相似三角形定理講解練習(xí)

1、專題: 相似三角形定理與圓冪定理本專題主要復(fù)習(xí)相似三角形的進(jìn)一步認(rèn)識、圓的進(jìn)一步的認(rèn)識通過本專題的復(fù)習(xí)，了解平行線等分線段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理；理解直角三角形射影定理理解圓周角定理及其推論；掌握圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理；理解弦切角定理及其推論掌握相交弦定理、割線定理、切割線定理；理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理【知識要點(diǎn)】1相似三角形概念相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形是相似三角形相似比：相似三角形對應(yīng)邊的比2相似三角形的判定如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似(簡敘為：兩角對應(yīng)相等兩三角形相似)如

2、果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似(簡敘為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似)如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似(簡敘為：三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似)3直角三角形相似的判定定理直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似4相似三角形的性質(zhì)相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例 相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比相似三角形周長的比等于相似比相似三角

3、形的面積比等于相似比的平方5相關(guān)結(jié)論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，截得的三角形與原三角形的對應(yīng)邊成比例三角形的內(nèi)角平分線分對邊成兩段的長度比等于夾角兩邊長度的比經(jīng)過梯形一腰中點(diǎn)而平行于底邊的直線平分另一腰梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半若一條直線截三角形的兩邊(或其延長線)所得對應(yīng)線段成比例，則此直線與三角形的第三邊平行6弦切角定理弦切角定義：切線與弦所夾的角弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半7圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角8圓冪定理相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切

4、線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)割線定理：從圓外一點(diǎn)p引兩條割線與圓分別交于a、b、c、d則有papbpcpd【復(fù)習(xí)要求】1了解平行線等分線段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理；理解直角三角形射影定理2理解圓周角定理及其推論；掌握圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理；理解弦切角定理及其推論3掌握相交弦定理、割線定理、切割線定理；理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理【例題分析】例1 如圖，在abc中，bac90，e為ac中點(diǎn)，adbc于d，de交ba的延長線于f求證：bfdfabac【分析】欲證，雖然四條線段可分配于abc和dfb中，由于abc和fbd一個(gè)是

5、直角三角形，一個(gè)是鈍角三角形，不可能由這一對三角形相似直接找到對應(yīng)邊而得結(jié)論，故需借助中間比牽線搭橋，易證rtbacrtbda，得出，于是只需證出，進(jìn)而須證dfbafd即可證明：abac，adbc，rtabdrtcad，dacb，又adbc，e為ac中點(diǎn)，deae，daeade，bade，又ff，fadfdb，由得【說明】由于abc和fbd這兩個(gè)三角形一個(gè)是直角三角形，一個(gè)是鈍角三角形，明顯不相似，不可能由這一對三角形相似直接找到對應(yīng)邊而得結(jié)論，且圖中又沒有相等的線段來代換，勢必要找“過渡”的線段或線段比，這種尋找“中間”搭橋的線段或線段比是重要的解題技巧此題用到直角三角形中斜邊上的高這個(gè)“雙

6、垂直”的基本圖形，這里有三對相似三角形，這個(gè)圖形在證相似三角形中非常重要例2 abc中，a60，bd，ce是兩條高，求證：【分析】欲證，只須證由已知易得，于是只須證明進(jìn)而想到證明adeabc，這可以由證得證明：a60，bd，ce是兩條高，abdace30，又aaadeabc，.【說明】在判定相似三角形時(shí)，應(yīng)特別注意應(yīng)用“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，則兩三角形相似”這條判定定理例3 已知：如圖，abc中，adbc于d，ceab于e，ad、ec交于f，求證【分析】cd、fd在fdc中，ad、bd在bda中，所以證fdc與bda相似便可以得到結(jié)論證明：adbc于d，ceab于e，adcadb90，ba

7、db90，bceb90，badbce，fdcbda，【說明】為什么找到fdc與bda相似呢?從求證的比例式出發(fā)，“豎看”，線段cd、ad在adc中，但線段fd、bd卻不在一個(gè)三角形中；那么“橫瞧”，cd、fd在fdc，ad、bd在bda中，所以證fdc與bda相似便可以得到結(jié)論小結(jié)為“橫瞧豎看分配相似三角形”例4 如圖，平行四邊形abcd，deab于e，dfbc于f，求證：abdebcdf【分析】化求證的等積式為比例式：，又因?yàn)閏dab，adbc，即證明比例式證明：平行四邊形abcd，ca，deab于e，dfbc于f，aeddfc90，cfdaed，cdab，adbc，即abdebcdf【說明

