6投資組合有效邊界計(jì)算

1、6最優(yōu)投資組合選擇最優(yōu)投資組合選擇的過(guò)程就是投資者將財(cái)富分配到不同資產(chǎn)從而使自己的效用達(dá)到最大的過(guò)程。然而，在進(jìn)行這一決策之前，投資者首先必須弄清楚的是市場(chǎng)中有哪些資產(chǎn)組合可供選擇以及這些資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)-收益特征是什么。雖然市場(chǎng)中金融資產(chǎn)的種類千差萬(wàn)別，但從風(fēng)險(xiǎn)-收益的角度看，我們可以將這些資產(chǎn)分為兩類：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。這樣一來(lái)，市場(chǎng)中可能的資產(chǎn)組合就有如下幾種：一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合；兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合；一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合。下面分別討論。一、 一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合當(dāng)市場(chǎng)中只有一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的時(shí)候，我們可以假定投資者投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上

2、的財(cái)富比例為w，投資到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的財(cái)富比例為1-w，這樣一來(lái)，投資組合的收益就可以寫(xiě)為：其中，為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益，這是一個(gè)隨機(jī)變量；為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益，這是一個(gè)常數(shù)。這樣，資產(chǎn)組合的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差就可以寫(xiě)出下述形式：(因?yàn)?=0)其中為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)上兩式，我們可以消掉投資權(quán)重，并得到投資組合期望收益與標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系： 3-1當(dāng)市場(chǎng)只有一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，上式就是資產(chǎn)組合所以可能的風(fēng)險(xiǎn)-收益集合，又稱為投資組合的可行集合。在期望收益-標(biāo)準(zhǔn)差平面上，3-1是一條直線，我們稱這條直線為資本配置線。隨著投資者改變風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資權(quán)重，資產(chǎn)組合就落在資本配置線上的不同位置。具體來(lái)說(shuō)

3、，如果投資者將全部財(cái)富都投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上，資產(chǎn)組合的期望收益和方差就是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益和方差，資產(chǎn)組合與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)重合。如果投資者將全部財(cái)富都投資在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上，資產(chǎn)組合的期望收益和方差就是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益和方差，資產(chǎn)組合與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)重合。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)將配置線分為三段，其中，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的部分意味著投資者投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的財(cái)富都是正值；此時(shí)。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的右側(cè)的部分意味著投資者以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率借入部分資金，然后將其全部財(cái)富和借入的資金一起投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中。此時(shí)。由于我們沒(méi)有考慮賣(mài)空風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的問(wèn)題，所以不存在的情況。資本配置線的斜率等于資產(chǎn)組合每增加一單位標(biāo)準(zhǔn)差所增

4、加的期望收益，即每單位額外風(fēng)險(xiǎn)的額外收益。因此我們有時(shí)也將這一斜率稱為報(bào)酬與波動(dòng)性比率。在資本配置線的推導(dǎo)中，我們假設(shè)投資者能以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率借入資金。然而，在實(shí)際的資本市場(chǎng)中，投資者在銀行的存貸利率是不同的。一般來(lái)說(shuō)，存款利率要低于貸款利率。因此如果把存款利率視為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，那么投資者的貸款利率就要高于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率。在這種情況下，資本配置線就變?yōu)橐粭l折線。我們可以假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率為，投資者向銀行貸款的利率為。在這種情況下，若投資者需要借入資金投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，資本配置線的斜率就應(yīng)該等于，該斜率小于。此時(shí)，在期望-收益差平面上，資本配置線就變成了如下的形狀。其中資本配置線在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)右側(cè)

