第七章 梁的變形

1、第第 七七 章章 梁的變形梁的變形 7-1 7-1 概述概述 7-2 7-2 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 7-3 7-3 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形 7-4 7-4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 7-5 7-5 梁的剛度計算梁的剛度計算 7-6 7-6 用力法解簡單超靜定梁用力法解簡單超靜定梁 內容提要內容提要 取梁的左端點為坐標原點，梁變形前的軸線為取梁的左端點為坐標原點，梁變形前的軸線為 x 軸軸 ，橫截面的形心主軸為，橫截面的形心主軸為 y 軸軸 ， x y 平面為形心平面為形心 主慣性平面主慣性平面 7 71 1 概述概述 B x y A 梁變形后的

2、軸線為一條光滑的平面曲線梁變形后的軸線為一條光滑的平面曲線 稱為稱為撓曲線撓曲線 y A B x B 撓曲線撓曲線 F 7 71 1 概述概述 任一橫截面處的變形可以歸結為：形心沿軸線任一橫截面處的變形可以歸結為：形心沿軸線x 方向的位移、形心沿方向的位移、形心沿y方向的位移以及橫截面的轉動。方向的位移以及橫截面的轉動。 y A B x 1 1、撓度撓度（ y y）: : 橫截面形心橫截面形心 C ( (即軸線上的點即軸線上的點) )在垂直于軸在垂直于軸 線方向的線位移，稱為該截面的撓度。線方向的線位移，稱為該截面的撓度。 y撓度撓度 度量梁變形后橫截面位移的兩個基本量度量梁變形后橫截面位移的

3、兩個基本量 B C C 一般各橫截面的撓度是不相同的，是位置一般各橫截面的撓度是不相同的，是位置x x的函數(shù)，稱的函數(shù)，稱 為為撓曲線方程撓曲線方程，記做記做y= =y（x） F y A B x 2 2、轉角轉角（ ） ：梁中任一橫截面繞其中性軸轉過的角度，梁中任一橫截面繞其中性軸轉過的角度， 稱為該截面的轉角。稱為該截面的轉角。 轉角轉角 y撓度撓度 C C B 度量梁變形后橫截面位移的兩個基本量度量梁變形后橫截面位移的兩個基本量 一般各橫截面的轉角是不相同的，是位置一般各橫截面的轉角是不相同的，是位置x x的函數(shù)，稱的函數(shù)，稱 為轉角方程，為轉角方程，記做記做 （ （x x） 撓度：撓度：

4、向下為正向下為正，向上為負。，向上為負。 轉角：以橫截面轉角：以橫截面順時針方向順時針方向轉動時為轉動時為正正，逆時針方向轉動時為負，逆時針方向轉動時為負 y A B x 轉角轉角 y撓度撓度 C C B 撓曲線撓曲線 3、撓度和轉角的符號約定、撓度和轉角的符號約定 tg y A B x 轉角轉角 y撓度撓度 C C B 撓曲線撓曲線 4、撓度和轉角的關系、撓度和轉角的關系 y dx dy y 即即 該式表明，某截面的轉角等于撓曲線在該截面處的該式表明，某截面的轉角等于撓曲線在該截面處的 一階導數(shù)一階導數(shù) z EI M 1 1 z EI xM x )( )( 剪力彎曲時剪力彎曲時, M , M

5、 和和 都是都是x x的函數(shù)的函數(shù) 。略去剪力對。略去剪力對 梁的變形的影響梁的變形的影響, , 則則 推導公式推導公式 純彎曲時純彎曲時曲率曲率與彎矩的關系為與彎矩的關系為 7 72 2 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 2 3 2 1 1 )( )( y y x 由幾何關系知由幾何關系知, , 平面曲線的曲率可寫作平面曲線的曲率可寫作 z EI xM)( 2 3 2 1)( y y 由以上兩式，得由以上兩式，得 M M ox y M M 0y M0 M 0 , M 0 曲線向下凸曲線向下凸 時時 ： y 0 因此因此, , M M 與與 y的正負號相反的正負號相反 o x y

