第6章 彈性構(gòu)件組成的機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)-2012.12.31

1、第6章 彈性構(gòu)件組成的 機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué) 6.1 考慮軸的扭轉(zhuǎn)變形時傳動系統(tǒng)動力學(xué) 6.2 凸輪機(jī)構(gòu)動力學(xué) 6.3 齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué) 研究的意義研究的意義 ：有些機(jī)械（如機(jī)械手等），在高速運(yùn)轉(zhuǎn)時，由于構(gòu)件受 很大動載荷而引起彈性變形，降低了機(jī)械工作的準(zhǔn)確性，甚至引起和其他構(gòu) 件的運(yùn)動配合失調(diào)而不能工作。因此要研究在高速時，受慣性載荷作用下機(jī) 械的實(shí)際運(yùn)動情況及其動態(tài)精度。 引言：引言：上一章討論的剛性構(gòu)件組成的機(jī)械系統(tǒng)是一種理想的機(jī)械系統(tǒng)，即 不考慮構(gòu)件的彈性和間隙，求得的運(yùn)動規(guī)律是機(jī)械系統(tǒng)的剛體運(yùn)動規(guī)律。對 于大多數(shù)運(yùn)行的機(jī)械，必須考慮由于構(gòu)件彈性引起的振動。如凸輪機(jī)構(gòu)、振 動上料機(jī)構(gòu)、速度

2、傳感器、齒輪傳動系統(tǒng)等。 6.1 軸與軸系扭轉(zhuǎn)振動 2 J 2 J 1 J 3 J 1 k 2 k 11 2 22 2 12 3 3 2 12 e e e JJ J JJ i J J i 2 2 2 2 2 1 12 z z i 1.等效轉(zhuǎn)動慣量 將傳動系統(tǒng)的各轉(zhuǎn)動慣量向轉(zhuǎn)化中心等效， 不考慮輪齒嚙合剛度。 為一對嚙合齒輪的轉(zhuǎn)到慣量 為轉(zhuǎn)動元件 為兩段軸的扭轉(zhuǎn)剛度 等效原則：動能不變 選定等效中心：軸的軸線 其中 （6-1） 2等效剛度 l GI kk p te neeee kkkk 1111 21 2 12 2 2 i k k e 各彈性構(gòu)件的剛度也要向轉(zhuǎn)化中心轉(zhuǎn)化 剛度等效原則：保證系統(tǒng)總

3、勢能不變 （1） 對于受扭的等截面圓斷面軸 （2）對于階梯軸，其等效剛度與各軸段剛度存在下列關(guān)系 （3）對于串聯(lián)齒輪系統(tǒng)，若以軸的軸線為轉(zhuǎn)化中心線，則 對于一般的齒輪傳動系統(tǒng) 11 2 22 2 12 33 3 22 1213 ; ; ; e e e JJ J JJ i JJ J ii 11 2 2 2 12 3 3 2 13 e e e kk k k i k k i 例（P131）：對于圖所示的起重機(jī)提升傳 動系統(tǒng)，向軸中心線轉(zhuǎn)化而成為多自由度扭 振系統(tǒng) 。 11 22 3 3 2 12 4 4 2 12 5 5 2 13 2 6 2 13 e e e e e e JJ JJ J J i J

4、 J i J J i mR J i 解為選定等效軸：軸 1212 34 34 2 12 2 56 56 2 13 , e e e kk k k i k R k i 注意：起吊重物為移動構(gòu)件， 向軸等效為J6e；鋼絲繩為拉 伸彈性構(gòu)件，等效為轉(zhuǎn)動彈性 軸，等效剛度為K56e 2 1 12 i 3 1 13 i 例（P104）：銑床主傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型 注意：等效轉(zhuǎn)動慣量的單位 2 kgm 1 )/( mN軸段數(shù)字為柔度系數(shù)，為剛度系數(shù)的倒數(shù)，單位為 6.2 凸輪機(jī)構(gòu)動力學(xué) 一、不包含凸輪軸扭轉(zhuǎn)振動的動力學(xué)模型P（112） 圖(a)表示一個內(nèi)燃機(jī)配氣凸輪機(jī)構(gòu)。凸輪軸具有較大的剛度。建立動力 學(xué)模型