5、的斜率要低于其左側(cè)部分。二、 兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合當(dāng)市場(chǎng)中的資產(chǎn)是兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，比如一只股票和一個(gè)公司債券，且投資到股票上的財(cái)富比例為w，我們可以將該資產(chǎn)組合的收益寫(xiě)為：此時(shí)資產(chǎn)組合的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：其中為股票和債券收益率的相關(guān)系數(shù)。此時(shí)，根據(jù)期望的表達(dá)式，我們可以求出投資權(quán)重為：將其代入到標(biāo)準(zhǔn)差方程，可以得到該資產(chǎn)組合期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系式： 3-2其中當(dāng)市場(chǎng)中存在兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況下，3-2描述了資產(chǎn)組合所有可能的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差的組合，當(dāng)取不同的值時(shí)，上述關(guān)系是在期望收益-標(biāo)準(zhǔn)差平面中的形狀也有所不同，我們對(duì)此分三種情況進(jìn)行討論。（1）=1在這種情況下，兩個(gè)資產(chǎn)的收益率是完

6、全相關(guān)的，這時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)椋涸诓豢紤]賣(mài)空或借貸的情況下，即，標(biāo)準(zhǔn)差可寫(xiě)為結(jié)合期望收益式子，可以求出當(dāng)兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)完全正相關(guān)時(shí)，上式是資產(chǎn)組合期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系。該式子在期望收益-標(biāo)準(zhǔn)差平面上是一條通過(guò)1點(diǎn)和2點(diǎn)的線段。（2）=-1在這種情況下，兩個(gè)資產(chǎn)的收益率是完全負(fù)相關(guān)的，這時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)椋涸摲匠虒?duì)應(yīng)著 再結(jié)合期望收益的表達(dá)式，可以求得資產(chǎn)組合期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系如下：上式對(duì)應(yīng)著兩條斜率相反的折線，折線的一部分通過(guò)1點(diǎn)和E1點(diǎn)；另一部分則通過(guò)2點(diǎn)和E1點(diǎn)，其中E1點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），為時(shí)資產(chǎn)組合可行集內(nèi)的最小方差點(diǎn)。見(jiàn)圖3-3在完全正相關(guān)時(shí)，一種證券收益率高，另一種證券的收益率也高

7、。這樣，在做賣(mài)空時(shí)，可以從多頭（購(gòu)入方）位置中獲益，而從空頭（銷售方）位置中受損，但得利于多投資的證券。當(dāng)兩種證券的收益率都低時(shí)，可以從多頭中受損，而從空頭中獲益，投資較多的證券收益與賣(mài)空證券收益將相互抵消，投資組合的總體收益將較穩(wěn)定。在完全負(fù)相關(guān)時(shí)，一種證券收益率高，另一種證券的收益率總是相對(duì)要低。如果賣(mài)空高收益證券，而做多低收益證券，則投資組合的兩部分都遭受損失。另一方面，如果做多高收益證券，賣(mài)空低收益證券，則兩部分都獲利。因此，在完全負(fù)相關(guān)時(shí)，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)較高，其結(jié)果要么是“盛宴”，要么是“饑荒”。我們總結(jié)如表6-1所示。表6-1兩證券收益率完全相關(guān)時(shí)投資組合有賣(mài)空正相關(guān)負(fù)相關(guān)高高低低

8、賣(mài)空高做多低賣(mài)空低做多高收益多頭(購(gòu)入方)空頭多頭、空頭受損空頭(銷售方)多頭多頭、空頭總體得利于多投資的證券穩(wěn)定(相互抵消)“饑荒”“盛宴”（3）此時(shí)3-2在期望收益-標(biāo)準(zhǔn)差平面對(duì)應(yīng)著兩條雙曲線?？紤]到經(jīng)濟(jì)意義，我們只保留雙曲線在第一象限的部分。這條雙曲線的頂點(diǎn)E2是時(shí)資產(chǎn)組合可行集內(nèi)的最小方差點(diǎn)。從圖中可看出，E12和E22，期望收益隨方差的增大而降低，這部分的資產(chǎn)組合是無(wú)效的。投資者只選擇1 E1和1E22上的點(diǎn)。三、 一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合前面分別考察了一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的資產(chǎn)組合以及兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的資產(chǎn)組合。在此基礎(chǔ)上，我們將這兩種情況進(jìn)行融合，進(jìn)而引入第三

