韋達定理講解

1、1 韋達定理 執(zhí)教者：虞申君執(zhí)教者：虞申君 2 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式： X1,2= a acbb 2 4 2 3 （1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0 (3) 2x2+3x-2=0 解下列方程并完成填空： 方程 兩根兩根和 X1+x2 兩根積 x1x2x1x2 x2-7x+12=0 x2+3x-4=0 2x2+3x-2=0 34 12 7 1-3- 4- 4 -1-2 2 1 2 3 4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系： 如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根是X1 , X2 , 那么X1+x2= , X1x2= a b - a c （韋達定

2、理） 注：能用韋達定理的前提條件為0 5 韋達（韋達（15401603） 6 韋達定理的證明： a acbb x 2 4 2 1 a acbb x 2 4 2 2 X1+x2= a acbb 2 4 2 a acbb 2 4 2 + = a b 2 2 = a b - X1x2= a acbb 2 4 2 a acbb 2 4 2 = 2 4 2 )4 2 ( 2 )( a acbb = 2 4 4 a ac = a c 7 如果方程x2+px+q=0的兩根是 X1 ，X2，那么X1+X2= , X1X2= P q 8 說出下列各方程的兩根之和與兩根之積： 1、 x2 - 2x - 1=0 2

3、、 2x2 - 3x + =0 3、 2x2 - 6x =0 4、 3x2 = 4 2 1 x1+x2=2x1x2=-1 x1+x2= x1+x2=3 x1+x2=0 x1x2= x1x2=0 x1x2= - 2 3 4 1 3 4 9 例1、已知3x2+2x-9=0的兩根是x1 , x2 。 求：(1) (2) x12+x22 2 1 1 1 xx 解：由題意可知x1+x2= - , x1 x2=-3 3 2 (1) 2 1 1 1 xx = 2 1 21 xx xx = 3 3 2 = 9 2 (2) (x1x2)2 x12+x22 2x1x2 x12+x22 (x1x2)2 -2x1x2

4、(- )2 3 2 -2(-3)69 4 10 例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2 , 求它的另一個根及k的值。 解：設(shè)方程的另一個根為x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解這方程，得 k= - 2 由韋達定理，得x123k即2 x1 6 x1 3 答：方程的另一個根是3 , k的值是2。 11 例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2 , 求它的另一個根及k的值。 解二： 設(shè)方程的另一個根為x1. 由韋達定理，得 x1 2= k+1 x1 2= 3k 解這方程組，得 x1 =3 k =2 答：方程的另一個根是3 , k的值是2。 12

5、已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的兩個根， 分別根據(jù)下列條件求出p和q的值: (1) x1 = 1, x2 =2 (2) x1 = 3, x2 = -6 (3) x1 = - , x2 =(4) x1 = -2+ , x2 = -2- 7 7 55 由韋達定理，得解：x1+x2= - , x1 x2= 3 p 3 q p= -3(x1+x2) q=3 x1 x2 (1)p= -9 q= 6 (2)p= 9 q= -54 (3)p= 0 q= -21 (4)p= 12 q= -3 13 1、已知方程3x219x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值。 2、設(shè)x1,x2是方程2x24

6、x3=0的兩個根，求(x1+1)(x2+1)的值。 解：設(shè)方程的另一個根為x1, 3 19 則x1+1= , x1= , 3 16 又x11= , 3 m m= 3x1 = 16 解： 由韋達定理，得x1+x2= - 2 , x1 x2= 2 3 (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1= 2 3 2 5 14 1、韋達定理及其推論 2、利用韋達定理解決有關(guān)一元二次方程 根與系數(shù)問題時，注意兩個隱含條件： （1）二次項系數(shù)a0 （2）根的判別式 0 15 1、當(dāng)k為何值時，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1。 解：設(shè)方程兩根分別為x1,x2(x1x2)，則x1-x2=1 (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由韋達定理得x1+x2= , x1x2= 2 1k 2 3k 1 2 3 4 2 ) 2 1 ( kk 解得k1=9,k2= -3 當(dāng)k=9或-3時，由于0，k的值為9或-3。 16 2、設(shè)x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個實數(shù)根，且 x12+x22=4，求k的值。 解：由方程有兩個實數(shù)根，得 0 2 4 2 ) 1(4kk 即-8k+40 2 1 k 由韋達定理得x1+x2= 2(k-1) , x1x2