(一)線性代數(shù)期中試題(解答)

1、班 級 學(xué) 號 姓 名 密封裝訂線 密封裝訂線 密封裝訂線西南交通大學(xué)20152016學(xué)年第(一)學(xué)期（半期）考試試卷課程代碼 2100024 課程名稱 線性代數(shù) 考試時(shí)間 120分鐘 題號一二三四五六七八九十總成績得分閱卷教師簽字 考生注意1請?jiān)诿芊饩€左邊填寫清楚班級、學(xué)號、姓名；2所有題目的答案寫在題后答題紙上指定位置處。一選擇題：（每小題2分，共計(jì)18分）1下列矩陣中是行最簡形矩陣的是（ c ）（a）； （b）； （c）； （d）2下列矩陣中不是初等矩陣的是（ d ）（a）；（b）；（c）；（d）3下列方程組中是線性方程組的是（ b ）（a）;（b）;（c）;（d）4下面哪個(gè)命題與“階方

2、陣可逆”不是等價(jià)命題（ c ）（a）; （b）等于有限個(gè)初等陣的乘積；（c）有無窮多解； （d）5設(shè),均為階可逆方陣，則下列選項(xiàng)中正確的是（ d ）（a）；（b）可逆；（c）；（d）6已知，線性無關(guān)，則下列向量組中也線性無關(guān)的是（ d ）（a）； （b）；（c）； （d）7下列集合是的子空間有（ c ）（1） （2）（3） （4）.（a） 1個(gè) （b） 2個(gè) （c） 3個(gè) （d） 4個(gè)8下列向量組，構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基有（ c ）（1）；（2）;（3）;（4）.（a） 1個(gè) （b） 2個(gè) （c） 3個(gè) （d） 4個(gè)9均為階矩陣，且，則（1）若可逆，則可逆； （2）若可逆，則可逆；（3）若可逆，則可

3、逆； （4）一定可逆上述命題中，正確的命題共用（ d ）（a） 1個(gè) （b） 2個(gè) （c） 3個(gè) （d） 4個(gè)二填空題：（每空2分，共計(jì)16分）10已知，求： 11設(shè)4元非齊次線性方程組有解，其中，且秩，則的通解為： 12若向量組線性相關(guān)，則的取值為 13已知，則14 已知，則 15已知，存在可逆陣使得，則 16已知行向量 ，則 17 已知，則到的數(shù)量投影 1 ；和向量投影 三判斷下列命題是否正確，并說明理由（每題5分，共10分）18若向量組中任意兩個(gè)向量線性無關(guān)，則整個(gè)向量組線性無關(guān)解 此命題錯(cuò)誤.例如，向量組中任意兩個(gè)向量線性無關(guān)，但是整個(gè)向量組線性相關(guān).19若方陣的行列式為零，則中必有兩

4、列元素對應(yīng)成比例解 此命題錯(cuò)誤.例如，行列式，該行列式中沒有任何兩列元素對應(yīng)成比例.四計(jì)算題：（22分）20計(jì)算行列式（4分）解 21.計(jì)算階行列式 （4分）解：22設(shè)、均為3階矩陣，是3階單位矩陣，已知， 求矩陣（8分）解：因?yàn)椋?所以，23問為何值時(shí)線性方程組有解？并求出其通解（8分）解 對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換從而，當(dāng)?shù)臅r(shí)候該線性方程組有解，此時(shí)由于因此，可取為該方程組的特解，為該方程組導(dǎo)出的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,從而該線性方程組的通解可表示為五解釋題：（6分）24設(shè)（如下圖所示），矩陣.問方程組是否有解. 解 由圖示可知線性無關(guān)，又線性相關(guān)，因此，可由線性表示，即線性方程組有解.六

5、證明題：（14分）25.（8分）設(shè)向量組內(nèi)的一個(gè)基，.（i） 證明向量組為的一個(gè)基；（ii）當(dāng)為何值時(shí)，存在非向量在基與基下的坐標(biāo)相同，并求所有的.證 （1） 因?yàn)?因?yàn)?；又因?yàn)閮?nèi)的一個(gè)基；所以，所以，向量組為的一個(gè)基；（2）所以，可以得到因此，當(dāng)時(shí)，不合題意舍去；故 當(dāng)，而時(shí)，符合題意，其中， 。26.（8分）設(shè)是維實(shí)向量，且線性無關(guān).已知是線性方程組 的非零解向量，試判斷向量組的線性相關(guān)性.證明： 設(shè)有一組數(shù)，使得（）由于是題設(shè)方程組的解，所以有 即 用 左乘（）式兩端，并利用 得 因 ，所以 ，故 ，代入（）式，得 又 線性無關(guān)，故 因此，向量組 線性無關(guān)。七應(yīng)用題：（10分）27供應(yīng)市場的硝酸是由三個(gè)依次進(jìn)行的化學(xué)反應(yīng)首先，氮?dú)馀c氫氣反應(yīng)生成氨氣, 接著，氨氣與氧氣反應(yīng)生成二氧化氮和水, 最后，二氧化氮與水反應(yīng)，生成硝酸和一氧化氮. （1） 配平這三個(gè)化學(xué)反應(yīng)方程式.解 令,;,則由元素守恒可得；;整理得;解這三個(gè)方程組可得，令，則，；,令，則;，令，則從而這三個(gè)化學(xué)反應(yīng)配平