第13章 排隊論

1、第13章 排隊論 本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容： 排隊論中的基本概念 排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標 普阿松過程 單服務(wù)臺負指數(shù)分布排隊系統(tǒng)的分析方法和 結(jié)果 其他模型的應(yīng)用 重點掌握重點掌握： 基本概念、單服臺負指數(shù)分布排隊系統(tǒng) 文化的例子文化的例子 0 0 0 0 0 0 0 server line of people server 美國的售美國的售 票窗口票窗口 許多其他許多其他 國家的售國家的售 票窗口票窗口 人們怎么利用時間人們怎么利用時間 Source: U.S. News & World Report, January 30, 1989, p. 81. 在美國，一份六在美國，一份六 千人的

2、調(diào)查試圖千人的調(diào)查試圖 算出平均一個美算出平均一個美 國人一生中參與國人一生中參與 各種活動的總時各種活動的總時 間，這份調(diào)查表間，這份調(diào)查表 明如下情況：明如下情況： 排隊安排排隊安排 單通道單通道 多通道多通道 排隊論中的平衡排隊論中的平衡 服務(wù)成本與等待成本的權(quán)衡服務(wù)成本與等待成本的權(quán)衡 排隊系統(tǒng)中的因素排隊系統(tǒng)中的因素 服務(wù)機構(gòu)服務(wù)機構(gòu) 服務(wù)系統(tǒng)服務(wù)系統(tǒng) 顧客到達顧客到達 離開離開 等待隊列等待隊列 隊列模型的特征隊列模型的特征 主要因素主要因素 顧客源顧客源 顧客到達方式顧客到達方式 隊列結(jié)構(gòu)隊列結(jié)構(gòu) 排隊規(guī)則排隊規(guī)則 服務(wù)特征服務(wù)特征 顧客離開隊列的條件顧客離開隊列的條件 顧客源顧

3、客源 有限的有限的無限的無限的 舉例：公司里有且舉例：公司里有且 僅有三臺機器需要僅有三臺機器需要 修理修理 舉例：隊列中等舉例：隊列中等 待加油的人數(shù)待加油的人數(shù) 顧客源顧客源 服務(wù)模式服務(wù)模式 不變的不變的可變的可變的 舉例：自動裝配線舉例：自動裝配線 上流動的產(chǎn)品上流動的產(chǎn)品 舉例：人們花時舉例：人們花時 間去購物間去購物 服務(wù)模式服務(wù)模式 排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng) 排隊規(guī)劃排隊規(guī)劃 隊長隊長 排隊規(guī)則排隊規(guī)則 服務(wù)時間分布服務(wù)時間分布 隊列數(shù)和隊列結(jié)構(gòu)隊列數(shù)和隊列結(jié)構(gòu) 排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng) 隊列結(jié)構(gòu)舉例隊列結(jié)構(gòu)舉例 單通道單通道 多通道多通道 單階段單階段 多階段多階段 只有一個理發(fā)師的只有一個理

4、發(fā)師的 理發(fā)店理發(fā)店 洗車洗車 醫(yī)院的進入醫(yī)院的進入銀行出納窗口銀行出納窗口 耐心程度耐心程度 No Way! 望而卻步望而卻步 No Way! 中途離隊中途離隊 顧客到達特征顧客到達特征 到達方式到達方式 可控或不可控可控或不可控 到達的規(guī)模到達的規(guī)模 單個到達或是成批到達單個到達或是成批到達 分布分布 到達率的均勻或統(tǒng)計分布到達率的均勻或統(tǒng)計分布 耐心程度耐心程度 顧客是一直等待或是離開顧客是一直等待或是離開 望而卻步或是中途離隊望而卻步或是中途離隊 隊列結(jié)構(gòu)隊列結(jié)構(gòu) 隊長隊長 無限隊長無限隊長 有限隊長有限隊長 隊列數(shù)隊列數(shù) 單列或多列單列或多列 對排隊問題的建議對排隊問題的建議 1.

