第1節(jié) n階行列式的定義

1、線性代數(shù)線性代數(shù) 第一章第一章 行列式行列式 n內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1 n1 n階行列式的定義階行列式的定義 2 2 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 3 3 行列式按行行列式按行(列列)展開展開 4 4 克拉默法則克拉默法則 行列式是一個(gè)重要的工行列式是一個(gè)重要的工 具，它在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)具，它在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng) 域及其它各學(xué)科都有著域及其它各學(xué)科都有著 廣泛的應(yīng)用廣泛的應(yīng)用 1 n n階行列式的定義階行列式的定義 二階與三階行列式二階與三階行列式 排列與逆序排列與逆序 n n階行列式的定義階行列式的定義 一、二階與三階行列式一、二階與三階行列式 二元線性方程組二元線性方程組 1111221 2112222

2、 a xa xb a xa xb 由消元法，得由消元法，得 211211221122211 )(abbaxaaaa 212221121122211 )(baabxaaaa 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，該方程組有唯一解時(shí)，該方程組有唯一解 0 21122211 aaaa 21122211 212221 1 aaaa baab x 21122211 211211 2 aaaa abba x 1 1. .二階行列式二階行列式 求解公式求解公式為為 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 122122 1 11221221 112121 2 11221221 b aa b x a aa a a

3、bb a x a aa a 二元線性方程組二元線性方程組 請(qǐng)觀察，此公式有何特點(diǎn)？請(qǐng)觀察，此公式有何特點(diǎn)？ 分母相同，由方程組的四個(gè)系數(shù)確定分母相同，由方程組的四個(gè)系數(shù)確定. 分子、分母都是四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再分子、分母都是四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再 相減而得相減而得. 其求解公式為其求解公式為 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 122122 1 11221221 112121 2 11221221 b aa b x a aa a a bb a x a aa a 二元線性方程組二元線性方程組 我們引進(jìn)新的符號(hào)來表示我們引進(jìn)新的符號(hào)來表示“四個(gè)四個(gè) 數(shù)分成兩對(duì)相乘再相減數(shù)

4、分成兩對(duì)相乘再相減”. . 1112 11221221 2122 aa Da aa a aa 1112 2122 aa aa 記號(hào)記號(hào) 1112 2122 aa aa 數(shù)表數(shù)表 表達(dá)式表達(dá)式 稱為由該稱為由該 數(shù)表所確定的數(shù)表所確定的二階行列式二階行列式，即，即 11221221 a aa a 其中，其中， 稱為稱為元素元素. .(1,2;1,2) ij aij i 為為行標(biāo)行標(biāo)，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 為為列標(biāo)列標(biāo)，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. . 二元線性方程組二元線性方程組 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 若令若令 11

5、12 2122 aa D aa 12 1 1 222 b b a D a 1 2 2 11 21 ba D ab ( (方程組的系數(shù)行列式方程組的系數(shù)行列式) ) 則上述二元線性方程組的解可表示為則上述二元線性方程組的解可表示為 1122122 1 11221221 D D b aa b x a aa a 1121212 2 11221221 a bb aD x a aa aD 2.2.三階行列式三階行列式 定義定義 對(duì)于有對(duì)于有9個(gè)元素個(gè)元素 排成排成3行行3列的式子列的式子 記記 稱為稱為三階行列式三階行列式. . 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 1122

6、33122331132132 132231122133112332 a a aa a aa a a a a aa a aa a a 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 主對(duì)角線主對(duì)角線 副對(duì)角線副對(duì)角線 二階行列式的對(duì)角線法則二階行列式的對(duì)角線法則 并不適用！并不適用！ ij a 三階行列式的計(jì)算三階行列式的計(jì)算 對(duì)角線法則對(duì)角線法則 111213 212223 313233 aaa Daaa aaa 132132 a a a 112233 a a a 122331 a a a 132231 a a a 122133 a a a 112332 a a a 注意：注

7、意：對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式. . 實(shí)線上的三個(gè)元素的乘積冠正號(hào)，實(shí)線上的三個(gè)元素的乘積冠正號(hào)， 虛線上的三個(gè)元素的乘積冠負(fù)號(hào)虛線上的三個(gè)元素的乘積冠負(fù)號(hào). . 323 2-34 4-52 D 例例1 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 解解 按對(duì)角線法則，有按對(duì)角線法則，有 D3 ( 3) 22 4 42 ( 5) 3 3 ( 3) 42 2 23 4 ( 5)72 方程左端方程左端解解 由由 得得 2 111 120. 64 x x 例例2 求解方程求解方程 22 264124Dxxxx 2 28,xx 2 280 xx 24.xx

