高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 課時(shí)作業(yè)（十九）數(shù)學(xué)歸納法 2-2

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)作業(yè)（十九)數(shù)學(xué)歸納法a組基礎(chǔ)鞏固1用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”的第二步是（）a假使n2k1時(shí)正確,再推n2k3時(shí)正確b假設(shè)n2k1時(shí)正確，再推n2k1時(shí)正確c假設(shè)nk時(shí)正確，再推nk1時(shí)正確d假使nk（k1）時(shí)正確，再推nk2時(shí)正確（以上kn)答案：b2某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明n1（nn）”的過(guò)程如下：證明:當(dāng)n1時(shí)，顯然命題是正確的；假設(shè)當(dāng)nk(k1,kn）時(shí)，有k1，那么當(dāng)nk1時(shí),（k1)1,當(dāng)nk1時(shí)命題是正確的由可知對(duì)于nn，命題都是正確的以上證法是錯(cuò)誤的,錯(cuò)誤在于（）a從k到k1的推理過(guò)程沒有使用假設(shè)b假設(shè)的寫法不正確

2、c從k到k1的推理不嚴(yán)密d當(dāng)n1時(shí),驗(yàn)證過(guò)程不具體答案：a3用數(shù)學(xué)歸納法證明:11)，第二步證明由“k到k1”時(shí)，左端增加的項(xiàng)數(shù)是()a2k1 b2kc2k1 d2k1答案：b4用數(shù)學(xué)歸納法證明1(nn,n2)，由“k到k1”時(shí)，不等式左端的變化是（）a增加一項(xiàng)b增加和兩項(xiàng)c增加和兩項(xiàng),同時(shí)減少一項(xiàng)d以上都不對(duì)答案：c5已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明12（)時(shí),若已知假設(shè)nk（k2）為偶數(shù)時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證()ank1時(shí)等式成立bnk2時(shí)等式成立cn2k2時(shí)等式成立dn2（k2)時(shí)等式成立答案：b6平面上原有k個(gè)圓，它們相交所成圓弧共有f(k）段，若增加第k1個(gè)圓與前k個(gè)圓均

3、有兩個(gè)交點(diǎn)，且不過(guò)前k個(gè)圓的交點(diǎn),試問(wèn)前k個(gè)圓的圓弧增加_段答案：2k7對(duì)于不等式n2(nn*)，某學(xué)生的證明過(guò)程如下：（1)當(dāng)n1時(shí)，12，不等式成立（2）假設(shè)nk（kn*)時(shí)，不等式成立，即k2，則nk1時(shí)，(k1）2。當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立上述證法第_步錯(cuò)誤答案：(2)8對(duì)任意nn,34n2a2n1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a_.解析:當(dāng)n1時(shí)，36a3能被14整除的數(shù)為a3或5；當(dāng)a3且n2時(shí)，31035不能被14整除,故a5。答案：59已知nn，求證122232（2n1）(2n）22n(2n1)2n（n1)（4n3）證明：當(dāng)n1時(shí)，左邊41814(1）27右邊假設(shè)當(dāng)nk(kn*,

4、k1）時(shí)成立,即122232(2k1)(2k)22k(2k1)2k（k1）(4k3)當(dāng)nk1時(shí)，122232(2k1）(2k）22k（2k1）2(2k1）（2k2）2(2k2）(2k3)2k（k1）（4k3)（2k2）（2k1）(2k2）(2k3)2k（k1）(4k3)2(k1)(6k7）(k1)（k2)(4k7)（k1）（k1)14(k1）3，即當(dāng)nk1時(shí)成立綜上所述，對(duì)一切nn結(jié)論成立b組能力提升10當(dāng)n2，nn時(shí)，求證：1。證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊11.7，右邊，左邊右邊（2）方法一：假設(shè)當(dāng)nk（k2且kn)不等式成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)，左邊1右式，即當(dāng)nk1時(shí),不等式也成立方法二：

5、假設(shè)當(dāng)nk(k2，且kn）時(shí)不等式成立，即1,則當(dāng)nk1時(shí),左邊1，右邊要證不等式成立，只需證,只需證只需證1k1,只需證k，只需證k2kk2,只需證k0,由題設(shè)知顯然成立所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立方法三：假設(shè)當(dāng)nk（k2，且kn*)時(shí)不等式成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)，左邊1，右邊，因?yàn)?，所以左邊右邊所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立根據(jù)（1）和（2),可知對(duì)一切nn*，且n2，不等式都成立11已知某數(shù)列的第一項(xiàng)為1，并且對(duì)所有的自然數(shù)n2,數(shù)列的前n項(xiàng)之積為n2.（1）寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng);（2）寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明解析：(1)已知a11，由題意，得a1a222，a222.a1a2a332，a3.同理,可得a4，a5。因此這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)分別為1,4，。（2)觀察這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)為：an下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n2時(shí)，an。當(dāng)n2時(shí)，a222,結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，kn*)時(shí)，結(jié)論成立,即ak.a1a2ak1（k1)2，a1a2ak1akak1(k1）2,ak1。這就是說(shuō)當(dāng)nk1時(shí),結(jié)論也成立根據(jù)可知，當(dāng)n2時(shí),這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an.這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式