用matlab編程設(shè)計切比雪夫低通濾波器教材

1、目錄1 摘要 32 設(shè)計原理 42.1 切比雪夫濾波器介紹 42.2 濾波器的分類 52.3 模擬濾波器的設(shè)計指標(biāo) 63 切比雪夫 I 型濾波器 73.1 切比雪夫濾波器的設(shè)計原理 73.2 切比雪夫濾波器的設(shè)計步驟 103.3 用 matlab 編程設(shè)計切比雪夫低通濾波器 114 總結(jié) 185 參考文獻 18摘要隨著信息和數(shù)字時代的到來，數(shù)字信號處理已成為當(dāng)今一門 極其重要的學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域。在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，由于信號中經(jīng) ?；煊懈鞣N復(fù)雜成分，因此很多信號的處理都是基于濾波器而進 行的。所以，數(shù)字濾波器在數(shù)字信號處理中起著舉足輕重的作用。 而數(shù)字濾波器的設(shè)計都要以模擬濾波器為基礎(chǔ)的，這是因為模

2、擬 濾波器的理論和設(shè)計方方法都已發(fā)展的相當(dāng)成熟， 且有典型的 模擬濾波器供我們選擇。 ，如巴特沃思濾波器、切比雪夫濾波器 等。本次課程設(shè)計將運用 MATLAB設(shè)計一個基于切比雪夫低通濾 波器，并出所設(shè)計濾波器的幅度及幅度衰減特性。關(guān)鍵詞 ：濾波 切比雪夫 模擬低通1 切比雪夫濾波器介紹在巴特沃茲濾波器中， 幅度響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是單調(diào)的。 因此，若 濾波器的技術(shù)要求是用最大通帶和阻帶的逼近誤差來給出的話， 那么，在靠 近通帶低頻端和阻帶截止頻率以上的部分都會超出技術(shù)指標(biāo)。 一種比較有效 的途徑是使逼近誤差均勻地分布于通帶或阻帶內(nèi)， 或同時在通帶和阻帶內(nèi)都 均勻分布， 這樣往往可以降低所要求的

3、濾波器階次。 通過選擇一種具有等波 紋特性而不是單調(diào)特性的逼近方法可以實現(xiàn)這一點。 切比雪夫型濾波器就具 有這種性質(zhì)： 其頻率響應(yīng)的幅度既可以在通帶中是等波紋的， 而在阻帶中是 單調(diào)的(稱為 I 型切比雪夫濾波器)，也可以在通帶中是單調(diào)的，而在阻帶 中是等波紋的(稱為 II 型切比雪夫濾波器) ，其中切比雪夫 II 型濾波器又 稱為逆切比雪夫濾波器。I 型切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù)是1(2.1)|HC (j )|2=12CN2 ( / c )其中是一個小于 1的正數(shù)，它與通帶波紋有關(guān)， 越大，波紋也越大， 式中為 N階切比雪夫多項式，定義為1CN(x) cos(N cos x)(2.2)當(dāng)

4、N大于或等于 1時，從定義切比雪夫多項式可以直接得出由 CN(x) 和CN1(x)求CN 1( x)的遞推公式。將三角恒等式代入 (2.2) 式，得CN 1(x)=2xCN (x) CN 1(x)(2.3)從 (2.2) 式我們注意到， 當(dāng) 0x1時， cos 1 x是虛數(shù)，所以 CN (x)像雙曲余弦一樣單調(diào)地增加。參考 (2.1) ， |HC(j )| 對于 0 / p 1呈現(xiàn)出在 1和1/(1 2)之間的波動；而對 于 / p 1單調(diào)地減小。需要用三個參量來確定該濾波器：， p和N。在典型的設(shè)計中，用容許的通帶波紋來確定 ，而用希望的通帶截止頻率來 確定 c 。然后選擇合適的階次 N，以