5、為顧客確定一個可接受的等待時間為顧客確定一個可接受的等待時間 2. 在顧客等待過程中盡量分散他們的注意力在顧客等待過程中盡量分散他們的注意力 3. 及時告訴顧客他們期望了解的情況及時告訴顧客他們期望了解的情況 4. 決不能讓顧客看到雇員并未在工作決不能讓顧客看到雇員并未在工作 5. 對顧客進行分類對顧客進行分類 6. 對服務(wù)人員進行培訓對服務(wù)人員進行培訓 7. 鼓勵顧客在非高峰期到達鼓勵顧客在非高峰期到達 8. 對于消除排隊有一個長期的計劃對于消除排隊有一個長期的計劃 1 基本概念 一、排隊系統(tǒng)的特征及排隊論一、排隊系統(tǒng)的特征及排隊論 排隊論是研究排隊系統(tǒng)的數(shù)學理論和方法， 是運籌學的一個重要

6、分支。 日常生活中，我們遇到各種各樣的排隊問題。 這些問題中，餐館服務(wù)員與顧客，公共汽車與 乘客，圖書館的工作人員與借閱者，醫(yī)生和 病人，售票員與乘客等均分別構(gòu)成一個排隊 系統(tǒng)，或服務(wù)系統(tǒng)。 顧客顧客要求的服務(wù)要求的服務(wù)服務(wù)機構(gòu)服務(wù)機構(gòu) 1借書的學生借書的學生 2打電話打電話 3提貨者提貨者 4待降落的飛行待降落的飛行 器器 5儲戶儲戶 6河水進入水庫河水進入水庫 7購票旅客購票旅客 8十字路口的汽十字路口的汽 車車 借書借書 通話通話 提貨提貨 降落降落 存款、取款存款、取款 放水、調(diào)整水位放水、調(diào)整水位 購票購票 通過路口通過路口 圖書管理員圖書管理員 交換臺交換臺 倉庫管理員倉庫管理員

7、指揮塔臺指揮塔臺 儲蓄窗口、儲蓄窗口、 ATMD取款機取款機 水庫管理員水庫管理員 售票窗口售票窗口 紅綠燈或交警紅綠燈或交警 排隊系統(tǒng)的例子排隊系統(tǒng)的例子 排隊問題表現(xiàn)形式是擁擠現(xiàn)象，隨著生產(chǎn)與服務(wù)的日 益社會化，由排隊引起的擁擠現(xiàn)象會越來越普遍。 排隊除了是有形的隊列外，還可以是無形的隊列。如 幾個旅客同時打電話到火車站訂票，如有一個人正 在通話，則其他人只得在各自的電話機前等待，他 們分散在不同地方，卻形成了一個無形的隊列在等 待通話。 排隊的不一定是人，也可以是物，如生產(chǎn)線上的原材 料，半成品等待加工；因故障而停止運轉(zhuǎn)的機器在 等待修理；碼頭上的船只等待裝貨或卸貨，降落的 飛機因跑道不

8、空而在空中盤旋等，進行服務(wù)的也不 一定是人，可以是跑道、自動售貨機、公共汽車等。 為了一致起見，將要求服務(wù)的對象統(tǒng)稱為“顧顧 客客”， 將提供服務(wù)的服務(wù)者統(tǒng)稱為“服務(wù)員服務(wù)員”或或“服服 務(wù)機構(gòu)務(wù)機構(gòu)”，是廣義的。 實際上排隊系統(tǒng)千差萬別，但都可以一般地描可以一般地描 述如下：述如下：顧客為了得到某種服務(wù)而到達系統(tǒng)， 若不能立即獲得服務(wù)而又允許排隊等候，則 加入等待隊伍，待獲得服務(wù)后離開系統(tǒng)。 顧客到達 服務(wù)臺 服務(wù)完成后離去 顧客到達 服務(wù)臺2 服務(wù)完成后離去 服務(wù)臺1 服務(wù)臺n 顧客到達 服務(wù)臺2 服務(wù)完成后離去 服務(wù)臺1 服務(wù)臺n 00.0 00.0 00.0 顧客到達 服務(wù)臺1 服務(wù)臺

