2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1 變化率與導(dǎo)數(shù) 1. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)案 2-2

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精11。3導(dǎo)數(shù)的幾何意義預(yù)習(xí)課本p68，思考并完成下列問(wèn)題（1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么?(2）導(dǎo)函數(shù)的概念是什么？怎樣求導(dǎo)函數(shù)?（3)怎么求過(guò)一點(diǎn)的曲線的切線方程？1導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1）切線的概念：如圖,對(duì)于割線ppn，當(dāng)點(diǎn)pn趨近于點(diǎn)p時(shí)，割線ppn趨近于確定的位置,這個(gè)確定位置的直線pt稱為點(diǎn)p處的切線(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f（x）在xx0處的導(dǎo)數(shù)就是切線pt的斜率k，即k f（x0)2導(dǎo)函數(shù)的概念（1）定義：當(dāng)x變化時(shí)，f(x）便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為f（x)的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù))（2)記法：f(x)或y,即f(x)y 。點(diǎn)睛曲線的切線并不一定與曲線只有一個(gè)交

2、點(diǎn),可以有多個(gè)，甚至可以無(wú)窮多與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線也不一定是曲線的切線1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”）(1)導(dǎo)函數(shù)f（x）的定義域與函數(shù)f(x)的定義域相同（)（2）直線與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)（）（3)函數(shù)f(x)0沒(méi)有導(dǎo)函數(shù)（）答案：（1)(2)(3)2設(shè)f（x0)0,則曲線yf（x）在點(diǎn)(x0，f(x0）)處的切線（)a不存在b與x軸平行或重合c與x軸垂直 d與x軸斜交答案：b3已知曲線yf（x）在點(diǎn)（1，f（1)處的切線方程為2xy20，則f（1）()a4b4c2d2答案：d4拋物線y2x與x軸、y軸都只有一個(gè)公共點(diǎn)，在x軸和y軸這兩條直線中,只有_是它的切

3、線，而_不是它的切線答案：y軸x軸求曲線的切線方程典例已知曲線c:yx3，求曲線c上的橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)處的切線方程解 將x2代入曲線c的方程得y4，切點(diǎn)p(2,4)yx2 42x(x）24. kyx24.曲線在點(diǎn)p(2,4)處的切線方程為y44(x2）,即4xy40。1過(guò)曲線上一點(diǎn)求切線方程的三個(gè)步驟2求過(guò)曲線yf（x)外一點(diǎn)p(x1，y1)的切線方程的六個(gè)步驟（1）設(shè)切點(diǎn)（x0，f（x0)（2）利用所設(shè)切點(diǎn)求斜率kf(x0）li 。(3)用（x0,f（x0）,p(x1，y1)表示斜率（4)根據(jù)斜率相等求得x0，然后求得斜率k.(5)根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程(6）將切線方程化為一般式活學(xué)活用過(guò)點(diǎn)（

4、1，1)且與曲線yx32x相切的直線方程為()axy20或5x4y10bxy20cxy20或4x5y10dxy20解析:選a顯然點(diǎn)（1，1）在曲線yx32x上，若切點(diǎn)為（1，1)，則由f（1)li （x)23x11，切線方程為y（1）1（x1），即xy20。若切點(diǎn)不是(1,1)，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則kxx01，又由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知kf（x0） 3x2，xx013x2，2xx010,x01,x0.kxx01,切線方程為y（1)(x1)，即5x4y10，故選a。求切點(diǎn)坐標(biāo)典例 已知拋物線y2x21分別滿足下列條件，請(qǐng)求出切點(diǎn)的坐標(biāo)(1）切線的傾斜角為45。（2)切線平行于直線4xy20。（3

5、)切線垂直于直線x8y30。解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0),則y2（x0x)212x14x0x2(x)2，4x02x，當(dāng)x0時(shí)，4x0，即f(x0)4x0.（1)拋物線的切線的傾斜角為45,斜率為tan 451。即f（x0)4x01，得x0，切點(diǎn)的坐標(biāo)為.(2）拋物線的切線平行于直線4xy20，k4，即f(x0）4x04，得x01，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)（3）拋物線的切線與直線x8y30垂直,則k1，即k8,故f(x0)4x08，得x02，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，9）求切點(diǎn)坐標(biāo)可以按以下步驟進(jìn)行(1）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)；（2)利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率關(guān)系列方程，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(4）把橫坐標(biāo)

