2 過阻尼過阻尼 臨界阻尼臨界阻尼 欠阻尼欠阻尼 2 )1( C L R tptp c eAeAu 21 21 0210 )0(UAAUuc 0 )0()0( 2211 APAP dt du Ci c 0 12 1 2 0 12 2 1 U PP P A U PP P A )( 21 12 12 0 t P t P c ePeP PP U u )( 21 12 12 0 tt c PP ePeP PP U u U0 t uc tP e PP UP 1 12 02 tP e PP UP 2 12 01 設設|P2|P1| )( )( 21 12 0

3、tt c c pp ee PPL U dt du Ci t=0+ ic=0 , t= i c=0 ic0 t = tm 時時ic 最大最大 t U0 uc tm 2tm uL ic 0 t 0 t tm i減小減小, uL 0 t=2 tm時時 uL 為極小值為極小值 )( )( 21 21 12 0 tt L pp ePeP PP U dt di Lu )( 21 12 12 0 tt c PP ePeP PP U u 0, , 0 0 LL utUut iC為極值時的為極值時的tm即即uL=0時的時的 t,計算如下計算如下: 0)( 21 21 ttpp ePeP 21 1 2 pp p

4、p n tm )( )( 21 21 12 0 tt L pp ePeP PP U dt di Lu m m tP tP e e P P 2 1 1 2 能量轉(zhuǎn)換關系能量轉(zhuǎn)換關系 R R L L C C + + - - R R L L C C + + - - t U0 uc tm 2tm uL ic 0 t tm uc減小減小 ， ，i 減小 減小. 2 )2( C L R 特征根為一對共軛復根特征根為一對共軛復根 LCL R L R P 1 ) 2 ( 2 2 jP )( 1 )( 2 0 諧振角頻率 衰減系數(shù)令： LC L R )( 22 0 固有振蕩角頻率 則 uc的解答形式：的解答形式

5、：12 1212 () ptpttj tj t c uAeAeeAeAe 經(jīng)常寫為：經(jīng)常寫為： )sin( tAeu t c A ， 為待定常數(shù)為待定常數(shù) 0cossin)(0)0( sin)0( 00 AA dt du UAUu c c 由初始條件 arctg U A ， sin 0 ， ， ，間的關系間的關系: 0 sin 0 0 UA 0 )sin( 0 0 teUu t c )sin( 0 0 teUu t c 0 0c uU 是其振幅以為包絡線依指數(shù)衰減的正弦函數(shù)。 t=0時時 uc=U0 uc零點：零點： t = - ，2 - . n - uc極值點：極值點： t =0， ，2 .

6、 n t - 2 - 2 0 U0 uc t eU 0 0 t eU 0 0 t - 2 - 2 0 U0 uc ic te L U dt du Ci t c c sin 0 )sin( 0 0 teU dt di Lu t L uL零點：零點： t = ， + ，2 + . n + ic零點：零點： t =0， ，2 . n ， ic極值點為極值點為uL零點。零點。 能量轉(zhuǎn)換關系：能量轉(zhuǎn)換關系： 0 t t - - t t - 2 - 2 0 U0 uc ic R R L L C C + + - - R R L L C C + + - - R R L L C C + + - - 特例：特例：

7、R=0時時 2 1 0 0 ，則 LC t L U i utUu Lc sin )90sin( 0 0 0 等幅振蕩等幅振蕩 t L L C C + + - - 2 )3( C L R L R PP 2 21 tt c teAeAu 2 1 0)(0)0( )0( 21 010 AA dt du UAUu c c 由由初初始始條條件件 解出：解出： 02 01 UA UA 0 0 0 (1 ) (1 ) t c t c c t L uU et duU icte dtL di uLU et dt 非 振 蕩 放 電 臨 界 阻 尼 經(jīng)典法求二階電路零輸入響應的步驟：經(jīng)典法求二階電路零輸入響應的步