8、或或 二、排列與逆序二、排列與逆序 定義定義 1, 2, n由正整數(shù)由正整數(shù) 組成的一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字組成的一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字 的的n元有序數(shù)組，稱為一個(gè)元有序數(shù)組，稱為一個(gè)n級(jí)排列，簡(jiǎn)稱級(jí)排列，簡(jiǎn)稱排排 列列，記為，記為 。 )( 21n iii 1 2n i ii 例如例如42314231 653412653412 15231523 是一個(gè)是一個(gè)4 4級(jí)排列級(jí)排列 是一個(gè)是一個(gè)6 6級(jí)排列級(jí)排列 不是一個(gè)排列不是一個(gè)排列 n 個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序. 定義定義 在一個(gè)在一個(gè)n級(jí)排列級(jí)排列 中，如果數(shù)中，如果數(shù) ， 則稱數(shù)則稱數(shù) 與與 構(gòu)成一

9、個(gè)構(gòu)成一個(gè)逆序逆序。在一個(gè)。在一個(gè)n級(jí)排列中，逆序級(jí)排列中，逆序 的總數(shù)稱為該排列的的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)逆序數(shù)，記為，記為 例如例如 在排列在排列32514中，中， 3 2 5 1 4 逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考題：思考題：還能找到其它逆序嗎？還能找到其它逆序嗎？ 答：答：2和和1，3和和1也構(gòu)成逆序也構(gòu)成逆序. )( 21nts iiiii st ii s i t i 1 2 () n i ii 計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法 則此排列的逆序數(shù)為則此排列的逆序數(shù)為 12n tttt 設(shè)設(shè) 是是 1, 2, , n 這這n 個(gè)自然數(shù)的任一排列，并規(guī)個(gè)自然數(shù)的任一排列，

10、并規(guī) 定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。 先看有多少個(gè)比先看有多少個(gè)比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ； 再看有多少個(gè)比再看有多少個(gè)比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ; 最后看有多少個(gè)比最后看有多少個(gè)比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ; 1 2n i ii 1 i 1 i 1 t 2 i 2 i 2 t n i n i n t 例例1： 求排列求排列 32514 的逆序數(shù)的逆序數(shù). 解：解： (32514)010315 練習(xí)：練習(xí)： 求排列求排列 453162 的逆序數(shù)的逆序數(shù). 9t 解：解： 因?yàn)橐驗(yàn)? 3排在首位，故其逆序的個(gè)數(shù)為排在首

11、位，故其逆序的個(gè)數(shù)為0 0； 在在2 2的前面比的前面比2 2大的數(shù)有大的數(shù)有1 1個(gè)，故其逆序的個(gè)數(shù)為個(gè)，故其逆序的個(gè)數(shù)為1 1； 在在5 5的前面比的前面比5 5大的數(shù)有大的數(shù)有0 0個(gè)，故其逆序的個(gè)數(shù)為個(gè)，故其逆序的個(gè)數(shù)為0 0； 在在1 1的前面比的前面比1 1大的數(shù)有大的數(shù)有3 3個(gè)，故其逆序的個(gè)數(shù)為個(gè)，故其逆序的個(gè)數(shù)為3 3； 在在4 4的前面比的前面比4 4大的數(shù)有大的數(shù)有1 1個(gè)，故其逆序的個(gè)數(shù)為個(gè)，故其逆序的個(gè)數(shù)為1 1。 易見所求排列的逆序數(shù)為易見所求排列的逆序數(shù)為 定義定義逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列；逆序數(shù)為奇數(shù)的排列；逆序數(shù)為奇數(shù)的排列 稱

12、為稱為奇排列奇排列。 定義定義把一個(gè)排列把一個(gè)排列 中某兩個(gè)數(shù)中某兩個(gè)數(shù) ， 的位置互的位置互 換，而其余數(shù)不動(dòng)，得到另一個(gè)排列換，而其余數(shù)不動(dòng)，得到另一個(gè)排列 ， 這樣的變換稱為一個(gè)對(duì)換，記為這樣的變換稱為一個(gè)對(duì)換，記為 。 s i t i 1 2 () tsn i iiii 1 2 () stn i iiii , st ii 將兩個(gè)相鄰元素對(duì)換，稱為相鄰對(duì)換將兩個(gè)相鄰元素對(duì)換，稱為相鄰對(duì)換 定理定理1 1任意一個(gè)排列經(jīng)過一個(gè)對(duì)換后，改變奇偶性。任意一個(gè)排列經(jīng)過一個(gè)對(duì)換后，改變奇偶性。 即即經(jīng)過一次對(duì)換，奇排列變?yōu)榕寂帕?，偶排列變?yōu)槠媾帕小＝?jīng)過一次對(duì)換，奇排列變?yōu)榕寂帕?，偶排列變?yōu)槠媾帕小?

