第3章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法

1、第第 三三 章章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法2 時(shí)域分析法是在建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，對(duì)系統(tǒng)外 施一給定輸入信號(hào)，通過(guò)研究系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)來(lái)評(píng)價(jià)系 統(tǒng)的性能。本章主要圍繞時(shí)域中線性控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性 能、穩(wěn)態(tài)性能與穩(wěn)定性展開(kāi)，分別研究了線性控制系統(tǒng) 時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)，一階、二階及高階系統(tǒng)的時(shí)域分 析，線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其代數(shù)判據(jù)，穩(wěn)態(tài)誤差的 計(jì)算及減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法3 3.1 3.1 典型輸入信號(hào)及性能指標(biāo)典型輸入信號(hào)及性能指標(biāo) 3.1.1 3.1.1 典型輸入信號(hào)典型輸入信號(hào) 常見(jiàn)的典型輸入信號(hào)有階躍

2、信號(hào)、斜坡信號(hào)（等速度信號(hào)）、拋物 線信號(hào)（等加速度信號(hào)）、脈沖信號(hào)和正弦信號(hào)等。 1 1 階躍信號(hào)階躍信號(hào) , , 0 )( 0 R tr 0 0 t t s sR 1 )( 對(duì)于恒值系統(tǒng)，相當(dāng)于給定值或者擾動(dòng)量的突然變化，例如速度 控制系統(tǒng)中負(fù)載的突變；對(duì)于隨動(dòng)系統(tǒng)（如火炮方位角控制系 統(tǒng)），相當(dāng)于加一突變的給定位置信號(hào)。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法4 2 2 斜坡信號(hào)斜坡信號(hào) , , 0 )( 0t v tr 0 0 t t 2 1 )( s sR 斜坡信號(hào)是一個(gè)對(duì)時(shí)間做均勻變化的信號(hào)，可模擬以恒定速度變 化的物理量，例如機(jī)械手的等速移動(dòng)、數(shù)控機(jī)床加工斜面時(shí)的進(jìn) 給指令、

3、通信衛(wèi)星跟蹤系統(tǒng)的跟蹤直線飛行目標(biāo)等。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法5 3 3 拋物線信號(hào)拋物線信號(hào) 航天飛行器控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)，一般可近似認(rèn)為等加速度。 , 2 1 , 0 )( 0t a tr 0 0 t t 3 1 )( s sR 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法6 4 4 脈沖信號(hào)脈沖信號(hào) 在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，單位脈沖信號(hào)相當(dāng)于一個(gè)瞬時(shí)的擾動(dòng)信號(hào)， 只有輸入信號(hào)的強(qiáng)度足夠大，并且其持續(xù)時(shí)間很短，則均可近似 為脈沖信號(hào)，如沖擊力、陣風(fēng)或者大氣湍流。 , , 0 )( A tr t tt 0 0及 1)(sR 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法7 5 5 正

4、弦信號(hào)正弦信號(hào) 正弦信號(hào)主要用于求取系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦函數(shù)輸入的穩(wěn)態(tài)響 應(yīng)，這種響應(yīng)被稱(chēng)為頻率響應(yīng)。在實(shí)際控制系統(tǒng)中，電源及振動(dòng) 的噪聲、海浪對(duì)船舶的擾動(dòng)力等，均可近似看作正弦信號(hào)作用。 ,sin , 0 )( tA tr 0 0 t t 22 )( s A sR 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法8 3.1.2 3.1.2 穩(wěn)態(tài)指標(biāo)與動(dòng)態(tài)指標(biāo)穩(wěn)態(tài)指標(biāo)與動(dòng)態(tài)指標(biāo) 動(dòng)態(tài)過(guò)程又稱(chēng)為過(guò)渡過(guò)程，是指系統(tǒng)從加入輸入信號(hào)的瞬時(shí)起，到 系統(tǒng)輸出量到達(dá)穩(wěn)態(tài)值之前的響應(yīng)過(guò)程，它表征系統(tǒng)的穩(wěn)定性和對(duì) 輸入信號(hào)響應(yīng)的快速性。穩(wěn)態(tài)過(guò)程是指時(shí)間趨于無(wú)求大時(shí)的輸出狀 態(tài)，它表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的準(zhǔn)確性。

5、 1 穩(wěn)態(tài)指標(biāo)穩(wěn)態(tài)指標(biāo) 當(dāng)穩(wěn)態(tài)誤差足夠小以至可以忽略不計(jì)時(shí)，我們近似認(rèn)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，這 種系統(tǒng)為無(wú)差系統(tǒng)。而穩(wěn)態(tài)誤差不為零的系統(tǒng)則稱(chēng)為有差系統(tǒng)。 控制系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下的精度怎樣，是它的一項(xiàng)重要的技術(shù)指標(biāo)，該穩(wěn) 態(tài)指標(biāo)通常用穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)輸出響應(yīng)的期望值與實(shí)際值之間的差來(lái)衡 量，稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)誤差。 不穩(wěn)定的系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)，因此也就談不上穩(wěn)態(tài)誤差。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法9 2 2 動(dòng)態(tài)指標(biāo)動(dòng)態(tài)指標(biāo) 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)是以系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的響應(yīng)形式的特 征來(lái)衡量的 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法10 調(diào)整時(shí)間 ：輸出響應(yīng)到達(dá)并停留在誤差帶內(nèi)所需的最小時(shí)間， 它反

6、映了系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的快慢程度。輸出的誤差帶范圍 一般規(guī) 定為其穩(wěn)態(tài)值 的 或 ，即 s t )(c%5%2 )()(ctc 振蕩次數(shù) ：在調(diào)整時(shí)間間隔內(nèi)系統(tǒng)輸出響應(yīng) 穿越穩(wěn)態(tài) 值 的次數(shù)之半。 N )(tc )(c 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法11 3.2 3.2 一階系統(tǒng)的時(shí)域分析一階系統(tǒng)的時(shí)域分析 )()( )( tUtU dt tdU RC rc c 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 1 1 )( )( )( TssR sC s T 為系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)，是表征系統(tǒng)慣性的一個(gè)主要參數(shù) 慣性環(huán)節(jié) 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法12 3.2.1 3.2.1 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的