6、推導公式推導公式 7 72 2 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 z EI xM)( 2 3 2 1)( y y z EI xM y y)( )( 2 3 2 1 z EI xM y )( 此式稱為此式稱為 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 近似原因近似原因 : (1) : (1) 略去了剪力的影響略去了剪力的影響 ; (2) ; (2) 略去了略去了 y y 2 2 項。項。 2y與與 1 1 相比十分微小而可以忽略不計相比十分微小而可以忽略不計, , 故上式可近似為故上式可近似為 推導公式推導公式 7 72 2 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 z EI

7、 xM y y)( )( 2 3 2 1 適用于理想線彈性材料制成的細長梁的小變形問題適用于理想線彈性材料制成的細長梁的小變形問題 7 73 3 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形 z EI xM y )( 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 一、公式推導一、公式推導 再積分一次再積分一次, , 得撓度方程得撓度方程 上式積分一次得轉角方程上式積分一次得轉角方程 CM(x)dxyEIEI ZZ DCxM(x)dxyEI 2 z 式中式中C C 、D D稱為稱為積分常數(shù)積分常數(shù)，可通過梁撓曲線的，可通過梁撓曲線的位移邊界條件位移邊界條件 和和變形連續(xù)光滑條件變形連續(xù)光滑條件來確定。來

8、確定。 A B 0yA 0yB 0yA 0 A AB 在簡支梁中，在簡支梁中， 左右兩鉸支座處的撓度左右兩鉸支座處的撓度 y yA A 和和 y yB B 都應等于零（都應等于零（邊界邊界）；）；C C左、左、C C右截右截 面的饒度、轉角相等（面的饒度、轉角相等（變形連續(xù)變形連續(xù)）。）。 在懸臂梁在懸臂梁 中，固定端處的撓度中，固定端處的撓度 y yA A 和轉角和轉角 A A 都應等于零。 都應等于零。 二、位移邊界條件和變形連續(xù)條件二、位移邊界條件和變形連續(xù)條件 位移邊界條件：位移邊界條件：y yA A 0 0 ，y yB B 0 0 位移邊界條件：位移邊界條件：y yA A 0 0 ，

9、 A A 0 0 注意：位移邊界條件在支座處注意：位移邊界條件在支座處 變形連續(xù)光滑條件中間在分段點變形連續(xù)光滑條件中間在分段點 變形連續(xù)條件：變形連續(xù)條件： C yy CC21 21CC y yC1 C1 y yC2 C2 ， ， C1 C1 C2 C2 7 73 3 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形 注注 意意 當梁上的外力將梁分為數(shù)段時，由于各段梁當梁上的外力將梁分為數(shù)段時，由于各段梁 的彎矩方程不同，因而梁的撓曲線近似微分方程的彎矩方程不同，因而梁的撓曲線近似微分方程 需分段列出。相應地各段梁的轉角方程和撓曲線需分段列出。相應地各段梁的轉角方程和撓曲線 方程也隨之而異。方程也隨之而

10、異。 A B F D a b l 7 73 3 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形 1 1、正確分段，分別列彎矩方程；、正確分段，分別列彎矩方程； 2 2、分段列近似微分方程，一次積分得轉角方程，再此積、分段列近似微分方程，一次積分得轉角方程，再此積 分得撓度方程；分得撓度方程； 3 3、由位移邊界條件和變形連續(xù)光滑條件求得積分常數(shù)。、由位移邊界條件和變形連續(xù)光滑條件求得積分常數(shù)。 步步 驟驟 注意：注意： 1、位移邊界條件在支座處，變形連續(xù)光滑條件在中間、位移邊界條件在支座處，變形連續(xù)光滑條件在中間 分段點處；分段點處； 2、分、分n段，就要列段，就要列n個彎矩方程，就有個彎矩方程，就有n

11、個轉角方程和個轉角方程和 n個撓度方程，因此就有個撓度方程，因此就有2n個積分常數(shù)，就必須列出個積分常數(shù)，就必須列出 2n個補充方程（邊界條件和變形連續(xù)光滑條件）個補充方程（邊界條件和變形連續(xù)光滑條件） 7 73 3 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形 C D A F B 例題例題 ：用積分法求位移時，：用積分法求位移時， 圖示梁應分幾段來列撓曲線圖示梁應分幾段來列撓曲線 的近似微分方程？試分別列的近似微分方程？試分別列 出確定積分常數(shù)時需用的邊出確定積分常數(shù)時需用的邊 界條件和變形連續(xù)條件。界條件和變形連續(xù)條件。 3m3m2m q 解：分解：分ACAC、CBCB、BDBD三段三段 1 位移

