高考山東理科數(shù)學(xué)試題詳細(xì)解析（選擇、填空、解答題全解全析）

1、2011年普通高等學(xué)校全國統(tǒng)一考試（山東卷）理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)項(xiàng)是符合題目要求的。（1）設(shè)集合，則a. b. c. d. 【解析】：，則，答案應(yīng)選a。（2）復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限【解析】：對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第四象限，答案應(yīng)選d.（3）若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則的值為a. b. c. d. 【解析】：因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，答案應(yīng)選d.（4）不等式的解集是a. b. c. d. 【解析】：解法一：當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，不

2、成立；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得.綜上可知，或，答案應(yīng)選d。解法二：可以作出函數(shù)的圖象，令可得或，觀察圖像可得，或可使成立，答案應(yīng)選d。解法三：利用絕對(duì)值的幾何意義，表示實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之和，要使點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之和等于10，只需或，于是當(dāng)，或可使成立，答案應(yīng)選d。（5）對(duì)于函數(shù)，“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“是奇函數(shù)”的a充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.即不充分也不必要條件【解析】：若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；反之不成立，比如偶函數(shù)，滿足的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，但不一定是奇函數(shù)，答案應(yīng)選b。（6）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a. b. c. d. 【解析】

3、：解法一：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，答案應(yīng)選c。解法二：令得函數(shù)在為增函數(shù)，同理可得函數(shù)在為減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)符合題意，即，答案應(yīng)選c。解法三：由題意可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，則，即，即，結(jié)合選擇項(xiàng)即可得答案應(yīng)選c。解法四：由題意可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則，結(jié)合選擇項(xiàng)即可得答案應(yīng)選c。（7）某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用（萬元） 4 2 3 5銷售額（萬元） 49 26 39 54根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元是銷售額為a.6.6萬元 b. 65.5萬元 c. 67.7萬元 d. 72.0萬元【解析】由表可計(jì)算,因?yàn)辄c(diǎn)在回

4、歸直線上,且為9.4，所以, 解得,故回歸方程為, 令x=6得65.5,選b.（8）已知雙曲線的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓的圓心，則該雙曲線的方程為a. b. c. d. 【解析】：圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心（3,0），所以雙曲線的右焦點(diǎn)為（3,0），而，則，答案應(yīng)選a。d.c.b.a.（9）函數(shù)的圖象大致是【解析】：函數(shù)為奇函數(shù)，且，令得，由于函數(shù)為周期函數(shù)，而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則答案應(yīng)選c。（10）已知是上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的圖象在區(qū)間上與軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為a.6 b.7 c.8 d.9【解析】：當(dāng)時(shí)，則，而是上最小正周期為2的周期函數(shù)，則，答案應(yīng)選b。(11)右圖

5、是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形。給定三個(gè)命題：存在三棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖；存在四棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖；存在圓柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖。其中真，命題的個(gè)數(shù)是a.3 b.2 c.1 d.0【解析】：均是正確的，只需底面是等腰直角三角形的直四棱柱，讓其直角三角形直角邊對(duì)應(yīng)的一個(gè)側(cè)面平臥；直四棱柱的兩個(gè)側(cè)面是正方形或一正四棱柱平躺；圓柱平躺即可使得三個(gè)命題為真，答案選a。（12）設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若,且，則稱調(diào)和分割，已知平面上的點(diǎn)調(diào)和分割點(diǎn)，則下面說法正確的是a. c可能是線段ab的中點(diǎn) b. d可能是線段ab的中點(diǎn)c. c,d可能同時(shí)在線段ab上

6、d. c,d不可能同時(shí)在線段ab的延長(zhǎng)線上【解析】：根據(jù)題意可知，若c或d是線段ab的中點(diǎn)，則，或，矛盾；若c,d可能同時(shí)在線段ab上，則則矛盾，若c,d同時(shí)在線段ab的延長(zhǎng)線上，則，故c,d不可能同時(shí)在線段ab的延長(zhǎng)線上，答案選d。二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。（13）執(zhí)行右圖所示的程序框圖，輸入，則輸出的y的值是 ?！窘馕觥浚寒?dāng)輸入l=2，m=3，n=5時(shí)不滿足，因此執(zhí)行： 。由于278105，故執(zhí)行,執(zhí)行后y=278-105=173，再執(zhí)行一次y=y-105后y的值為173-105=68，此時(shí)68105不成立，故輸出68.答案應(yīng)填：68.（14）若展開式的常數(shù)項(xiàng)為60