13、證明：證明：第一種情形。第一種情形。先看相鄰對(duì)換的情況先看相鄰對(duì)換的情況 設(shè)排列為設(shè)排列為 ，對(duì)換，對(duì)換 與與 ，變?yōu)椋優(yōu)?11lm aa abbbab 11lm aa babb 顯然，顯然， ， 這些元素的逆序數(shù)經(jīng)過對(duì)換并不改變，這些元素的逆序數(shù)經(jīng)過對(duì)換并不改變， 1l aa 1m bb 與與 兩元素的逆序數(shù)改變?yōu)椋簝稍氐哪嫘驍?shù)改變?yōu)椋?ab ab 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，經(jīng)對(duì)換后經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)不變而的逆序數(shù)不變而 的逆序數(shù)減少的逆序數(shù)減少1 1；ab 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，經(jīng)對(duì)換后經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)增加的逆序數(shù)增加1 1而而 的逆序數(shù)不變；的逆序數(shù)不變； ； ab ba 所以，所以，排列排列 與排列

14、與排列 的奇偶性改變。的奇偶性改變。 11lm aa abbb 11lm aa babb 第二種情形。第二種情形。 再看一般情況。再看一般情況。 設(shè)排列為設(shè)排列為 ，對(duì)它做，對(duì)它做 次相鄰對(duì)換，變成次相鄰對(duì)換，變成 111lmn aa abb bcc m 111lmn aa abbb cc 再做再做 次相鄰對(duì)換，變成次相鄰對(duì)換，變成 1m 111lmn aa bbb acc 總之，經(jīng)總之，經(jīng) 次相鄰對(duì)換，排列次相鄰對(duì)換，排列 變成變成 21m 111lmn aa abb bcc 111lmn aa bbb acc 所以這兩個(gè)排列的奇偶性改變。所以這兩個(gè)排列的奇偶性改變。 定理定理2 2 個(gè)自然

15、數(shù)個(gè)自然數(shù) 共有共有 個(gè)個(gè) 級(jí)排列，其中奇偶排列各級(jí)排列，其中奇偶排列各 占一半。占一半。 n 1n !n n 證明證明 級(jí)排列的總數(shù)為級(jí)排列的總數(shù)為 個(gè)。個(gè)。n!n 設(shè)其中奇排列為設(shè)其中奇排列為 個(gè)，偶排列為個(gè)，偶排列為 個(gè)。個(gè)。 pq 若對(duì)每個(gè)奇排列都做同一對(duì)換，則由定理若對(duì)每個(gè)奇排列都做同一對(duì)換，則由定理1 1， 個(gè)奇排列均變成偶排列，故個(gè)奇排列均變成偶排列，故 ； ppq 同理，對(duì)每個(gè)偶排列做同一變換，則同理，對(duì)每個(gè)偶排列做同一變換，則 個(gè)偶排列均變成奇排列，故個(gè)偶排列均變成奇排列，故 。 qqp 從而，從而， ! 2 n pq 三、三、n階行列式的定義階行列式的定義 111213 2

16、12223 313233 aaa Daaa aaa 112233122331132132 132231122133112332 a a aa a aa a a a a aa a aa a a 規(guī)律：規(guī)律： 1.1.三階行列式共有三階行列式共有3!項(xiàng)。項(xiàng)。 2.2.每項(xiàng)都是取自不同行、不同列的三個(gè)元素的乘積。每項(xiàng)都是取自不同行、不同列的三個(gè)元素的乘積。 3.3.每項(xiàng)的符號(hào)取決于：當(dāng)該項(xiàng)元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，每項(xiàng)的符號(hào)取決于：當(dāng)該項(xiàng)元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后， 如果對(duì)應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是偶排列則取正號(hào)，奇排列則取如果對(duì)應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是偶排列則取正號(hào)，奇排列則取 負(fù)號(hào)。負(fù)號(hào)。 所以，三

