慣性元件ppt(1)

1、 第六講第六講 第三章第三章 慣性元件慣性元件陀螺儀與加速度計陀螺儀與加速度計 1 1，陀螺儀能測得載體的轉(zhuǎn)角或角速度，陀螺儀能測得載體的轉(zhuǎn)角或角速度， 2 2，加速度計能測得比力或加速度，加速度計能測得比力或加速度， 3 3，慣性元件；陀螺儀與加速度計慣性元件；陀螺儀與加速度計依據(jù)的都是慣性力 或慣性矩而且測量結(jié)果都是相對慣性空間的，所以 把陀螺儀和加速度計稱作慣性元件慣性元件。 陀螺儀和加速度計是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中使用的核心元件， 它們的類型和品質(zhì)直接影響慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的構(gòu)成和工 作特性。 31 轉(zhuǎn)子陀螺儀力學(xué)基礎(chǔ)轉(zhuǎn)子陀螺儀力學(xué)基礎(chǔ) 311 定點轉(zhuǎn)動剛體的動量矩定點轉(zhuǎn)動剛體的動量矩 動量矩；動量

2、矩；設(shè)質(zhì)點i的質(zhì)量為mi，速度為Vi，到某空間 點O的距離為ri,則該質(zhì)點的動量mivi與距離ri的向量積向量積 為該質(zhì)點對空間點O的動量矩動量矩Hi,即 如圖31所示，動量矩是一個向量，其方向與動量矩是一個向量，其方向與ri、vi 構(gòu)成的平面垂直，符合右手法則構(gòu)成的平面垂直，符合右手法則。 對于繞固定點O轉(zhuǎn)動的剛體，剛體內(nèi)所有質(zhì)點的動 量對點O的矩的總和，稱為剛體對該點的動量矩稱為剛體對該點的動量矩，以 H表示，用公式表達(dá)就是： iiii vmrH iii vmrH O i r i i v i H 質(zhì)點動量矩 設(shè)剛體繞o點轉(zhuǎn)動的瞬時角速度向量為則質(zhì)點 的速度vi可表示成： 上式是一向量表達(dá)式

3、。以O(shè)點為坐標(biāo)原點，建立一空 間直角坐標(biāo)系0 xyz，可將上式表示為分量形式。 設(shè)直角坐標(biāo)系Ozyz的三根軸上的單位向量分別為 i,j,k,向量H,ri,在Ozyz坐標(biāo)系的表示分別為 ii rv )( iii rmrH kji zyx 運(yùn)用向量叉乘計算法則，可求得： kHjHiHH kzjyixr zyx iii kzymzxmxym jzymyxmzxm izxmyxmzym rmrH yiiiziiiziii xiiixiiiyiii ziiiyiiixiii iii )( )( )( )( 22 22 22 iiizx iiiyz iiixy iiiz iiiy iiix zxmJ zy

4、mJ yxmJ xymJ zxmJ zymJ )( )( )( 22 22 22 顯然，Jx,Jy,Jz分別是剛體對x軸、y軸、z軸的轉(zhuǎn)動慣轉(zhuǎn)動慣 量。量。 Jxy稱為剛體對x軸和y軸的慣性積慣性積。 Jyz稱為剛體對y軸和z軸的慣性積慣性積。 Jzx稱為剛體對x軸和z軸的慣性積慣性積。 則有 yzyxxzzzz xyxzzyyyy zzxyxyxxx JJJH JJJH JJJH 形狀對稱的剛體，只要以其中心點為坐標(biāo)系原點，選形狀對稱的剛體，只要以其中心點為坐標(biāo)系原點，選 取使剛體對稱的軸為坐標(biāo)軸，則剛體的三個慣性積必取使剛體對稱的軸為坐標(biāo)軸，則剛體的三個慣性積必 然為然為0。這是因為在剛體

