理論力學(xué)-張敏居-4.3、物體重心點位置的確定

1、1 4.3、物體重心點位置的確定、物體重心點位置的確定 1、物體重心的定義、物體重心的定義 平行力系（平行力系（F1、F2）的合力）的合力(F12 ) 作用點作用點(C點）位置與各平行力的點）位置與各平行力的 方向無關(guān)，只與各平行力的大小方向無關(guān)，只與各平行力的大小 和作用點位置有關(guān)；和作用點位置有關(guān)； 地球半徑很大地球半徑很大,地表上物體中各原子所受地地表上物體中各原子所受地 球的吸引力可以看作是一個空間平行力系球的吸引力可以看作是一個空間平行力系, 該平行力系的合力作用點該平行力系的合力作用點就稱為物體的重就稱為物體的重 心點心點,簡稱重心簡稱重心 2 2、空間力系合力矩定理、空間力系合力

2、矩定理 ： 空間力系合力空間力系合力(如果存在的話如果存在的話)對空間內(nèi)任意對空間內(nèi)任意 一點的力矩就等于各分力對該點力矩的和一點的力矩就等于各分力對該點力矩的和 0 iR FF 0)( iAiA Frm )()( iAiBAiBiB FrrFrm )( RBAiBA FmmFr 假設(shè)某空間力系：假設(shè)某空間力系： )()( iAiiBA FrFr 3 例例4.3-1 圖示勻質(zhì)細鐵絲圖示勻質(zhì)細鐵絲ABODEF單位長度上的質(zhì)量單位長度上的質(zhì)量( 稱為線密度稱為線密度)為為 kg/mm,長度單位為長度單位為mm,求該彎曲鐵求該彎曲鐵 絲的重心點的坐標(biāo)絲的重心點的坐標(biāo) ),( ccc zyxC 解解

3、各鐵絲段重力作用點都在其中點處各鐵絲段重力作用點都在其中點處(圖圖b),則有：則有： 鐵絲總總量：鐵絲總總量： 970 EHDEODBOAB GGGGGG x軸：軸： 6 .4718018090125 cEHDEODABc yGGGGGy y軸：軸： 20220110100200 cEHDEOBABc xGGGGGx x軸軸(圖圖c) ： 4 . 760 cEHc zGGz 即細鐵絲即細鐵絲ABODEH的重心點為：的重心點為： )4 . 7,20, 6 .47(C 4 例例4.3-2 求求 圖示勻質(zhì)方圖示勻質(zhì)方 體的重心點體的重心點 C坐標(biāo)坐標(biāo),設(shè)其設(shè)其 密度為密度為1 解解 把方體沿棱邊分割

4、成把方體沿棱邊分割成a/b/c三個長方體三個長方體(圖圖b): 總體積：總體積：5 .145 . 0125 . 1425 . 111 cba VVVV 02. 25 . 425 . 0 ccbac xVVVVx 17. 1115 . 2 ccbac yVVVVy 72. 025. 075. 075. 0 ccbac zVVVVz 即方體重心點坐標(biāo)為：即方體重心點坐標(biāo)為： )72. 0 ,17. 1 ,02. 2(C 5 例例4.3-3 求圖示橫截面為求圖示橫截面為L形的勻質(zhì)幾何體的重心點位置形的勻質(zhì)幾何體的重心點位置 解解 幾何體重心點在長度幾何體重心點在長度 一半處的橫截面上一半處的橫截面上

5、(圖示圖示), 截面圖形總面積：截面圖形總面積： 941645 . 212 21 SSS 28. 326 21 cc xSSSx 05. 58)25. 1( 21 cc xSSSy 6 例例4.3-4 在半徑為在半徑為R的大圓內(nèi)挖去一個半徑為的大圓內(nèi)挖去一個半徑為r=0.25R 的小圓孔的小圓孔(圖示圖示),求剩余截面圖形幾何中心點的求剩余截面圖形幾何中心點的x坐標(biāo)。坐標(biāo)。 則平面圖形幾何中心點則平面圖形幾何中心點C的位置：的位置： 30/RFMOC RR 解、平行力解、平行力GR、Gr向向O點簡化：點簡化： 2/ 2 RrM R )( 22 rRGGF rRR （ 為平面圖形的面密度）為平面

6、圖形的面密度） ( ) 7 3 確定物體重心點位置的方法確定物體重心點位置的方法:積分積分 )(gmrgmr ioioc m xm xgmxmgxjgmrjgmr m ym ygmymgyigmrigmr ii ciicioioc ii ciicioioc )( )()()( )( )()()( m zm z ii c )( 重力加速度重力加速度g沿沿y軸正向：軸正向： V dxdydzy V ydv y vv c V dxdydzz V zdv z vv c 勻質(zhì)物體：勻質(zhì)物體： V dxdydzx V dvx x vv c 8 拉深體拉深體 S dxdyx hS hdxdyx V xdv

7、x SSv c )( S dxdyy hS hdxdyy V ydv y SSv c )( 9 例例4.3-5 求底面半徑為求底面半徑為R,高為高為h 的勻質(zhì)圓錐體的重心點位置的勻質(zhì)圓錐體的重心點位置 解、圓錐的體積：解、圓錐的體積： 3/ 2 hRV h V hRdxx h R xdv 0 223 2 2 4 1 h V xdv x V c 4 3 10 例例4.3-6 圖示曲邊圖示曲邊OAB;OA段拋物線對應(yīng)的方程段拋物線對應(yīng)的方程 2 cxy , A點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為A(a，b),求其形心位置求其形心位置 解解 圖形面積：圖形面積： aa abcadxcxdxyS 00 32 3 1 3

8、1 a S dxcx S ydxx S dxdyx x aa S c 4 3 0 3 0 b S dyy c y a S dxdyy y b S c 10 3 )( 0 11 4、物體重心點位置的確定方法：查表法、物體重心點位置的確定方法：查表法 12 13 5、物體重心點位置的確定方法：稱重法、物體重心點位置的確定方法：稱重法 W G PP yWPPyGFM L G PP xLPPxGFM GGiAD GGiAB 42 42 43 43 )(0)( )(0)( 0cos)tan(cos)(0)( 2 1 GGiCD ZxLGLPPFM L G PPPP xL G PP L G PP xLZ

9、GGG tan )()( tan/ )(tan/ )( 43 4 3 4 3 2 1 14 6、物體重心點位置的確定方法：懸掛法、物體重心點位置的確定方法：懸掛法 15 16 F2 A B F1 FR x C y z O A B D E H GDE GABGBO GO D GEH x C y z O A B D E H GDE GAB GBO GO D GEH y z 220 120 200 250180 O AB D E H x C a b c 4 8 2.5 18.5 24 O 2 1 x y A x y O R/2 R/2 R/2 y O x R G r G r O y z O x C i y z O x S C c xc y h x y