信號(hào)與系統(tǒng)§302 周期信號(hào)的頻譜分析——傅里葉級(jí)數(shù)

1、北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院 2003.1 X 主要內(nèi)容 三角函數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù) 指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù) 兩種傅立葉變換的關(guān)系兩種傅立葉變換的關(guān)系 頻譜圖頻譜圖 函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系 周期信號(hào)的功率周期信號(hào)的功率 傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差 X 一三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) tntn 11 sin,cos 是一個(gè)完備的正交函數(shù)集是一個(gè)完備的正交函數(shù)集 t在一個(gè)周期內(nèi)，在一個(gè)周期內(nèi)，n=0,1,. 0sincos 2 2 11 T T tmtn nm nm T tmtn T T , 0

2、 , 2 coscos 2 2 11 nm nm T tmtn T T , 0 , 2 sinsin 2 2 11 由積分可知由積分可知 1.三角函數(shù)集 X 1 11 2 , , T Ttf 基波角頻率為基波角頻率為周期為周期為周期信號(hào)周期信號(hào) 在滿(mǎn)在滿(mǎn)足足狄氏條件狄氏條件時(shí)，可展成時(shí)，可展成 1 sincos)( 1 110 n nn tnbtnaatf 直流分量直流分量 Tt t ttf T a 0 0 d)( 1 0 余弦分量的幅度余弦分量的幅度 Tt t n ttntf T a 0 0 dcos)( 2 1 正弦分量的幅度正弦分量的幅度 Tt t n ttntf T b 0 0 dsi

3、n)( 2 1 稱(chēng)為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)稱(chēng)為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù) 2級(jí)數(shù)形式 X 其他形式 00 ac 22 nnn bac n n n a b arctan nnn ca cos nnn cb sin 余弦形式余弦形式 正弦形式正弦形式 00 ad n n n a b arctan nnn da sin nnn db cos 1 10 sin)( n nn tnddtf 22 nnn bad 2 cos)( 1 10 n nn tncctf X 關(guān)系曲線稱(chēng)為幅度頻譜圖；關(guān)系曲線稱(chēng)為幅度頻譜圖； 關(guān)系曲線稱(chēng)為相位頻譜圖。關(guān)系曲線稱(chēng)為相位頻譜圖。 可畫(huà)出頻譜圖?？僧?huà)出頻譜圖。 周

4、期信號(hào)頻譜具有離散性、諧波性、收斂性周期信號(hào)頻譜具有離散性、諧波性、收斂性 。 n c n 幅度頻率特性和相位頻率特性 的線性組合。的線性組合?；ń穷l率的整數(shù)倍）基波角頻率的整數(shù)倍）（ ）和各次諧波）和各次諧波，基波（，基波（周期信號(hào)可分解為直流周期信號(hào)可分解為直流 : 1 1 n X 二指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) 1 1復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集 2, 1, 0 e 1 j n tn 2 2級(jí)數(shù)形式級(jí)數(shù)形式 3 3系數(shù)系數(shù) 1 11 1 1 0 jj 0 j 1 dee de)( )( T tntn T tn t ttf nF 4 e)()( 1 j 1 tn n nFtf 5 de

5、)( 11 1 0 j T tn ttf T 利用復(fù)變函數(shù)的正交特性利用復(fù)變函數(shù)的正交特性 n F 也可寫(xiě)為也可寫(xiě)為 X 說(shuō)明 變換對(duì)。變換對(duì)。 式是一對(duì)式是一對(duì)、惟一確定，惟一確定，則，則如給出如給出)5()4()( 1 tfnF 的線性組合。的線性組合。 區(qū)間上的指數(shù)信號(hào)區(qū)間上的指數(shù)信號(hào)周期信號(hào)可分解為周期信號(hào)可分解為 tn 1 j e, 4 e)()( 1 j 1 tn n nFtf 5 de)( 11 1 0 j 1 T tn ttf T nF X 三兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖 T tn ttf T nF 0 j 1 de )( 1 )( 1 TT ttntf T ttntf T 0

6、1 0 1 dsin)( 1 jdcos)( 1 nn baj 2 1 TT ttntf T ttntf T nF 0 1 0 11 dsin)( 1 jdcos)( 1 )( nn baj 2 1 n nFnF j 11 e)( 是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù))(),( 11 nFnF X nnn cbanF 2 1 2 1 )( 22 1 相頻特性相頻特性 n n n a b arctan 幅頻特性和相頻特性 幅頻特性幅頻特性 的的奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于 的的偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于 取取正正值值）的的奇奇函函數(shù)數(shù)（實(shí)實(shí)際際關(guān)關(guān)于于 取取正正值值）的的偶偶函函數(shù)數(shù)（實(shí)實(shí)際際關(guān)關(guān)于于 )( 1 1 n nF nb

7、na n n X 1 1 3 n c 0 c 1 c 3 c O 1 1 3 n O 頻譜圖 幅度頻譜幅度頻譜 相位頻譜相位頻譜 離散譜，譜線離散譜，譜線 曲線曲線 或或 n n F c 曲線曲線 n X 四總結(jié) （1）周期信號(hào)）周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式 （3）周期信號(hào)的頻譜是離散譜，三個(gè)性質(zhì)）周期信號(hào)的頻譜是離散譜，三個(gè)性質(zhì) （2）兩種頻譜圖的關(guān)系）兩種頻譜圖的關(guān)系 （4）引入負(fù)頻率）引入負(fù)頻率 (1)周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式 = 1 10 )cos( n nn tncc 三角形式三角形式 指數(shù)形式指數(shù)形式 1 110 sincos)( n