5、內(nèi)任意一點(xi,yi,zi)，必然存 在另外7個對稱點：(xi，yi，-zi)、(xi，-yi，-zi)、(xi，- yi，zi)、(-xi，yi,zi)、(-xi，yi，-zi)、(-xi,yi,-zi)、-xi,- yi,zi)，這8個點的慣性積之和為0，因此整個剛體的三 個慣性積必為0： 0 0 0 iiixz iiizy iiixy zxmJ yzmJ yxmJ 慣性主軸；選取坐標(biāo)系慣性主軸；選取坐標(biāo)系Oxyz使慣性積為零，則該坐標(biāo)使慣性積為零，則該坐標(biāo) 系的各軸就稱為剛體的慣性主軸。系的各軸就稱為剛體的慣性主軸。例如，對于圓柱形 剛體，將坐標(biāo)原點選擇在圓柱形剛體中心位置，圓柱 體中

6、軸線、過圓點且與中軸線垂直的任意兩直線均為 慣性主軸。角動量；在轉(zhuǎn)子陀螺的討論中，常將轉(zhuǎn)子角動量；在轉(zhuǎn)子陀螺的討論中，常將轉(zhuǎn)子 具有的動量矩稱為角動量具有的動量矩稱為角動量，角動量的量綱為 對于小型陀螺而言，常用單位是克克厘米厘米2秒秒。 zzz yyy xxx JH JH JH 例 設(shè)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量J=398gcm2，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速為 n=24000rmin，求轉(zhuǎn)子的角動量。 解 轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)角速度為 角動量的大小為 方向沿轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角速度方向自轉(zhuǎn)角速度方向。 srad n /27.2513 60 240002 60 2 scmgJH/1027.2513398 26 31。2動量矩定理 式(312)

7、兩側(cè)對時間求導(dǎo)： 上面的推導(dǎo)中，利用了 為作用在質(zhì)點i上 的力， 為作用在剛體上各個質(zhì)點的 外力矩總和，也就是合外力矩。將等式 稱為轉(zhuǎn)動剛體的動量矩定理稱為轉(zhuǎn)動剛體的動量矩定理 M dt dH MFam iii , MFramr dt dv mrvmv dt dv mrvm dt dr vmr dt d dt dH iiiii i iiiii i iiii i iii dH/dt就是動量矩H的矢端速度VH，因此有 動量矩定理也可以描述成：剛體對固定點動量矩定理也可以描述成：剛體對固定點O 的動量矩的動量矩末端的速度末端的速度，等于作用于剛體的外，等于作用于剛體的外 力對固定點的總力矩，式力對固

8、定點的總力矩，式(3111)也稱為也稱為 萊查定理萊查定理。 MvH 32 陀螺儀基本特性陀螺儀基本特性 321 陀螺儀的一般原理結(jié)構(gòu)陀螺儀的一般原理結(jié)構(gòu) 陀螺儀的一般原理結(jié)構(gòu)如圖32所示， 1，陀螺儀組成，陀螺儀組成；由陀螺轉(zhuǎn)子、內(nèi)環(huán)、外環(huán)及基座組成。 2，陀螺主軸或自轉(zhuǎn)軸陀螺主軸或自轉(zhuǎn)軸；轉(zhuǎn)子由內(nèi)環(huán)支承，可高速轉(zhuǎn)動， 轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動軸稱為陀螺主軸或自轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動軸稱為陀螺主軸或自轉(zhuǎn)軸。 3，轉(zhuǎn)動方式；轉(zhuǎn)動方式；內(nèi)環(huán)通過內(nèi)環(huán)軸支承在外環(huán)上，可相對 外環(huán)轉(zhuǎn)動。外環(huán)通過外環(huán)軸支承在基座上，可繞外環(huán) 軸相對基座轉(zhuǎn)動。 4，支點；，支點；陀螺儀的主軸、內(nèi)環(huán)軸、外環(huán)軸相交于一點， 該點稱為陀螺儀的支點支

