2022屆高考數學一輪復習 第10章 計數原理、概率、隨機變量及其分布 第8節(jié) 概率、統(tǒng)計的綜合題教案 北師大版

1、2022屆高考數學一輪復習 第10章 計數原理、概率、隨機變量及其分布 第8節(jié) 概率、統(tǒng)計的綜合題教案 北師大版2022屆高考數學一輪復習 第10章 計數原理、概率、隨機變量及其分布 第8節(jié) 概率、統(tǒng)計的綜合題教案 北師大版年級：姓名：概率、統(tǒng)計的綜合題考試要求能從研究對象中獲取數據，會用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，構建模型等 考點一概率與統(tǒng)計的綜合應用 概率與統(tǒng)計作為考查考生應用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點它與其他知識融合、滲透，情境新穎，充分體現了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性統(tǒng)計以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數的計算為主，概率以考查概率計算為主，往往和實

2、際問題相結合，要注意理解實際問題的意義，使之和相應的概率計算對應起來，只有這樣才能有效地解決問題 典例1從某技術公司開發(fā)的某種產品中隨機抽取200件，測量這些產品的一項質量指標值(記為z)，由測量結果得如下頻率分布直方圖：(1)公司規(guī)定：當z95時，產品為正品；當z95時，產品為次品公司每生產一件這種產品，若是正品，則盈利90元；若是次品，則虧損30元記為生產一件這種產品的利潤，求隨機變量的分布列和數學期望；(2)由頻率分布直方圖可以認為，z服從正態(tài)分布n(，2)，其中近似為樣本平均數，2近似為樣本方差s2(同一組中的數據用該區(qū)間的中點值作代表)利用該正態(tài)分布，求p(87.8z112.2)；某

3、客戶從該公司購買了500件這種產品，記x表示這500件產品中該項質量指標值位于區(qū)間(87.8,112.2)內的產品件數，利用的結果，求ex.附：12.2.若zn(，2)，則p(z)0.682 7，p(2z2)0.954 5.解(1)由頻率估計概率，產品為正品的概率為(0.0330.0240.0080.002)100.67，所以隨機變量的分布列為9030p0.670.33所以e900.67(30)0.3350.4.(2)由頻率分布直方圖知，抽取產品的該項質量指標值的樣本平均數和樣本方差s2分別為700.02800.09900.221000.331100.241200.081300.02100，s

4、2(30)20.02(20)20.09(10)20.22020.331020.242020.083020.02150.因為zn(100,150)，從而p(87.8z112.2)p(10012.2z10012.2)0.682 7.由知，一件產品中該項質量指標值位于區(qū)間(87.8,112.2)內的概率為0.6827，依題意知xb(500，0.682 7)，所以ex5000.682 7341.35.點評：本題以統(tǒng)計圖表為載體，將正態(tài)分布、二項分布、頻率分布直方圖巧妙的融合在一起，體現了知識的整合性與交匯融合性，搞清這些統(tǒng)計圖表的含義，掌握好樣本特征數的計數方法、各類概率的計算方法及均值與方差的運算是

5、解決問題的關鍵經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1 t該產品獲得利潤500元，未售出的產品，每1 t虧損300元根據以往資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示經銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農產品以x(單位：t,100x150)表示下一個銷售季度內的市場需求量，t(單位：元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤(1)將t表示為x的函數；(2)根據直方圖估計利潤t不少于57 000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量x100,110)，則取x105，

6、且x105的概率等于需求量落入100,110)的頻率)，求t的均值解(1)當x100,130)時，t500x300(130x)800x39 000.當x130,150時，t50013065 000.所以t(2)由(1)知利潤t不少于57 000元當且僅當120x150.由直方圖知需求量x120,150的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內的利潤t不少于57 000元的概率的估計值為0.7.(3)依題意可得t的分布列為t45 00053 00061 00065 000p0.10.20.30.4所以et45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400. 考點二概率

7、與統(tǒng)計案例的綜合應用 概率與統(tǒng)計案例的綜合應用常涉及相互獨立事件同時發(fā)生的概率、頻率分布直方圖的識別與應用、數字特征、獨立性檢驗等基礎知識，考查學生的閱讀理解能力、數據處理能力、運算求解能力及應用意識典例2(2020西安五校聯考)為加快經濟轉型升級，加大技術研發(fā)力度，某市建立高新科技研發(fā)園區(qū)，并力邀某高校入駐該園區(qū)為了解教職工意愿，該高校在其所屬的8個學院的教職工中作了“是否愿意將學校整體搬遷至研發(fā)園區(qū)”的問卷調查，8個學院的調查人數及統(tǒng)計數據如下：調查人數x1020304050607080愿意整體搬遷人數y817253139475566(1)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出變量y關于變

