相似三角形的性質(zhì)及判定知識(shí)點(diǎn)總結(jié)+經(jīng)典題型總結(jié)(學(xué)生版)

1、 Well-known Education 專注于中小學(xué)個(gè)性化教育相似三角形的性質(zhì)及判定中考要求板塊考試要求A級(jí)要求B級(jí)要求C級(jí)要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性質(zhì)，以及掌握相關(guān)的模型會(huì)運(yùn)用相似三角形相關(guān)的知識(shí)解決有關(guān)問題知識(shí)點(diǎn)睛一、相似的有關(guān)概念1相似形具有相同形狀的圖形叫做相似形相似形僅是形狀相同，大小不一定相同相似圖形之間的互相變換稱為相似變換2相似圖形的特性兩個(gè)相似圖形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等3相似比兩個(gè)相似圖形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例二、相似三角形的概念1相似三角形的定義對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形如圖，與相似，記作，符號(hào)讀作“相似于”2

2、相似比相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比全等三角形的相似比是1“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”三、相似三角形的性質(zhì)1相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等如圖，與相似，則有2相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與相似，則有（為相似比）3相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線，高線和對(duì)應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比如圖1，與相似，是中邊上的中線，是中邊上的中線，則有（為相似比）圖1如圖2，與相似，是中邊上的高線，是中邊上的高線，則有（為相似比）圖2如圖3，與相似，是中的角平分線，是中的角平分線，則有（為相似比）圖34相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比如圖4，與相似，則有（為相似比）應(yīng)用比例的等比性質(zhì)有圖45相似三角

3、形面積的比等于相似比的平方如圖5，與相似，是中邊上的高線，是中邊上的高線，則有（為相似比）進(jìn)而可得圖5四、相似三角形的判定1平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似2如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似可簡(jiǎn)單說成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似3如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似4如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的你對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似可簡(jiǎn)單地說成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似5如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直

4、角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似6直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形相似（常用但要證明）7如果一個(gè)等腰三角形和另一個(gè)等腰三角形的頂角相等或一對(duì)底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似；如果它們的腰和底對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)等腰三角形也相似五、相似證明中的比例式或等積式、比例中項(xiàng)式、倒數(shù)式、復(fù)合式證明比例式或等積式的主要方法有“三點(diǎn)定形法”1橫向定型法欲證，橫向觀察，比例式中的分子的兩條線段是和，三個(gè)字母恰為的頂點(diǎn)；分母的兩條線段是和，三個(gè)字母恰為的三個(gè)頂點(diǎn)因此只需證2縱向定型法欲證，縱向觀察，比例式左邊的比和中的三個(gè)字母恰為的頂點(diǎn)；右邊的比兩條線段是和中的三個(gè)字母恰為的三個(gè)頂點(diǎn)因此只

5、需證3中間比法由于運(yùn)用三點(diǎn)定形法時(shí)常會(huì)碰到三點(diǎn)共線或四點(diǎn)中沒有相同點(diǎn)的情況，此時(shí)可考慮運(yùn)用等線，等比或等積進(jìn)行變換后，再考慮運(yùn)用三點(diǎn)定形法尋找相似三角形這種方法就是等量代換法在證明比例式時(shí)，常用到中間比比例中項(xiàng)式的證明，通常涉及到與公共邊有關(guān)的相似問題。這類問題的典型模型是射影定理模型，模型的特征和結(jié)論要熟練掌握和透徹理解倒數(shù)式的證明，往往需要先進(jìn)行變形，將等式的一邊化為1，另一邊化為幾個(gè)比值和的形式，然后對(duì)比值進(jìn)行等量代換，進(jìn)而證明之復(fù)合式的證明比較復(fù)雜通常需要進(jìn)行等線代換（對(duì)線段進(jìn)行等量代換），等比代換，等積代換，將復(fù)合式轉(zhuǎn)化為基本的比例式或等積式，然后進(jìn)行證明六、相似證明中常見輔助線的作

