高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品：空間夾角和距離

1、20092010學(xué)年度高三數(shù)學(xué)（人教版a版）第一輪復(fù)習(xí)資料第37講 空間夾角和距離一【課標(biāo)要求】1能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角和距離；2能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用。二【命題走向】空間的夾角和距離問(wèn)題是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對(duì)本講的考察主要有以下情況：（1）空間的夾角；（2）空間的距離；（3）空間向量在求夾角和距離中的應(yīng)用預(yù)測(cè)2010年高考對(duì)本講內(nèi)容的考察將側(cè)重空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離。課本淡化了利用空間關(guān)系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解，而是加大了向量在這方面內(nèi)容應(yīng)用的講解，因此作為立體幾何的解答題，用向量方法處理有關(guān)夾

2、角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考察三【要點(diǎn)精講】1空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角 （1）異面直線所成的角的范圍是。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決具體步驟如下：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上；證明作出的角即為所求的角；利用三角形來(lái)求角（2）直線與平面所成的角的范圍是。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。dbac具體步驟如下：找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平

3、面的射影，確定出所求的角；把該角置于三角形中計(jì)算。注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若為線面角，為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有；（3）確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上；利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置：a.如果側(cè)棱相等

4、或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范圍在課本中沒(méi)有給出，一般是指，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角；面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連

5、線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：(為原斜面面積,為射影面積,為斜面與射影所成二面角的平面角)這個(gè)公式對(duì)于斜面為三角形,任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí),如果能找得斜面面積的射影面積,可直接應(yīng)用公式,求出二面角的大小2空間的距離（1）點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為，過(guò)作的垂線，垂足為連，則由三垂線定理可得線段即為點(diǎn)到直線的距離。在直角三角形中求出的長(zhǎng)即可。點(diǎn)到

6、平面的距離：點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)常用求法作出點(diǎn)到平面的垂線后求出垂線段的長(zhǎng)；轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點(diǎn)，到斜足的距離，的比為，則點(diǎn)，到平面的距離之比也為特別地，時(shí)，點(diǎn)，到平面的距離相等；體積法（2）異面直線間的距離：異面直線間的距離為間的公垂線段的長(zhǎng)常有求法先證線段為異面直線的公垂線段，然后求出的長(zhǎng)即可找或作出過(guò)且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離找或作出分別過(guò)且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離根據(jù)異面直線間的距離公式求距離。（3）直線到平面的距離：只存在于直線和平面平行之間為直線上任意一點(diǎn)到平面間的距離。（4）平面與平面間的距離：

7、只存在于兩個(gè)平行平面之間為一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離。以上所說(shuō)的所有距離：點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距都是對(duì)應(yīng)圖形上兩點(diǎn)間的最短距離。所以均可以用求函數(shù)的最小值法求各距離abef3空間向量的應(yīng)用（1）用法向量求異面直線間的距離如右圖所示，a、b是兩異面直線，是a和b 的法向量，點(diǎn)ea，fb，則異面直線 a與b之間的距離是 ；abc（2）用法向量求點(diǎn)到平面的距離如右圖所示，已知ab是平面的 一條斜線，為平面的法向量，則 a到平面的距離為；（3）用法向量求直線到平面間的距離首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線上一點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題（4）用法向量求兩平

8、行平面間的距離首先必須確定兩個(gè)平面是否平行，這時(shí)可以在一個(gè)平面上任取一點(diǎn)，將兩平面間的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題。（5）用法向量求二面角如圖，有兩個(gè)平面與，分別作這兩個(gè)平面的法向量與，則平面與所成的角跟法向量與所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。（6）法向量求直線與平面所成的角要求直線a與平面所成的角，先求這個(gè)平面的法向量與直線a的夾角的余弦，易知=或者。四【典例解析】題型1：異面直線所成的角例1（1）直三棱住a1b1c1abc，bca=，點(diǎn)d1、f1 分別是a1b1、a1c1的中點(diǎn)，bc=ca=cc1，則bd1與af1所成角的余弦值是（ ） （a ） （b） （c

