人教版高中數(shù)學(xué)必修3《輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)》說(shuō)課稿

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修3輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)（說(shuō)課稿）一、教材分析本課選自人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)必修3第一章第1.3節(jié)算法案例（第一課時(shí)）. 1、教材的地位與作用 算法是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，是計(jì)算數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中發(fā)揮越來(lái)越大的作用，算法思想已成為現(xiàn)代人應(yīng)具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng). 在以前的學(xué)習(xí)中，雖然沒(méi)有出現(xiàn)算法這個(gè)名詞，但實(shí)際上在數(shù)學(xué)教學(xué)中已經(jīng)滲透了大量的算法思想，如四則運(yùn)算的過(guò)程，求解方程的步驟，以及將要學(xué)習(xí)的一元二次不等式的求解等等，完成這些工作都需要一系列程序化的步驟，這就是算法思想.本節(jié)內(nèi)容是探究古代算法案例輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)，通過(guò)模仿、操作、探索

2、，讓學(xué)生經(jīng)歷設(shè)計(jì)算法解決問(wèn)題的全過(guò)程，體驗(yàn)算法在解決問(wèn)題中的重要作用，體會(huì)算法的基本思想，提高邏輯思維能力，發(fā)展有條理地思考與數(shù)學(xué)表達(dá)能力.2、教學(xué)目標(biāo)分析根據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）的要求和教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的心理規(guī)律和素質(zhì)教育的要求，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際水平，制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：（1）知識(shí)目標(biāo)： 理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，并能根據(jù)這些原理進(jìn)行算法分析. 基本能根據(jù)程序框圖與算法語(yǔ)句的知識(shí)設(shè)計(jì)完整的程序框圖并寫(xiě)出算法程序.（2）能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生把具體問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化為算法語(yǔ)言的能力.培養(yǎng)學(xué)生自主探索和合作學(xué)習(xí)的能力.（3）情感目標(biāo)： 通過(guò)閱讀中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的

3、算法案例，體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn). 在學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)家解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法的過(guò)程中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，在利用算法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)理性的精神和動(dòng)手實(shí)踐的能力.創(chuàng)設(shè)和諧融洽的教學(xué)氛圍，使學(xué)生在課堂活動(dòng)中獲得成功感，從而培養(yǎng)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)、積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的熱情.3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法.難點(diǎn)：把輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語(yǔ)言.二、教法分析基于本節(jié)課內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，我以探究式互動(dòng)教學(xué)法為主，采用多媒體輔助教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作學(xué)習(xí).通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，先求兩個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)的最大公約數(shù)，再變大這

4、兩個(gè)數(shù)（其實(shí)這個(gè)思路是輾轉(zhuǎn)相除法的逆過(guò)程），慢慢讓學(xué)生體會(huì)其中的最大公約數(shù)原理，由簡(jiǎn)單的例子讓學(xué)生自己去探索規(guī)律，然后求兩個(gè)較大數(shù)的最大公約數(shù)，從而引出用歐幾里德輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的思想方法,組織學(xué)生分組討論如何把它轉(zhuǎn)換成程序框圖和程序并上機(jī)驗(yàn)證，接著以例2為例介紹更相減損術(shù)，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索其中的算法原理，合作設(shè)計(jì)程序框圖并編程上機(jī)驗(yàn)證，巧妙引導(dǎo)，使教與學(xué)做到有機(jī)結(jié)合，使課堂教學(xué)達(dá)到最佳狀態(tài).三、學(xué)情分析學(xué)習(xí)者為高一學(xué)生,好奇心強(qiáng)，思維活躍，學(xué)習(xí)算法有一定的積極性，對(duì)知識(shí)也較感興趣，同時(shí)已具備一定算法步驟、程序框圖、編制程序等基礎(chǔ)知識(shí)，但對(duì)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的原理不是很了

5、解，因此在教學(xué)過(guò)程中要適時(shí)引導(dǎo)他們理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的原理，只有理解了兩種方法的原理，才能正確寫(xiě)出算法步驟，畫(huà)出程序框圖，編寫(xiě)出正確的程序.另外輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也有一定的趣味性，可以激發(fā)他們求知欲,通過(guò)媒體給學(xué)生提供程序測(cè)試的平臺(tái)，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；引導(dǎo)學(xué)生不斷追求新知，學(xué)會(huì)有條理的思考問(wèn)題，提高分析和解決問(wèn)題的能力，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過(guò)程 四、教學(xué)用具:多媒體教學(xué)平臺(tái)教具準(zhǔn)備：多媒體課件（powerpoint）、qb應(yīng)用程序、課時(shí)講義 五、授課類型：新授課六、過(guò)程分析教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的算法，主要從算法步驟

6、、程序框圖和編寫(xiě)程序三方面展開(kāi).在程序框圖中算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)有哪幾種？在程序設(shè)計(jì)中基本的算法語(yǔ)句有哪幾種？ 溫習(xí)舊知，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)做好鋪墊.引入課題問(wèn)題1：求下面兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)：（1）34與17； （2）85與34； （3）204與85.問(wèn)題2: 你會(huì)求兩個(gè)比較大的正整數(shù)的最大公約數(shù)嗎？比如求8251與6105的最大公約數(shù).先求兩個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)的最大公約數(shù)，再變大這兩個(gè)數(shù)（其實(shí)這個(gè)思路是輾轉(zhuǎn)相除法的逆過(guò)程），慢慢讓學(xué)生體會(huì)其中的最大公約數(shù)原理，由簡(jiǎn)單的例子讓學(xué)生自己去探索規(guī)律，然后求兩個(gè)較大數(shù)的最大公約數(shù)，通過(guò)問(wèn)題的復(fù)雜化，引起學(xué)生的注意，進(jìn)而產(chǎn)生學(xué)習(xí)新知解決疑問(wèn)的欲望.輾轉(zhuǎn)相除法例1 求兩