12、邊界條件：位移邊界條件： 變形連續(xù)條件：變形連續(xù)條件： y yA A 0 0 y yC1 C1 y yC2 C2 ， ， C1 C1 C2 C2 23 應該列應該列6 6個補充方程個補充方程 y yB2 B2 y yB3 B3 ， ， B2 B2 B3 B3 A A截面：截面：x x1 1=0=0時，時， C C截面：截面：x x1 1=x=x2 2=3m=3m時，時， B B截面：截面：x x2 2=x=x3 3=6m=6m時，時， B B截面：截面：x x2 2=x=x3 3=6m=6m時，時，y yB B 0 0 x 例題例題 ：圖示一抗彎剛度為：圖示一抗彎剛度為 EI 的懸臂梁的懸臂梁

13、, , 在自由端受一在自由端受一 集中力集中力 P P 作用。試求梁的撓曲線方程和轉角方程作用。試求梁的撓曲線方程和轉角方程, , 并并 確定其最大撓度確定其最大撓度 y ymax max 和最大轉角 和最大轉角 max max 。 。 l y ABx P P (1) )()(xlPxM 彎矩方程為彎矩方程為 解：解： 撓曲線的近似微分方程為撓曲線的近似微分方程為 (2) )( PxPlxMEIy x )(xMyEI l y ABx P P (3) 2 1 2 C Px PlxEIy 對撓曲線近似微分方程進行積分對撓曲線近似微分方程進行積分 )4( 62 21 32 C x C PxPlx E

14、Iy 0,0 0,0 yx yx 邊界條件為邊界條件為 ： C C1 1=0 C=0 C2 2=0=0 將邊界條件代入將邊界條件代入(3) (4)(3) (4)兩式中兩式中, ,可得可得 (4) 62 (3) 2 21 32 1 2 CxC PxPlx EIy C Px PlxEIy x l y ABx P P C C1 1=0 C=0 C2 2=0=0 (4) 62 (3) 2 21 32 1 2 CxC PxPlx EIy C Px PlxEIy 梁的轉角方程和撓度方程分別為梁的轉角方程和撓度方程分別為 EI Px EI Plx y 2 2 EI Px EI Plx y 62 32 x l

15、 y ABx P P max max 及 及 y ymax max 都發(fā)生在自由端截面處都發(fā)生在自由端截面處 （ ） EI Pl yy lx 3 3 | max l y ABx P P f max max EI Pl EI Pl EI Pl lx 22 222 | max （ ） ymax 例題例題 ：圖示一抗彎剛度為：圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁的簡支梁, , 在在C C點處受一點處受一 集中力集中力P的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉角方程，的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉角方程， 并求并求A A、B B截面的轉角和截面的轉角和C C截面的撓度以及最大轉角、截面的撓度以及最大轉角、 最大撓度

16、。最大撓度。 A B P C a b l l b PFRA l a PFRB 解：梁的兩個支反力為解：梁的兩個支反力為 A B P C a b l RA RB FRA FRB )(axx l b PxFM RA 0 1 12 )()(lxaaxPx l b PM 2 x x 1 1、分兩段分別列彎矩方程、分兩段分別列彎矩方程 2、兩段梁的撓曲線方程分別為、兩段梁的撓曲線方程分別為 x l b P M EIy 1 1 C x l b PEIy 1 2 1 2 D x C x l b PEIy 11 3 1 6 )( 2 2 axPx l b P M EIy C axP x l b PEIy 2

17、2 2 2 2 )( 2 D x C axP x l b PEIy 22 3 3 2 6 )( 6 12 微分方程微分方程 轉角方程轉角方程 撓曲線方程撓曲線方程 ( 0 x a)( a x ) l )(axx l b PxFM RA 0 1 )()(lxaaxPx l b PM 2 可見，梁分兩段，就有可見，梁分兩段，就有4個積分常數(shù)個積分常數(shù) C C點的連續(xù)條件：點的連續(xù)條件： 在在 x1x2 = a 處處 21 yy yy 21 邊界條件邊界條件 在在處，處， 在在 X = 0 處，處， 0 1 y lx 0 2 y A B P C a b l 12 RA RB FRA FRB 3 3、