8、】，“橫瞧豎看”都不能分配在兩個(gè)三角形中，但題中有相等的線段：cdab，adbc所以可橫瞧豎看用相等線段代換過來的比例式：，這個(gè)比例式中的四條線段可分配在兩個(gè)相似三角形中例5 ab是o的直徑，點(diǎn)c在o上，bac60，p是ob上一點(diǎn)，過p作ab的垂線與ac的延長線交于點(diǎn)q，連結(jié)oc，過點(diǎn)c作cdoc交pq于點(diǎn)d(1)求證：cdq是等腰三角形；(2)如果cdqcob，求bppo的值【分析】證明cdq是等腰三角形，只需證明dcqq，利用題目中已有的相似三角形和等腰三角形把這兩個(gè)角的關(guān)系建立起來并可以得到各邊的比例關(guān)系，不妨把圓的半徑設(shè)為1，簡化計(jì)算(1)證明：由已知得acb90，abc30，q30，

9、bcoabc30cdoc，dcqbco30，dcqq，cdq是等腰三角形(2)解：設(shè)o的半徑為1，則ab2，oc1，等腰三角形cdq與等腰三角形cob全等，cqbc，【說明】利用好相似三角形對應(yīng)角相等的條件，進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化是解題中常用的技巧例6 abc內(nèi)接于圓o，bac的平分線交o于d點(diǎn)，交o的切線be于f，連結(jié)bd，cd 求證：(1)bd平分cbe；(2)abbfafdc【分析】可根據(jù)同弧所對的圓周角及弦切角的關(guān)系推出由條件及(1)的結(jié)論，可知bdcd，因此欲求abbfafdc，可求，因此只須求abfbdf即可證明：(1)cadbadfbd，cadcbd，cbdfbd，bd平分cbe(2)在d

10、bf與baf中，fbdfab，ff，abfbdf，abbfbdaf又bdcd，abbfcdaf例7 o以等腰三角形abc一腰ab為直徑，它交另一腰ac于e，交bc于d求證：bc2de【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得bc，由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得bdec，所以cdec，所以decd，連結(jié)ad，可得adbc，利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)得bc2cd，即bc2de證明：連結(jié)ad ab是o直徑 adbcabac bc2cd，bco內(nèi)接四邊形abdebdec(四點(diǎn)共圓的一個(gè)內(nèi)角等于對角的外角)cdec dedcbc2de例8 o內(nèi)兩弦ab，cd的延長線相交于圓外一點(diǎn)e，由e引ad的平行線與直線bc交于f，

11、作切線fg，g為切點(diǎn)，求證：effg【分析】由于fg切圓o于g，則有fg2fbfc，因此，只要證明fe2fbfc成立即可證明：在bfe與efc中有befac，又 bfeefc，bfeefc，fe2fbfc又fg2fbfc，fe2fg2， fefg作業(yè)：一、選擇題1在abc中，abc123，cdab于d，aba，則db（ ）abcd2如圖，ad是abc高線，deab于e，dfac于f，則(1)ad2bdcd(2)ad2aeab(3)ad2afac(4)ad2ac2accf中正確的有( )a1個(gè)b2個(gè)c3個(gè)d4個(gè)3如圖，ab是o的直徑，c，d是半圓的三等分點(diǎn)，則ced( )a135b110c145d1204如圖，以等腰三角形的腰為直徑作圓，交底邊于d，連結(jié)ad，那么( )abadcad90bbadcadcbadcaddbadcad二、填空題5在rtabc中，bac90，adbc于d，ab2，db1，則dc_，ad_6在rtabc中，ad為斜邊上的高，sabc4sabd，則abbc_7如圖，ab是半圓o的直徑，點(diǎn)c在半圓上，cdab于點(diǎn)d，且ad3db，設(shè)codq ，則tan2_8如圖，ab是o的直徑，cb切o與b，cd切o與d，交ba的延長線于e若ab3，ed2，則bc的長為_三、解答題9如圖，在梯形abcd中，abcd，o為內(nèi)切