9、n 服務(wù)完后離去 盡管各種排隊系統(tǒng)的具體形式不同， 但可用下圖加以一般性的描述： 服務(wù)機構(gòu)服務(wù)機構(gòu) 服務(wù)系統(tǒng)服務(wù)系統(tǒng) 顧客到達顧客到達 離開離開 二、排隊系統(tǒng)的描述二、排隊系統(tǒng)的描述 實際中的排隊系統(tǒng)各不同，但概括起來都由 三個基本部分組成三個基本部分組成：輸入過程、排隊規(guī)則、 服務(wù)機構(gòu)。 1.輸入過程輸入過程 輸入過程是說明顧客按怎樣的規(guī)律到達系統(tǒng)。 完全刻劃一個輸入過程需以下幾個方面: (1)顧客總體數(shù)：有限的或無限的。流入水庫的 水量是無限的，車間內(nèi)等待維修的機器是有 限的。 (2)到達方式：是單個到達還是成批到達 (3)顧客相繼到達的時間間隔的分布：記Xn是第 n個顧客與第n-1個顧客

10、到達的時間間隔，關(guān) 于Xn的分布。 常見的有常見的有： 定長分布定長分布(D)：顧客有規(guī)則地等距到達，如自 動生產(chǎn)線上的裝配件。 負指數(shù)分布負指數(shù)分布(M) k階愛爾朗分布階愛爾朗分布(Ek) GI：一般相互獨立(General Independent)的時 間間隔的分布 G：一般(General)服務(wù)時間的分布。 (4)顧客到達可以是相互獨立的，即以前到達情 況對以后顧客的到達沒有影響。 (5)輸入過程可以是平穩(wěn)的。即相繼到達的間隔 時間分布和所含參數(shù)（如期望值、方差等） 都是與時間無關(guān)的。 2. 排隊規(guī)則排隊規(guī)則 排隊：排隊：有限排隊和無限排隊。 有限排隊：有限排隊：指排隊系統(tǒng)中的顧客數(shù)是

11、有限的， 即系統(tǒng)的空間是有限的，當系統(tǒng)被占滿時， 后面再來的顧客將不能進入系統(tǒng)了。 無限排隊：無限排隊：指系統(tǒng)中顧客數(shù)可以是無限的， 隊列可以排到無限長，顧客到達系統(tǒng)后均可 進入系統(tǒng)排隊或接受服務(wù)，又稱等待制排隊 系統(tǒng)。 有限排隊又可分為：損失制排隊系統(tǒng)和混合制 排隊系統(tǒng)。 損失制排隊系統(tǒng)：指排隊空間為0的系統(tǒng)，實實 際上是不允許排隊際上是不允許排隊。當顧客到達系統(tǒng)時，如 所有服務(wù)臺均被占用則自動離去，并不再回 來，稱這部分顧客被損失掉了。 混合制排隊系統(tǒng)：指等待制與損失制系統(tǒng)的混 合，一般是指允許排隊，但又不允許隊列無 限長下去。具體包括三種： 隊長有限隊長有限：即系統(tǒng)的等待空間是有限的，例

12、 如最多只能容納k個顧客在系統(tǒng)中，當新顧客 到達時，若系統(tǒng)中的顧客數(shù)小于k，則可進入 系統(tǒng)排隊或接受服務(wù)；否則，便 離開系統(tǒng)， 并不再回來，如水庫的庫容是有限的、旅館 的床位是有限的。 等待時間有限等待時間有限：即顧客在系統(tǒng)中的等待時間 不超過某一給定的長度T，當?shù)却龝r間超過T 時，顧客將自動離去，并不再回來。如易損 壞的電子元器件的庫存問題，超過一定存儲 時間的元器件被自動認為失效。 逗留時間逗留時間(等待時間與服務(wù)時間之和)有限： 例如用高射炮射擊敵機，當敵機飛越高射炮 有效區(qū)域的時間t時，若在這個時間內(nèi)未被擊 落，也就不可能再被擊落了。 排隊規(guī)則排隊規(guī)則 ： 當顧客到達時，若所有服務(wù)臺都

13、被占用且又 允許排隊，則該顧客將進入隊列等。 服務(wù)臺對顧客進行服務(wù)所遵循的規(guī)則通常有： 先來先服務(wù)先來先服務(wù)(FCFS)：即按顧客到達的先后對顧客進 行服務(wù)，這是最普通的情形。 后來先服務(wù)后來先服務(wù)(LCFS)：以許多庫存系統(tǒng)中就會出現(xiàn)這 種情形，如鋼板存入倉庫后，需要時總是從最上面 的取出；又如在情報系統(tǒng)中，后來到達的信息系統(tǒng) 更加重要，首先加以分析和利用。 具有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)具有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)(PS) ：服務(wù)臺根據(jù)顧客的優(yōu)先權(quán) 不同進行服務(wù)，優(yōu)先權(quán)高的先接受服務(wù)，如病危的 患者應(yīng)優(yōu)先治療，重要的信息優(yōu)先處理，出價高的 顧客應(yīng)優(yōu)先考慮等。 3.服務(wù)機制服務(wù)機制 排隊系統(tǒng)的服務(wù)機制主要包括：服務(wù)員