9、種資產(chǎn)組合一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和二個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的資產(chǎn)組合。下面我們考察這種情況下投資組合可行集的狀態(tài)。我們首先假設(shè)兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資權(quán)重分別為和，這樣一來(lái)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合權(quán)重就是。由于我們可以將兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)視為一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，因此三個(gè)資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合可行集就等價(jià)于一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合與一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的可行集。但與前面不同，隨著和變化，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的期望收益和方差并不是確定的值，而是不斷變化的。在圖3-3中的收益-方差平面中，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的位置不再是3-1中確定的一點(diǎn)，而是圖3-3中的某一點(diǎn)。給定和的某一比例k，在期望收益-方差平面中就對(duì)應(yīng)著一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合。該組合與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的連線形成了

10、一條資本配置線，如圖3-4。這條資本配置線就是市場(chǎng)中存在三個(gè)資產(chǎn)時(shí)的投資組合可行集。隨著我們改變投資比例k，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的位置就會(huì)發(fā)生變化，資本配置線也相應(yīng)產(chǎn)生變化。資本配置線從圖3-4可以看出，兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成的效率邊界上的任何一點(diǎn)與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的連線都能構(gòu)成一條資本配置線。然而，比較圖3-4中的兩條資本配置線CAL0和CAL1可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任一標(biāo)準(zhǔn)差，資本配置線CAL0上資產(chǎn)組合的期望收益率都比CAL1上的高。換句話說(shuō)，相對(duì)于CAL0上的資產(chǎn)組合，CAL1上的資產(chǎn)組合是無(wú)效率的。事實(shí)上，我們可以很容易地發(fā)現(xiàn)，在所有的資本配置線中，斜率最高的資本配置線在相同標(biāo)準(zhǔn)差水平下?lián)碛凶畲蟮钠谕找媛?。?/p>

11、幾何角度講，這條資本配置線就是通過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)并與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的有效邊界相切的一條線，我們稱這條資本配置線為最優(yōu)資本配置線。相應(yīng)地，切點(diǎn)組合P0被稱為最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合。因此，當(dāng)市場(chǎng)中有一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的時(shí)候，有效地投資組合可行集就是通過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，且斜率達(dá)到最大的資本配置線。3.1投資組合最小方差集合與有效邊界一般地，我們現(xiàn)假定由n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（比如證券）構(gòu)成的投資組合，由于權(quán)重不同而有無(wú)窮多個(gè)投資組合，所有這些證券組合構(gòu)成一個(gè)可行集（feasible set）。投資者不需要評(píng)估可行集中的所有投資組合，只分析任意給定風(fēng)險(xiǎn)水平有最大的預(yù)期回報(bào)或任意給定預(yù)期回報(bào)有最小風(fēng)險(xiǎn)的投

12、資組合，滿足這兩個(gè)條件的投資組合集合叫做投資組合的有效邊界(集合)efficient frontier(set)。給定一個(gè)證券投資組合X，它的預(yù)期收益率和標(biāo)準(zhǔn)差確定了一個(gè)點(diǎn)對(duì)，當(dāng)這個(gè)證券組合的權(quán)重發(fā)生變化時(shí)，我們得到一條曲線我們將其稱為組合線。組合線上的每一點(diǎn)，表示一個(gè)權(quán)數(shù)不同的證券組合。因此組合線告訴我們的預(yù)期收益率與風(fēng)險(xiǎn)怎樣隨著證券組合權(quán)重的變化而變化。在上一章里，我們給出了單個(gè)證券或證券組合的預(yù)期收益率和投資組合風(fēng)險(xiǎn)的度量。上面我們又分析了在給定證券的條件下，如何決定其證券投資組合。然而當(dāng)投資者用一定資本進(jìn)行證券投資時(shí)，他追求的投資目標(biāo)是高收益低風(fēng)險(xiǎn)，那么如何在眾多的證券中建立起一個(gè)高收