5、時，不包含凸輪軸扭轉(zhuǎn)振動。不僅減少自由度數(shù)目，且擺脫了質(zhì) 量矩陣M、剛度 K 隨凸輪轉(zhuǎn)角變化，避開變系數(shù)微分方程組。 2 m 2A m 2B m 222 mmm BA 3132 33 22 , BC JJ mm ab 3132 ,JJ 2 O SC mmm 3 1 44 4 m S m 按質(zhì)心不變原則集中于A、B兩端，分別為和 （2）轉(zhuǎn)臂BC的擺角不大，近似認(rèn)為B、C兩點(diǎn)作小幅度直線運(yùn)動。按轉(zhuǎn) 動慣量不變的原則，用集中于B、C兩點(diǎn)的集中質(zhì)量代替轉(zhuǎn)臂左右兩部分 的轉(zhuǎn)動慣量 （6-25） 、 為轉(zhuǎn)臂左右兩部分對 （3）忽略閥的彈性，將其質(zhì)量集中于C點(diǎn)，則根據(jù)振動理論，彈簧質(zhì)量 可取其三分之一集中在

6、其端部 為閥的質(zhì)量， 將構(gòu)件的質(zhì)量作集中化簡化： （1）推桿質(zhì)量 （6-24） 的轉(zhuǎn)動慣量。 （6-26） 為彈簧質(zhì)量 433 322 21 CC BB A mmm mmm mm 1 k 2 k 3 k 4 k s 則圖(b)所示的動力學(xué)模型質(zhì)量參數(shù) （6-27） 為凸輪與推桿接觸表面的接觸剛度 為推桿AB的拉伸剛度 為轉(zhuǎn)臂BC的彎曲剛度 為彈簧剛度 則圖(b)所示的動力學(xué)模型剛度參數(shù) 為凸輪作用于從動桿的理論位移 112233 2 11223344 2 112233 ,( ) ,( ) ,( ), b ss yy yyyy a b kk kk kk kk a b mm mm mm a FKY

7、YM 2 3 y Yy y 1 0 0 k s F 以推桿為等效構(gòu)件，再作一次坐標(biāo)變換，圖(c) 位移、質(zhì)量、剛度等效到推桿軸線上，等效時保持動能、勢能不變 （6-28） 這是關(guān)于支承位移激勵的問題（參見第1.9節(jié)） 根據(jù)第2章的方法，不難寫出這3自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程 （6-29） 二、包含凸輪軸扭轉(zhuǎn)振動的動力學(xué)模型P（112） c h yx, 凸輪軸受到較大的徑向力，軸的彎曲變形對從動件運(yùn)動有影響 扭轉(zhuǎn)振動+橫向振動 從動件頂點(diǎn)A的位移影響因素： 凸輪輪廓曲線 凸輪軸的扭轉(zhuǎn)變形 軸心橫向位移 )( 0 hAA yx, yxO )(h tanx tanxBA 曲線1凸輪的理論輪廓曲線 當(dāng)凸輪

8、轉(zhuǎn)過角后，理論輪廓曲線將位于位置2 若不考慮凸輪軸的橫向變形 x,y： 從動件點(diǎn)A 的位移應(yīng)為 若凸輪軸心O有橫向變形 x,y： 與凸輪輪廓曲線有關(guān) 為分析方便，把凸輪看成不動，而把從 動件運(yùn)動線和坐標(biāo)軸向反方向移動距離 則坐標(biāo)系為 （虛線） 這時從動件上點(diǎn)A將位于點(diǎn)B，凸輪從動件實(shí)際上升距離為 tan)(xyhhc 其中 為凸輪轉(zhuǎn)過 角，由輪廓曲線決定的位移 y 為凸輪軸心垂直方向的變形 為凸輪軸心 x 向變形引起的垂直方向變形 為凸輪點(diǎn)A的壓力角（微量），且AB方向和A點(diǎn)的切線方向近似 （6-30） )( 2 G 22) (yGhc 2 y 通常凸輪軸在 x 方向受力較小，壓力角也不大，則