9、） （d）解析：（1）連結(jié)d1f1，則d1f1，bc d1f1設(shè)點(diǎn)e為bc中點(diǎn)，d1f1be，bd1ef1，ef1a或其補(bǔ)角即為bd1與af1所成的角。由余弦定理可求得。故選a。（2）（2009廣東卷理）（本小題滿分14分）zyxe1g1如圖6，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是正方形的中心，點(diǎn)、分別是棱的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)分別是點(diǎn)，在平面內(nèi)的正投影（1）求以為頂點(diǎn)，以四邊形在平面內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；（2）證明：直線平面；（3）求異面直線所成角的正弦值.解：（1）依題作點(diǎn)、在平面內(nèi)的正投影、，則、分別為、的中點(diǎn)，連結(jié)、，則所求為四棱錐的體積，其底面面積為 ，又面，.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分

10、別作軸，軸，軸，得、，又，則，即，又，平面.（3），則，設(shè)異面直線所成角為，則.a1b1c1d1abcdexyz例2已知正方體abcda1b1c1d1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)e為棱ab的中點(diǎn)。求：d1e與平面bc1d所成角的大?。ㄓ糜嘞抑当硎荆┙馕觯航⒆鴺?biāo)系如圖，則、，。不難證明為平面bc1d的法向量， 。 d1e與平面bc1d所成的角的余弦值為。點(diǎn)評(píng)：將異面直線間的夾角轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角。題型2：直線與平面所成的角例3pa、pb、pc是從p點(diǎn)出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為，那么直線pc與平面pab所成角的余弦值是（ ）da. b. c. d. 解：構(gòu)造正方體如圖所示，過(guò)點(diǎn)c作co平面pab，

11、垂足為o，則o為正abp的中心，于是cpo為pc與平面pab所成的角。設(shè)pc=a，則po=，故，即選c。思維點(diǎn)撥：第（2）題也可利用公式直接求得。例4（2009北京卷文）（本小題共14分）如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)e在棱pb上.（）求證：平面；（）當(dāng)且e為pb的中點(diǎn)時(shí)，求ae與平面pdb所成的角的大小.【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力（）四邊形abcd是正方形，acbd，pdac，ac平面pdb，平面.（）設(shè)acbd=o，連接oe， 由（）知ac平面pdb于o， aeo為ae與平面pdb所的角， o

12、，e分別為db、pb的中點(diǎn)， oe/pd，又， oe底面abcd，oeao， 在rtaoe中， ，即ae與平面pdb所成的角的大小為.【解法2】如圖，以d為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)則，（），acdp，acdb，ac平面pdb，平面.（）當(dāng)且e為pb的中點(diǎn)時(shí)， 設(shè)acbd=o，連接oe， 由（）知ac平面pdb于o， aeo為ae與平面pdb所的角， ，即ae與平面pdb所成的角的大小為.點(diǎn)評(píng)：先處理平面的法向量，再求直線的方向向量與法向量夾角間的夾角轉(zhuǎn)化為線面角。題型3：二面角例5在四棱錐pabcd中，abcd為正方形，pa平面abcd，paaba，e為bc中點(diǎn)。（1）求平面pde與平面p

13、ab所成二面角的大?。ㄓ谜兄当硎荆唬?）求平面pba與平面pdc所成二面角的大小解析：（1）延長(zhǎng)ab、de交于點(diǎn)f，則pf為平面pde與平面pad所成二面角的棱，pa平面abcd，adpa、ab, paab=ada平面bpa于a，過(guò)a作aopf于o，連結(jié)od，則aod即為平面pde與平面pad所成二面角的平面角。易得，故平面pde與平pad所成二面角的正切值為；（2）解法1（面積法）如圖adpa、ab, paab=a，da平面bpa于a, 同時(shí)，bc平面bpa于b，pba是pcd在平面pba上的射影, 設(shè)平面pba與平面pdc所成二面角大小為,cos=spab/spcd=/2 =450。即