9、點。 5，二自由度陀螺儀；，二自由度陀螺儀；圖32所示的陀螺儀，其主軸 的指向可隨內(nèi)環(huán)繞內(nèi)環(huán)軸的轉(zhuǎn)動及外環(huán)繞外環(huán)軸的轉(zhuǎn) 動而改變，具有兩個轉(zhuǎn)動自由度。這種陀螺儀就稱為 二自由度陀螺儀二自由度陀螺儀。 注意注意，這里所說的自由度是指陀螺儀主軸的轉(zhuǎn)動自由 度，而不是轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動自由度而不是轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動自由度，因轉(zhuǎn)子還可繞自轉(zhuǎn)軸 轉(zhuǎn)動，故有三個轉(zhuǎn)動自由度。 6，單自由度陀螺儀；，單自由度陀螺儀；若將二自由度陀螺儀的外環(huán)去掉， 內(nèi)環(huán)直接固定在基座上，則陀螺主軸只有一個自由度 了，這樣的陀螺儀稱為單自由度陀螺儀單自由度陀螺儀，如圖33所 示。 工程上常用的陀螺儀轉(zhuǎn)子支承方式是多種多樣的，為 減小作用在陀螺上

10、的有害力矩，特別是摩擦力矩，人 們想出了許多辦法，如液浮、氣浮、磁懸浮、靜電如液浮、氣浮、磁懸浮、靜電 支承、撓性支承等方式，因而陀螺儀有很多種類支承、撓性支承等方式，因而陀螺儀有很多種類。 一般來說，陀螺儀都有高速轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)子，主軸有一個 或兩個轉(zhuǎn)動自由度。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展進(jìn)步，如今 又出現(xiàn)了一些沒有轉(zhuǎn)子的新型陀螺儀，如激光陀螺、如激光陀螺、 振動陀螺、粒子陀螺等，這些陀螺雖然沒有轉(zhuǎn)子，振動陀螺、粒子陀螺等，這些陀螺雖然沒有轉(zhuǎn)子， 但具備陀螺儀的一些特性，能夠當(dāng)成“陀螺”來使用， 因而也稱為陀螺儀。 第七講第七講 322 二自由度陀螺儀的運(yùn)動特性二自由度陀螺儀的運(yùn)動特性 1定軸性定軸性 圖3

11、2中，假如陀螺儀的轉(zhuǎn)子沒有轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)子沒有轉(zhuǎn)動，緩慢轉(zhuǎn)動 基座時，由于框架軸承存在摩擦，轉(zhuǎn)子和內(nèi)外環(huán)就隨 著基座一起轉(zhuǎn)動，陀螺儀主軸不具備指向性。陀螺儀主軸不具備指向性。 當(dāng)陀螺轉(zhuǎn)子繞主軸高速轉(zhuǎn)動后，陀螺轉(zhuǎn)子具備了較 大的動量矩H，根據(jù)動量矩定理，當(dāng)陀螺轉(zhuǎn)子所受的 合外力矩M=0時，動量矩動量矩H相對慣性空間保持恒定不相對慣性空間保持恒定不 變，即轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)軸指向相對慣性空間恒定不變，主軸變，即轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)軸指向相對慣性空間恒定不變，主軸 的指向就會保持在其初始方向上，不隨基座轉(zhuǎn)動而改的指向就會保持在其初始方向上，不隨基座轉(zhuǎn)動而改 變。變。若陀螺受瞬時的沖擊力矩，陀螺自轉(zhuǎn)軸將在原位 附近繞其平衡位置作幅

12、度微小的高頻擺動，不會順著 沖擊力矩的方向轉(zhuǎn)動，這就是陀螺儀定軸性定軸性的表現(xiàn) 2進(jìn)動性進(jìn)動性 當(dāng)二自由度陀螺儀的轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)時，若轉(zhuǎn)子受到 繞內(nèi)環(huán)軸方向內(nèi)環(huán)軸方向的外力矩M作用，陀螺主軸將繞外環(huán)軸轉(zhuǎn) 動；反之，若轉(zhuǎn)子受到繞外環(huán)軸方向的外力矩作用外環(huán)軸方向的外力矩作用， 陀螺主軸將繞內(nèi)環(huán)軸轉(zhuǎn)動。陀螺主軸的轉(zhuǎn)動方向與外陀螺主軸的轉(zhuǎn)動方向與外 力矩的作用方向相垂直，這種奇特現(xiàn)象稱為陀螺儀的力矩的作用方向相垂直，這種奇特現(xiàn)象稱為陀螺儀的 進(jìn)動性。陀螺主軸繞與外力矩作用方向相垂直的方向進(jìn)動性。陀螺主軸繞與外力矩作用方向相垂直的方向 的轉(zhuǎn)動運(yùn)動稱為陀螺儀的進(jìn)動運(yùn)動，簡稱進(jìn)動。的轉(zhuǎn)動運(yùn)動稱為陀螺儀的進(jìn)動運(yùn)