9、 回到凸輪機(jī)構(gòu)圖（b） 為凸輪及凸輪軸為剛性時，從動件端點(diǎn)的位 移和轉(zhuǎn)角 傳遞函數(shù)關(guān)系 （6-31） 為凸輪軸在凸輪處的垂直方向變形 K2從動件簡化為一具有彈簧常數(shù)的壓縮彈簧剛度 另外 m推桿及從動件的等效質(zhì)量 K3從動件上的壓力彈簧剛度 T1作用在主動輪上的力矩為 F1作用在從動件上的力 建立運(yùn)動微分方程（P115） 1 q 11 q 2 q 122 q 3 q 3 qyh yh 1 y 2 y 11 22112 22122 ( )() c q qq q hGyGq qy 五個廣義坐標(biāo) 為主動輪1的轉(zhuǎn)角 為凸動軸的相對轉(zhuǎn)角 為從動桿的變形量 為桿上端位移 為桿下端位移 為主動輪1處的垂直方向

10、變形 為凸動盤2處的垂直方向變形 即 （6-32） )( )( 32222211212 32221211111 qKymymy qKymymy ij 3222222221121 3212122121111 qKyymym qKyymym 根據(jù)“柔度影響系數(shù)法”（P27），列出凸 輪軸的橫向振動微分方程 1 凸輪軸的橫向振動微分方程 為柔度影響系數(shù)，即在 j點(diǎn)處施加單位 力時，在 i 點(diǎn)處產(chǎn)生的位移 可寫成 （6-34） 1 q 2 q 3 q ), 2 , 1( ,)(kjF q U q E q E dt d j jjj N ji j jz i j jy i j jxj q z F q y F

11、 q x FF 1 )( 2. 從動桿直線振動微分方程 該系統(tǒng)為三自由度振動系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)為 采用拉格朗日法建立系統(tǒng)微分方程（P25） 動能 2 2 2 3 2 2 2 12 2 11 22 22 2 11 )( 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 yGqmqqJqJymJJE )( 212 2 2 qqGG dt d d dG dt dG G F q y F q TF GF q G F q y F q TF GT q G FT q G FT q y F q TF 33 1 13 2 2 222 1 12 1 1 2 2 1 1 1 11 1 11 勢能 2 3 2 32 2

12、 21 2 1 2 1 2 1 yKqKqKU 廣義力 22 2 1 2 233 2 2 1 3 2 2 2 2 2322 213 1 1 3 2 2 2 11 12 2 1 1 1 1 1 )()( ) 11 ( yq J KG m yK m FGK q J KG q m K J GK m KK qqGq J T q J GK q JJ Kq q J K J T q 代入拉格朗日方程后，有 （6-38） 1 122122112 21 2 122122112 113 2 2 1 3 2 2 2 2 2322 213 1 1 3 2 2 2 11 12 2 1 1 1 1 1 2 32 1221

13、22112 211121 2 122122111 212122 1 )( )( )()( ) 11 ( )( )( y m y mm K q J KG q m K J GK m KK qqGq J T q J GK q JJ Kq q J K J T q m qK m yy y m yy y 3.兩組微分方程聯(lián)合（P116） 可以采用龍格庫塔(RK)法求解（參見第3.5節(jié),P61） （6-39） 6.3 齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué) 齒輪傳動的動態(tài)特性是指齒輪系統(tǒng)的動載、振動和噪聲 的機(jī)理、計(jì)算和控制。齒輪傳動的動態(tài)特性研究已成為當(dāng) 前齒輪研究的主要課題。 齒輪傳動的動載荷是齒輪強(qiáng)度計(jì)算的重要依據(jù)。動載