8、nn tnbtnaatf tn n nFtf 1 j 1 e)()( X 0001 0 2 1 )(acFncnF n (2)兩種頻譜圖的關(guān)系 )()( 11 nn 相相位位頻頻譜譜為為奇奇函函數(shù)數(shù) nn c，三角函數(shù)形式：三角函數(shù)形式：?jiǎn)芜咁l譜單邊頻譜 nn F，指數(shù)函數(shù)形式：指數(shù)函數(shù)形式：雙邊頻譜雙邊頻譜 關(guān)系關(guān)系 )()( 11 nFnF 偶偶函函數(shù)數(shù)指指數(shù)數(shù)形形式式的的幅幅度度頻頻譜譜為為 X (3)三個(gè)性質(zhì) 的譜線唯一的譜線唯一惟一性：惟一性： 處處現(xiàn)在現(xiàn)在（離散性），頻率只出（離散性），頻率只出諧波性：諧波性： 收斂性：收斂性： )( , 1 1 tf n nFn (4)引入負(fù)頻率

9、 對(duì)對(duì)于于雙雙邊邊頻頻譜譜，負(fù)負(fù)頻頻率率 )( 1 n ，只只有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)意意義義，而而無(wú)無(wú) 物物理理意意義義。為為什什么么引引入入負(fù)負(fù)頻頻率率? ? 的實(shí)函數(shù)的性質(zhì)不變。的實(shí)函數(shù)的性質(zhì)不變。，才能保證，才能保證和和 數(shù)，必須有共軛對(duì)數(shù)，必須有共軛對(duì)是實(shí)函數(shù)，分解成虛指是實(shí)函數(shù)，分解成虛指 )(ee 11 jj tf tf nn 注意：沖激函數(shù)序列的頻譜不滿(mǎn)足收斂性注意：沖激函數(shù)序列的頻譜不滿(mǎn)足收斂性 X 五函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系 偶函數(shù)偶函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù) 奇諧函數(shù)奇諧函數(shù) 偶諧函數(shù)偶諧函數(shù) 注：指交流分量注：指交流分量 X 1偶函數(shù) 為實(shí)函數(shù)。為實(shí)函數(shù)。 項(xiàng)。項(xiàng)。項(xiàng)，只含直流項(xiàng)和余

10、弦項(xiàng)，只含直流項(xiàng)和余弦傅里葉級(jí)數(shù)中不含正弦傅里葉級(jí)數(shù)中不含正弦 )( 1 nF 信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱(chēng)的信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱(chēng)的 )()(tftf )(tf Ot T E T 0 n b 2 0 1 0dcos)( 4 T n ttntf T a nnnn abanFF 2 1 j 2 1 )( 1 0 n X 2奇函數(shù) )()(tftf 對(duì)稱(chēng)的：對(duì)稱(chēng)的：波形相對(duì)于縱坐標(biāo)是反波形相對(duì)于縱坐標(biāo)是反 )(tf OtTT 1 1 為虛函數(shù)。為虛函數(shù)。量，量，傅里葉級(jí)數(shù)中無(wú)余弦分傅里葉級(jí)數(shù)中無(wú)余弦分)( 1 nF 0= d)( 1 2 2 0 T T ttf T a 0dcos)( 2 2 2 1

11、 T Tn ttntf T a T n ttntf T b 0 1 dsin)( 2 nnnn bbanFFj 2 1 j 2 1 )( 1 2 0 1 0dsin)( 4 T ttntf T X 0 6 , 4 , 2 nn ban時(shí)時(shí) 3奇諧函數(shù) 2 0 1 dcos)( 4 5 , 3 , 1 T n ttntf T an 時(shí)時(shí) 2 0 1 dsin)( 4 T n ttntf T b f(t)的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零，即的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零，即 )(tf OtTT 2 T 2 )( T tftf 若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周 期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，期并相對(duì)于該軸上

12、下反轉(zhuǎn)， 此時(shí)波形并不發(fā)生變化：此時(shí)波形并不發(fā)生變化： 0 0 a X 2 1 T tftf 1 1 2 T 4偶諧函數(shù) 2 0 1 1 1 dsin)( 4 T n ttntf T b 0 5 , 3 , 1 nn ban時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 2 0 1 1 1 dcos)( 4 6 , 4 , 2 T n ttntf T an 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) f(t)的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量 )(tf Ot 1 T 1 T 2 1 T 2 1 T 稱(chēng)為偶諧函數(shù)。稱(chēng)為偶諧函數(shù)。 與原波形重合，與原波形重合，波形移動(dòng)波形移動(dòng) 2 1 T X 六周期信號(hào)的功率 這是帕塞瓦爾定理在傅里葉級(jí)數(shù)情況下的具體體現(xiàn)這是帕塞瓦爾定理在傅里葉級(jí)數(shù)情況下的具體體現(xiàn); ; 表明：表明： 周期信號(hào)平均功率周期信號(hào)平均功率= =直流、基波及各次諧波分直流、基波及各次諧波分 量有效值的平方