7、，則常數(shù)的值為 ?！窘馕觥浚旱恼归_式通項(xiàng)，令。答案應(yīng)填：4.（15）設(shè)函數(shù)，觀察：，根據(jù)上述事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)，且時(shí)， ?！窘馕觥浚河深}意，以此類推可得。答案應(yīng)填：。16.已知函數(shù)且。當(dāng)時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)為，則 。【解析】：根據(jù)，而函數(shù)在上連續(xù)，單調(diào)遞增，故函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故。答案應(yīng)填：2.三、解答題：本大題共6小題，共74分。17.（本小題滿分12分） 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，（）求的值；（）若，求的面積s?！舅悸贩治觥浚ǎ┮阎堑仁街屑群薪嵌扔趾羞呴L(zhǎng)，由于所求為角的函數(shù)值，因此可考慮利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，進(jìn)行化簡(jiǎn)得到，再逆用兩角和的正弦公式即得；（）依據(jù)

8、題設(shè)條件，欲求的面積s可考慮正弦面積公式，如何求出a,c呢？由（）知的值，利用正弦定理的a,c的一個(gè)方程，又有余弦定理得到第二個(gè)方程，將兩個(gè)方程聯(lián)立解出a,c的值，代入得到三角形的面積。解：（）在中，由及正弦定理可得，即則，而，則，即。另解1：在中，由可得由余弦定理可得，整理可得，由正弦定理可得。另解2：利用教材習(xí)題結(jié)論解題，在中有結(jié)論.由可得即，則，由正弦定理可得。（）由及可得則，s，即。（18）（本題滿分12分） 紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員a、b、c進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)a、乙對(duì)b、丙對(duì)c各一盤。已知甲勝a、乙勝b、丙勝c的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立。（）求紅

9、隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；（）用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望?！舅悸贩治觥浚ǎ┘t隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的情況有：甲乙勝丙不勝，甲丙勝乙不勝，乙丙勝甲不勝，甲乙丙都勝。這四個(gè)事件彼此互斥，可利用彼此互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率加法公式進(jìn)行求解；（）依題意可知，對(duì)應(yīng)的事件為：甲乙丙都不勝；對(duì)應(yīng)的事件為：甲勝乙丙不勝，乙勝甲丙不勝，丙勝甲乙不勝；對(duì)應(yīng)的事件為：甲乙勝丙不勝，甲丙勝乙不勝，乙丙勝甲不勝；對(duì)應(yīng)的事件為：甲乙丙都勝。解析：（）記甲對(duì)a、乙對(duì)b、丙對(duì)c各一盤中甲勝a、乙勝b、丙勝c分別為事件,則甲不勝a、乙不勝b、丙不勝c分別為事件，根據(jù)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立可得故紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲

10、勝的概率為.（）依題意可知，；;.故的分布列為0123p0.10.350.40.15故.19. （本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，平面，（）若是線段的中點(diǎn)，求證：平面；（）若，求二面角的大小幾何法：【思路分析】（）證明直線與平面平行最常用的方法有兩種，一是判定定理，二是平面與平面平行的性質(zhì)。本題兩種方法都可以證明。思路一：注意到四邊形為平行四邊形，且，從而，又點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，則，由直線與平面平行的判定定理得證；思路二：取的中點(diǎn)為n,連接mn,gn,易證明平面mng/平面abfe，再由平面與平面平行的性質(zhì)可得平面。（）求解二面角的平面角一般可