7、單位階躍響應(yīng) 當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào) 1 11 1 1 )()()( Ts T ssTs sRssC 01)( tetc T t 0)0( c 1)(c輸出量的初值終值 Tt 632. 0)(Tc T t e Tdt tdc 1)( 95. 0)3(Tc98. 0)4(Tc )05. 0(3 Tts)02. 0(4 Tts Tdt tdc t 1)( 0 一階系統(tǒng)如果能保持初始速度等速上升至穩(wěn)態(tài)值1， 所需的時(shí)間恰好為 ，這一特性也可以用于實(shí) 驗(yàn)方法測(cè)定 T T 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法13 3.2.2 3.2.2 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 當(dāng)系統(tǒng)輸

8、入信號(hào)為單位脈沖信號(hào) TsTTs sRssC 1 11 1 1 )()()( 0 1 )( te T tc T t 3.2.3 3.2.3 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為單位斜坡信號(hào) 1 11 1 1 )()()( 2 22 Ts T s T ssTs sRssC 0)()1 ()( tTeTteTttc T t T t 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法14 3.2.4 3.2.4 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) 當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為單位加速度信號(hào) 系統(tǒng)在跟蹤單位斜坡輸入時(shí)存在跟蹤誤差。系統(tǒng)的慣性越小，跟蹤的準(zhǔn)確度越高。 一階系統(tǒng)在單位加

9、速度信號(hào)作用下，其誤差隨時(shí)間的推移而增長(zhǎng)，直至無(wú)窮大， 不能實(shí)現(xiàn)對(duì)加速度信號(hào)的跟蹤。 比較一階系統(tǒng)對(duì)上述4種典型輸入信號(hào)的響應(yīng)，可以發(fā)現(xiàn)它們之間存在導(dǎo)數(shù)或積 分的關(guān)系。此對(duì)應(yīng)關(guān)系說(shuō)明，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào) 響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。或者反過(guò)來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)響 應(yīng)的積分，其積分常數(shù)由零輸入時(shí)的初始條件確定。這是線性定常系統(tǒng)的重要特 性。 1 11 1 1 )()()( 32 233 Ts T s T s T ssTs sRssC 0)1 ( 2 1 )( 22 teTTtttc T t 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法15 3.3 3.3 二階

10、系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 )2( 2 n n ss )(sC)(sR系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式為 )2( )( 2 n n ss sG 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式為 12 1 2)(1 )( )( )( )( 2222 2 TssTsssG sG sR sC s nn n n n T1 為系統(tǒng)的阻尼比 為系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然振蕩角頻率 為系統(tǒng)振蕩周期 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法16 3.3.1 3.3.1 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 22 2)( nns ssD 1 2 2, 1 nn s 系統(tǒng)的特征方程為 閉環(huán)系統(tǒng)的特征根（即閉環(huán)極點(diǎn)）為 1 1 無(wú)阻尼系統(tǒng)單位階躍

11、響應(yīng)無(wú)阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 0 js n 2, 1 系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛純虛根，即 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) ss sRssC n n1 )()()( 2 2 2 2 2 1 n s s s ttc n cos1)( 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法17 動(dòng)態(tài)響應(yīng)是等幅震蕩的，震蕩頻率為無(wú)阻尼自然振蕩角頻率 ， 系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。 n 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法18 2 2 欠阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)欠阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 10 jjs nnd 2 2, 1 1 系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)數(shù)根，即 2 1 nd 有阻尼自然振蕩角頻率 閉環(huán)極點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸的夾角為阻尼角

12、，它只與 阻尼比有關(guān)，即 2 1arctanarccos 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )( )(1 )( 1 2 211 2 )()()( dn dndn nnn nn nn n nn n s s ss s s ss s ssss sRssC 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法19 tetetc d t d n d t nn sincos1)( t dd n ett )sin 1 (cos1 2 )sin( 1 1 1)( 2 tetc d t n 2 1arctan 欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是振幅隨時(shí)間按指數(shù)函數(shù)規(guī)律衰減 的周期振蕩函數(shù)，最終趨

13、于穩(wěn)態(tài)值1，其振蕩頻率為 2 1 nd 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法20 3 3 臨界阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)臨界阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 1 n s 2, 1系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)相重的負(fù)實(shí)根，即 t n t nn teetc 1)( t n n et )1 (1 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) sss sC nn n1 2 )( 2 2 2 2 2 2 21 nn n ss s s 2 )( 1 n nn s s s 動(dòng)態(tài)響應(yīng)是無(wú)超調(diào)單調(diào)上升曲線，最終趨于穩(wěn)態(tài)值1，不可能出現(xiàn) 震蕩，系統(tǒng)穩(wěn)定。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法21 4 4 過(guò)阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)過(guò)阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 1

14、 1 2 1 nn s1 2 2 nn s 系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)不相等的負(fù)實(shí)根，即 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) sss sC nn n1 2 )( 2 2 2 )( 21 2 sssss n 2 2 1 1 1 ss A ss A s )1(12 1 22 1 A )1(12 1 22 2 A 其中 ) 1 1 1 1 ( 12 1 1)( )1( 2 )1( 22 22 tt nn eetc 過(guò)渡過(guò)程曲線是無(wú)超調(diào)單調(diào)上升 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法22 5 5 負(fù)阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)負(fù)阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 如果 值減小而取負(fù)值，則系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)將從s平面的左半面移 到右半面。當(dāng) 時(shí)，系

