畢業(yè)論文數(shù)學物理方法在物理學中的應用

1、【畢業(yè)論文】數(shù)學物理方法在物理學中的應用 【標題】數(shù)學物理方法在物理學中的應用 【作者】何楓林 【關鍵詞】數(shù)學物理方法物理應用 【指導老師】孫婷雅 【專業(yè)】物理學 【正文】1.緒論1.1?概述1大家知道，數(shù)學上的每一個新概念，每一種新理論，歸根到底都是人們在生產(chǎn)實踐和科學實驗中、從某種物理模型里面抽象出來的，有一些規(guī)律就是人們在對一些物理現(xiàn)象、物理過程、物理狀態(tài)進行研究而歸納、總結出來的，我們把從物理問題中歸結出來的物理規(guī)律用數(shù)學方程表達出來的方法，稱為數(shù)學物理方法。1.2?物理與數(shù)學的聯(lián)系2?數(shù)學、物理本是科學的孿生子，有著共同的根源，幾個世紀以來，它們沿著各自的脈絡發(fā)展，至今已門類林立，內

2、容迥異。然而，今天應用的數(shù)學物理方法已經(jīng)不在局限于18世紀的導出的方程。這些方程反映相關物理現(xiàn)象的本質和運動的基本規(guī)律。它們的確立，體現(xiàn)了人們的認識從表象走向本質的飛躍，是這些學科走向成熟的一個標志。當我們沉湎于具體方程的研究和學習時，往往并不滿足于這些方程抽象的表述形式和單純的理論探討，而迫切需要熟悉它們物理現(xiàn)象的本源，了解它們的物理和數(shù)學的直觀意義，以便進一步開拓思維，把握實質，發(fā)現(xiàn)內在聯(lián)系，找到新的靈感。但要做到這一點，在今天已經(jīng)太不容易了，因為他們面前是一條橫在數(shù)學與物理學兩大學科之間的鴻溝。所以人們迫切需要建造一座把物理學與數(shù)學溝通起來橋梁數(shù)學物理方法。自然界中的一切事物都是質和量的

3、統(tǒng)一體,認識世界的重要途徑是對事物進行質和量的考察,量變到質變是事物發(fā)展的普遍規(guī)律。反映事物本質屬性及其規(guī)律的物理學,不僅應有正確的定性描述,還必須準確地刻畫出量的變化規(guī)律,而且也只有當物理學由定性進入到定量的階段,才算是真正把握住了事物的質,才標志著物理學已經(jīng)成熟,這當然離不開數(shù)學。物理學逐漸發(fā)展成為一門成熟的自然科學,它不僅用實驗方法代替了以往整體的觀察法而且引進了數(shù)學方法。在物理學研究中針對研究對象不同的特點,運用數(shù)學概念、方法和技巧,對研究對象進行量的分析、描述、計算和推導,從而找出能以數(shù)學形式表達事物的量的規(guī)律性。1.3?數(shù)學方法對物理研究的貢獻316世紀以后,數(shù)學在物理科學中取得的

4、成就有目共睹:從牛頓的經(jīng)典力學到狹義相對論以及廣義相對論;從麥克斯韋方程組中的電與磁到量子力學中波粒二象性的對立統(tǒng)一,數(shù)學無時不在幫助陳述與幫助揭示自然的奧秘。近代科學是以物理科學為標志的,其重要原因之一,就是它能以精確的數(shù)學形式表示出物體的運動規(guī)律,開創(chuàng)了科學實驗同數(shù)學相結合的方法?，F(xiàn)代物理學則發(fā)展到了與數(shù)學須臾不離的地步,現(xiàn)代物理的研究對象離直觀越來越遠,需要反映其內在聯(lián)系的自然現(xiàn)象或實驗事實越來越復雜,欲想對其進行定量分析和深入研究,就非用數(shù)學不可,用數(shù)學不但能準確地反映出已知事物的本質聯(lián)系,而且能做出科學預見,取得重大的突破?，F(xiàn)代物理的一切重大發(fā)現(xiàn),都與數(shù)學的應用密切相關。物理科學發(fā)展

5、對數(shù)學的需要恰好在數(shù)學發(fā)展上起了直接的決定性的推動作用,如微積分是牛頓在處理物理問題時,用已有的數(shù)學知識沒法解決的前提下創(chuàng)立的。運用數(shù)學物理方法可以通過認識事物的量來認識事物的規(guī)律性，然而這種方法進一步提供數(shù)量的分析和計算的方法。例如：（1）開普勒根據(jù)第谷積累的大量關于行星運動的觀測資料，應用圓錐曲線理論，經(jīng)過大量演算建立行星變速運動的橢圓軌道模型終于發(fā)現(xiàn)了行星到太陽的距離r跟行星繞日運行的周期t的關系?（恒量）。（2）太陽系字遠的行星之一的海王星是1846年在數(shù)學計算的基礎上被發(fā)現(xiàn)的。天文學家阿達姆和勒未累分析了天王星的運動規(guī)律性，得出結論說：這種規(guī)律是由其它行星的引力而發(fā)生的。勒未累根據(jù)力

