2018北京高考卷數學[理科]試題和答案解析

1、2018年普通高等學校招生全國統一考試（北京卷）數學（理工類）第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1若集合，則（A） （B）（C）（D）2.在復平面內，復數的共軛復數對應的點位于（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（ ）ABCD4“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要的貢獻十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的

2、比都等于若第一個單音的頻率為，則第八個單音的頻率為（ ）ABCD5某四棱錐的三視圖如圖所示，在此三棱錐的側面中，直角三角形的個數為（ ）ABCD6.設均為單位向量，則“”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件7. 在平面直角坐標系中，記為點到直線的距離.當變化時，的最大值為（A）（B）2 （C）3（D）48. 設集合，則對任意實數， 對任意實數，當且僅當時， 當且僅當時，二.填空（9）設是等差數列，且，則的通項公式為 。 （10）在極坐標系中，直線與圓 相切，則 。（11）設函數 。若對任意的實數都成立，則的最小值為 。（12）若 滿足

3、 ，則的最小值是 。（13）能說明“若對任意的都成立，則在上是增函數”為假命題的一個函數是 。（14）已知橢圓，雙曲線。若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓的離心率為 ；雙曲線的離心率為 。三解答題（15）（本小題13分） 在，。（）求；（）求邊上的高。（16）（本小題14分）如圖，在三棱柱中，平面,分別為,的中點，,.（I）求證：平面;（II）求二面角的余弦值；（III）證明：直線與平面相交. （16）（本小題12分）電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數好評率好評率是指：一類電

4、影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值假設所有電影是否獲得好評相互獨立（）從電影公司收集的電影中隨機選取部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取部，估計恰有部獲得好評的概率；（）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“”表示第類電影得到人們喜歡，“” 表示第類電影沒有得到人們喜歡（）.寫出方差的大小關系（18）（本小題13分）設函數，（1）若曲線在點處的切線方程與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍（19）（本小題14分）已知拋物線經過點過點的直線與拋物線有兩個不同的交點，且直線交軸于，直線交軸于（1）求直線的斜

5、率的取值范圍；（2）設為原點，求證：為定值20.（本小題14分）設為正整數，集合.對于集合中的任意元素和，記當時，若，求和的值；當時，設是的子集，且滿足：對于中的任意元素，當相同時，是奇數；當不同時，是偶數.求集合中元素個數的最大值；給定不小于的，設是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同的元素，.寫出一個集合，使其元素個數最多，并說明理由.答案：一. 選擇題1. 【答案】A2. 【答案】D，則，故的共軛復數在第四象限，故選3. 【答案】【解析】根據程序框圖可知，開始，執(zhí)行，此時不成立，循環(huán)，此時成立，結束，輸出故選4. 【答案】【解析】根據題意可得，此十三個單音形成一個以為首項，為公比的等比數

6、列，故第八個單音的頻率為故選5. 【答案】【解析】由三視圖可知，此四棱錐的直觀圖如圖所示，在正方體中，,均為直角三角形，,，故不是直角三角形故選6. 【答案】 C【解析】 充分性：，又，可得，故.必要性：，故，所以，所以7. 【答案】【解析】：，所以點的軌跡是圓。 直線恒過點。 轉化為圓心到直線的距離加上半徑取到最大值，所以答案為3.8. 【答案】：D【解析】：若，則。則當時，； 當時， 選D二.填空題9答案：解析：由題知，設等差數列公差為，所以：，即，解得，所以。10 答案：解析： 直線方程轉化為 即 圓的方程轉化為 即 、 直線與圓相切 解得 11. 答案：解析：由題知：，即，所以，解得:

7、，所以時，。12答案：3解析：將不等式轉換成線性規(guī)劃，即 目標函數如右圖在 處取最小值 13. 答案：，解析：函數需要滿足在上的最小值為，并且在上不單調。選取開口向下，對稱軸在上的二次函數均可，其余正確答案也正確。14. 【答案】：，【解析】：設正六邊形邊長為；根據橢圓的定義，雙曲線的漸近線方程為，所以。三.解答題15. 【解析】（ ），所以為鈍角，；由正弦定理：，所以，所以；或者；又，為鈍角，所以為銳角，所以。（），三角形的面積，設邊上的高為，所以，即邊上的高為。16. 【解析】（I）證明：，且是的中點，,在三棱柱中，,分別是,的中點，平面，平面,平面，,平面, 平面.（II）由（I）知，,

8、 以為原點，,分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系，則有，,，設平面的法向量，,即，.易知平面法向量，由圖可知，二面角的平面角為鈍角，二面角的余弦值.（III）方法一：,平面的法向量，設直線與平面的夾角為，直線與平面相交. 方法二：假設直線與平面平行，設與的交點為,連結，平面,且平面平面,四邊形為平行四邊形，,易知，假設不成立，直線與平面相交.17. 【解析】（）由表格可知電影的總部數 獲得好評的第四類電影 設從收集的電影中選部，是獲得好評的第四類電影為事件,則（）由表格可得獲得好評的第五類電影 第五類電影總數為 未獲得好評的第五類電影 第四類電影總數為 未獲得好評的第四類定影 設從第四

9、類電影和第五類電影中各隨機選取部，估計恰有部獲得好評為事件則（）18. 【解析】（1）函數定義域為，若函數在處切線與軸平行，則，即（2）由（1）可知，當時，令，極大值不滿足題意；當時，令，或，當時，即，極小值極大值不滿足題意；當時，1）當，即時，函數無極值點；2）當，即時，極大值極小值滿足題意；3）當，即時，極大值極小值不滿足題意綜上所述，若在處取得極小值，19. 【解析】（1）由已知可得，所以拋物線的方程為令，直線顯然不能與軸垂直，令其方程為，帶入整理得，即所以由已知可得，解得且所以直線的斜率的取值范圍為（2）由（1）知，而點，均在拋物線上，所以，因為直線與直線與軸相交，則直線與直線的斜率均存在，即，因為，所以直線的方程為，令，可得，即同理可得而由可得，所以同理由可得，所以所以20. 【解析】 解：（）, （），因為為奇數，則有1項或3項為1，其余為0，所以理論上元