13、益低風(fēng)險(xiǎn)的證券組合呢？下面我們討論這個(gè)問(wèn)題。給定一組不同的單個(gè)證券，我們可以用它們構(gòu)造不同的證券組合，這樣，每個(gè)證券或證券組合我們稱為一個(gè)投資機(jī)會(huì)，全部投資機(jī)會(huì)的集合，稱為機(jī)會(huì)集合。對(duì)機(jī)會(huì)集合中的每一個(gè)元素X，我們用它的預(yù)期收益率和風(fēng)險(xiǎn)來(lái)描述它的實(shí)績(jī)，因此每一個(gè)機(jī)會(huì)X都對(duì)應(yīng)了數(shù)組（，）或（，），這樣機(jī)會(huì)集合可以用預(yù)期收益率-標(biāo)準(zhǔn)差（方差）二維空間的一個(gè)集合表示。對(duì)于一個(gè)聰明理智的投資者來(lái)說(shuō)，如果給定風(fēng)險(xiǎn)水平或者說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)差，他喜歡預(yù)期收益率高的投資機(jī)會(huì)；如果給定預(yù)期收益率水平，他喜歡風(fēng)險(xiǎn)低的投資機(jī)會(huì)。于是我們定義如下的最小方差集合：機(jī)會(huì)集合中的一個(gè)證券投資組合，如果具有沒(méi)有其他的證券組合在與之相同

14、的預(yù)期收益率水平下能達(dá)到更小的風(fēng)險(xiǎn)（標(biāo)準(zhǔn)差）的性質(zhì)，則我們稱它為最小方差證券組合。最小方差證券組合的全體，我們稱為最小方差集合。顯然，最小方差集合是機(jī)會(huì)集合的子集，是由證券組合的組合線上具有最小風(fēng)險(xiǎn)的證券組合的包絡(luò)線組成。由于投資者所面臨的投資條件不同，受到的投資約束不同，最小方差集合的形狀也不同，因此最小方差集合的確定依賴于不同的約束條件。下面我們來(lái)尋求最小方差集合，為此考慮一個(gè)組合X，它由n個(gè)證券組成，每個(gè)證券的預(yù)期收益率為，方差記為，證券之間的協(xié)方差記為，i、j=1，2，n。于是證券組合的收益率和風(fēng)險(xiǎn)可以表示成在給定預(yù)期收益率之下，如何選擇證券組合的權(quán)重，使證券組合X具有最小方差呢？3.

15、1馬科維茨模型的求解記，為確定最小方差集合，我們考慮如下優(yōu)化模型，即一般的馬柯維茨模型，引入拉格朗日乘子來(lái)解決這一規(guī)劃問(wèn)題。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)如下：上式左右對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，即一階條件為0。首先討論兩個(gè)變量的情況，然后推廣到n個(gè)變量的情況。因此令上兩式等于0，考慮到以上兩等式與兩個(gè)約束條件的等式聯(lián)立，可以解出。一般地，對(duì)于均值為的有效投資組合（允許賣(mài)空），其n個(gè)投資組合權(quán)數(shù)與兩個(gè)拉格朗日乘數(shù)滿足： （1） （2） （3）（1）有n個(gè)方程，加上（2）與（3），一共得到n+2個(gè)方程組成的方差組，相應(yīng)地有n+2個(gè)未知量。注意到所有n+2個(gè)方程都是線性的，因此可以通過(guò)線性代數(shù)方法加以解決。例：假設(shè)有三項(xiàng)不相關(guān)

