材料力學(xué) 第09章

1、1 2 1917年 加拿大魁北克大橋二度坍塌 3 魚洞長 江大橋 邊跨現(xiàn) 澆支架 失穩(wěn) 4 5 9 91 1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念 9 94 4 壓桿的穩(wěn)定校核及其合理截面壓桿的穩(wěn)定校核及其合理截面 9 92 2 細(xì)長壓桿臨界力的歐拉公式細(xì)長壓桿臨界力的歐拉公式 9 93 3 超過比例極限時壓桿的臨界應(yīng)力超過比例極限時壓桿的臨界應(yīng)力 6 91 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念 構(gòu)件的承載能力：構(gòu)件的承載能力： 強(qiáng)度強(qiáng)度 剛度剛度 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 工程中有些構(gòu)工程中有些構(gòu) 件具有足夠的強(qiáng)度、件具有足夠的強(qiáng)度、 剛度，卻不一定能剛度，卻不一定能 安全可靠地工作。安全可靠地工作。 7 P

2、工程背景工程背景 8 9 10 工程機(jī)械工程機(jī)械 11 一、穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡一、穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡 ： 1. 不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡 12 2. 2. 穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡 13 3. 3. 穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡 14 二、壓桿失穩(wěn)與臨界壓力二、壓桿失穩(wěn)與臨界壓力 ： 1.1.理想壓桿：材料絕對理想；軸線絕對直；壓力絕對沿軸線作用。理想壓桿：材料絕對理想；軸線絕對直；壓力絕對沿軸線作用。 2.2.壓桿的穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡：壓桿的穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡： 15 F FP P F FPcr Pcr : :在擾動作用下， 在擾動作用下，直線平衡直線平衡 構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，構(gòu)

3、形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動除擾動除 去后，不能去后，不能恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形， 則稱原來的直線平衡構(gòu)形是則稱原來的直線平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定的。 16 3.3.壓桿失穩(wěn)：壓桿失穩(wěn)：4.4.壓桿的臨界壓力壓桿的臨界壓力 臨界狀態(tài)臨界狀態(tài) 臨界壓力臨界壓力: : Pcr 過過 度度 對應(yīng)的對應(yīng)的 壓力壓力 17 92 細(xì)長壓桿臨界力的歐拉公式細(xì)長壓桿臨界力的歐拉公式 一、兩端鉸支壓桿的臨界力一、兩端鉸支壓桿的臨界力: PyyxM),( 假定壓力已達(dá)到臨界值，桿已經(jīng)處于微彎狀態(tài)，如圖，假定壓力已達(dá)到臨界值，桿已經(jīng)處于微彎狀態(tài)，如圖， 從撓曲線入手，求臨界力。從撓曲線入手，求臨界

4、力。 y EI P EI M y 0 2 ykyy EI P y EI P k 2 :其中 P x L P x y P M 18 xBxAycossin 0)()0(Lyy 0cossin 00 : kLBkLA BA 即0 cos sin 1 0 kLkL 0sin kL EI P L n k 臨界力 Pcr 是微彎下的最小壓力，故，只能取n=1 ；且桿將 繞慣性矩最小的軸彎曲。 2 min 2 L EI Pcr 同時可以得到 19 二、此公式的應(yīng)用條件： 三、其它支承情況下，壓桿臨界力的歐拉公式 1.理想壓桿；2.線彈性范圍內(nèi)；3.兩端為球鉸支座。 長度系數(shù)（或約束系數(shù)）。 兩端鉸支壓桿臨

5、界力的歐拉公式兩端鉸支壓桿臨界力的歐拉公式 壓桿臨界力歐拉公式的一般形式壓桿臨界力歐拉公式的一般形式 2 2 L EI Pcr min 2 2 )( min L EI Pcr 20 0.5l 表101 各種支承約束條件下等截面細(xì)長壓桿臨界力的歐拉公式 支承情況兩端鉸支 一端固定 另端鉸支 兩端固定 一端固定 另端自由 兩端固定但可沿 橫向相對移動 失穩(wěn)時撓曲線形狀 Pcr A B l 臨界力Pcr 歐拉公式 長度系數(shù) 2 2 l EI P cr 2 2 )7 . 0(l EI P cr 2 2 )5 . 0(l EI P cr 2 2 )2( l EI P cr 2 2 l EI P cr =