18、邊界條件和變形連續(xù)光滑條件、邊界條件和變形連續(xù)光滑條件 代入方程可解得：代入方程可解得：0 21 D D)( 6 22 21bl l Pb CC x l b P M EIy 1 1 C x l b PEIy 1 2 1 2 D x C x l b PEIy 11 3 1 6 )( 2 2 axPx l b P M EIy C axP x l b PEIy 2 2 2 2 2 )( 2 12 微分方程微分方程 轉角方程轉角方程 撓曲線方程撓曲線方程 ( 0 x a)( a x ) l D x C axP x l b PEIy 22 3 3 2 6 )( 6 在在處，處， 在在 X = 0 處，處

19、， 0 1 y lx 0 2 y 在在 x1x2 = a 處處 21 yy yy 21 0 21 D D )( 6 22 21bl l Pb CC x l b P M EIy 1 1 C x l b PEIy 1 2 1 2 D x C x l b PEIy 11 3 1 6 )( 2 2 axPx l b P M EIy C axP x l b PEIy 2 2 2 2 2 )( 2 12 微分方程微分方程 轉角方程轉角方程 撓曲線方程撓曲線方程 ( 0 x a)( a x )l D x C axPx l b PEIy 22 3 3 2 6 )( 6 )( 3 1 2 222 1 1xbl

20、lEI Pb y 1 )(ax 0 xbl lEI Pbx y 222 1 6 2)(lxa )( )( blx ax b l lEI Pb222 2 2 3 1 2 x blx ax b l lEI Pb y)()( 6 223 3 2 )( 3 1 2 222 1 1xbl lEI Pb y 1 )(ax 0 xbl lEI Pbx y 222 1 6 2)(lxa )( )( blx ax b l lEI Pb222 2 2 3 1 2 x blx ax b l lEI Pb y)()( 6 223 3 2 lEI blPab xA 6 01 )( | 將將 x = 0 和和 x = l

21、 分別代入轉角方程，左右兩支座處截面的轉角分別代入轉角方程，左右兩支座處截面的轉角 lEI alPab B 6 )( max 當當 a b 時時, , 右支座處截面的轉角絕對值為最大右支座處截面的轉角絕對值為最大 lEI alPab lxB 6 2 )( | A B P C a b l 12 RA RB FRA FRB )( 3 1 2 222 1 1xbl lEI Pb y 1 )(ax 0 xbl lEI Pbx y 222 1 6 2)(lxa )( )( blx ax b l lEI Pb222 2 2 3 1 2 x blx ax b l lEI Pb y)()( 6 223 3 2

22、 A B P C a b l 12 RA RB FRA FRB C截面的撓度：截面的撓度： 把把x=a代入代入y1或者或者y2，得，得 )( 222 6 abl lEI Pab y| ax )( 3 1 2 222 1 1xbl lEI Pb y 1 )(ax 0 xbl lEI Pbx y 222 1 6 2)(lxa )( )( blx ax b l lEI Pb222 2 2 3 1 2 x blx ax b l lEI Pb y)()( 6 223 3 2 A B P C a b l 12 RA RB FRA FRB C截面的撓度：截面的撓度：)( 222 6 abl lEI Pab

23、y| ax 最大撓度：可以通過最大撓度：可以通過C截面的轉角截面的轉角 的正負號來判斷最大撓度發(fā)生在的正負號來判斷最大撓度發(fā)生在 AC段還是段還是CB段。段。 () 3 C Fab ab EIl ab0 C 轉角為零的截面必然在轉角為零的截面必然在AC段中段中 10 22 3 max1 () 9 3 xx Fb yylb EIl 1 0令 22 0 (2 ) 33 lba ab x 例例7.3 7.3 圖圖7.57.5所示多跨梁所示多跨梁ACD中各段的抗彎剛度中各段的抗彎剛度EI為常數(shù)，桿為常數(shù)，桿BH 的抗拉剛度的抗拉剛度EA為常數(shù)。試（為常數(shù)。試（1 1）用積分法計算梁）用積分法計算梁AC