16、的資產(chǎn)。每一資產(chǎn)的均值分別為1，2，3。方差都為1。根據(jù)（1）、（2）、（3），我們有：由上面三個(gè)方程解出，并將其代入下面兩個(gè)方程，得到：解得，將其代入上面三式，得到：將代入標(biāo)準(zhǔn)差，有：當(dāng)時(shí)，我們有上述分析假設(shè)允許資產(chǎn)賣(mài)空，如果不允許賣(mài)空，則可行集將縮小。3.2馬科維茨模型的矩陣解法，這是一個(gè)等式約束的極值問(wèn)題，我們可以構(gòu)造Lagrange函數(shù)：1）其中，1是分量均為1的列向量，為L(zhǎng)agrange乘數(shù)。根據(jù)Lagrange乘數(shù)法應(yīng)有使在X0處有1=0 （3-17）=0 （3-18）1=0 （3-19）（3-17）式左乘XT得 （3-20）又由（3-17）得1 （3-21）（3-21）分別左乘1

17、T和eT得1=1TV-1e+1T V-11 （3-22）E（rX）=eTV-1 e +eT V-11 （3-23）記于是解方程組得將代入（3-21）得 （3-24） 第9章是其中再將代入（3-20）得到或 （3-25）（3-24）給出了投資組合權(quán)重與預(yù)期收益率的關(guān)系。（3-25）給出了投資組合預(yù)期收益率與方差的關(guān)系，且說(shuō)明在平面上可有雙曲線形式，而在平面上可有拋物線形式。在平面上雙曲線的兩條漸進(jìn)線的斜率為，頂點(diǎn)為（），如圖3-2（a）所示。在平面上，其頂點(diǎn)在（），如圖3-2（b）所示。A/C圖3-2(a) 雙曲線與頂點(diǎn)圖A/C1/C圖3-2(b) 拋物線與頂點(diǎn)圖通過(guò)上面的討論，在平面上最小方差

18、集合是雙曲線型，它能分成兩:部分上半部和下半部，兩部分以頂點(diǎn)為分界點(diǎn)，分界點(diǎn)代表了一個(gè)具有最小標(biāo)準(zhǔn)差的投資組合。顯然我們希望持有的投資組合是在頂點(diǎn)的上半部，而不是在頂點(diǎn)的下半部。最小方差集合在頂點(diǎn)上半部的投資組合集合稱為有效集合。有效集合中所有投資組合符合：給定某一標(biāo)準(zhǔn)差，有效集合中的投資組合具有可獲得的最大預(yù)期收益率的準(zhǔn)則。顯然最小方差集合在頂點(diǎn)的下半部分對(duì)應(yīng)的預(yù)期收益率最低。在上面確定最小方差集合的過(guò)程中，權(quán)重約束為，求得的結(jié)果xi中可能有正的也有負(fù)的，它反映了允許賣(mài)空的情形。實(shí)例講解見(jiàn)61Excel文件。在有些情形下，投資者把不進(jìn)行賣(mài)空作為一種投資策略，因此，討論在不允許賣(mài)空的約束下如何

19、確定最小方差集合是必要的。這時(shí)在約束條件中需要加入xi大于0，i=1,n。相應(yīng)的模型為，這一模型不能被簡(jiǎn)化為一種線性方程式的求解問(wèn)題。由于該模型的求解目標(biāo)為二次的而限制條件為線性的（一次的）等式與不等式，因此，它稱為二次規(guī)劃，解決這類問(wèn)題需要專門(mén)的計(jì)算機(jī)程序，對(duì)于中等規(guī)模的模型可以應(yīng)用表格加以解決。在金融領(lǐng)域有許多專門(mén)設(shè)計(jì)的程序來(lái)解決由數(shù)百乃至千計(jì)所組成的模型。兩個(gè)模型的區(qū)別在于當(dāng)允許賣(mài)空時(shí)，大部分（如果不是全部）最優(yōu)的有非零值（或正或負(fù)），因此大體上所有資產(chǎn)都被使用。而當(dāng)不允許賣(mài)空時(shí)，許多最優(yōu)的值為零。例：考慮前面的三項(xiàng)資產(chǎn)，但本例不允許賣(mài)空。在本例中模型不能被簡(jiǎn)化為一組方程式的形式，但考慮