6、學定律和引力定律計算出這顆行星應該在何處，他把這結果告訴了觀察員，而觀察員果然從望遠鏡中在勒未累所指出的位子上看到了這顆行星。這個發(fā)現(xiàn)不僅是力學和天文學特別是哥白尼體系的勝利，而且也是數(shù)學計算勝利。（3）在頻譜分析中，將周期函數(shù)進行傅里葉展開，它表明物理過程是：在力學或聲學上，把周期性復雜振動分解為一系列各種頻率的諧振波動；在電學上，把交變電壓或電流分解為一系列諧變電壓或電流；在無線電電子學上，將信號波形分解基波和諧波等等。（4）在非線性理論的應用研究中，運用maple語言程序計算了具有耦合特性的非線性sehr0dinger方程組的行波精確解及其約束條件方程，并以圖表的形式定量分析了行波精確解

7、組的特性。還例如：法國文學家勒威耶根據(jù)天王星運動軌道，根據(jù)萬有引力定律計算出來的結果總有比較大的偏離，便運用天體力學理論結合數(shù)學分析和計算，預算天王星軌道外面存在一顆未被發(fā)現(xiàn)的行星，并精確計算了該行星的運動軌道以及他在各個時刻的位置。1846年9月23日晚上，德國天文學家加勒巴望遠鏡對準了勒威耶所預言的位置立刻發(fā)現(xiàn)了后來被命名為海王星的這顆行星。又如電磁波的存在并預言了他以光速傳播，是由麥克斯韋用數(shù)學“推導”出來的，15年后才有德國物理學家赫茲用實驗證實；愛因斯坦通過質能關系式?的研究，預示了原子核反應中質量虧損所產(chǎn)生的巨大能量。以上事實表明，物理學中的許多重要結論都是根據(jù)已知原理，運用數(shù)學運

8、算、交換法則。經(jīng)過嚴密的數(shù)學推理證明后得到。1.4?數(shù)學物理方法的研究現(xiàn)狀長期以來，數(shù)學物理方法課程講授上個世紀已基本形成的關于三種典型偏微分方程的經(jīng)典解法和理論以及解析函數(shù)的積分理論與級數(shù)理論，并適當介紹貝塞爾函數(shù)和勒讓德多項式的一些基本知識與應用。然而近幾十年來，由于數(shù)學的基礎理論，特別是拓撲學與泛函分析的迅速發(fā)展，科學技術的突飛猛進，涉及到處理數(shù)學物理方程的一些新的理論和新的方法不斷涌現(xiàn)，使數(shù)學物理方法發(fā)生了巨大的變化?，F(xiàn)代物理學發(fā)展到了與數(shù)學分不開的地步，現(xiàn)代物理學的研究離直觀越來越遠，需要反映其內在聯(lián)系的自然現(xiàn)象或實驗越來越復雜，欲想對其進行定量分析和深入研究就非用數(shù)學不可。1.5?

9、本文研究的內容和目的意義“數(shù)學物理方法”是物理學類、電子信息科學類、天文學類、地球物理學類、大氣科學類、海洋科學類、力學類、材料科學類和環(huán)境科學類等專業(yè)類的必修或限定選修課程。本課程一般包含復變函數(shù)和數(shù)學物理方程兩部分內容，其基礎理論屬于分析數(shù)學，其應用部分涉及物理及工程技術等其它學科。本課程的直接目標是幫助學生掌握必要的數(shù)學知識和工具，為后續(xù)專業(yè)基礎課和專業(yè)課做準備。長遠的目標是訓練學生的數(shù)學思想及運用數(shù)學工具解決實際問題的能力。當然更高的要求是開拓創(chuàng)新思想的培養(yǎng)。數(shù)學物理方法是研究物理學的重要工具，應用數(shù)學物理方法解題實際上是把物理問題轉化為數(shù)學問題，然后用數(shù)學方法進行解答。通過建立數(shù)學模

10、型來解答物理實際問題能夠使問題簡單化。實踐證明：在處理物理學問題時，若能充分借助數(shù)學工具的作用，則對激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力，提高學生解決實際問題的能力起到積極的作用。從而讓數(shù)學物理方法在物理的應用中更具創(chuàng)新的價值。2.數(shù)學物理方法在物理研究中的作用2.1物理學以數(shù)學為工具由以上實踐證明：數(shù)學物理方法在物理研究中的應用有著重大而深遠的意義。然而物理學的研究和應用,?都要求它完全以數(shù)學為工具,否則就失去了意義。從形式上說,一個物理理論體系就是一個數(shù)學體系,具有高度的抽象性,嚴密的邏輯性和豐富的辯證性,這三方面使得數(shù)學不僅成為物理學的表現(xiàn)形式,?而且成為人們認識和掌握物理學的