14、的 數(shù)量及其連接形式(串聯(lián)或并聯(lián))；顧客是單 個還是成批接受服務(wù)；服務(wù)時間的分布。 在這些因素中，服務(wù)時間的分布更為重要 一些。記服務(wù)臺的服務(wù)時間為v。 三、排隊系統(tǒng)的符號表示：三、排隊系統(tǒng)的符號表示： 根據(jù)輸入過程、排隊規(guī)則和服務(wù)機制的變化對 排隊模型時行描述或分類，可給出很多的排 隊模型。為了方便對眾多的模型的描述， D.G.kendall提出了一種目前在排隊論中被廣 泛采用的“kendall”記號，其一般形式為： X/Y/Z/A/B/C 其中： X表示顧客相繼到達時間間隔的分布； 表示服務(wù)時間的分布； 表示服務(wù)臺的個數(shù)； A 排隊系統(tǒng)的最大容量，即可容納的最多顧客數(shù)。 可取正整數(shù)或； B

15、 顧客源的最大容量，可取正整數(shù)或； C 排隊規(guī)則，可取FCFS、LCFS等。 例如： M/M/1/ 表示一個顧客的到達時間間隔服從相同的負指 數(shù)分布，服務(wù)時間為負指數(shù)分布，單個服務(wù)臺，系統(tǒng)容量為 無限（等待制）的排隊模型。 M/M/s/k：表示一個顧客相繼到達時間間隔服從相同的負指數(shù) 分布，服務(wù)時間為負指數(shù)分布，s個服務(wù)臺，系統(tǒng)容量為k的 排隊模型。 M/M/1/FCFS：表示顧客到達的時間間隔是負指數(shù)分布， 服務(wù)時間是負指數(shù)分布，一個服務(wù)臺，排隊系統(tǒng)和顧客源的 容量都是無限，實行先到先服務(wù)的一個服務(wù)系統(tǒng)。 四、排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標四、排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標 我們解一個排隊問題的目的是：研究

16、排隊系統(tǒng) 運行的效率，估計其服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)參數(shù) 的最優(yōu)值，以確定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是否合理并研究 改進措施等。所以必須確定用以判斷排隊系統(tǒng) 運行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標，這些指標通常有： 1.隊長：指在排隊系統(tǒng)中的顧客(包括正在接 受服務(wù)和在排隊等候服務(wù)的所有顧客)的平均 數(shù)(即其期望值)。用Ls表示 2.排隊長(隊列長)：指在系統(tǒng)中排隊等待服務(wù)的 顧客數(shù)(亦為平均數(shù)，即期望值)。用Lq表示， 一般說來，Lq越大，說明服務(wù)率越低，排隊 成龍。 3.逗留時間：指一個顧客在系統(tǒng)中停留的平均 時間(包括排隊等待時間和接受服務(wù)的時間)。 用Ws(是期望值)表示。 4.等待時間：指一個顧客在排隊系統(tǒng)中排隊等 待的

17、平均時間，用Wq表示。 5.忙期：指服務(wù)機構(gòu)連續(xù)繁忙的時間長度(從顧客到達 空閑的服務(wù)機構(gòu)起到服務(wù)機構(gòu)再次空閑止這段時間 的長度)，用Wb表示。 6.服務(wù)強度：表示在相同的時間間隔內(nèi)到達顧客的平 均數(shù)，與完成服務(wù)的顧客平均數(shù)之比。它反映了服 務(wù)效率和服務(wù)機構(gòu)的利用強度。用表示 (= /) ：單位時間內(nèi)平均到達的顧客數(shù)(平均到達率)，如一 小時有10人到達。 1/ ：平均到達間隔時間，如每隔3分鐘達到一個人。 ：單位時間內(nèi)平均能被服務(wù)完的顧客數(shù)(平均 服務(wù)率)，如一小時賣30張票。 1/ ：一個顧客的平均服務(wù)時間，如2分鐘賣一 張票。 c：服務(wù)臺個數(shù) ：每個服務(wù)臺的服務(wù)強度 Pn：在穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)