11、考慮幾何法和向量法兩種方法。思路一：（幾何法）因?yàn)槠矫?，則平面,因而可考慮三垂線定理法作出二面角的平面角。取ab的中點(diǎn)h，則， 平面，作，則為二面角的平面角。然后利用直角三角形計(jì)算出角的大小。思路二：（向量法）易知兩兩垂直，因此可以分別以ac,ad,ae為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出兩個(gè)半平面的法向量，再由公式求得二面角的大小； 證明：（），可知延長(zhǎng)交于點(diǎn)，而，則平面平面，即平面平面，于是三線共點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，而,則，四邊形為平行四邊形，則，又平面，所以平面；（）由平面，作，則平面，作，連接，則，于是為二面角的平面角。若，設(shè)，則，為的中點(diǎn)，在中,則，即二面角的

12、大小為。坐標(biāo)法：（）證明：由四邊形為平行四邊形， ，平面，可得以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,.由可得，由可得,，則，而平面，所以平面；（）（）若，設(shè)，則， ,則,設(shè)分別為平面與平面的法向量。則，令，則，； ，令，則，。于是，則，即二面角的大小為。20. （本小題滿分12分）等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行第二行第三行（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和【思路分析】（）可采用逐項(xiàng)分析驗(yàn)證的方法得到只有一組值符合題意，由此得到公比q的值，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）將（）得到的代入并

13、進(jìn)行化簡(jiǎn)，得，由三部分的和構(gòu)成，因此考慮利用拆項(xiàng)法求和，又由于式子中含有，因而還應(yīng)該考慮分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況求和。解析：（）由題意可知，公比，通項(xiàng)公式為；（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)故另解：令，即則故.21. （本小題滿分12分）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米，且假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為（）千元設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元（）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；（）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的【思路分析】（）本小題難度較小，比較

14、容易理解題意，但需要注意運(yùn)算。首先應(yīng)該根據(jù)所給容器的體積把圓柱的高用表示出來，再求出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式。而函數(shù)的定義域應(yīng)由解出，同時(shí)注意；（）由（）得到的關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，要求y最小時(shí)r的值，需要考慮運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值。因?yàn)榈玫降呐c函數(shù)的定義域的關(guān)系不能確定，因此需要分類討論。解析：（）由題意可知，即，則.容器的建造費(fèi)用為，即，定義域?yàn)?（），令，得.令即，（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)有最小值；（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)有最小值。22. （本小題滿分12分）已知?jiǎng)又本€與橢圓：交于兩不同點(diǎn)，且的面積，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)（）證明：和均為定值；（）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；（）橢圓上是否存

15、在三點(diǎn)，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由【思路分析】這個(gè)題目關(guān)鍵是做好第（）問，由于第（）問作為起點(diǎn)比前幾年第（）問高了些（前幾年第（）問多數(shù)為求曲線方程，比較簡(jiǎn)單，而今年的第（）問思維量大、運(yùn)算量大，還需要進(jìn)行分類討論），所以考生普遍感到較難事實(shí)上，第（）問完全可以通過特殊情況的研究獲得正確的結(jié)果，做第（），（）問時(shí)只要充分利用第（）問的結(jié)果，是不難做好的解析：（）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則，由在橢圓上，則，而，則于是，.當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線為，代入可得，即，即，則，滿足，綜上可知，.（）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（）知當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（）知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，綜上可知的最大值為。（）假設(shè)橢圓上存在三點(diǎn)，使得，由（）知，.解得,，因此只能從中選取，只能從中選取，因此只能從中選取三個(gè)不同點(diǎn)，而這三點(diǎn)的兩兩連線必有一個(gè)過原點(diǎn)，這與相矛盾，故橢圓上不存在三點(diǎn)，使得。 【解后反思】（）這是大多數(shù)學(xué)生熟悉的解法，特別是從特殊情況討論的辦法，值得同學(xué)們重視一般地，定值問題都可以利用特殊情況確定這個(gè)定值，使對(duì)一般情況的研究有了方向解法二：若使用面積公式，其中，同樣能得到，這個(gè)辦法可以使運(yùn)算量減小，應(yīng)該適當(dāng)考慮這個(gè)辦法一般地，用割補(bǔ)法求三角形的面積時(shí)