6、1 0.7=0.5=2=1 Pcr A B l Pcr A B l 0.7l C C D C 撓曲 線拐點 C、D 撓 曲線拐點 0.5l Pcr Pcr l 2l l C 撓曲線拐點 21 P M kyky 22 MPyxMyEI )( EI P k 2 :令 0,; 0, 0 yyLxyyx 解解：變形如圖，其撓曲線近似微分方程為： 邊界條件為: 例例1 試由撓曲線近似微分方程，導(dǎo)出下述細(xì)長壓桿的臨界力 公式。 P L x P M0 P M0 P M0 x P M0 P M kxdkxcysincos kxckxdysincos 22 nkLnkLd P M c 2, 0,并 2 2 2

7、2 )2 /( 4 L EI L EI P cr 2kL 為求最小臨界力，“k”應(yīng)取除零以外的最小值，即?。?所以，臨界力為： 2 nkL = 0.5 23 壓桿的臨界力 例例2 求下列細(xì)長壓桿的臨界力。 , 12 3h b I y =1.0， 解：繞 y 軸，兩端鉸支： 2 2 2 L EI P y cry , 12 3 bh I z =0.7， 繞 z 軸，左端固定，右端鉸支： 2 1 2 )7 . 0(L EI P z crz ) , min( crzcrycr PPP y z L1 L2 y z h b x 24 4912 3 min m1017. 410 12 1050 I 2 1

8、min 2 )(l EI P cr 48 min m1089. 3 z II 2 2 min 2 )(l EI P cr 例例3 求下列細(xì)長壓桿的臨界力。已知： L=0.5m ， E=200GPa. 圖(a) 圖(b) 解：圖(a) 圖(b) kN14.67 )5 . 07 . 0( 20017. 4 2 2 kN8 .76 )5 . 02( 200389. 0 2 2 50 10 P L P L (4545 6) 等邊角鋼 y z 25 26 93 中、小柔度桿的臨界應(yīng)力中、小柔度桿的臨界應(yīng)力 A P cr cr 一、一、 基本概念基本概念 1.臨界應(yīng)力：壓桿處于臨界狀態(tài)時橫截面上的平均應(yīng)力

9、。 3.柔度： 2 2 2 2 2 2 )/()( E iL E AL EI A P cr cr 2.細(xì)長壓桿的臨界應(yīng)力： 慣性半徑。 A I i ）桿的柔度（或長細(xì)比 i L 2 2 E cr 即：即： 27 4.大柔度桿的分界： Pcr E 2 2 歐拉公式求。長細(xì)桿），其臨界力用的桿稱為大柔度桿（或滿足 P P P E 2 求。臨界力不能用歐拉公式的桿為中小柔度桿，其 P 二、中小柔度桿的臨界應(yīng)力計算二、中小柔度桿的臨界應(yīng)力計算 1.直線型經(jīng)驗公式 PS 時： scr ba s s b a 界應(yīng)力用經(jīng)驗公式求。的桿為中柔度桿，其臨 Ps ba cr 28 i L cr 界應(yīng)力為屈服極限。

10、的桿為小柔度桿，其臨 S 2 2 E cr 臨界應(yīng)力總圖 S 時： scr ba cr P S s b a s P P E 2 29 2.拋物線型經(jīng)驗公式 2 11 ba cr S c E AA 56. 0 43. 016 2 53 ，錳鋼：鋼和鋼、對于 。時，由此式求臨界應(yīng)力 c 我國建筑業(yè)常用： Ps 時： 2 1 c scr s 時： scr 30 例例4 一壓桿長L=1.5m，由兩根 56568 等邊角鋼組成，兩端鉸 支，壓力P=150kN，角鋼為A3鋼，試用歐拉公式或拋物線公式 求臨界壓力和穩(wěn)定安全系數(shù)nst。 4 1 2 1 cm63.23 ,cm367.8 y IA zy II