17、階行列式可以寫成所以，三階行列式可以寫成 1 2 3 123 1 2 3 () 123 ( 1) j j j jjj j j j aaa 其中其中 表示對(duì)所有表示對(duì)所有3 3級(jí)排列求和級(jí)排列求和。 1 2 3 j j j 二階行列式有類似規(guī)律二階行列式有類似規(guī)律。下面將行列式推廣到一般的情形下面將行列式推廣到一般的情形 111213 212223 313233 aaa Daaa aaa 112233122331132132 132231122133112332 a a aa a aa a a a a aa a aa a a 定義定義由由 個(gè)元素個(gè)元素 排成排成n行、行、n列構(gòu)成列構(gòu)成 的記號(hào)：

18、的記號(hào)： 2 n ,1, 2, ij ai jn 1 2 12 1 2 11121 21222() 12 12 ( 1) n n n n nj jj jjnj j jj nnnn aaa aaa Daaa aaa 簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作 ， 其中其中 為行列式為行列式D的的( (i, j) )元元 det ij a ij a 稱為稱為n階行列式階行列式，其中，其中 表示對(duì)所有表示對(duì)所有n階排列階排列 求和。求和。 1 2n j jj 12n j jj 規(guī)律規(guī)律 1. n 階行列式共有階行列式共有 n! 項(xiàng)項(xiàng) 2.2.每項(xiàng)都是取自不同行不同列的每項(xiàng)都是取自不同行不同列的 n 個(gè)元素的乘積，個(gè)元素的乘積，每

19、項(xiàng)各元素每項(xiàng)各元素 行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后就是行列式的一般項(xiàng)形式：行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后就是行列式的一般項(xiàng)形式： 3.3.若行列式每項(xiàng)的行標(biāo)都按自然數(shù)的順序排列，其中若行列式每項(xiàng)的行標(biāo)都按自然數(shù)的順序排列，其中 是指項(xiàng)的符號(hào)，且列序構(gòu)成是指項(xiàng)的符號(hào)，且列序構(gòu)成 n 級(jí)排列級(jí)排列 ，若此排列為，若此排列為 奇排列則此項(xiàng)取負(fù)號(hào)，若此排列為偶排列則此項(xiàng)取正號(hào)，所奇排列則此項(xiàng)取負(fù)號(hào)，若此排列為偶排列則此項(xiàng)取正號(hào)，所 以行列式項(xiàng)的符號(hào)一半為正，一半為負(fù)。以行列式項(xiàng)的符號(hào)一半為正，一半為負(fù)。 1 2 12 () 12 ( 1) n n j jj jjnj aaa 1 2 () ( 1) n j jj 12

20、n j jj 思考題：思考題： 成立成立嗎？嗎？ 答：答：符號(hào)符號(hào) 可以有兩種理解：可以有兩種理解： 若理解成絕對(duì)值，則若理解成絕對(duì)值，則 ； 若理解成一階行列式，則若理解成一階行列式，則 . . 11 1 11 11 注意：注意：當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，一階行列式時(shí)，一階行列式|a| = a，注意不要與，注意不要與 絕對(duì)值的記號(hào)相混淆絕對(duì)值的記號(hào)相混淆. 例如：一階行列式例如：一階行列式 . 11 例如例如 所表示的代數(shù)和中有所表示的代數(shù)和中有4！=24項(xiàng)項(xiàng)。 行標(biāo)排列為行標(biāo)排列為12341234，元素取自不同行；列標(biāo)排列，元素取自不同行；列標(biāo)排列 為為12341234，元素取自不同列，且逆序數(shù)，

21、元素取自不同列，且逆序數(shù) , ,即元素乘即元素乘 積積 前面應(yīng)冠以正號(hào)，所以前面應(yīng)冠以正號(hào)，所以 為為D的一項(xiàng)。的一項(xiàng)。 行標(biāo)排列為行標(biāo)排列為12341234，元素取自不同行；列標(biāo)排列，元素取自不同行；列標(biāo)排列 為為43124312，元素取自不同列，且逆序數(shù)，元素取自不同列，且逆序數(shù) , ,即排列即排列 43124312為奇排列，所以元素乘積為奇排列，所以元素乘積 前面應(yīng)冠以負(fù)號(hào)，所前面應(yīng)冠以負(fù)號(hào)，所 以以 為為D的一項(xiàng)。的一項(xiàng)。 有兩個(gè)元素取自第四列，所以它不是有兩個(gè)元素取自第四列，所以它不是D的一項(xiàng)。的一項(xiàng)。 11121314 21222324 31323334 41424344 aaaa