6、代入曲線或切線方程，求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)活學(xué)活用直線l：yxa（a0）和曲線c：yx3x21相切，則a的值為_，切點(diǎn)坐標(biāo)為_解析：設(shè)直線l與曲線c的切點(diǎn)為(x0，y0），因?yàn)閥 3x22x，則yxx03x2x01，解得x01或x0，當(dāng)x01時(shí)，y0xx11，又(x0,y0）在直線yxa上，將x01,y01代入得a0與已知條件矛盾舍去當(dāng)x0時(shí)，y0321,則切點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入直線yxa中得a。答案：層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1下面說(shuō)法正確的是（）a若f(x0）不存在，則曲線yf（x)在點(diǎn)(x0，f(x0）處沒(méi)有切線b若曲線yf(x）在點(diǎn)（x0，f(x0）處有切線，則f(x0)必存在c若f（x0)不存在，則曲線

7、yf(x)在點(diǎn)(x0，f（x0）處的切線斜率不存在d若曲線yf（x）在點(diǎn)（x0,f（x0）處沒(méi)有切線，則f(x0）有可能存在解析：選cf（x0）的幾何意義是曲線yf(x）在點(diǎn)（x0，f（x0)）處切線的斜率，當(dāng)切線垂直于x軸時(shí),切線的斜率不存在，但存在切線2曲線f（x)在點(diǎn)m（1，2）處的切線方程為(）ay2x4by2x4cy2x4 dy2x4解析:選c，所以當(dāng)x0時(shí),f（1)2，即k2.所以直線方程為y22(x1)即y2x4.故選c.3曲線yx32在點(diǎn)處切線的傾斜角為(）a1 b。c。 d解析：選by x2，切線的斜率kyx11。切線的傾斜角為，故應(yīng)選b.4曲線yax2在點(diǎn)(1,a)處的切線

8、與直線2xy60平行,則a等于(）a1 b.c d1解析：選ayx1 li (2aax）2a，2a2，a1.5過(guò)正弦曲線ysin x上的點(diǎn)的切線與ysin x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(）a0個(gè) b1個(gè)c2個(gè) d無(wú)數(shù)個(gè)解析：選d由題意,yf(x）sin x，則f .當(dāng)x0時(shí)，cos x1，f0.曲線ysin x的切線方程為y1，且與ysin x的圖象有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)6已知函數(shù)yf(x）的圖象在點(diǎn)m(1,f(1)）處的切線方程是yx2，則f(1)f(1)_。解析:由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f（1),由點(diǎn)m在切線上得f(1)12，所以f（1)f（1）3。答案:37已知曲線f(x)，g(x)過(guò)兩曲線交點(diǎn)作兩條曲線的切線

9、，則曲線f(x）在交點(diǎn)處的切線方程為_解析：由,得兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1）由f（x),得f(x）li ，yf（x)在點(diǎn)(1,1）處的切線方程為y1（x1)即x2y10，答案：x2y108曲線yx23x的一條切線的斜率為1，則切點(diǎn)坐標(biāo)為_解析:設(shè)f(x)yx23x，切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0),f（x0） 2x031,故x02，y0x3x0462，故切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）答案：(2，2)9已知拋物線yx2,直線xy20，求拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離解：根據(jù)題意可知與直線xy20平行的拋物線yx2的切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)到直線xy20的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,x），則y|xx0 2x01，所以x0,

10、所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切點(diǎn)到直線xy20的距離d,所以拋物線上的點(diǎn)到直線xy20的最短距離為。10已知直線l：y4xa和曲線c：yx32x23相切，求a的值及切點(diǎn)的坐標(biāo)解:設(shè)直線l與曲線c相切于點(diǎn)p（x0,y0），（x）2(3x02)x3x4x0。當(dāng)x0時(shí),3x4x0,即f（x0）3x4x0，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得3x4x04，解得x0或x02.切點(diǎn)的坐標(biāo)為或（2,3)，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，有4a，a，當(dāng)切點(diǎn)為(2，3)時(shí),有342a，a5，當(dāng)a時(shí),切點(diǎn)為；a5時(shí)，切點(diǎn)為（2,3)層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.已知yf（x）的圖象如圖，則f（xa）與f（xb)的大小關(guān)系是（)af（xa）f(xb)bf（xa）f(xb

11、)cf（xa)f(xb）d不能確定解析：選b由圖可知，曲線在點(diǎn)a處的切線的斜率比曲線在點(diǎn)b處的切線的斜率小,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f（xa）0。所以2。答案：27已知函數(shù)f（x）ax21（a0)，g(x)x3bx,若曲線yf（x）與曲線yg（x)在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，求a，b的值解：f(x） 2ax，f（1)2a,即切線斜率k12a。g(x) 3x2b，g(1）3b，即切線斜率k23b.在交點(diǎn)(1，c）處有公共切線，2a3b。又a11b，即ab，故可得8已知曲線yx21,是否存在實(shí)數(shù)a，使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，a）能夠作出該曲線的兩條切線？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：2xx，y (2xx）2x.設(shè)切點(diǎn)為p（x0，y0）,則切線的斜率為kyxx02x0，由點(diǎn)斜式可得所求切線方程為yy02x0（xx0）又切線過(guò)點(diǎn)（1，a)，且