14、平面bap與平面pdc所成的二面角的大小為45。解法2（補(bǔ)形化為定義法）如圖：將四棱錐p-abcd補(bǔ)形得正方體abcdpqmn，則pqpa、pd，于是apd是兩面所成二面角的平面角。在rtpad中，pa=ad，則apd=45。即平面bap與平面pdc所成二面角的大小為45。例6（1）(2009山東卷理)（本小題滿分12分）e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d 如圖，在直四棱柱abcd-abcd中，底面abcd為等腰梯形，ab/cd，ab=4, bc=cd=2, aa=2, e、e、f分別是棱ad、aa、ab的中點(diǎn)。（1） 證明：直線ee/平面fcc；（2） 求二面角b-fc-c

15、的余弦值。 解法一：（1）在直四棱柱abcd-abcd中，取a1b1的中點(diǎn)f1，e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d f1 o p 連接a1d，c1f1，cf1，因?yàn)閍b=4, cd=2,且ab/cd，所以cda1f1，a1f1cd為平行四邊形，所以cf1/a1d，又因?yàn)閑、e分別是棱ad、aa的中點(diǎn)，所以ee1/a1d，所以cf1/ee1，又因?yàn)槠矫鎓cc，平面fcc，所以直線ee/平面fcc.（2）因?yàn)閍b=4, bc=cd=2, 、f是棱ab的中點(diǎn),所以bf=bc=cf,bcf為正三角形,取cf的中點(diǎn)o,則obcf,又因?yàn)橹彼睦庵鵤bcd-abcd中,cc1平面abcd,

16、所以cc1bo,所以ob平面cc1f,過(guò)o在平面cc1f內(nèi)作opc1f,垂足為p,連接bp,則opb為二面角b-fc-c的一個(gè)平面角, 在bcf為正三角形中,在rtcc1f中, opfcc1f, 在rtopf中,所以二面角b-fc-c的余弦值為.解法二:（1）因?yàn)閍b=4, bc=cd=2, f是棱ab的中點(diǎn),e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d x y z m 所以bf=bc=cf,bcf為正三角形, 因?yàn)閍bcd為等腰梯形,所以bac=abc=60,取af的中點(diǎn)m,連接dm,則dmab,所以dmcd,以dm為x軸,dc為y軸,dd1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則d（0,0,0

17、）,a（,-1,0）,f（,1,0）,c（0,2,0）,c1（0,2,2）,e（,0）,e1（,-1,1）,所以,設(shè)平面cc1f的法向量為則所以取,則,所以,所以直線ee/平面fcc. （2）,設(shè)平面bfc1的法向量為,則所以,取,則, 所以,由圖可知二面角b-fc-c為銳角,所以二面角b-fc-c的余弦值為. 【命題立意】:本題主要考查直棱柱的概念、線面位置關(guān)系的判定和二面角的計(jì)算.考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力,以及應(yīng)用向量知識(shí)解答問(wèn)題的能力.（2）（2009安徽卷理）（本小題滿分13分）如圖，四棱錐fabcd的底面abcd是菱形，其對(duì)角線ac=2，bd=，ae、cf都與平面abcd垂直，

18、ae=1，cf=2.（i）求二面角bafd的大?。唬╥i）求四棱錐eabcd與四棱錐fabcd公共部分的體積.本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系、相交平面所成二面角以及空間幾何體的體積計(jì)算等知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力、利用綜合法或向量法解決立體幾何問(wèn)題的能力。本小題滿分13分解：（i）（綜合法）連接ac、bd交于菱形的中心o，過(guò)o作ogaf，g為垂足。連接bg、dg。由bdac，bdcf得bd平面acf，故bdaf。 于是af平面bgd，所以bgaf，dgaf，bgd為二面角bafd 的平面角。由， ，得， 由，得（向量法）以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，、方向分別為x軸、y