18、中有n個顧客的概率 Ls：隊長(系統(tǒng)中的顧客數(shù))的期望值； Lq：排隊長(系統(tǒng)中等待服務(wù)的顧客數(shù))的期 望值，又稱隊列長。 Ws：逗留時間的期望值； Wq：等待時間的期望值。 常見的分布有常見的分布有： (1)定長分布(D)：每一顧客的服務(wù)時間都是一 個確定的常數(shù)，此時服務(wù)時間v的分布函數(shù)為： 1 t Fv(t)= 0 t 為對每一顧客的服務(wù)時間 2 到達間隔的分布和服務(wù)時間的分布 (2)負指數(shù)分布(M)：每個顧客接受服務(wù)的時間 相互獨立，具有相同的負指數(shù)分布： e t t0 fT(t)= (概率密度) 0 t0，為一常數(shù)，表示單位時間能被服 務(wù)完的顧客數(shù)。即分布函數(shù)是： FT(t)=PTt=

19、 1et t0 0 t0) 愛爾朗分布比負指數(shù)分布具有更多的適應(yīng)性。 當k1時，愛爾朗分布即為負指數(shù)分布；當 k增加時，愛爾朗分布逐漸變?yōu)閷ΨQ的。 kt k k e k ktk tf )!1( )( )( 1 (4)泊松(Poisson)流 泊松流又叫做最簡單的。 a.某排隊系統(tǒng)通過調(diào)查又了解到顧客到達系統(tǒng)的 時間是隨機的. b.有一個顧客到達的概率與某一時刻t無關(guān)，但 與時間的間隔長度有關(guān)，即在較長的時間間 隔里有一個顧客到達的概率越大。 P1(t, t+t)= t+o(t) 當時間間隔t充分小時，有一個顧客到達的 概率與t的長度成正比例。 c.在充分小的時間間隔里有兩個顧客同時到的 概率極

20、小，可以忽略不計。 這些特征正好滿足了泊松分布的三個條件，也 就是說此排隊系統(tǒng)的顧客到達過程形成了泊 松流。 )(),( 2 totttP n n 運用泊松概率分布函數(shù)，知道在單位時間里 有n個顧客到達的概率. n=0,1,2,.。n為單位時間內(nèi)到達的顧 客數(shù)。為單位時間平均到達的顧客數(shù)。 ( ) ( ) ! n t n P te n 3 單服務(wù)臺負指數(shù)分布排隊 系統(tǒng)的分析 M/M/1表示相繼到達的間隔時間為負指數(shù)分布， 服務(wù)時間為負指數(shù)分布，單服臺的排隊模型。 分為三種情況：分為三種情況： (1)標準M/M/1/ (2)系統(tǒng)容量有限制M/M/1/N/ (3)顧客源有限M/M/1/N 一、標準

21、的一、標準的M/M/1 /模型模型 標準的M/M/1 /模型是指適合下列條件的排隊系 統(tǒng)。 (1)輸入過程顧客源是無限的，顧客單個到來，相 互獨立，一定時間到達的顧客數(shù)服從普阿松分布， 到達過程是平穩(wěn)的。 (2)排隊規(guī)劃單隊、隊長沒有限制、先到先服務(wù) (3)服務(wù)機構(gòu)單服務(wù)臺，各顧客的服務(wù)時間是相互 獨立的，服從相同的負指數(shù)分布。 分析標準的M/M/1 /模型時，首先要求出系 統(tǒng)在任意時刻t的狀態(tài)n(系統(tǒng)中有n個顧客)的 概率Pn(t)。 已知顧客到達的規(guī)律服從以為參數(shù)的普阿松 過程，服務(wù)時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布， 在t, t+t)時間區(qū)間內(nèi) 有1個顧客到達的概率為 t；沒有顧客 到達的概率就