11、cm68. 1 367. 82 26.47 min A I i 1233 .89 68.1 150 c i l 解解：一個角鋼： 兩根角鋼圖示組合之后 4 1min cm26.4763.2322 yy III 所以，應(yīng)由拋物線公式求臨界壓力。 y z 31 MPa7 .181) 123 3 .89 (43. 01 235)(43. 01 22 c scr kN304107 .18110367. 82 64 crcr AP 02. 2 150 304 P P n cr st 安全系數(shù) 32 94 壓桿的穩(wěn)定校核及其合理截面壓桿的穩(wěn)定校核及其合理截面 一、壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力一、壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力:

12、 : 1.安全系數(shù)法確定許用應(yīng)力: st cr st n 2.折減系數(shù)法確定許用應(yīng)力: st , 1,折減系數(shù)其值與材料性能及壓桿 柔度有關(guān)。 二、壓桿的穩(wěn)定條件二、壓桿的穩(wěn)定條件: : st A P 影響壓桿承載能力的因素: 2 2 L EI Fcr AF crcr Aba AF crcr A s 提高壓桿承載能力的主要途徑 為了提高壓桿承載能力，必須綜合考慮桿長、支承、截面的合 理性以及材料性能等因素的影響?？赡艿拇胧┯幸韵聨追矫妫?（1）盡量減少壓桿桿長 對于細(xì)長桿，其臨界荷載與桿長平方成反比。因此，減少桿長 可以顯著地提高壓桿承載能力，在某些情形下，通過改變結(jié)構(gòu)或 增加支點可以達(dá)到減小

13、桿長從而提高壓桿承載能力的目的。 兩種桁架中的、桿均為壓桿，但圖b中壓桿承載能力要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于圖a中的 壓桿。 )(a F C BA )(b F C BA （2）增強(qiáng)支承的剛性 提高壓桿承載能力的主要途徑 支承的剛性越大，壓桿長度系數(shù)值越低，臨界載荷越大。如， 將兩端鉸支的細(xì)長桿，變成兩端固定約束的情形，臨界載荷將呈 數(shù)倍增加。 （3）合理選擇截面形狀 當(dāng)壓桿兩端在各個方向彎曲平面內(nèi)具有相同的約束條件時,壓桿 將在剛度最小的平面內(nèi)彎曲.這時如果只增加截面某個反方向的慣 性矩,并不能提高壓桿的承載能力,最經(jīng)濟(jì)的辦法是將截面設(shè)計成空 的, 從而加大截面的慣性矩.并使截面對各個方向軸的慣性矩均相 同.因

14、此,對一定的橫截面面積,正方形截面或圓截面比矩形截面好, 空心截面比實心截面好. 當(dāng)壓桿端部在不同的平面內(nèi)具有不同的約束條件時,應(yīng)采用最大 與最小慣性矩不等的截面,并使慣性矩較小的平面內(nèi)具有較強(qiáng)剛性 的約束. （4）合理選用材料 在其他條件均相同的條件下，選用彈性模量大的材料，可以提 高細(xì)長壓桿的承載能力。例如鋼桿臨界載荷大于銅、鑄鐵或鋁制 壓桿的臨界載荷。但是，普通碳素鋼、合金鋼以及高強(qiáng)度鋼的彈 性模量數(shù)值相差不大。因此，對于細(xì)長桿，若選用高強(qiáng)度鋼，對 壓桿臨界載荷影響甚微，意義不大，反而造成材料的浪費。 但對于粗短桿或中長桿，其臨界載荷與材料的比例極限或屈 服強(qiáng)度有關(guān)，這時選用高強(qiáng)度鋼會使

15、臨界載荷有所提高。 37 因愈大，則cr 和Pcr愈低，而， =l/i, 所以提高壓桿承 載能力的措施為： （1）減小壓桿的長度l； （2）增強(qiáng)桿端的約束； （3）加大桿截面的慣性矩i，并且在各個方向約束條件相同 的條件下，使Iy=Iz； （4）合理選用材料。 提高壓桿承載能力的措施提高壓桿承載能力的措施 壓桿穩(wěn)定問題中的長細(xì)比反應(yīng)了桿的尺寸,（ ） 和（ ）對臨界壓力的綜合影響。 兩根細(xì)長壓桿a與b的長度、橫截面面積、約束狀態(tài)及 材料均相同，若其橫截面形狀分別為正方形和圓形，則 二壓桿的臨界壓力Facr和Fbcr的關(guān)系為（ ）。 A.Facr=Fbcr；B.FacrFbcr；C.FacrFb