24、D的彎曲變形的彎曲變形 時，應分幾段來列撓曲線的近似微分方程？（時，應分幾段來列撓曲線的近似微分方程？（2 2）分別列出確定）分別列出確定 積分常數(shù)時需要的位移邊界條件和變形連續(xù)光滑條件；（積分常數(shù)時需要的位移邊界條件和變形連續(xù)光滑條件；（3 3）繪）繪 出梁出梁AD的撓曲線大致形狀。的撓曲線大致形狀。 (b) (a) Fa Fa M圖 EA EI H B C A D y 圖7.5 F aaa a 例例7.3 7.3 圖圖7.57.5所示多跨梁所示多跨梁ACD中各段的抗彎剛度中各段的抗彎剛度EI為常數(shù)，桿為常數(shù)，桿BH 的抗拉剛度的抗拉剛度EA為常數(shù)。試（為常數(shù)。試（1 1）用積分法計算梁）用

25、積分法計算梁ACD的彎曲變形的彎曲變形 時，應分幾段來列撓曲線的近似微分方程？（時，應分幾段來列撓曲線的近似微分方程？（2 2）分別列出確定）分別列出確定 積分常數(shù)時需要的位移邊界條件和變形連續(xù)光滑條件；（積分常數(shù)時需要的位移邊界條件和變形連續(xù)光滑條件；（3 3）繪）繪 出梁出梁AD的撓曲線大致形狀。的撓曲線大致形狀。 (b) (a) Fa Fa M圖 EA EI H B C A D y 圖7.5 F aaa a 繪制梁的撓曲線大致形狀注意以下幾個因素：繪制梁的撓曲線大致形狀注意以下幾個因素： 撓曲線要和位移邊撓曲線要和位移邊 界條件、變形連續(xù)光滑條件相吻合。界條件、變形連續(xù)光滑條件相吻合。

26、撓曲線是曲線還是直線。撓曲線是曲線還是直線。 撓曲線的凹凸性。撓曲線的凹凸性。 如果梁中某截面的彎矩為零，而且左右兩段的如果梁中某截面的彎矩為零，而且左右兩段的 彎矩正負號相反，則撓曲線上與該截面對應的點為拐點。彎矩正負號相反，則撓曲線上與該截面對應的點為拐點。 例例7.3 7.3 圖圖7.57.5所示多跨梁所示多跨梁ACD中各段的抗彎剛度中各段的抗彎剛度EI為常數(shù)，桿為常數(shù)，桿BH 的抗拉剛度的抗拉剛度EA為常數(shù)。試（為常數(shù)。試（1 1）用積分法計算梁）用積分法計算梁ACD的彎曲變形的彎曲變形 時，應分幾段來列撓曲線的近似微分方程？（時，應分幾段來列撓曲線的近似微分方程？（2 2）分別列出確

27、定）分別列出確定 積分常數(shù)時需要的位移邊界條件和變形連續(xù)光滑條件；（積分常數(shù)時需要的位移邊界條件和變形連續(xù)光滑條件；（3 3）繪）繪 出梁出梁AD的撓曲線大致形狀。的撓曲線大致形狀。 (b) (a) Fa Fa M圖 EA EI H B C A D y 圖7.5 F aaa a (b) (a) Fa Fa M圖 EA EI H B C A D y 圖7.5 F aaa a lBH ：在線彈性及小變形條件下在線彈性及小變形條件下， 梁在幾項梁在幾項 荷載（可以是集中力荷載（可以是集中力, , 集中力偶或分布力）同時作集中力偶或分布力）同時作 用下的撓度和轉角，用下的撓度和轉角， 分別等于每一荷載

28、單獨作用下分別等于每一荷載單獨作用下 該截面的撓度和轉角的疊加。該截面的撓度和轉角的疊加。 當每一項荷載所引起的當每一項荷載所引起的（如均沿（如均沿 y y 軸方向軸方向 ), ), 其其( ( 如均在如均在 xyxy 平面平面 內內 ) ) 時時, ,則則。 7 74 4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 力的獨立作用原理：力的獨立作用原理：在線彈性及小變形條件下，梁的在線彈性及小變形條件下，梁的 彎矩、變形與荷載保持線性關系，且每個荷載單獨作彎矩、變形與荷載保持線性關系，且每個荷載單獨作 用引起的變形與其他同時作用的荷載無關。用引起的變形與其他同時作用的荷載無關。 疊加法的分類疊加法的