19、軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）設(shè)平面abf的法向量，則由得令，得，同理，可求得平面adf的法向量。 由知，平面abf與平面adf垂直，二面角b-af-d的大小等于。（ii）連eb、ec、ed，設(shè)直線af與直線ce相交于點(diǎn)h，則四棱錐e-abcd與四棱錐f-abcd的公共部分為四棱錐h-abcd。過(guò)h作hp平面abcd，p為垂足因?yàn)閑a平面abcd，fc平面abcd，所以平面acfe平面abcd，從而由得。又因?yàn)?故四棱錐h-abcd的體積評(píng)析：（1）用法向量的方法處理二面角的問(wèn)題時(shí)，將傳統(tǒng)求二面角問(wèn)題時(shí)的三步曲：“找證求”直接簡(jiǎn)化成了一步曲：“計(jì)算”，這表面似乎談化了學(xué)生的空間想象

20、能力，但實(shí)質(zhì)不然，向量法對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求更高，也更加注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神；（2）此法在處理二面角問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)遇到二面角的具體大小問(wèn)題，如本題中若取時(shí)，會(huì)算得，從而所求二面角為，但依題意只為。因?yàn)槎娼堑拇笮∮袝r(shí)為銳角、直角，有時(shí)也為鈍角。所以在計(jì)算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計(jì)算取“相等角”或取“補(bǔ)角”。（2）解析：球的半徑是r=，三點(diǎn)都在球面上，兩點(diǎn)和兩點(diǎn)的球面距離都是，則aob，aoc都等于，ab=ac，兩點(diǎn)的球面距離是，boc=，bc=1，過(guò)b做bdao，垂足為d，連接cd，則cdad，則bdc是二面角的平面角，bd=cd=，bd

21、c=，二面角的大小是，選c。題型4：異面直線間的距離例7如圖，已知正方體棱長(zhǎng)為，求異面直線與的距離解法一：連結(jié)交的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連結(jié)交于，連，則，過(guò)作交于，則。又斜線的射影為，。同理，為與的公垂線，由于為的中點(diǎn)，。，故，解法二（轉(zhuǎn)化為線面距）因?yàn)槠矫?，平面，故與的距離就是到平面的距離由，即，得o解法三（轉(zhuǎn)化為面面距）易證平面平面，用等體積法易得到平面的距離為。同理可知：到平面的距離為，而，故兩平面間距離為解法四（垂面法）如圖，平面，平面，平面平面，故o到平面的距離為斜邊上的高。解法五。（函數(shù)最小值法）如圖，在上取一點(diǎn)m，作mebc于e，過(guò)e作enbd交bd于n，易知mn為bd與的公垂線時(shí)，m

22、n最小。設(shè)be=，ce=me=，en=，mn=。當(dāng)時(shí)，時(shí)，。abcdos圖2例8如圖2，正四棱錐的高，底邊長(zhǎng)。求異面直線和之間的距離？分析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則， ，。，。令向量，且，則，。異面直線和之間的距離為：。題型5：點(diǎn)面距離例92009江西卷文）（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角；（3）求點(diǎn)到平面的距離解：方法（一）：（1）證：依題設(shè)，在以為直徑的球面上，則.因?yàn)槠矫?，則，又，所以平面，則，因此有平面，所以平面平面.（）設(shè)平面與交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以平面，則，由（1）知，平面，則

23、mn是pn在平面abm上的射影，所以 就是與平面所成的角，且 所求角為（3）因?yàn)閛是bd的中點(diǎn)，則o點(diǎn)到平面abm的距離等于d點(diǎn)到平面abm距離的一半，由（1）知，平面于m，則|dm|就是d點(diǎn)到平面abm距離.因?yàn)樵趓tpad中，所以為中點(diǎn)，則o點(diǎn)到平面abm的距離等于。方法二：（1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得：，令，則，即.設(shè)所求角為，則，所求角的大小為. （3）設(shè)所求距離為，由，得：15.（2009江西卷理）（本小題滿分12分）在四棱錐中，底面是矩形，平面，. 以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求證：平面平面； （2）求