16、cr；D.不確定 材料和柔度都相同的兩根壓桿（ ）。 A. 臨界應(yīng)力一定相等，臨界壓力不一定相等； B. 臨界應(yīng)力不一定相等，臨界壓力一定相等； C. 臨界應(yīng)力和壓力都一定相等； D. 臨界應(yīng)力和壓力都不一定相等。 圖示兩端鉸支壓桿的截面為矩形。當(dāng)其失穩(wěn)時，（ ）。 A.臨界壓力Fcr2EIy/L2，撓曲線位于xy面內(nèi)； B.臨界壓力Fcr2EIy/L2，撓曲線位于xz面內(nèi)； C.臨界壓力Fcr2EIz/L2，撓曲線位于xy面內(nèi)； D.臨界壓力Fcr2EIz/L2，撓曲線位于xz面內(nèi)。 L F y z x h b z y 圖示二根壓桿，橫截面面積及材料各不相同， 但它們的（ ）相同。 A.長度

17、因數(shù)；B.相當(dāng)長度；C.柔度；D.臨界壓力。 l 5 . 0 F l 2 F 在下列有關(guān)壓桿臨界應(yīng)力cr的結(jié)論中， （ ）是正確的。 A. 細(xì)長桿的cr值與桿的材料無關(guān)； B. 中長桿的cr值與桿的柔度無關(guān)； C. 中長桿的cr值與桿的材料無關(guān)； D. 短粗桿的cr值與桿的柔度無關(guān)。 圖示各桿橫截面面積相等，在其它條件均 相同的條件下，壓桿采用圖（ ）所示截 面形狀，其穩(wěn)定性最好。 將低碳鋼改為優(yōu)質(zhì)高強(qiáng)度鋼后，并不能提 高（ ）壓桿的承壓能力。 A. 細(xì)長； B. 中長； C. 短粗 D. 非短粗。 由低碳鋼組成的細(xì)長壓桿，經(jīng)冷作硬化 后，其（ ） 。 A. 穩(wěn)定性提高，強(qiáng)度不變； B. 穩(wěn)定

18、性不變，強(qiáng)度提高； C. 穩(wěn)定性和強(qiáng)度都提高； D. 穩(wěn)定性和強(qiáng)度都不變。 44 例例5 圖示起重機(jī)， AB 桿為圓松木，長 L= 6m， =11MPa， 直徑： d = 0.3m，試求此桿的許用壓力。 80 3 . 0 461 i L xy 解：折減系數(shù)法 最大柔度 x y面內(nèi)， =1.0 z y面內(nèi)， =2.0 160 3 . 0 462 i L zy T1 A B W T2 x y z O 45 st kN911011117. 0 4 3 . 0 6 2 stBCBC AP 求折減系數(shù) 求許用壓力 117. 016030003000,80: 22 時木桿 46 4 1 4 1 0 2 1

19、 cm6 .25,cm3 .198 ,cm52. 1,cm74.12 yz II zA 4 1 cm6 .3963 .19822 zz II )2 /( 2 2 011 azAII yy )2 /52. 1 (74.126 .252 2 a 時合理即 2 )2/52. 1 (74.126 .253 .198 :a 例例6 圖示立柱，L=6m，由兩根10號槽鋼組成，材料為A3鋼 E=200GPa， ，下端固定，上端為球鉸支座， 試問 a=？時，立柱的臨界壓力最大，值為多少？ 解：對于單個10號槽鋼，形心在C1點。 兩根槽鋼圖示組合之后， cm32. 4a y1 P L z0 y z1 C1 a MPa p 200 47 5 .106 1074.122 106 .396 67 . 0 2 67 . 0 4 8 1 A Ii L z 3 .99 10200 10200 6 922 P p E kN8 .443 )67 . 0( 106 .396200 )( 2 22 2 2 l EI P cr 求臨界力： 大柔度桿，由歐拉公式求臨界力。 48 第十章 練習(xí)題 一、如何區(qū)別壓桿的穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡？ 二、壓桿因失穩(wěn)而產(chǎn)生彎曲變形，與梁在橫向 力作用下產(chǎn)生彎曲變形，在性質(zhì)上有何區(qū)別？ 三