8、量x的線性回歸方程x(保留小數點后兩位有效數字)；若該校共有教職工2 500人，請預測該校愿意將學校整體搬遷至研發(fā)園區(qū)的人數(2)若該校的8位院長中有5位院長愿意將學校整體搬遷至研發(fā)園區(qū)，現該校擬在這8位院長中隨機選取4位院長組成考察團赴研發(fā)園區(qū)進行實地考察，記x為考察團中愿意將學校整體搬遷至研發(fā)園區(qū)的院長人數，求x的分布列及數學期望參考公式及數據：，xiyi16 310，x20 400.解(1)由已知得45，36，0.80，360.80450，故變量y關于變量x的線性回歸方程為0.80x.所以當x2 500時，y2 5000.802 000，所以該校愿意將學校整體搬遷至研發(fā)園區(qū)的人數約為2

9、000.(2)由題意可知x的可能取值為1,2,3,4.p(x1)，p(x2)，p(x3)，p(x4).所以x的分布列為x1234p故ex1234.點評：在兩個變量的回歸分析中要注意以下2點(1)求回歸直線方程要充分利用已知數據，合理利用公式減少運算(2)借助散點圖，觀察兩個變量之間的關系若不是線性關系，則需要根據相關知識轉化為線性關系某健身館在2020年7,8兩個月推出優(yōu)惠項目吸引了一批客戶為預估2021年7,8兩個月客戶投入的健身消費金額，健身館隨機抽樣統(tǒng)計了2020年7,8兩個月100名客戶的消費金額(單位：元)，分組如下：0,200)，200,400)，400,600)，1 000，1

10、200，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)請用抽樣的數據預估2021年7,8兩個月健身客戶人均消費的金額(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)(2)若把2020年7,8兩個月健身消費金額不低于800元的客戶稱為“健身達人”經數據處理，現在列聯表中得到一定的相關數據，請補全空格處的數據，并根據列聯表判斷是否有95%的把握認為“健身達人”與性別有關？健身達人非健身達人總計男10女30總計(3)為吸引顧客，在健身項目之外，該健身館特推出健身配套營養(yǎng)品的銷售，現有兩種促銷方案方案一：每滿800元可立減100元；方案二：金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率為，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9

11、折， 中獎2次打8折，中獎3次打7折若某人打算購買1 000元的營養(yǎng)品，請從實際付款金額的數學期望的角度分析應該選擇哪種促銷方案附：p(2k)0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.8792.解(1)因為2020年7,8兩個月這100名客戶消費金額的平均值為(1000.000 503000.000 755000.001 007000.001 259000.001 001 1000.000 50)200620(元)，所以預估2021年7,8兩個月健身客戶人均消費金額為620元(2)列聯表如下：健身達人非健身達人總計男104050女20305

12、0總計3070100因為24.7623.841，所以有95%的把握認為“健身達人”與性別有關(3)若選擇方案一，則需付款900元；若選擇方案二，設需付款x元，則x的可能取值為700,800,900,1 000，p(x700)c3，p(x800)c3，p(x900)c3，p(x1 000)c3，所以ex7008009001 000850(元)因為850900，所以選擇方案二更劃算 考點三概率、統(tǒng)計與函數、數列的交匯問題 由于隨機變量對應的概率p0,1，故常先借助概率統(tǒng)計的知識建立有關p的函數解析式或遞推關系式，在此基礎上借助函數或導數、數列等知識求解相應問題典例3某商場以分期付款方式銷售某商品，

13、根據以往資料統(tǒng)計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數的分布列為234p0.4ab其中0a1,0b1.(1)求購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；(2)商場銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場獲得的利潤為200元；若顧客選擇分3期付款，則商場獲得的利潤為250元；若顧客選擇分4期付款，則商場獲得的利潤為300元商場銷售兩件該商品所獲得的利潤記為x(單位：元)求x的分布列；若p(x500)0.8，求x的數學期望ex的最大值解(1)設購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數為，依題意得b(3,0.4)，則p(2)c(0.4)2(10.4)0.288，購買該商品的3位顧客中

14、，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288.(2)依題意x的取值分別為400,450,500,550,600，p(x400)0.40.40.16，p(x450)20.4a0.8a，p(x500)20.4ba20.8ba2，p(x550)2ab，p(x600)b2.x的分布列為：x400450500550600p0.160.8a0.8ba22abb2p(x500)p(x400)p(x450)p(x500)0.160.8(ab)a2，根據0.4ab1，得ab0.6，b0.6a，p(x500)0.8，0.160.48a20.8，解得a0.4或a0.4，a0，a0.4，b0，0.6a0，解得a0.6，

15、a0.4,0.6)，ex4000.164500.8a500(0.8ba2)1 100ab600b2520100a，當a0.4時，ex的最大值為480，x的數學期望ex的最大值為480.點評：本例融概率、分布列、函數于一體，體現了高考命題的最新動向，求解時可先借助分布列的性質及題設條件“p(x500)0.8”探求得到參數a的范圍，然后借助數學期望公式建立關于參數a的函數關系式，并通過二次函數求得數學期望ex的最大值(2020長沙市統(tǒng)一模擬考試)某市有一家大型共享汽車公司，在市場上分別投放了黃、藍兩種顏色的汽車，已知黃、藍兩種顏色的汽車的投放比例為31.監(jiān)管部門為了了解這兩種顏色汽車的質量，決定從