22、是1 t； 1個顧客被服務(wù)完了離去的概率為 t；沒 有顧客離去的概率是1 t； 由于t充分小，故多于一個顧客到達和離去 的概率極小，可以忽略不計。 在時刻t+t，系統(tǒng)中有n個顧客的狀態(tài)，可分 為四種情況。 根據(jù)概率公式和微分差方程，得： 系統(tǒng)狀態(tài)為系統(tǒng)狀態(tài)為n的概率的概率: =/ (1) Pn =1 n=0,1,2,3. P0=1 Pn=(1 ) n (n1 k)= =1(1 ) (1 )+ 2(1 )+ k(1 ) = k+1 如：k=3 P(n3)= 4=0.754=0.3164 k n n P 0 1 7.顧客逗留時間超過給定時間t的概率PTt: PTt=1PTt=e( )t 如給定t=

23、6分鐘(0.1小時)，則 PT0.1e( )te1.2 如t=Ws，則 PTWse( )Wse10.368 8.顧客到達系統(tǒng)時，得不到及時服務(wù)，必須排 隊等待服務(wù)的概率： 9.在系統(tǒng)中正好有n個顧客的概率： 75. 0 8 . 0 6 . 0 w P 0 PP n n 用 可求出儲蓄所里有n個顧客 的概率，見下表。 0 PP n n 儲蓄所這個排隊系統(tǒng)并不盡人意，到達儲蓄所有75的概率 要排隊等待，排隊排隊的長度平均為2.25個人，排隊的平均時間 為3.75分鐘是平均服務(wù)時間1.25分鐘的3倍，而且在儲蓄所里 有7個或更多的顧客的概率為13.35，這個概率太高了。 市場競爭日趨激烈，該儲蓄所因

24、此必須提高服務(wù)水平，必須 改進這個排隊系統(tǒng)。 要提高服務(wù)水平，減少顧客在系統(tǒng)里的平均逗留時間減少顧客在系統(tǒng)里的平均逗留時間，即減 少顧客的平均排隊時間和平均服務(wù)時間，一般可采用兩種措 施：第一第一，減少服務(wù)時間，提高服務(wù)率； 第二第二，增加服務(wù)臺即增加服務(wù)窗口。儲蓄所認為這兩種方 法都可以考慮，儲蓄所對這兩種方法作了如下的分析。 如采取第一種方法，不增加服務(wù)窗口，而增加新型點鈔機，建 立儲戶管理信息系統(tǒng)?？梢钥s短儲蓄所每筆業(yè)務(wù)的服務(wù)時間， 使每小時平均服務(wù)的顧客數(shù)目從原來的48人提高到60人，即 每分鐘平均服務(wù)的顧客數(shù)從0.8人提高到1人，這時入仍然為 0.6， 為1。 可以看到由于把服務(wù)率從

25、0.8提高到1，其排隊系統(tǒng)有 了很大的改進，顧客平均排隊時間為3.75分鐘減少到 1.5分鐘，顧客平均逗留時間從5分鐘減少到2.5分鐘， 在系統(tǒng)里有7或超過7個人的概率有大幅度的下降， 從13.35下降到2.79。 如果采用第二個方法采用第二個方法，再開設(shè)一個服務(wù)窗口，排隊的 規(guī)則為每個窗口排一個隊，先到先服務(wù)，并假設(shè)顧 客一旦排了一個隊，就不能再換到另一個隊上去 (譬如，當把這個服務(wù)臺設(shè)在另一個地點，上述的假設(shè) 就成立了)。這種處理方法就是把顧客分流，把一個 排隊系統(tǒng)分成兩個排隊系統(tǒng)，每個系統(tǒng)中有一個服 務(wù)臺，每個系統(tǒng)的服務(wù)率仍然為08，但到達率由 于分流，只有原來的一半了， =0.6/2=

26、0.3，可得： 可得： 第二個方法的服務(wù)水平使得原來的服務(wù)水平有 了很大的提高，采用第二種方法顧客平均排 隊時間減少到了0.75(分鐘)，顧客平均逗留 時間減少到了2分鐘。 例2：某醫(yī)院有一臺心電圖機，要求做心電圖 的病人按泊松分布到達，平均每小時5人。又 為每名病人做心電圖時間服從負指數(shù)分布， 平均每人10分鐘。設(shè)心電圖室除正做的病人 外，尚有5把等待的椅子。問(1)到達的病人 中有多大比例能有椅子坐；(2)為使到達的病 人至少有95以上能有椅子坐，則在心電室 至少應(yīng)設(shè)多少把等待的椅子。 解：M/M/1/ 平均到達率=5人/小時 平均服務(wù)率=6人/小時 服務(wù)強度 / 5/6 (1)到達病人有