15、統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)實(shí)部為正的 共軛復(fù)數(shù)根 ，如圖3.3-5(a)所示。這時(shí)， 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為 01 js nn 2 2, 1 1 )sin( 1 1 1)( 2 tetc d t n 由于阻尼比為負(fù)，因此指數(shù) 因子 具有正的冪指數(shù)， 從而決定了該單位階躍響應(yīng) 具有發(fā)散正弦振蕩的形式 t n e 因此，是 描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能 的一個(gè)重要參數(shù)，一般希望二階 系統(tǒng)工作在的欠阻尼狀態(tài) 8 . 04 . 0 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法23 3.3.2 3.3.2 二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的性能指標(biāo) 本節(jié)主要針對(duì)欠阻尼的二階系統(tǒng)給出動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的解析表達(dá)式。 1 1 上

16、升時(shí)間上升時(shí)間 r t 根據(jù)定義1)()( ctc r 1)sin( 1 1 1)( 2 rd t r tetc rn 0)sin( rdt ), 2 , 1 , 0(kkktr d 取 1k 2 2 1 1 arctan n d r t 2 1 arccos n 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法24 2 2 峰值時(shí)間峰值時(shí)間 根據(jù)定義 取 p t p tt 0)(dttdc p 0)cos()sin( pd t dpd t n tete pnpn tan 1 )tan( 2 n d pdt ), 2 , 1 , 0(kkkt pd 1k 2 1 n d p t 由上式可以看出，峰值

17、時(shí)間與閉環(huán)極點(diǎn)的虛部數(shù)值成反比。當(dāng)阻 尼比一定時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)離負(fù)實(shí)軸的距離越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的峰值時(shí)間越 短。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法25 3 3 超調(diào)量超調(diào)量 根據(jù)定義 得 二階系統(tǒng)的最大超調(diào)量只與 有關(guān)，阻尼比 越小，超調(diào)量越 大 。 最大超調(diào)量發(fā)生在 p tt % p M )( maxp tcc 1)(c 1)(c pdt %100%100)sin( 1 1 %100 1 1)sin( 1 1 1 %100 )( )()( % 2 2 pnpn pn tt pd t p p ee te c ctc M %100% 2 1 eM p 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法26

18、 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法27 4 4 調(diào)整時(shí)間調(diào)整時(shí)間 根據(jù)定義 得 1)(c s tt )sin( 1 1 )()( 2 tectc d t n ）或)(%2)(%5cc 2 1 1 ln 1 n s t s t )8 . 00)(11ln( 2 02. 0)(%2 4 05. 0)(%5 3 ct ct n s n s ， ， 在忽略 的前提下，則得調(diào)整時(shí)間 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法28 3.3.3 3.3.3 二階系統(tǒng)性能指標(biāo)的改善二階系統(tǒng)性能指標(biāo)的改善 因此，一般來(lái)說(shuō)，在系統(tǒng)的響應(yīng)速度和阻尼程度之間存在著一定的 矛盾，通常采取合理的折衷措施方能實(shí)現(xiàn)

19、。 【例例3-13-1】 如圖3.3-8所示的單位負(fù)反饋 隨動(dòng)系統(tǒng)， ， 。 試求（1）特征參數(shù) 和 ；（2）計(jì) 算動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 和 ；（3） 若要求 ，當(dāng) 不變時(shí)， 應(yīng)取何值？ 1 16 sKsT25. 0 n % p M s t %16% p MTK 解：解：（1）已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) ) 1( )( Tss K sG K 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法29 TKTss TK KsTs K s 22 )( T TK n n 12 2 25. 0 2 1 )(8 1 KT sTK n （2）系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)： %44%100*% 2 25. 01 *25. 0 eM

20、 p )05. 0(5 . 1 8*25. 0 33 st n s )02. 0(2 8*25. 0 4 sts （3）若要求 5 . 0當(dāng) 不變時(shí)，可得 )(4 25. 0*5 . 0*4 1 4 1 1 22 s T K T 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法30 當(dāng) 不變時(shí)，T增大值則阻尼比下降，超調(diào)量增 大，同時(shí) 也減少，從而使調(diào)整時(shí)間上升，系統(tǒng) 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)變差。通常時(shí)間常數(shù) 在實(shí)際中 是一個(gè)不可調(diào)的確定參數(shù)。當(dāng) 不變時(shí)，減小 開(kāi)環(huán)增益 值則阻尼比上升，使得系統(tǒng)的阻尼 程度增大，超調(diào)量下降，系統(tǒng)振蕩愈平穩(wěn)，但同 時(shí)也降低了自然頻率 ，系統(tǒng)的響應(yīng)速度變緩。 T K n K n

21、T 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法31 在改善二階系統(tǒng)性能指標(biāo)的方法中，測(cè)速反饋控制和比例微分 控制是常用的方法。 1 1 測(cè)速負(fù)反饋控制測(cè)速負(fù)反饋控制 【例例3-23-2】 在例3-1的系統(tǒng)中增加局部?jī)?nèi)反饋速度負(fù)反饋，如圖 3.3-9所示。試求（1）系統(tǒng)的特征參數(shù) 和 ； （2）當(dāng) ， ，若要求系統(tǒng)具有 ，確定參 數(shù) ，并計(jì)算調(diào)整時(shí)間和上升時(shí)間；（3）當(dāng) ，若要求系統(tǒng) 具有 和 的性能指標(biāo)，確定系統(tǒng)參數(shù) 和 。 n 25. 0T16K %16% p M 1T %20% p Mst p 1 K 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法32 解：解：（1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) KsKT

22、s K s )1 ( )( 2 對(duì)應(yīng)二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式 TK n 2 TK n T K n 1 2 KT K 2 1 相對(duì)于例3-1的式（3.3-14），加入速度負(fù)反饋， 值不變，但 是阻尼比增大，從而可減小超調(diào)量。 n （2）已知超調(diào)量 %16% p M 5 . 0 )(8 1 s n )(0625. 0 12 s K T n )(31. 0 1 arccos 2 st n r )05. 0)(75. 0 3 st n s )02. 0)( 1 4 st n s 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法33 （2）已知超調(diào)量 %20% p M456. 0 1 1 2 n p t )/(53.