14、荷 是根據(jù)齒輪的圓周速度與精度等級查表格或圖線得到動載 荷系數(shù) ，再乘以額定載荷得到的。 傳統(tǒng)方法 傳統(tǒng)方法的不足： 傳統(tǒng)方法顯得十分粗略。 動載荷一般不與額定載荷成正比，而是取決于齒輪本身 的轉(zhuǎn)動慣量、齒輪的彈性和由齒面誤差引起的沖擊，亦即 取決于齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)模型。 補(bǔ)充：雙質(zhì)量單自由度系統(tǒng)等效為單質(zhì)量彈簧系統(tǒng)（P117、122、133、134） 2 12 12 e n e kkk JJJ 21 21 kk kk ke 圖示雙質(zhì)量單自由度系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)振動時， 的扭轉(zhuǎn)角位移始終是相反的。因此，總 存在一個靜止截面位置，稱為節(jié)點(diǎn)。 可以認(rèn)為該系統(tǒng)被劃分為兩個單自由度系統(tǒng)， 以節(jié)點(diǎn)為分界面。

15、兩個單自由度系統(tǒng)的固有頻率必須相等，且等于等 效單自由度系統(tǒng)固有頻率： 12 ,J J 2 11 12 e n e kkk JJJ 12 21 kk ll 12 lll 12 12 e J J m JJ 易求出： 另： 一、 輪齒嚙合的直線振動 1 J 2 J 1b r 2b r 21N N 1 2 圖 (a)表示一對嚙合的輪齒 為兩齒輪的轉(zhuǎn)動慣量 為兩輪齒的基圓半徑 為嚙合線 為兩齒輪的角速度 B 為嚙合點(diǎn) 1. 輪齒嚙合的直線振動 等效質(zhì)量 22 11111 22 22222 11 () 22 11 () 22 eb eb Jmr Jmr 設(shè)：輪齒為等截面梁，則 1 1 2 1 2 2 2

16、 2 e b e b J m r J m r 3 2 22 2 3 1 11 1 3 , 3 l IE k l IE k 輪齒嚙合點(diǎn)沿嚙合線移動，齒面間的嚙合力亦沿該線傳遞， 因此，討論嚙合振動時，可將兩齒輪系統(tǒng)向輪齒嚙合線上轉(zhuǎn) 化，成為雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng) 等效模型圖 (b) 輪齒等效彎曲剛度：可采用有限元法作計(jì)算，或?qū)嶒?yàn)測試。工 程上常將輪齒簡化為梯形齒，甚至等截面梁。 1 E 2 E 1 I 2 I 12 3 11 1 sb I 12 3 22 2 sb I 1 b 2 b 1 s 2 s 1 l 2 l 21 21 kk kk ke 為兩輪齒材料的彈性模量 為兩輪齒的抗彎截面模

17、量 為兩齒輪齒寬 為兩齒輪齒厚 為兩輪齒懸臂長度 串聯(lián)彈簧，輪齒等效剛度： （6-42） 實(shí)際嚙合過程中，由于重合度的影響，嚙合剛度呈周期性變化。即使沒有 外界激勵，這種剛度的周期性變化，也會激發(fā)系統(tǒng)的振動。 討論討論 為了簡化計(jì)算，取重合度為1，從而將視為常數(shù)。 雙質(zhì)量單自由度系統(tǒng)等效為單質(zhì)量彈簧系統(tǒng)圖 (c) 1e m 2e m e k 21 21 ee ee e mm mm m een mk / 均為常量 等效質(zhì)量 等效剛度 21 21 kk kk ke 固有頻率 （6-43） n F e 21 e 2211 kkFxkxm nee 外界激勵 （1）法向載荷 （2）齒面誤差（又稱齒面嚙合

18、誤差） 1 2 由于負(fù)載變化頻率常比輪齒固有頻率低得多，所以將法向 載荷取為常數(shù)，按額定傳遞轉(zhuǎn)矩計(jì)算 為兩齒輪齒形公差 具有激勵的等效動力學(xué)模型 （6-46） )( 60 11 1 Hz zn f n f f N 1 2 n n f 85. 0N 15. 185. 0 N 5 . 115. 1 N 5 . 1N 2. 齒面工作區(qū)的判定（P118） 根據(jù)輪齒嚙合頻率來判斷工作區(qū) 小齒輪齒數(shù)為1 z 轉(zhuǎn)速為 1 n 輪齒嚙合頻率為 ISO齒輪標(biāo)準(zhǔn)中，規(guī)定 亞臨界區(qū) 共振區(qū) 過渡區(qū) 超臨界區(qū) ，從而改變工作區(qū)。 為了避開共振區(qū)，可適當(dāng)調(diào)整輪齒參數(shù)（如齒數(shù)、模數(shù)），通過改變 n f 3. 輪齒動載荷的