7、個(gè)正數(shù)8251和6105的最大公約數(shù).（分析：8251與6105兩數(shù)都比較大，而且沒(méi)有明顯的公約數(shù)，如能把它們都變小一點(diǎn)，根據(jù)已有的知識(shí)即可求出最大公約數(shù)）解：8251610512146顯然8251與6105的公約數(shù)也必是2146的約數(shù)，同樣6105與2146的公約數(shù)也必是8251的約數(shù)，所以8251與6105的最大公約數(shù)也是6105與2146的最大公約數(shù).6105214621813214618131333181333351483331482371483740則37為8251與6105的最大公約數(shù). 利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：第一步：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商q0和一個(gè)余

8、數(shù)r0；第二步：若r00，則n為m，n的最大公約數(shù)；若r00，則用除數(shù)n除以余數(shù)r0得到一個(gè)商q1和一個(gè)余數(shù)r1；第三步：若r10，則r0為m，n的最大公約數(shù)；若r10，則用除數(shù)r0除以余數(shù)r1得到一個(gè)商q2和一個(gè)余數(shù)r2；依次計(jì)算直至rn0，此時(shí)所得到的rn-1即為所求的最大公約數(shù).：利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)4081與20723的最大公約數(shù).通過(guò)一個(gè)具體的實(shí)例，引出了用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的算法，揭示了其蘊(yùn)含的“遞歸”的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行一般化的延伸，得到相應(yīng)的算法，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從特殊到一般的研究方法.設(shè)計(jì)的及時(shí)練習(xí)，讓學(xué)生具體動(dòng)手操作，既能使學(xué)生及時(shí)掌握知識(shí)點(diǎn)，也是讓學(xué)生體會(huì)其中的

9、遞歸數(shù)學(xué)思想.合作探究思考:用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)正整數(shù)m，n（mn）的最大公約數(shù)，它的關(guān)鍵步驟是哪種邏輯結(jié)構(gòu)?你能用自然語(yǔ)言描述它的算法步驟嗎?試設(shè)計(jì)程序框圖并寫(xiě)出程序.多角度分析問(wèn)題，加強(qiáng)綜合運(yùn)用知識(shí)能力.通過(guò)小組合作探索設(shè)計(jì)算法，激發(fā)學(xué)生興趣,體現(xiàn)了新課程倡導(dǎo)的自主學(xué)習(xí)，小組合作的教學(xué)理念.滲透從具體到抽象的數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)遞歸的算法思想.更相減損術(shù)我國(guó)早期也有解決求最大公約數(shù)問(wèn)題的算法，就是更相減損術(shù).更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之.例2. 用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).解：由于63不是偶數(shù)，把9

10、8和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，即：9863356335283528728721217141477所以，98與63的最大公約數(shù)是7.：用更相減損術(shù)求兩個(gè)正數(shù)84與72的最大公約數(shù). 引用歷史背景,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)愛(ài)國(guó)主義情操和民族自豪感.以例2為例具體介紹更相減損術(shù)算理,設(shè)計(jì)及時(shí)的練習(xí),加深理解其算法特點(diǎn). 讓學(xué)生自主探索，巧妙引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，使教與學(xué)做到有機(jī)結(jié)合.自主探究探究：把更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法比較,你有什么發(fā)現(xiàn)?你能根據(jù)更相減損術(shù)設(shè)計(jì)程序,求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)嗎？試設(shè)計(jì)程序框圖并轉(zhuǎn)換成程序在basic中實(shí)現(xiàn).這一環(huán)節(jié)主要是鍛煉學(xué)生用辯證的眼光來(lái)審視學(xué)習(xí)的新知識(shí)，以便

11、學(xué)生將所學(xué)的新知能有邏輯地納入已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了建構(gòu)主義的教學(xué)觀.讓學(xué)生討論、交流,自主探索,對(duì)設(shè)計(jì)的程序進(jìn)行上機(jī)驗(yàn)證，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理論要與實(shí)踐相結(jié)合的思想.鞏固練習(xí)用輾轉(zhuǎn)相除法求下列各組數(shù)的最大公約數(shù)，并用更相減損術(shù)進(jìn)行驗(yàn)證. (1) 93;168 (2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) (2)225;135(3)72；168 (4)153；119鞏固對(duì)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)算法的理解.課堂小結(jié)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的比較:盡管兩種算法分別來(lái)源于東、西方古代數(shù)學(xué)名著,但是兩者的算理卻是相似的,有異曲同工之妙.主要區(qū)別在于輾轉(zhuǎn)相除法進(jìn)行的是除法運(yùn)算,即輾轉(zhuǎn)相除;而更相減損術(shù)進(jìn)行的是減法運(yùn)算,即輾轉(zhuǎn)相減,但是實(shí)質(zhì)都是一個(gè)不斷的遞歸過(guò)程.使學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，對(duì)本節(jié)課所用的遞歸思想有一個(gè)明確的了解.養(yǎng)成歸納總結(jié)的好習(xí)慣.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)作業(yè)：分別用輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求261,319的最大公約數(shù).探究:1.求325，130，270三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).2.設(shè)計(jì)計(jì)算兩個(gè)正整數(shù)的最小公倍數(shù)的算法. 鞏固深化所學(xué)知識(shí) 彌補(bǔ)教學(xué)教學(xué)中的不足. 因材施教,讓學(xué)有余力的學(xué)生課后繼續(xù)鉆研,培養(yǎng)獨(dú)立探究精神.七、評(píng)價(jià)分析 本