23、3 1 2 srad t p n 46.12 2 n K )(178. 0 12 s K T n 由例3.3-1和例3.3-2可知，加入速度負(fù)反饋后，系統(tǒng)的阻尼比從 0.25增加至0.5，超調(diào)量從44%下降至16%，調(diào)整時(shí)間從1.5下降至 0.75，增加了系統(tǒng)阻尼程度提高響應(yīng)速度，改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性 能指標(biāo)。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法34 2 2 比例比例微分控制微分控制 前向通道串聯(lián)一個(gè)比例微分（PD）環(huán)節(jié)，則系統(tǒng)閉環(huán)函數(shù)為 )2( )( ) 2 (2 ) 1( )( )( 22 2 22 2 nnd n nn nd nd ssz zs ss s sR sC 二階系統(tǒng)的閉環(huán)

24、零點(diǎn) d zs 1 系統(tǒng)的阻尼比 z nnd d 22 0z 由此可見(jiàn)，系統(tǒng)增加了比例微分環(huán)節(jié)，相當(dāng)于附加了閉環(huán)負(fù) 實(shí)零點(diǎn)，系統(tǒng)特征參數(shù)阻尼比增大，無(wú)阻尼自然頻率不變。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法35 欠阻尼情況下，二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為 10 d 2 2, 1 1 dnnd js 附加閉環(huán)負(fù)實(shí)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為 22 2 22 2 22 2 2 11 2 1 )2( )( )( nnd n nnd n nnd n sszssssssz zs sC )1sin( 1 )1()( 1)( 2 2 222 t z z tc dn d dnnd nd dn z 2 1 arc

25、tan d d 2 1 arctan 因此，附加閉環(huán)負(fù)實(shí)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)等效為一個(gè)典型二階系統(tǒng)的單 位階躍響應(yīng)與系數(shù)為 的單位脈沖響應(yīng)之和，如圖3.3-11所示。 z1 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法36 在阻尼比保持不變的情況下，增加閉環(huán)負(fù)實(shí)零點(diǎn)后的二階系統(tǒng)的單 位階躍響應(yīng)曲線響應(yīng)速度快，但是系統(tǒng)的超調(diào)量略有增大。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法37 附加閉環(huán)負(fù)實(shí)零點(diǎn)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)各項(xiàng)性能指標(biāo) 2 1 dn r t 2 1 dn p t z eM nd dd d p d d ，%1002 1 % 2 1 )( 222 222 )1()(05. 0 l

26、n3 dnnd nd s zl z l t ， 02. 0 ln4 ， nd s z l t 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法38 圖3.3-12為前向通道加PD校正環(huán)節(jié)的 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線圖，相 對(duì)比校正前系統(tǒng)的性能指標(biāo)，校正后 系統(tǒng)的超調(diào)量下降，上升時(shí)間和調(diào)整 時(shí)間減少。由此可見(jiàn)，引入比例微 分控制，使系統(tǒng)的等效阻尼比加大了， 從而抑制了振蕩，是超調(diào)量減弱，可 以改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性，同時(shí)增加的閉 環(huán)負(fù)實(shí)零點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)起到 了加速作用。這是因?yàn)樗a(chǎn)生了一種 早期控制（或稱(chēng)超前控制），能在實(shí) 際超調(diào)量出來(lái)之前產(chǎn)生一個(gè)修正作用。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析

27、法39 【例例3-33-3】 例3-1的典型二階系統(tǒng) ， ?，F(xiàn)采 用PD校正，如圖3.3-10所示。為使阻尼比增加至 ，試確 定 值，并討論比例微分對(duì)系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間的影響。 1 16 sKsT25. 0 5 . 0 d d 解：根據(jù)例3-1，系統(tǒng)的特征參數(shù)為 25. 0 8 n , 22z nnd d )(0625. 0 )(21 s z n d d 閉環(huán)負(fù)實(shí)零點(diǎn)為 )(16 1 1 sz d 25. 0 z nd 系統(tǒng)的超調(diào)量下降至 %8 .27%1002 1 % 2 1 )( 222 d d eM dd d p 調(diào)整時(shí)間 05. 072. 0 ln3 ，s z l t nd s 0

28、2. 096. 0 ln4 ，s z l t nd s 8 .13)5 . 018()8*5 . 016()1()( 222222 dnnd zl 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法40 在二階系統(tǒng)的前向通道加入比例微分環(huán)節(jié)后，改善系統(tǒng)性能的效果 較明顯，但實(shí)際使用中，也存在難以克服的缺點(diǎn)：（1）在實(shí)際中 不能構(gòu)造出理想的比例微分環(huán)節(jié)；（2）微分環(huán)節(jié)對(duì)于頻率較高噪 聲的放大作用遠(yuǎn)大于緩慢變化輸入信號(hào)的放大作用，應(yīng)該避免。如 果對(duì)于系統(tǒng)的快速性不過(guò)分重視，可以采用測(cè)速負(fù)反饋如圖3.3-9 所示，增大系統(tǒng)阻尼比，抑制超調(diào)量，在響應(yīng)速度上卻沒(méi)有串聯(lián)比 例微分環(huán)節(jié)的二階系統(tǒng)那樣快，但噪聲的影響

29、也相對(duì)小得多。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法41 3.4 3.4 高階系統(tǒng)的時(shí)域分析高階系統(tǒng)的時(shí)域分析 高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一般可以寫(xiě)成如下形式 nn nn mm mm asasasa bsbsbsb sR sC s 1 1 10 1 1 10 )( )( )( q j r k nknkkj m i i gn j j m i i g ssps zs K ps zs K sD sM s 11 22 1 1 1 )2()( )( )( )( )( )( )( 單位階躍輸入下，輸出響應(yīng) r k nknkk nknkknkkk q j j j ss CsB ps A s A sRssC 1