22、 aaaa D aaaa aaaa 11223344 a a a a 12340 11223344 a a a a 11223344 a a a a 14233142 a a a a 43125 14233142 a a a a 14233142 a a a a 11243344 a a a a 定理定理3 3n階行列式也可以定義為階行列式也可以定義為 1 2 12 1 2 () 12 ( 1) n n n i ii iii n i ii Da aa 證明證明 按行列式定義有按行列式定義有 12 12 ( 1) n t jjnj Daaa 12 () n tj jj 記記 12 112 ( 1

23、) n s iii n Da aa 1 2 () n si ii 由上面討論知：由上面討論知：對(duì)于對(duì)于 中任一項(xiàng)中任一項(xiàng) ，總有且僅，總有且僅D 12 12 ( 1) n t jjnj aaa 有有 中某一項(xiàng)中某一項(xiàng) 與之對(duì)應(yīng)并相等與之對(duì)應(yīng)并相等 1 D 12 12 ( 1) n s iii n a aa 于是，于是， 1 D 與與 中的項(xiàng)可以一一對(duì)應(yīng)并相等。中的項(xiàng)可以一一對(duì)應(yīng)并相等。D 從而，從而， 1 DD 例例1 1計(jì)算計(jì)算n階行列式階行列式 11 2122 313233 123 000 00 0 nnnnn a aa aaaD aaaa 的值，其中的值，其中0 ii a 1, 2,in

24、 解解記行列式的一般項(xiàng)為記行列式的一般項(xiàng)為 1 2 12 12 ( 1) n n j jj jjnj aaa D中有很多項(xiàng)為零，現(xiàn)在考察有哪些項(xiàng)不為零。中有很多項(xiàng)為零，現(xiàn)在考察有哪些項(xiàng)不為零。 一般項(xiàng)中第一個(gè)元素一般項(xiàng)中第一個(gè)元素 取自第一行，但第一行中只有取自第一行，但第一行中只有 不為零，因而不為零，因而 ，即，即 中只有含有中只有含有 的那些項(xiàng)可能不為的那些項(xiàng)可能不為 零，其他項(xiàng)均為零；零，其他項(xiàng)均為零； 一般項(xiàng)中第二個(gè)元素一般項(xiàng)中第二個(gè)元素 取自第二行，第二行中有取自第二行，第二行中有 和和 不為零，因第一個(gè)元素不為零，因第一個(gè)元素 已取自第一列，因此第二個(gè)元素不已取自第一列，因此第二

25、個(gè)元素不 能再取自第一列，即不能取能再取自第一列，即不能取 ，所以第二個(gè)元素只能取，所以第二個(gè)元素只能取 ， 從而從而 ，即，即 中只有含中只有含 的那些項(xiàng)可能不為零，其他的那些項(xiàng)可能不為零，其他 項(xiàng)均為零；項(xiàng)均為零； 這樣推下去，可得這樣推下去，可得 ， ， 。 因此，因此， 中只有中只有 這一項(xiàng)不為零，其他項(xiàng)均為這一項(xiàng)不為零，其他項(xiàng)均為 零。零。 由于由于 ，因此這一項(xiàng)應(yīng)取正號(hào)，于是可得，因此這一項(xiàng)應(yīng)取正號(hào)，于是可得 1 1 j a 11 a 1 1j D 11 a 2 2 j a 21 a 22 a 11 a 21 a22 a 2 2j D 1122nn a aa 3 3j 4 4j n

26、 jn D 120n 1122 a a 11 2122 3132331 12 23 3 123 000 00 0 n nnn n nn a a aa a aa aaaD aaaa 下三角形行列式下三角形行列式 同理同理 1112131 22232 331122333 0 00 000 n n nn nn n aaaa aaa aaDa a aa a 上三角形行列式上三角形行列式 特殊情況：特殊情況： (1)11 22 33112233 000 000 000 000 n nn n a a aDa a aaa 對(duì)角行列式對(duì)角行列式 行列式中從左上角到右下角的對(duì)角線稱為行列式中從左上角到右下角的對(duì)角線稱為主對(duì)角線主對(duì)角線 由行列式定義不難得出：一個(gè)行列式若有一行（或一列）中由行列式定義不難得出：一個(gè)行列式若有一行（或一列）中 的元素皆為零，則此行列式必為零的元素皆為零，則此行列式必為零 (2) 11121,11 21222,1 3132 1 0 00 000 nn n n aaaa aaa aaD a 1 2,12 3,13 12,1