6、法在相似的證明中，常見的輔助線的作法是做平行線構(gòu)造成比例線段或相似三角形，同時(shí)再結(jié)合等量代換得到要證明的結(jié)論常見的等量代換包括等線代換、等比代換、等積代換等如圖：平分交于，求證：證法一：過作，交的延長(zhǎng)線于，點(diǎn)評(píng)：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用了“A”型圖的基本模型證法二；過作的平行線，交的延長(zhǎng)線于，點(diǎn)評(píng)：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用了“X”型圖的基本模型七、相似證明中的面積法面積法主要是將面積的比，和線段的比進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化來解決問題常用的面積法基本模型如下：如圖：如圖：如圖：八、相似證明中的基本模型例題精講一、與三角形有關(guān)的相似問題【例1】 如圖，在中，點(diǎn)在邊上，若在增加一個(gè)條件就能使，則這個(gè)條件

7、可以是 【鞏固】如圖，、是的邊、上的點(diǎn)，且，求證：.【鞏固】如圖，在中，于，于，的面積是面積的4倍，求的長(zhǎng).【例2】 如圖，中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，使得，則 【鞏固】如圖，已知三個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形相鄰并排，求【例3】 如圖，已知中，與相交于，則的值為（ ）A. B.1 C. D.2【鞏固】在中，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于， 求證：.【鞏固】如圖，、為邊上的兩點(diǎn)，且滿足，一條平行于的直線分別交、和的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、和.求證：.【例4】 如圖，已知，若，求證：.【鞏固】如圖，垂足分別為、，和相交于點(diǎn)，垂足為.證明：.【鞏固】如圖，已知，找出、之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【例5】 如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，直線平

8、行于，且與、及的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)、和.求證：【鞏固】已知，如圖，四邊形，兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后交于、，對(duì)角線，的延長(zhǎng)線交于求證：【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【例6】 如圖， 中，若分別是的中點(diǎn)，則；若分別是的中點(diǎn)，則；若分別是的中點(diǎn)，則；若分別是的中點(diǎn)，則_.【例7】 如圖，內(nèi)有一點(diǎn)，過作各邊的平行線，把分成三個(gè)三角形和三個(gè)平行四邊形若三個(gè)三角形的面積分別為，則的面積是 【例8】 如圖，梯形的兩條對(duì)角線與兩底所圍成的兩個(gè)三角形的面積分別為，則梯形的面積是（ ）ABCD【鞏固】如圖，梯形中，兩條對(duì)角線、相交于，若，那么 二、與平行四邊形有關(guān)的相似問題【例9】 如圖，

9、已知平行四邊形中，過點(diǎn)的直線順次與、及的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)、，若，則的長(zhǎng)是 【鞏固】如圖，已知，求證：.【例10】 如圖，的對(duì)角線相交于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若,求的值【鞏固】如圖：矩形的面積是36，在邊上分別取點(diǎn)，使得，且與的交點(diǎn)為點(diǎn)，求的面積。三、與梯形有關(guān)的相似問題【例11】 已知：如圖，在梯形中，是的中點(diǎn)，分別連接、，且與交于點(diǎn)，與交于.（1）求證：（2）若,，求的長(zhǎng).【鞏固】如圖，在梯形中，分別是的中點(diǎn)，交于，交于，求的長(zhǎng) 【例12】 如圖，已知梯形中，,(),交于點(diǎn)，連接.（1）判斷與，與是否分別一定相似，若相似，請(qǐng)加以證明.（2）如果不一定相似，請(qǐng)指出、滿足什么關(guān)系時(shí)

10、，它們就能相似.四、與內(nèi)接矩形有關(guān)的相似問題【例13】 中，正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)、在上，另兩個(gè)頂點(diǎn)、分別在、上，,邊上的高,求.【鞏固】如圖，已知中，四邊形為正方形，其中在邊上，在上，求正方形的邊長(zhǎng)【例14】 如圖，已知中，四邊形為正方形，在線段上，在上，如果，求的面積【鞏固】如圖，在中，動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)，不重合)在邊上，交于點(diǎn)當(dāng)?shù)拿娣e與四邊形的面積相等時(shí)，求的長(zhǎng)當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)與四邊形的周長(zhǎng)相等時(shí)，求的長(zhǎng)試問在上是否存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形？若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)課后作業(yè)1. 直線與的邊相交于點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)，下列條件：；中，能使與相似的條件有（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)2. 如圖，在的邊上取一點(diǎn)，在取一點(diǎn)，使，直線和的延長(zhǎng)線相交于，求證：3. 已知：為的中位線上任意一點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線分別交對(duì)邊、于、，求證：4. 如圖，已知在矩形中，為的中點(diǎn)，交于，連接（）.（1）與是否相似，若相似，證明