30、 22 2 1 0 2 1)( )()()( r k nknkknknkk t q j tp j tCtBeeAAtc nkk j 1 22 1 0 )1sin()1cos()( 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法42 可見(jiàn)，高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一階和二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)分 量的合成，一般含有指數(shù)函數(shù)分量和衰減正余弦函數(shù)分量。單位階 躍響應(yīng)的性質(zhì)可以根據(jù)其閉環(huán)極、零點(diǎn)在平面內(nèi)的分布情況進(jìn)行分 析。 （1）高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)各分量衰減的快慢取決于指數(shù)衰減常 數(shù) ， 。系統(tǒng)閉環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部離虛軸越遠(yuǎn)， 即 ， 越大，則相應(yīng)的分量衰減越快。反之，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn) 離虛軸越近，則

31、相應(yīng)的分量衰減越慢。 （2）高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)各分量的系數(shù) 不僅和閉環(huán) 極點(diǎn)在s平面中的位置有關(guān)，并且與閉環(huán)零點(diǎn)的位置有關(guān)。 如果一閉環(huán)極點(diǎn)的位置離虛軸很遠(yuǎn)，那么對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量的 系數(shù)很小，幅值小，衰減快，對(duì)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響很小。 j p nkk kkj CBA, j p nkk 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法43 如果一閉環(huán)極點(diǎn)靠近一閉環(huán)零點(diǎn)且離虛軸很遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的響 應(yīng)分量的系數(shù)很小，該動(dòng)態(tài)分量的影響也就越小。一對(duì)非?？拷?閉環(huán)零、極點(diǎn)在系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)中的作用近似相互抵消，這對(duì)零、極 點(diǎn)稱(chēng)為偶極子。 如果一閉環(huán)極點(diǎn)遠(yuǎn)離閉環(huán)零點(diǎn)且離虛軸很近，則對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量的 系數(shù)比較大，

32、而且衰減慢，對(duì)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響很大。 （3）上述結(jié)論既適合于實(shí)數(shù)極點(diǎn)，也適合于共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。因而， 如果忽略某些系數(shù)甚小的分量，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響將不是很顯 著。這樣，一個(gè)高階系統(tǒng)就有可能用一個(gè)低階的系統(tǒng)來(lái)近似。低階 的近似系統(tǒng)也無(wú)非是由少數(shù)慣性子系統(tǒng)和振蕩子系統(tǒng)所組成。 （4）在系統(tǒng)中，如果距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)其實(shí)部的絕對(duì)值為其 它閉環(huán)極點(diǎn)實(shí)部絕對(duì)值1/5的甚至更小，并且在其附近又無(wú)閉環(huán)零 點(diǎn)存在，則系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)將由它來(lái)左右。這種支配系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng) 的極點(diǎn)叫做系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，而所有其它極點(diǎn)則統(tǒng)稱(chēng)為閉環(huán)非 主導(dǎo)極點(diǎn)。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法44 例例3-3 已知

33、一系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )22)(15( 30 2 ssssR sC 令 , 1 )( s sR 求輸出響應(yīng) ssss sC 1 )22)(15( 30 )( 2 用部分分式法將上式展開(kāi)，由拉氏反變換得 )07.49cos(511. 101. 01 15 teetc tt 顯然，由極點(diǎn)s3=-15產(chǎn)生的瞬態(tài)響應(yīng)項(xiàng)一僅幅值小，而且衰減得 快，因而對(duì)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)很小，故可把它略去。于是，系統(tǒng)的 輸出可近似地用下式表示： )07.49cos(511. 11 tetc t 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法45 設(shè)高階系統(tǒng)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn) 則在單位階躍輸入作用下，系統(tǒng)輸出響應(yīng) 1

34、0 ,1 2 2, 1 nn js 21 11 )( )(11 )( )(11 )( )( )( 21 sss sD sM sss sD sM sssD sM sC ssss )( )( 1cos )( )( 21)( 1 1 2 1 1 sDs sM te sDs sM tc n t n 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法46 3.5 3.5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件。 因而，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動(dòng) 控制理論的基本任務(wù)之一。 3.5.1 3.5.1 穩(wěn)定的基本概念和系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條

35、件穩(wěn)定的基本概念和系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 1 1 穩(wěn)定的基本概念穩(wěn)定的基本概念 因此，設(shè)線性系統(tǒng)在零初始條件下，選用只在瞬間出現(xiàn)的單位理想 脈沖信號(hào)讓系統(tǒng)離開(kāi)其平衡位置，若經(jīng)足夠長(zhǎng)的時(shí)間 ，系統(tǒng) 能回到原來(lái)的平衡狀態(tài)，即 則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 t 0)(lim tc t 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法47 2 2 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) q j r k nknkkj m i i g ssps zs KssC 11 22 1 )2()( )( )()( r knknkk nknkknkkk q j j j ss CsB ps A sC 1 22 2 1 2

36、1)( )( r k nknkknknkk t q j tp j tCtBeeAtc nkk j 1 22 1 )1sin()1cos()( mnrq 2 j A k B k C 式中： 為C（S）在閉環(huán)極點(diǎn)留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法48 綜上分析，得出線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)特征方程的根線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)特征方程的根 （特征根（特征根/ /閉環(huán)極點(diǎn)）全部為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，也閉環(huán)極點(diǎn)）全部為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，也 就是閉環(huán)極點(diǎn)必須全部分布在就是閉環(huán)極點(diǎn)必須全部分布在s s平面的左半部。平面的左半部。 基于線性系統(tǒng)的穩(wěn)定

37、條件，不難得出下列推論： （1）線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性?xún)H與其閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上的分布模式有關(guān)， 而這種分布模式僅僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，所以線性系統(tǒng)的穩(wěn) 定性是其自身的固有特性，與外界輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。 （2）穩(wěn)定系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)必將隨時(shí)間推移而趨于零，反之，不穩(wěn) 定系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)必將隨時(shí)間推移而發(fā)散。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法49 （3）穩(wěn)定系統(tǒng)對(duì)幅值有界的輸入信號(hào)的響應(yīng)必為幅值有界，這是 因?yàn)轫憫?yīng)過(guò)程的動(dòng)態(tài)分量隨時(shí)間推移最終衰減到零。 （4）在控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)中，有部分極點(diǎn)位于s平面的虛軸，而 其余極點(diǎn)分布在平面的左半部時(shí)，出現(xiàn)所謂臨界穩(wěn)定。臨界穩(wěn)定雖 從李雅普諾夫意義上看是穩(wěn)定