29、分類 直接疊加直接疊加等剛度的簡支梁或懸臂梁同時受幾個簡等剛度的簡支梁或懸臂梁同時受幾個簡 單荷載作用時，可以通過附錄查出每一個簡單荷載單單荷載作用時，可以通過附錄查出每一個簡單荷載單 獨作用時產生的變形，然后直接進行疊加運算。獨作用時產生的變形，然后直接進行疊加運算。 間接疊加間接疊加變剛度梁、外伸梁等在荷載作用下的變變剛度梁、外伸梁等在荷載作用下的變 形，不能直接從附錄形，不能直接從附錄A中查得；但是常?？梢詫⒘阂曋胁榈?；但是常?？梢詫⒘阂?為幾部分組成，各個部分的變形可以利用附錄查得。為幾部分組成，各個部分的變形可以利用附錄查得。 7 74 4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 例題

30、：例題：一抗彎剛度為一抗彎剛度為 EI 的簡支梁受荷載如圖所示。的簡支梁受荷載如圖所示。 試按疊加原理求梁跨中點的撓度試按疊加原理求梁跨中點的撓度 yC 和支座處橫截面和支座處橫截面 的轉角的轉角 A 、 B 。 。 A A B B m l C C q 解：將梁上荷載分為兩項解：將梁上荷載分為兩項 簡單的荷載，如圖簡單的荷載，如圖b b、c c 所所 示示 (b)(b) A A B B m l C C q B B A A C C q B B A A m C C (C) yyy CmCqC AmAqA BmBqB )( 16384 5 2 4 EI ml EI ql ycq y cm Aq Am

31、 Bq Bm A A B B m l C C q A A C C q A A m C C EI ml EI ql 324 3 ( ) EI ml EI ql 624 3 ( ) 查表，得查表，得 例例7.5 7.5 等截面簡支梁的抗彎剛度等截面簡支梁的抗彎剛度EI為常數(shù)，在左邊半跨為常數(shù)，在左邊半跨 受三角形分布荷載作用，如圖受三角形分布荷載作用，如圖7.77.7所示。試求跨中所示。試求跨中C處處 的撓度的撓度yC和左端截面的轉角和左端截面的轉角A。 圖7.7 l/2 l/2 A C B EI q0 分析：分布荷載的集度沿軸線方向的變化規(guī)律是確定的，可以分析：分布荷載的集度沿軸線方向的變化規(guī)律

32、是確定的，可以 將其視為無窮多個微小的集中力組成。通過查表可以得到任意將其視為無窮多個微小的集中力組成。通過查表可以得到任意 一個微小的集中力單獨作用時引起的變形，最后的疊加通過積一個微小的集中力單獨作用時引起的變形，最后的疊加通過積 分運算完成。分運算完成。 圖7.7 l/2 l/2 A C B EI q0 dxx dFq=q(x)dx 例例7.5 7.5 等截面簡支梁的抗彎剛度等截面簡支梁的抗彎剛度EI為常數(shù)，在左邊半跨為常數(shù)，在左邊半跨 受三角形分布荷載作用，如圖受三角形分布荷載作用，如圖7.77.7所示。試求跨中所示。試求跨中C處處 的撓度的撓度yC和左端截面的轉角和左端截面的轉角A。

33、 圖7.7 l/2 l/2 A C B EI q0 圖7.7 l/2 l/2 A C B EI q0 dxx dFq=q(x)dx 22 d d34) 48 q C F x ylx EI （ 0 2 d( )dd q q x Fq xxx l 222 0 2 0 4 0 34)d 24 240 l C q ylx xx lEI q l EI （ d() d 6 q A F x lx llx lEI （ 3 00 2 0 241()(2) d 62880 l A q xq lx lxlx x lEIlEI 例題：試利用疊加法，求圖所示抗彎剛度為例題：試利用疊加法，求圖所示抗彎剛度為 EI 的的