13、動，簡稱進(jìn)動。 根據(jù)萊查定理，陀螺轉(zhuǎn)子角動量的矢端速度矢端速度vH取決 于施加給陀螺的外部力矩M： MvH r M M H V H E上式說明角動量的矢端 速度大小等于 MM 方向平行于M 由于矢端速度存在， 所以H 繞支點O旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子繞O點作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，即 陀螺發(fā)生進(jìn)動，設(shè)陀螺進(jìn)動角速度為 H M H VH O 由于是由于矢端速度運(yùn)動引起 的垂直和所在平面，所以 位于的方向上，該方向上的單位矢量 為 H V MH MH MH u 因此 2 90sinH MH HM MH H M u 上式兩邊叉乘 H 2 )( H HMH H acbbcacba)()()( 因 MHMHMH H HHMMHH

14、H H )90cos0cos( 1 )() 1 2 2 2 得 用陀螺動量矩H在慣性空間的轉(zhuǎn)動角速度來表示 H的矢端速度vH則有 式中，是H相對慣性空間的進(jìn)動角速度，該式表示 了進(jìn)動角速度與動量矩H及外力矩M之間的關(guān)系。 圖3-4(a)、(b)分別給出了沿內(nèi)環(huán)軸方向施加力矩 和沿外環(huán)軸方向施加力矩時陀螺轉(zhuǎn)子的進(jìn)動情況。 進(jìn)動時，動量矩的方向總是沿捷徑方向向外力矩方動量矩的方向總是沿捷徑方向向外力矩方 向靠攏向靠攏 MH HvH 3陀螺力矩陀螺力矩 根據(jù)牛頓第三定律，當(dāng)外界施加力矩使陀螺儀進(jìn)動時、根據(jù)牛頓第三定律，當(dāng)外界施加力矩使陀螺儀進(jìn)動時、 陀螺儀必然存在反作用力矩，其大小與外加力矩大小相陀

15、螺儀必然存在反作用力矩，其大小與外加力矩大小相 等，方向則相反，并且作用在施加力矩的那個物體上等，方向則相反，并且作用在施加力矩的那個物體上。 陀螺進(jìn)動時的反作用力矩通常稱為陀螺進(jìn)動時的反作用力矩通常稱為“陀螺力矩陀螺力矩”。由于 外力矩M與其造成的陀螺進(jìn)動角速度陀螺的角H動量 符合規(guī)律： 陀螺力矩Mr，顯然為 上式的含義有兩個方面：陀螺力矩的方向與向量陀螺力矩的方向與向量H和和 所在乎面垂直；陀螺力矩的大為所在乎面垂直；陀螺力矩的大為 ，k 為為H及及之間的夾角之間的夾角 HHMM r MH KHM r sin 陀螺力矩實際上是一種由慣性力產(chǎn)生的慣性力矩由慣性力產(chǎn)生的慣性力矩。當(dāng)陀螺當(dāng)陀螺

16、儀轉(zhuǎn)子繞不平行于主軸的其他軸進(jìn)動時，陀螺轉(zhuǎn)子內(nèi)的各儀轉(zhuǎn)子繞不平行于主軸的其他軸進(jìn)動時，陀螺轉(zhuǎn)子內(nèi)的各 個質(zhì)點都有哥氏加速度個質(zhì)點都有哥氏加速度。有哥氏加速度，就有慣性力有哥氏加速度，就有慣性力，相相 對支點中心，就有慣性力矩，陀螺轉(zhuǎn)子各個質(zhì)點慣性矩的對支點中心，就有慣性力矩，陀螺轉(zhuǎn)子各個質(zhì)點慣性矩的 合成就是陀螺力矩。合成就是陀螺力矩。 參看圖35，陀螺轉(zhuǎn)子可以認(rèn)為是由各個質(zhì)點組成的。 陀螺轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)的同時，假定轉(zhuǎn)子繞內(nèi)環(huán)軸有轉(zhuǎn)動角速 度x,此時陀螺轉(zhuǎn)子的各個質(zhì)點都有哥氏加速度。圖中畫 出了某一瞬間轉(zhuǎn)子有代表性的A、B、C、D四個質(zhì)點的哥 氏加速度方向，以A點為例：轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)造成質(zhì)點A有一個