38、的，但從工程實(shí)踐角度看，一般認(rèn)為 這種臨界穩(wěn)定屬于實(shí)際上的不穩(wěn)定。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法50 3.5.2 3.5.2 勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù) 勞斯（Routh）穩(wěn)定判據(jù)則可以避免直接求特征方程 的 根，只要對(duì)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分析和計(jì)算就能判別系統(tǒng)的 穩(wěn)定性。 00)( 01 2 2 1 10 aasasasasasD nn nnn 對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其特征方程一般可以寫(xiě)成如下標(biāo)準(zhǔn)形式 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均大于0，即 ), 2 , 1 , 0(0niai 0)(sD 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法51 滿(mǎn)足必要條件的一、二階系統(tǒng)一

39、定穩(wěn)定，滿(mǎn)足必要條件的高階系統(tǒng) 未必穩(wěn)定，因此高階系統(tǒng)的穩(wěn)定性還需要?jiǎng)谒古袚?jù)(充分條件)來(lái)判 斷。 利用特征方程式（3.5-4）的各項(xiàng)系數(shù)組成如下排列的勞斯表: 1 0 1 1 21 2 4321 3 4321 2 7531 1 6420 gs fs ees ccccs bbbbs aaaas aaaas n n n n 在勞斯表中，頭兩行元素是特征方 程的各項(xiàng)系數(shù)組成，以后各行的元 素是以上一行第一項(xiàng)系數(shù)為基礎(chǔ)， 由相鄰前兩行的元素按照一定的規(guī) 則計(jì)算而得。表中相關(guān)系數(shù)為 1 3021 1 a aaaa b 1 5041 2 a aaaa b 1 7061 3 a aaaa b 1 2131

40、 1 b baab c 1 3151 2 b baab c 1 4171 3 b baab c 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法52 勞斯判據(jù)指出：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表中第一列的所有系系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表中第一列的所有系 數(shù)均為正。若勞斯表中第一列的系數(shù)均大于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若數(shù)均為正。若勞斯表中第一列的系數(shù)均大于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若 勞斯表中第一列的系數(shù)出現(xiàn)小于零的值，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且勞斯勞斯表中第一列的系數(shù)出現(xiàn)小于零的值，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且勞斯 表第一列的系數(shù)符號(hào)改變次數(shù)代表特征根即閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部為正表第一列的系數(shù)符號(hào)改變次數(shù)代表特征根即閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部為正 實(shí)數(shù)根的數(shù)目。

41、實(shí)數(shù)根的數(shù)目。 （1）第一列所有系數(shù)均不為零的情況。 【例例3-43-4】 已知控制系統(tǒng)的特征方程如下，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及 閉環(huán)極點(diǎn)的分布情況。 05432)( 2345 ssssssD 050420)( 23 ssssD 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法53 解：解：特征方程的系數(shù)全部大于零，滿(mǎn)足穩(wěn)定的必要條件，列勞斯 表如下 5 32 59 031 532 411 0 1 2 3 4 5 s s s s s s 9 9 32 2 2 3 2 1 1 3 此行系數(shù)全部乘 此行系數(shù)全部乘 s s 系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位于平面的右半平面 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析

42、法54 解：解：特征方程的系數(shù)全部大于零，滿(mǎn)足穩(wěn)定的必要條件，列勞斯 表如下 系統(tǒng)穩(wěn)定 50 5 . 1 5020 41 0 1 2 3 s s s s 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法55 2）某行第一列的系數(shù)等于零，而其余各項(xiàng)系數(shù)不全等于零的情況。 【例例3-53-5】 已知控制系統(tǒng)的特征方程為 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 02632)( 234 sssssD 2 46 2)(0 062 231 0 1 2 3 4 s s s s s 系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位于平面的右半平面 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法56 （3）勞斯表出現(xiàn)某一行所有系數(shù)均為零的情況。 這種情況下表示

43、在平面內(nèi)存在著對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)的特征根（或?yàn)榇笮∠嗟?、符?hào)相反 的實(shí)根；或?yàn)楣曹椞摳换驗(yàn)閷?shí)部符號(hào)相異而虛部數(shù)值相同的成雙對(duì)的共軛復(fù)根； 或者上述情況同時(shí)存在），系統(tǒng)不穩(wěn)定。 【例例3-63-6】 已知控制系統(tǒng)的特征方程為 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 01212221893)( 23456 sssssssD 解：解：特征方程的系數(shù)全部大于零，滿(mǎn)足穩(wěn)定的必要條件，列勞斯 表如下 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法57 12 20 129 3612 000 12183 012183 122291 0 1 2 3 4 5 6 s s s s s s s 輔助方程 012183)( 24 sssF ssds

44、sdF3612)( 3 用此導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)取代全零行 相應(yīng)的系數(shù) 解輔助方程，出現(xiàn)兩對(duì)純虛根 js53 2, 1 js53 4, 3 另外兩個(gè)特征根為 js 2 3 2 3 6, 5 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法58 【例例3-73-7】 已知控制系統(tǒng)的特征方程為 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 022)( 45 ssssD 解：解：特征方程的系數(shù)出現(xiàn)零和小于零的情況，系統(tǒng)不穩(wěn)定，列勞斯 表如下 2 16 2)(0 08 00 202 101 0 1 2 3 4 5 s s s s s s 項(xiàng)替代很小的正數(shù) ，其系數(shù)替代全零行 方程出現(xiàn)全為零，構(gòu)造輔助 0 8)( 022)( 3 4 sds