16、投放到市場上的汽車中隨機抽取5輛汽車進行試駕體驗，假設每輛汽車被抽取的可能性相同(1)求抽取的5輛汽車中恰有2輛是藍色汽車的概率；(2)在試駕體驗過程中，發(fā)現藍色汽車存在一定質量問題，監(jiān)管部門決定從投放的汽車中隨機地抽取一輛送技術部門作進一步抽樣檢測，并規(guī)定：若抽到的是黃色汽車，則將其放回市場，并繼續(xù)隨機地抽取下一輛汽車；若抽到的是藍色汽車，則抽樣結束抽樣的次數不超過n(nn*)次在抽樣結束時，若已抽到的黃色汽車數以表示，求的分布列和數學期望解(1)隨機地抽取一輛汽車是藍色汽車的概率為，用x表示“抽取的5輛汽車中藍色汽車的輛數”，則x服從二項分布，即xb，所以抽取的5輛汽車中恰有2輛是藍色汽車

17、的概率pc32.(2)的可能取值為0,1,2，n.p(0)，p(1)，p(2)2，p(n1)n1，p(n)n.所以的分布列為012n1np2n1n的數學期望e12233(n1)n1nn，e()1223(n2)n1(n1)nnn1.得e23n123n1n，所以e23n1n333n.核心素養(yǎng)6用數學語言表達世界數據分析與建模求解數據分析是指針對研究對象獲得相關數據，運用統(tǒng)計方法對數據中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型對信息進行分析、推斷，獲得結論在數據分析核心素養(yǎng)的形成過程中，學生能夠提升數據處理的能力，增強基于數據表達現實問題的意識，養(yǎng)成通

18、過數據思考問題的習慣，積極依托數據探索事物本質、關聯和規(guī)律的活動經驗.概率與頻率分布的綜合應用某學校為了了解全校學生的體重情況，從全校學生中隨機抽取了100人的體重數據，結果這100人的體重全部介于45公斤到75公斤之間，現將結果按如下方式分為6組：第一組45,50)，第二組50,55)，第六組70,75)，得到如圖1所示的頻率分布直方圖，并發(fā)現這100人中，其體重低于55公斤的有15人，這15人體重數據的莖葉圖如圖2所示，以樣本的頻率作為總體的概率 圖1圖2(1)求頻率分布直方圖中a，b，c的值；(2)從全校學生中隨機抽取3名學生，記x為體重在55,65)的人數，求x的概率分布列和數學期望；

19、(3)由頻率分布直方圖可以認為，該校學生的體重近似服從正態(tài)分布n(，2)，其中60，225.若p(22)0.954 5，則認為該校學生的體重是正常的試判斷該校學生的體重是否正常？并說明理由解(1)由題圖2知，100名樣本中體重低于50公斤的有2人，用樣本的頻率估計總體的概率，可得體重低于50公斤的概率為0.02，則a0.004，在50,55)上有13人，該組的頻率為0.13，則b0.026，所以2c0.14，即c0.07.(2)用樣本的頻率估計總體的概率，可知從全體學生中隨機抽取一人，體重在55,65)的概率為0.07100.7，隨機抽取3人，相當于三次獨立重復試驗，隨機變量x服從二項分布b(

20、3,0.7)，則p(x0)c0.700.330.027，p(x1)c0.710.320.189，p(x2)c0.720.310.441，p(x3)c0.730.300.343，所以，x的概率分布列為：x0123p0.0270.1890.4410.343ex30.72.1.(3)由n(60,25)得5，由圖(1)知p(22)p(5070)0.960.954 5.所以可以認為該校學生的體重是正常的評析本題以學生體重情況為背景，設計概率與統(tǒng)計、正態(tài)分布的綜合應用體現了數學建模(用頻率估計概率、正態(tài)分布)、數學運算(求平均數、方差、求概率)、數據分析、邏輯推理(以直方圖中求平均數方差，由正態(tài)分布求概率

21、及期望)的學科素養(yǎng)，培養(yǎng)了統(tǒng)計意識，經歷“收集數據整理數據分析數據作出推斷”的全過程某基地蔬菜大棚采用無土栽培的方式種植各類蔬菜根據過去50周的資料顯示，該地周光照量x(小時)都在30小時以上，其中不足50小時的有5周，不低于50小時且不超過70小時的有35周，超過70小時的有10周根據統(tǒng)計，該基地的西紅柿增加量y(千克)與使用某種液體肥料的質量x(千克)之間的關系為如圖所示的折線圖(1)依據折線圖，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關系？請計算相關系數r并加以說明(精確到0.01)(若|r|0.75，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合)(2)蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運行臺數受周光照量x限制，并有如下關系：周光照量x (單位：小時)30x5050x70x70光照控制儀最多可運行臺數321若某臺光照控制儀運行，則