17、切向速度，同時隨整個轉(zhuǎn)子一起繞內(nèi)環(huán)軸轉(zhuǎn)動，按照哥氏 加速度公式 其方向在圖中是離開紙面。B點的 哥氏加速度方向與A相同，而C、D兩個的哥氏加速度方向 與A、B相反。容易看出，圖中y軸上方的所有質(zhì)點的哥氏 加速度都是離開紙面，而y軸下方的所有質(zhì)點的哥氏加速 度都是進(jìn)入紙面。 與哥氏加速度對應(yīng)的慣性力的方向與哥氏加速度相反與哥氏加速度對應(yīng)的慣性力的方向與哥氏加速度相反 Fi=-mai。各個質(zhì)點對y軸形成的力矩合成起來就是陀 螺力矩Mry，在y軸負(fù)向。 4二自由度陀螺儀進(jìn)動的物理過程 如圖36(a)所示，建立環(huán)架坐標(biāo)系Ozyz，x軸為陀螺 儀內(nèi)環(huán)軸，y軸為外環(huán)軸，z軸與x、y軸垂直，構(gòu)成右手正 交坐

18、標(biāo)系。 首先分析當(dāng)內(nèi)環(huán)軸有干擾力矩Mx作用時，陀螺儀是如 何運(yùn)動的。如圖36(b)所示，假定干擾力矩Mx作用于內(nèi) 環(huán)軸x的正向。在Mx作用下，陀螺轉(zhuǎn)子連同內(nèi)環(huán)會順著 外力矩Mx方向形成角加速度 并形成繞內(nèi)環(huán)軸x正向的 轉(zhuǎn)動角速度 于是陀螺轉(zhuǎn)子除自轉(zhuǎn)外，還有牽連運(yùn)動還有牽連運(yùn)動，根 據(jù)哥氏加速度的產(chǎn)生原理可知，此時陀螺儀轉(zhuǎn)子上的各個 質(zhì)點都具有哥氏加速度，各質(zhì)點均受到哥氏慣性力的用， 形成繞外環(huán)軸繞外環(huán)軸y的陀螺力矩的陀螺力矩 其方向在外環(huán)軸y的正向。研究物體在非慣性系中的轉(zhuǎn)動 運(yùn)動時，必須認(rèn)為物體受到兩種力矩的作用：一是其他物一是其他物 體對該物體的作用力矩；二是由非慣性系的牽連運(yùn)動而體對該物體的作用力矩；二是由非慣性系的牽連運(yùn)動而 x 引起的慣性力矩引起的慣性力矩。陀螺力矩是由于內(nèi)環(huán)轉(zhuǎn)動引起一種 慣性力矩，研究陀螺轉(zhuǎn)子相對外環(huán)的轉(zhuǎn)動時，應(yīng)作為研究陀螺轉(zhuǎn)子相對外環(huán)的轉(zhuǎn)動時，應(yīng)作為 主動力矩對待主動力矩對待。由于此陀螺力矩的作用，陀螺轉(zhuǎn)子會 繞外環(huán)軸y進(jìn)動，記此進(jìn)動角加速度為 產(chǎn)生的角速 度為 由于此角速度的方向在y軸正向上，不與陀螺 主軸平行，也會產(chǎn)生哥氏加速度，由此引起的陀螺力 矩 在x軸負(fù)向。顯然，Mrx的方向是 與外力F產(chǎn)生的力矩Mx的方向相反的，這使得引起陀 螺轉(zhuǎn)子及內(nèi)環(huán)繞內(nèi)環(huán)