27、椅子坐，意味著系統(tǒng)中病人數(shù)應(yīng) 少于6人。 即有多于72的病人能坐上椅子。 7209. 0).1)(1 ( 632 6 0 i i P (2)如設(shè)k把椅子，當95病人有椅子坐時，有： 有： 即應(yīng)設(shè)15把椅子。 95. 01 ).1)(1 ( 2 132 1 0 k k k i i P 4 .14 42.16 9ln 05. 0ln 2 k k 二、系統(tǒng)容量有限制二、系統(tǒng)容量有限制M/M/1/N/-有限隊列模型有限隊列模型 例3：咨詢中心有一位咨詢工作人員，每次只能咨詢一 人，另外有4個座位供前來咨詢的人等候。某人到來 發(fā)現(xiàn)沒有座位，就會離去。前來咨詢者到達服從泊松 流，到達的平均速率為4人/小時

28、，咨詢?nèi)藛T的平均咨 詢時間為10分鐘/人。咨詢時間服從負指數(shù)分布。請 確定該問題的排隊論模型，并寫出要求解問題的符號， 不計算。 解：該問題是一個M/M/1/N/的排隊系統(tǒng)。 其中 N=4+1=5, =4人/小時， =6人/小時 / 4/6=2/3 解：該問題是一個M/M/1/N/的排隊系統(tǒng)。 三、顧客源有限三、顧客源有限M/M/1/N有限顧客源模型有限顧客源模型 該模型中，設(shè)顧客總數(shù)為N，當顧客需要服務(wù)時，就進 入隊列等待，服務(wù)完畢后，重新回到顧客源中，如此 循環(huán)往復。 該類問題中，由于顧客源的數(shù)量是有限的，因此隊列 的長度也是有限的，并且隊列的長度必定小于顧客源 總數(shù)。和和M/M/1/N/

29、N意義一樣。意義一樣。 以機器維修問題為例，設(shè)機器總數(shù)為N臺，是每臺機 器單位運轉(zhuǎn)時間內(nèi)發(fā)生故障的概率或平均次數(shù)，修理 工修理一臺設(shè)備的平均時間即為平均服務(wù)時間，已 修復的機器仍然可能再出現(xiàn)故障。 例4：某車間有5臺機器，每臺機器的連續(xù)運轉(zhuǎn) 時間服從負指數(shù)分布，平均連續(xù)運轉(zhuǎn)時間15分 鐘，有一修理工，每次修理時間服從負指數(shù)分 布，平均每次12分鐘。請確定該問題的排隊論 模型，并寫出要求解問題的符號，不計算。 解：該問題是一個M/M/1/ /N的排隊系統(tǒng)。 修理工一天平均修理機器數(shù)為5臺。 N=5, =1/15， =1/12 / =0.8 解：該問題是一個M/M/1/ N/N的排隊系統(tǒng)。 4 單

30、服臺泊松到達、任意服務(wù)時間的排隊 模型 模型記為：M/G/1/,可簡記為: M/G/1 G表示服務(wù)時間分布可以是任意的概率分布,要求 得這種服務(wù)時間的分布的均值和均方差. 單位時間顧客平均到達數(shù) ，單位平均服務(wù)顧客數(shù) ， 或一個顧客的平均服務(wù)時間 1 / ，服務(wù)時間的均方 差。 例5 某雜貨店只有一名售貨員，已知顧客的到達過程 服從泊松分布，平均到達率為每小時20人；不清楚 這個系統(tǒng)的服務(wù)時間服從什么分布，但從統(tǒng)計分析 知道售貨員平均服務(wù)一名顧客的時間為2分鐘，服務(wù) 時間的均方差為1.5分鐘。請確定該問題的排隊論模 型，并寫出要求解問題的符號，不計算。 解：解：這是一個 M / G / 1 的排隊系統(tǒng) 其中 = 20/60 = 0.3333 人/分鐘 1/ = 2分鐘， = =0.5 人/分鐘 =1.5 0.