45、sdF ssF 解輔助方程 另外的特征根為 022)( 4 ssF 1 2 , 1 sjs 4 , 3 2 5 s 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法59 3.5.3 3.5.3 勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用 【例例3-83-8】 設(shè)反饋控制系統(tǒng)如圖3.5-1所示，求滿(mǎn)足系統(tǒng)穩(wěn)定要求 時(shí)K的取值范圍。 解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 Ksss K Ksss K s 56)5)(1( )( 23 系統(tǒng)的特征方程為 056)( 23 KssssD Ks KKs Ks s 0 1 2 3 )30( 6 51 030, 0KK 滿(mǎn)足穩(wěn)定要求K的取值范圍 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分

46、析法60 將s平面的虛軸左移一個(gè)距離 ，即將 代入原特征方 程 中，得到以為z變量的新特征方程 ，再利 用勞斯判據(jù)判斷新特征方程的穩(wěn)定性，若穩(wěn)定，則說(shuō)明原系統(tǒng)不但 穩(wěn)定，而且所有特征根均位于 垂線之左，稱(chēng) 為系統(tǒng)的穩(wěn)定 裕度。 zs 0)(sD0)(zD 【例3-9】 系統(tǒng)特征方程為 ，試判斷系統(tǒng)是否具有 穩(wěn)定裕度。 0685)( 23 ssssD 1 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法61 解：解：列出勞斯表為 6 534 65 81 0 1 2 3 s s s s 勞斯表第一列系數(shù)均大于0，系統(tǒng)穩(wěn)定 將 代入原特征方程，得 ,新特征方程為 1 zs 06) 1(8) 1(5) 1(

47、 23 zzz 22)( 23 zzzzD 1 )(0 22 11 0 1 2 3 z z z z 由勞斯表可以看出系統(tǒng)臨界穩(wěn) 定，這說(shuō)明原系統(tǒng)剛好有的 穩(wěn)定裕度。 1 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法62 【例例3-103-10】 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界增益Kc及其與時(shí)間常數(shù)T1、T2、T3的關(guān)系 （參數(shù)均大于0）。 ) 1)(1)(1( )( 321 sTsTsT K sG 解：解：系統(tǒng)的特征方程 0) 1)(1)(1()( 321 KsTsTsTsD 01)()()( 321 2 323121 3 321 KsTTTsTTTTTTsTTTsD

48、 Ks TTTTTT KTTTTTTTTTTTT s KTTTTTTs TTTTTTs 1 )1 ()( 1 0 323121 321321323121 1 323121 2 321321 3 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為 0)1 ()( 321321323121 KTTTTTTTTTTTT 1) 111 )( 321 321 TTT TTTK 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法63 3.6.1 3.6.1 穩(wěn)態(tài)誤差的定義穩(wěn)態(tài)誤差的定義 3.6 3.6 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 穩(wěn)態(tài)誤差分為兩種，一種是當(dāng)系統(tǒng)僅僅受到給定輸入信號(hào)的作用而 沒(méi)有任何擾動(dòng)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，稱(chēng)為給定穩(wěn)態(tài)誤差。

49、另一種是給定輸 入信號(hào)為0而有擾動(dòng)信號(hào)作用于系統(tǒng)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，稱(chēng)為擾動(dòng)穩(wěn)態(tài) 誤差。系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差是上述兩項(xiàng)穩(wěn)態(tài)誤差的代數(shù)和。 討論穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)所指的都是穩(wěn)定的系統(tǒng)。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法64 （1）輸入端定義 從輸入端來(lái)看，定義給定輸入信號(hào) 與主反饋信號(hào) （通常是 被控量的測(cè)量值）之差為誤差，該誤差也常常稱(chēng)為偏差，記為 )(sR)(sB )(sE )()()()()()(sCsHsRsBsRsE 輸入端定義的誤差（偏差）為 )( )()(1 1 )()(1 )()( )()()(sR sHsGsHsG sRsG sHsRsE 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法65

50、 （1）輸出端定義 從輸出端來(lái)看，定義輸出量的期望值 與實(shí)際值 之差為控 制系統(tǒng)的誤差 輸出端定義的誤差（偏差）為 反饋控制系統(tǒng)的規(guī)律是以偏差作為控制手段，減少或消除偏差，使 被控制量接近于期望值，即 )(sCs)(sC 0)()()()(sCsHsRsE s )()()(sHsRsCs )()(1 )( )( 1 )( )()(1 )( )( )( )( sHsG sR sH sR sHsG sG sH sR s )()()(sCsCs s )( )( )( )()()(sC sH sR sCsCs s 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法66 由此可見(jiàn)， ，輸出端定義的誤差是輸入端定

51、義的誤 差的 倍。 對(duì)于單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)， ，上面兩種定義的誤差大小相 等，得到 )( )( 1 )(sE sH s )( 1 sH 1)(sH )()(ssE )()()( )(1 1 )(sRssR sG sE e 閉環(huán)誤差傳遞函數(shù)為 )()(1 1 )( )( )( sHsGsR sE s e )(1 1 )( sG s e 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法67 系統(tǒng)的誤差響應(yīng) 包括動(dòng)態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量，那么當(dāng)時(shí)間趨于無(wú) 窮時(shí)，我們只關(guān)切穩(wěn)定系統(tǒng)控制平穩(wěn)下來(lái)以后的誤差，即系統(tǒng)誤差 響應(yīng)的動(dòng)態(tài)分量消失后的穩(wěn)態(tài)誤差，記為 。對(duì)于單位負(fù)反饋 系統(tǒng)，根據(jù)拉普拉斯變換的終值定理有 )(t