34、簡支梁跨中點的撓度簡支梁跨中點的撓度 y yC C 和兩端截面的轉角和兩端截面的轉角 A A , , B B 。 。 l 2 l A BC C q 解：解： 可視為正對稱可視為正對稱 荷載與反對稱荷載荷載與反對稱荷載 兩種情況的疊加。兩種情況的疊加。 l 2 l A BC C q A B C C q/2 C C A A B B 2 q 2 q EI ql EI lq yC 768 5 384 25 44 1 )( （1 1）正對稱荷載作用下）正對稱荷載作用下 EI ql EI lq BA 4824 2 33 11 )( A B C C q/2 （2 2）反對稱荷載作用下）反對稱荷載作用下 可將

35、可將ACAC段和段和BCBC段分別視為受均布線荷載作用且長度段分別視為受均布線荷載作用且長度 為為 在跨中在跨中C C截面處，截面處，但，但 且該截面的且該截面的 C C A A B B 2 q 2 q EI q l BA 24 2 2 3 22 )( )( 0 2 yC C C A A B B 2 q 2 q EI ql 384 3 C C A A B B 2 q 2 q （2 2）反對稱荷載作用下）反對稱荷載作用下 將相應的位移進行疊將相應的位移進行疊 加加, , 即得即得 EI ql EI ql EI ql BBB 384 7 38448 333 21 )( EI ql yyy CCC

36、768 5 4 21 EIEIEI qlqlql AAA 12838448 3 333 21 l 2 l A BC C q 間接疊加間接疊加變剛度梁、外伸梁等在荷載作用下的變變剛度梁、外伸梁等在荷載作用下的變 形，不能直接從附錄形，不能直接從附錄A中查得；但是常?？梢詫⒘阂曋胁榈茫坏浅３？梢詫⒘阂?為幾部分組成，各個部分的變形可以利用附錄查得。為幾部分組成，各個部分的變形可以利用附錄查得。 7 74 4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 在變截面梁、外伸梁以及組合結構的變形計算中，在變截面梁、外伸梁以及組合結構的變形計算中， 常?？梢詫⒄麄€結構分成常?？梢詫⒄麄€結構分成基本部分基本部分和

37、和附屬部分附屬部分組成。組成。 梁在某一截面處的變形可視為各組成部分的變形引梁在某一截面處的變形可視為各組成部分的變形引 起該截面處的變形的疊加。起該截面處的變形的疊加。 B C EI A B (a) (b) C C1 y C y la a F F 例例7.6 7.6 等截面外伸梁受力如圖等截面外伸梁受力如圖7.87.8（a a）所示，其抗彎剛）所示，其抗彎剛 度度EI為常數(shù)。試求自由端處的撓度為常數(shù)。試求自由端處的撓度 yC。 B C EI A B (a) (b) C C1 y la F F a AB為基本部分為基本部分 BC為附屬部分為附屬部分 基本部分基本部分AB的變形使附的變形使附 屬

38、部分屬部分BC產生的剛體位移，產生的剛體位移， 稱為稱為牽連位移牽連位移 附屬部分附屬部分BC自身變形引自身變形引 起的位移，稱為起的位移，稱為附加位移附加位移 圖7.8 B A C (c) al F Me=Fa B C EI A B (a) (b) C C y la F F a B C EI A B (a) (b) C C1 y C y la F F a B C EI A B (a) (b) C C y la F F a C1 y 圖7.8 B A C (c) al 直線 C2 B2 y F Me=Fa 12 CCC yyy 例例7.6 7.6 等截面外伸梁受力如圖等截面外伸梁受力如圖7.8

39、7.8（a a）所示，其抗彎剛）所示，其抗彎剛 度度EI為常數(shù)。試求自由端處的撓度為常數(shù)。試求自由端處的撓度 yC。 B C EI A B (a) (b) C C1 y la F F a 牽連位移牽連位移 附加位移附加位移 圖7.8 B A C (c) al F Me=Fa B C EI A B (a) (b) C C y la F F a B C EI A B (a) (b) C C1 y C y la F F a B C EI A B (a) (b) C C y la F F a C1 y 圖7.8 B A C (c) al 直線 C2 B2 y F Me=Fa 3 1 3 C Fa y