24、直線與平面所成的角的大?。淮砑拥碾[藏文字內(nèi)容3（3）求點(diǎn)到平面的距離.解：方法一：（1）依題設(shè)知，ac是所作球面的直徑，則ammc。又因?yàn)閜 a平面abcd，則pacd，又cdad，所以cd平面，則cdam，所以a m平面pcd，所以平面abm平面pcd。（2）由（1）知，又，則是的中點(diǎn)可得，則設(shè)d到平面acm的距離為，由即，可求得，設(shè)所求角為，則，。（1） 可求得pc=6。因?yàn)閍nnc，由，得pn。所以。故n點(diǎn)到平面acm的距離等于p點(diǎn)到平面acm距離的。又因?yàn)閙是pd的中點(diǎn)，則p、d到平面acm的距離相等，由（2）可知所求距離為。方法二：（1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系

25、，則， ，；設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得：，令，則。設(shè)所求角為，則， 所以所求角的大小為。（3）由條件可得，.在中，,所以,則, ，所以所求距離等于點(diǎn)到平面距離的，設(shè)點(diǎn)到平面距離為則，所以所求距離為。思維點(diǎn)拔：注意點(diǎn)距，線面距，面面距的轉(zhuǎn)化，利用平面互相垂直作距離也是一種常用的方法。例10（1）(2009湖北卷理)（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效） 如圖，四棱錐sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sd=2a，點(diǎn)e是sd上的點(diǎn)，且（）求證：對(duì)任意的，都有（）設(shè)二面角caed的大小為，直線be與平面abcd所成的角為，若，求的值 18.（）證法1：如圖1，連接be、bd，由地面

26、abcd是正方形可得acbd。 sd平面abcd，bd是be在平面abcd上的射影，acbe（）解法1：如圖1，由sd平面abcd知，dbe= , sd平面abcd，cd平面abcd, sdcd。 又底面abcd是正方形， cdad，而sd ad=d，cd平面sad.連接ae、ce，過(guò)點(diǎn)d在平面sad內(nèi)作deae于f，連接cf，則cfae，故cdf是二面角c-ae-d的平面角，即cdf=。在rtbde中，bd=2a，de=在rtade中, 從而在中，. 由，得.由，解得，即為所求.（i） 證法2：以d為原點(diǎn)，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如 圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則 d（0，0，0

27、），a（，0，0），b（，0），c（0，0），e（0，0）， ， 即。（ii） 解法2：由（i）得.設(shè)平面ace的法向量為n=(x，y，z)，則由得。 易知平面abcd與平面ade的一個(gè)法向量分別為. . 0， . 由于，解得，即為所求。bacd例11已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為8，對(duì)角線，d是ac的中點(diǎn)。（1）求點(diǎn)到直線ac的距離。（2）求直線到平面的距離。解析：（1）連結(jié)bd，由三垂線定理可得：，所以就是點(diǎn)到直線ac的距離。在中。（2）因?yàn)閍c與平面bd交于的中點(diǎn)，設(shè)，則/de，所以/平面，所以到平面bd的距離等于點(diǎn)到平面bd的距離，等于點(diǎn)到平面bd的距離，也就等于三棱錐的高。，所以，直線到平面bd的距離是。思維點(diǎn)拔：求空間距離多用轉(zhuǎn)化的思想。acbpef圖7例12如圖7，已知邊長(zhǎng)為的正三角形中，、分別為和的中點(diǎn)，面，且，設(shè)平面過(guò)且與平行。 求與平面間的距離？分析：設(shè)、的單位向量分別為、，