52、e )( ss e )(1 )( lim)()(lim)(lim)(lim)( 000 sG sR ssRssssEtee s e sst ss )(ssE要求 的極點(diǎn)均位于平面的左半部（但可以包括坐標(biāo)原點(diǎn)處的 唯一極點(diǎn)）。 穩(wěn)態(tài)誤差取決于輸入信號(hào)的形式和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)類(lèi)型及參數(shù)。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法68 3.6.2 3.6.2 系統(tǒng)類(lèi)型系統(tǒng)類(lèi)型 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以寫(xiě)成典型環(huán)節(jié)的形式 12 12 11 22 11 22 ) 12() 1( ) 12() 1( )()( n j n l lllj m i m k kkki sTsTsT sss s K sHsG mmm 21 2

53、mnnn 21 2K 傳遞開(kāi)環(huán)增益 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)所含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，即系統(tǒng)的型別 若 ，稱(chēng)該系統(tǒng)為型系統(tǒng)；若 ，稱(chēng)該系統(tǒng)為型系 統(tǒng)；若 ，稱(chēng)該系統(tǒng)為型系統(tǒng)；依次類(lèi)推。 01 2 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法69 令 當(dāng) 時(shí)， 12 12 11 22 11 22 00 ) 12() 1( ) 12() 1( )()( n j n l lllj m i m k kkki sTsTsT sss sHsG 0s1)()(lim 00 0 sHsG s )()()()( 00 sHsG s K sHsG 3.6.3 3.6.3 給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 單位負(fù)反饋系統(tǒng)的

54、給定穩(wěn)態(tài)誤差 )()(1 )( lim)(lim)( 00 00 sHsG s K ssR ssEe ss ssr 影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差 的因素有系統(tǒng)類(lèi)型、 開(kāi)環(huán)增益和輸入信 號(hào)的形式和大小。 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法70 1. 1. 階躍輸入作用階躍輸入作用 階躍輸入作用下 ， ，給定穩(wěn)態(tài)誤差為 )( 1)( 0 tRtrsRsR 0 )( )()(lim1)()(1 lim)( 00 0 00 00 0 sHsG s K R s R sHsG s K s e s s ssr p s K R sHsG R 1)()(lim1 0 0 0 定義為系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數(shù) )()(li

55、m)()(lim 00 00 sHsG s K sHsGK ss p 0型系統(tǒng) p ssrp K R eKK 1 )( 0 型系統(tǒng) 0)( ssrp eK 型系統(tǒng) 0)( ssrp eK 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法71 2. 2. 斜坡輸入作用斜坡輸入作用 斜坡輸入作用 下， ，給定穩(wěn)態(tài)誤差為 定義為系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù) 0型系統(tǒng) 型系統(tǒng) 型系統(tǒng) )()(lim)()(1 lim)( 00 0 0 2 0 00 0 sHsG s K s v s v sHsG s K s e s s ssr v s K v sHssG v 0 0 0 )()(lim tvtr 0 )( 2 0

56、)(svsR )()(lim)()(lim 00 00 sHsG s K ssHssGK ss v )(0 ssrv eK K v eKK ssrv 0 )( 0)( ssrv eK 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法72 3 3加速度輸入作用加速度輸入作用 加速度輸入 作用下， ，給定穩(wěn)態(tài)誤差為 定義為系統(tǒng)靜態(tài)加速度誤差系數(shù) 0型系統(tǒng) 型系統(tǒng) 型系統(tǒng) 2 0 2)(tatr 3 0 )(sasR )()(lim)()(1 lim)( 00 2 0 0 3 0 00 0 sHsG s K s a s a sHsG s K s e s s ssr a s K a sHsGs a 0 2

57、0 0 )()(lim )()(lim)()(lim 00 2 0 2 0 sHsG s K ssHsGsK ss a )(0 ssra eK )(0 ssra eK K a eKK ssra 0 )( 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法73 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法74 【例例3-113-11】 如圖3.6-2所示儀表伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，試計(jì)算（1）單 位階躍輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差；（2）當(dāng) 時(shí)的 穩(wěn)態(tài)誤差。 2 364)(tttr 解：解：（1）開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) )4( 10 )( ss sG sss ss s ss sR sG sE 1 10)4( )4(1 )4(

58、10 1 1 )( )(1 1 )( 0 1 10)4( )4( lim)(lim)( 00 sss ss sssEe ss ss 系統(tǒng)穩(wěn)定，可得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差 （2）系統(tǒng)為型系統(tǒng)，相關(guān)靜態(tài)誤差系數(shù)為 )4( 10 lim)()(lim 00 ss sHsGK ss p5 . 2 )4( 10 lim)()(lim 00 ss ssHssGK ss v 0 )4( 10 lim)()(lim 2 0 2 0 ss ssHsGsK ss a 2 364)(tttr 0 6 5 . 2 6 1 4 1 )( 000 avp ss K a K v K R e 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法

59、75 【例例3-123-12】 單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ，求 正弦輸入 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（ ）。 s K sG)( ttrsin)(0K 解：解： 22 )( s sR 系統(tǒng)的誤差函數(shù)為 2222 1 1 )( )(1 1 )( sKs s ssK sR sG sE 2222 2 222222 1 sKs s K K KsK K 系統(tǒng)的誤差響應(yīng) t K t K K e K K te Kt sincos)( 22 2 2222 t 誤差的動(dòng)態(tài)分量 t K t K K tess sincos)( 22 2 22 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法76 誤差的動(dòng)態(tài)分量 t K t

60、 K K tess sincos)( 22 2 22 由式（3.6-8）計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差為 0 )( lim 1 1 lim)(lim)( 22 2 0 22 00 sKs s ssK sssEe sss ss 此結(jié)果是錯(cuò)誤的，這就是由于 在s平面虛軸上有極點(diǎn) ， 不能采用拉普拉斯變換的終值定理的原因。 )(ssEj 2021-7-1第三章 線性系統(tǒng)時(shí)域分析法77 3.6.4 3.6.4 擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 輸入端定義的擾動(dòng)誤差為 )()()(1 )()( )()()()( 21 2 sHsGsG sDsG sHsBsRsEd 輸出端定義的擾動(dòng)誤差為 )()()(1 )()(