19、確定（P118） n F e e2 11 * 60 zn t 30 2 11 * zen t e v 一般齒輪工作在亞臨界區(qū),即 n f f N 1 2 n n f 85. 0N 下面根據(jù)圖(d) 動力學(xué)模型來計(jì)算動載荷 n F為靜載荷 為齒面誤差，是沖擊脈沖 作用時間為 每個輪齒從進(jìn)入到退出嚙合，相對于給系統(tǒng)一次沖擊，其行程為 平均速度為 0 xkxm ee txt V x nn n cossin 0 0 1 1 00 * 2 0,0, 30 en ze txVv t t t e x n n sin 2 * 一對輪齒在工作過程中，除承受一次沖擊外，并無持續(xù)激勵，故系統(tǒng)將 作自由振動 運(yùn)動方程

20、 解 初始條件 則 系統(tǒng)的振幅 e e n n k mzen zn e t e A 3060 22 11 11 * 動載荷的最大值 eeed mk zen AkF 30 11 d F n F 結(jié)論：動載荷不僅與等效剛度、等效質(zhì)量有關(guān)，而且與齒面誤差成正比。因此， 在亞臨界區(qū)工作的輪齒，適當(dāng)提高精度，減少齒面誤差，有利于減少動 載荷。 齒面的總載荷是動載荷與額定靜載荷之和。 （6-52） m T L T p k g k m J p J g J l J p c g c m c m k )(te 21 e 二、齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動（本科生略） 齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)：在一對齒輪副純扭轉(zhuǎn)振動模型的

21、基礎(chǔ) 上，再考慮傳動軸的扭轉(zhuǎn)剛度，同時考慮原動機(jī)和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動慣量等 為原動機(jī)和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)矩 為主傳動軸、從傳動軸的扭轉(zhuǎn)剛度（材料力學(xué)） 原動機(jī)轉(zhuǎn)動慣量 主動齒輪轉(zhuǎn)動慣量 從動齒輪轉(zhuǎn)動慣量 執(zhí)行機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動慣量 主傳動軸扭轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)阻尼 從傳動軸扭轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)阻尼 嚙合齒輪對嚙合阻尼 嚙合齒輪對嚙合剛度 齒面嚙合誤差 12 齒輪齒面誤差 齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動方程 lglgglgll dglgglgggg dpmppmpppp mpmppmpmm TkcJ WrkcJ WrkcJ TkcJ )()( )()( )()( )()( d W )()(errkerrcW ggppmggppmd 21 21 kk

22、 kk kk em ggpp gpgpm m JrJr JJrrk c 22 22 2 17. 003. 0 lg g sg pm p sp JJ k c JJ k c 11 2, 11 2 為輪齒的動態(tài)嚙合力 為輪齒嚙合阻尼比 注意希臘字母 ksi;zta 傳動軸扭轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)阻尼 075. 0005. 0 s p k g k 阻尼系數(shù) 扭轉(zhuǎn)剛度，按 P t GI k l 計(jì)算 （6-53） FKCM l g p m J J J J M 000 000 000 000 gg gmgggpm gpmmppp pp cc ccrcrrc rrccrcc cc C 00 0 0 00 2 2 gg gmgggpm gpmmppp pp kk kkrkrrk rrkkrkk kk K 00 0 0 00 2 2 m p g l l gmgm pmpm m T erkerc erkerc T F 寫成矩陣形式 （6-58） 可運(yùn)用紐馬克 法、威爾遜法求解系統(tǒng)的響應(yīng)。 三、齒輪系統(tǒng)嚙合耦合型振動模型（本科生略） py k gy k py c gy c 齒輪動力學(xué)嚙合耦合型振動：齒輪動力學(xué)嚙合耦合型振動：考慮