20、不同資產(chǎn)的兩兩組合，我們能得到有效邊界。一般的解法如下所示。表 組合收益與風(fēng)險(xiǎn)01/3對(duì)于一般的不允許賣(mài)空模型解法，要表示出它的表達(dá)式相當(dāng)困難，但我們可以編制如下程序解決。設(shè)：myrange1 = b & 12 & : & Chr(65 + n) & 12 各個(gè)證券收益率數(shù)據(jù)區(qū)域myrange2 = b16 & : & Chr(65 + n) & 15 + n 協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)區(qū)域myrange3 = b & 19 + n & : & Chr(65 + n) & 19 + n 投資比例結(jié)算結(jié)果數(shù)據(jù)區(qū)域Cells(20 + n, 2) = =sumproduct( & myrange1 & , &

21、 myrange3 & )Cells(21 + n, 2) = =sqrt(sumproduct( & myrange3 & ,mmult( & myrange3 & , & myrange2 & )Cells(19 + n, n + 2) = =sum( & myrange3 & )x1 = Chr(66 + n) & 19 + n 投資組合比重合計(jì)率數(shù)據(jù)區(qū)域x2 = b & 21 + n 投資組合標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)區(qū)域x3 = b & 20 + n 投資組合預(yù)期收益率數(shù)據(jù)區(qū)域Range(myrange3).NumberFormat = 0.00%Range(x1).NumberFormat = 0

22、.00%Range(x2).NumberFormat = 0.00%Range(x3).NumberFormat = 0.00%開(kāi)始利用規(guī)劃求解工具計(jì)算SolverResetSolverOk setcell:=x2, MaxminVal:=2, ValueOf:=0, byChange:=myrange3SolverAdd CellRef:=x1, Relation:=2, FormulaText:=100%SolverAdd CellRef:=x3, Relation:=3, FormulaText:=$b$7SolverAdd CellRef:=myrange3, Relation:=3,

23、 FormulaText:=0SolverSolve (True)End Sub下面我們?cè)賮?lái)看最小方差集合的投資組合權(quán)重對(duì)于一個(gè)由n個(gè)證券組成的投資組合X，它的預(yù)期收益率和方差分別為，給定預(yù)期收益率時(shí)，證券的組合權(quán)重變化使我們可以得到一系列的投資組合，它們具有相同的預(yù)期收益率。這些投資組合的權(quán)重所在的平面我們稱為預(yù)期收益率平面。變化可以得到一族平行的等預(yù)期收益率平面。同樣給定投資組合收益率的方差時(shí)，投資組合權(quán)重的變化也會(huì)使我們得到一系列的投資組合，它們具有相同預(yù)期收益率的方差。這些投資組合的權(quán)重所在的曲面我們稱為等方差橢球面。變化可以得到一族相似的等方差橢球面，它們的軸越短方差越小。我們將等預(yù)期收益率平面和等方差橢球面放在同一個(gè)（x1，x2，xn）空間上。于是給定預(yù)期收益率平面后，我們可以找到一個(gè)等方差橢球面與之相切，其切點(diǎn)坐標(biāo)即為具有最小方差的投資組合權(quán)重。等預(yù)期收益率平面與等方差橢球面的切點(diǎn)軌跡我們稱為臨界線。由于等預(yù)期收益率平面都是平行的，等方差橢球面以一個(gè)公共點(diǎn)為中心對(duì)稱，可以證明臨界線是直線。由于臨界線是直線，可以得出最小方差集合中所有的投資組合具有如下兩個(gè)重要性質(zhì)：性質(zhì)1 如果把最小方差集合中的兩個(gè)或兩個(gè)以上的投資組合進(jìn)行組合，則可得到最小方差集