11、主要工具。所以,數(shù)學的本質和特點以及物理學的實際決定了數(shù)學是物理學的工具。物理學有著非常廣泛的應用,并且在許多情況下都要借助于數(shù)學工具,從通常的工程建筑到尖端宇航技術無不與物理理論相聯(lián)系,但在具體運用過程中又要借助于數(shù)學工具。?2.2?數(shù)學物理方法在物理解題中的作用4?5求解物理習題的過程屬于物理理論在實際中應用的范疇之內,所以,在這過程中同樣離不開數(shù)學知識,?其作用具體體現(xiàn)在以下幾個方面。把物理問題向數(shù)學問題轉化的過程當中,除了選擇合適的物理方法,還要靈活地運用數(shù)學知識,?至于由數(shù)學問題推理計算求出結果的過程,更加明顯地說明它是一個數(shù)學過程。可見,凡是需要定量分析的物理習題,數(shù)學運用是必不可

12、少的。把物理問題轉化為數(shù)學問題,就是為物理問題尋找一個相應的數(shù)學模型,以數(shù)學為語言表達出物理量之間的相互關系,其一般步驟為:?(1)利用數(shù)學知識豐富、深化物理模型。如運用已知數(shù)據(jù)進行簡化處理,進行物理過程的定量分析等,通過找出數(shù)量關系,給物理模型加入定量的因素。(2)?用符號來表示物理量。符號是物理內容的載體,它把復雜的事物代碼化,成為可以一目了然加以把握的感知對象。(3)根據(jù)物理規(guī)律列出問題中物理量間的關系,最后把物理問題轉化為數(shù)學問題,實現(xiàn)了物理過程的數(shù)學轉化。在實際當中利用現(xiàn)代數(shù)學物理方法解決物理問題，既要其對物理基本概念和規(guī)律有正確的理解，又要求對數(shù)學理論和技巧能靈活的應用，把具體的物

13、理問題抽象為數(shù)學問題，并進一步應用數(shù)學手段加以正確的解答，最后得出其規(guī)律。后面我們將用分離變量法、達朗貝爾法、格林函數(shù)法、積分變量法解定解問題來描述數(shù)學物理方法在物理學中的應用。2.3小結：本章主要闡述了數(shù)學物理方法在物理研究中的作用，（包括：物理學以數(shù)學為依據(jù)和數(shù)學物理方法仔物理解題中的作用）。3.根據(jù)物理現(xiàn)象導出數(shù)學物理方程數(shù)學物理方程的建立分三個步驟：（1）從所研究的系統(tǒng)中劃分一小部分，分析臨近部分與這一小部分的相互作用；（2）根據(jù)物理學的規(guī)律（如：牛頓第二定律、能量守恒定律等），用計算式表達這個作用。（3）化簡、整理，即得所研究問題滿足的物理方程。3.1一維波動方程的建立1?6一維波動

14、方程的建立的概述：力學中有一類所謂振動和波的現(xiàn)象，如彈性波，光波，電磁波等等，雖然各有其特殊規(guī)律，但有一個共性波動，所以在數(shù)學上均能用波動方程來描述其運動規(guī)律。設有一根拉緊著的均勻，柔軟而有彈性的弦，長為?，兩端釘在o，l兩點，當它在平衡位置附近作垂直于ol?方向的微小橫振動時，考察弦上各點的運動規(guī)律。為了解決這個問題，如圖：3. 1所示。選擇坐標系，并以u（x，t）表示弦上x?點在時刻t?沿垂直于x?方向的位移。圖 3.1（一維波動方程）在這弦上，任取一小段?由于弦振動是微小的，故可以認為?是直線。則有弧長?，又由于弦是柔軟的，弦的張力t的方向總是沿著弦的切線方向。且張力t是一個常數(shù)，它與位

15、置x?和時間t?均無關。通過分析作用在小弦段?上的力是：（1）作用在?點上的張力t，它在u?軸方向上的分力為?（2）作用在m點上的張力t，它在u?軸方向的分力為?（3）作用在?上，垂直于x?軸的外力為?，其中?是在點x?處的外力的線密度。設弦的密度為?，根據(jù)牛頓第二定律有?因?，故?當?時，有：?同理?代入上式得?應用中值定理得?其中?令?就得到弦的強迫橫振動方程?其中?若外力消失，則得到弦的自由橫振動方程?這樣就導出?(?,)?所滿足的偏微分方程。方程建立不僅適用弦振動，而且還適用力學上的彈性桿振動，管道中氣體小擾動等等。3.2?熱傳導方程的建立1物理現(xiàn)象中的熱傳導和擴散在生活中常見。我們知道的有熱量差的物體，就有熱傳導現(xiàn)象。濃度不同的溶液中，就有分子從濃度大的地方流向濃度小的地方。凡是由于物理量的密度不同而產(chǎn)生的運動，通稱為擴散。在數(shù)學上，描述熱傳導規(guī)律和擴散規(guī)律的是同一種方程，人們把它作為研究拋物型方程的模型。在不少的生產(chǎn)實際問題中，經(jīng)常需要考慮物體上各點的溫度分布狀態(tài)。我們考察一根均勻細桿內熱量的傳播的過程。設細桿的橫截面積為常數(shù)a，又設它的側面絕熱，即熱量只能沿長度方向傳導，由于細桿很細，以至于在任何時刻都可以把橫截面