40、EI 222 tan CBB yaa e 2 33 B M lFla EIEI 2 22 3 CB Fla ya EI 12 322 () 333 CCC yyy FaFlaFa la EIEIEI 例例7.7 7.7 變截面梁受力如圖變截面梁受力如圖7.97.9（a a）所示，試求自由端處）所示，試求自由端處 的撓度的撓度 yB。 (b) (a) l/2 F B y EI B 1 F 2EI EI B C A l/2 l/2 C (c) l/2 l/2 yC C C 直線 Me=Fl/2 F 2EI B 2 EI y A 圖7.9 B AC為基本部分為基本部分 CB為附屬部分為附屬部分 (b

41、) (a) l/2 F B y EI B 1 F 2EI EI B C A l/2 l/2 C 例例7.8 7.8 等截面簡支等截面簡支 梁在中間一段受均梁在中間一段受均 布荷載作用，如圖布荷載作用，如圖 7.107.10（a a）所示，其）所示，其 抗彎剛度抗彎剛度EI為常數(shù)。為常數(shù)。 試求跨中試求跨中C C處的撓度處的撓度 yc。 B y FB FAFB (b) C q B EI (a) l/4 l/4 q l/2 EI B C A l l/4 ED D l/4 Dq yDq (c) D Bq y (d) C q B BC FB y BFB 圖7.10 l/2 l/4l/4 B y FB

42、FAFB (b) C q B EI (a) l/4 l/4 q l/2 EI B C A l l/4 ED D l/4 式中：式中：ymax 為梁上最大的撓度為梁上最大的撓度；l 為梁的跨長；為梁的跨長； f / l 為為 梁的許用撓度與的跨長比值。梁的許用撓度與的跨長比值。 7 75 5 梁的剛度計算梁的剛度計算 一、剛度條件（土木工程中一般只校核撓度）一、剛度條件（土木工程中一般只校核撓度） 注意：注意： 1、建筑結構即要滿足強度條件，同時也要滿足剛度條件；、建筑結構即要滿足強度條件，同時也要滿足剛度條件； 2、一般情況下，強度條件起控制作用，所以，在設計梁的、一般情況下，強度條件起控制作

43、用，所以，在設計梁的 截面時，用強度條件選擇梁的截面，選好后再代入剛度條件截面時，用強度條件選擇梁的截面，選好后再代入剛度條件 進行校核。進行校核。 max yf ll 梁的撓度和轉角與梁的抗彎剛度梁的撓度和轉角與梁的抗彎剛度EI、梁的跨、梁的跨 度、荷載、約束等因素有關。度、荷載、約束等因素有關。 7 75 5 梁的剛度計算梁的剛度計算 二、提高梁彎曲剛度的措施二、提高梁彎曲剛度的措施 措施：措施： 1、選用合理的截面形狀，增大梁的抗彎剛度、選用合理的截面形狀，增大梁的抗彎剛度EI ； 2、改善結構形式，調整跨長；、改善結構形式，調整跨長； 3、改變加載方式；、改變加載方式； 4、增加約束，

44、采用超靜定結構；、增加約束，采用超靜定結構； 工程上，由于梁的強度、剛度或構造上的需要，除工程上，由于梁的強度、剛度或構造上的需要，除 保證梁的平衡所必需的支撐外，常需增加一些支撐，保證梁的平衡所必需的支撐外，常需增加一些支撐， 做成超靜定梁做成超靜定梁 7 76 6 用力法解簡單超靜定梁用力法解簡單超靜定梁 一、基本概念一、基本概念 多余約束多余約束超靜定梁中，多于維持其靜力平衡所必超靜定梁中，多于維持其靜力平衡所必 需的約束需的約束 多余未知力多余未知力超靜定梁中，與多余約束相應的支反超靜定梁中，與多余約束相應的支反 力力 超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)超靜定梁中，多余約束的數(shù)目超靜定梁中，多余約束的數(shù)目 FBFA BA q C C (b) (a) q AB FC ll ll 圖7.16 根據(jù)采用的基本未知量來劃分，可以分為根據(jù)采用的基本未知量來劃分，可以分為力法力法和和位