8、驟： 非非振振蕩蕩放放電電過過阻阻尼尼， 2 C L R tptp c eAeAu 21 21 振振蕩蕩放放電電欠欠阻阻尼尼， 2 C L R )sin( tAeu t c 非非振振蕩蕩放放電電臨臨界界阻阻尼尼， 2 C L R tt c teAeAu 2 1 定常數(shù)定常數(shù) )0( )0( dt du u c c 由初始條件 可推廣應用于一般二階電路可推廣應用于一般二階電路 1、根據(jù)基爾霍夫定律和元件特性列出換路后電路的微分方程、根據(jù)基爾霍夫定律和元件特性列出換路后電路的微分方程 （二階）。（二階）。 2、由特征方程求出特征根，并判斷電路是處于衰減放電還是、由特征方程求出特征根，并判斷電路是處

9、于衰減放電還是 振蕩放電還是臨界放電狀態(tài)。振蕩放電還是臨界放電狀態(tài)。 電路如圖，電路如圖，t=0時打開開關。時打開開關。 求求uc,并畫出其變化曲線。并畫出其變化曲線。 解解（1） uc(0 )=25V iL(0 )=5A 特征方程為：特征方程為： 50P2+2500P+106=0 13925jP 例例1. 55 F F 2020 1010 1010 0.5H0.5H 100100 50V50V + -uc c + - 0LC 2 c cc u dt du RC dt ud )139sin( 25 tAeu t c iL （2）開關打開為）開關打開為RLC串串 聯(lián)電路，方程為：聯(lián)電路，方程為：

10、 5 20 10 10 50V + + - - iL + uC -0-電路電路 )139sin( 25 tAeu t c (3) 5 25)0( dt du c u c c 4 10 5 sin25cos139 25sin A 0 176 355 ，A Vteu t c )176139sin(355 025 t 0 uc 355 25 例例2 u2 2 u 1 1 ku 1 1 i 2 2 i 3 3 i 1 1 R RC C R R C C A A 左圖為左圖為RC振蕩電路，振蕩電路， 討論討論k取不同值時取不同值時u2的的 零輸入響應。零輸入響應。 節(jié)點節(jié)點A列寫列寫KCL有：有： dt

11、du c R u i 11 1 12 1111 )( 1 )(uudt dt du C R u Cdt du C R u R KVL有：有： 0 1 ) 3 ( 22 1 2 1 2 CRdt du RC k dt ud 兩邊微分整理得：兩邊微分整理得： 特征方程為：特征方程為： 0 13 22 2 CR P RC k P 0 1 ) 3 ( 22 1 2 1 2 CRdt du RC k dt ud 22 ) 1 () 2 3 ( 2 3 RCRC k RC k P 特征根為：特征根為： RCRC k1 , 2 3 0 令令 2 0 2 P則則 數(shù)數(shù)時時特特征征根根為為一一對對共共軛軛復復

12、2 0 2 )1( 22 ) 1 ( ) 2 3 ( RCRC k |3 - k| 2 ,1 k 5為振蕩情況為振蕩情況 )sin( 1 tAeu t 1 k 0衰減振蕩衰減振蕩 3 k 5 0+電路的微分方程電路的微分方程 (b)(b)求通解求通解 (c)(c)求特解求特解 (d)(d)全響應全響應= =強制分量強制分量+ +自由分量自由分量 定定常常數(shù)數(shù)由由初初值值 )0( )0( )( dt df f e 2. 2. 二階電路的全響應二階電路的全響應 已知：已知：iL(0)=2A uc(0)=0 求求：iL, iR 。 (1) 列微分方程列微分方程 50 2 2 L L Ri dt di

13、 L dt id RLC (2)求特解求特解 R R L L C C i R R i L L i C C 50 V50 V 50 W50 W F F 100100 0.50.5H H 0 50L 2 2 dt id LCi R dt di L L 節(jié)點法：節(jié)點法： AiL1 解解 例例 (3)求通解求通解 020000200 2 PP 特征根為：特征根為： P= -100 j100 )100sin(1 100 tAei t 50 2 2 L L Ri dt di L dt id RLC (4)定常數(shù)定常數(shù) )0( 0sin100cos100 )0( 2sin1 L L uAA iA 2 45 A )45 100sin(21 100 tei t L 特征方程為：特征方程為： (5)求求iR )100sin(1 100 tAei t R 或設解答形式為：或設解答形式為： 定常數(shù)定常數(shù) ?)0( 1)0( 1)0( dt di ii R CR R u i c R 50 200)0( 1 )