5、便阻帶的技術(shù)要求得到滿足。定義允許的通帶最大衰減 p 用下式表示：p 10lg2 max Ha(j )2 ,pmin Ha ( j )為了求切比雪夫濾波器在橢圓上極點的位置， 我們首先要這樣確定， 在 大圓和小圓上以等角度 等間隔排列的那些點：這些點對于虛軸呈對稱分 布，并且沒有一個點落在虛軸上；但當(dāng) N 為奇數(shù)時要有一個點落在實軸上， 而當(dāng) N為偶數(shù)時，就都不會落在實軸上。 切比雪夫濾波器的極點落在橢圓上， 起縱坐標(biāo)由相應(yīng)的大圓上點的縱坐標(biāo)來表示， 起橫坐標(biāo)由相應(yīng)的小圓上點的 橫坐標(biāo)來表示。3 切比雪夫 I 型濾波器3.1 切比雪夫低通濾波器的設(shè)計原理切比雪夫濾波器的幅頻特性具有等波紋特性。

6、 它有兩種形式： 振幅特性 在通帶內(nèi)是等波紋的， 在阻帶內(nèi)是單調(diào)遞減的切比雪夫 I 型濾波器，振幅特 性在阻帶內(nèi)是等波紋的，在通帶內(nèi)是單調(diào)遞減的切比雪夫 II 型濾波器，如 圖所示分別畫出了濾波器的幅頻特性和衰減函數(shù)。以切比雪夫 I 型為例介紹其設(shè)計原理2幅度平方函數(shù)用 H(j ) 1 min ha ( j ) 2(2-3-4 )12因此p 10lg(1 2)表示H( j )212-3-1 )1 2CN ()p式中， 為小于 1 的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動的程度， 越大，波動 幅度也越大。 p稱為通帶截止頻率。令 ，稱為對 p 的歸一化頻 率。定義允許的通帶內(nèi)最大衰減 p 用下式表示max H

7、a ( j ) p 10lg 2 , p( 2-3-2 )min Ha ( j )式中22-3-5 )max ha ( j ) 1(2-3-3 )100.1 p 12-3-6 )這樣，可以根據(jù)通帶內(nèi)最大衰減 p ，可求出參數(shù) 。 階數(shù) N影響過渡帶的寬度， 同時也影響通帶內(nèi)波動的疏密，因為 N 等于通帶內(nèi)的最大值和最小值的總個數(shù)。設(shè)阻帶的起點頻率為 s ，則有H ( j s)12CN 21( sp )2-3-7 )，由 s 1，有 p令s1C Ns ch Narch sH a j s1 2 12-3-8 )可以解出archarch sN(2-3-9 )2-3-10 )3dB截止頻率用 c 表示

8、，1 arch 1N2-3-11 )按照（ 2-3-1 ）式，有cp ch2-3-12 )經(jīng)過一系列推論Ga p1N2N 1 p pii1得歸一化系統(tǒng)函數(shù)為2-3-13 )去歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為H s Ga p p s N( 2-3-14 )p2N 1p pi pi13.2 切比雪夫低通濾波器的設(shè)計步驟1）確定低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：邊帶頻率p，通帶最大衰減阻帶最大衰減 s 、阻帶截至頻率 s ，它們滿足p 10lgHa j p2-3-15 )s 10lg2 Ha j s2-3-16 )100.1 s 1100.1 p 1N archk1 1 arch s2-3-18 )2-3-19 )2）求濾波

9、器階數(shù) N和參數(shù)2-3-17 )這樣，先由（ 2-18 ）式求出 K1 1，代入（ 2-3-19 ），求出階數(shù) N，最后取大于或等于 N的最小整數(shù)。（ 3）求歸一化系統(tǒng)函數(shù) Ga p2-3-20 )1Ga p NN12 p pii14)將去歸一化，得到實際的 H a sHa s G p p s(2-3-21 )3.3 用 MATLAB設(shè)計切比雪夫低通濾波器( 1)Matlab 的信號處理工具箱提供了頻譜分析函數(shù) :fft 函數(shù)、filter 函數(shù)和 freqz 函數(shù)。fft 函數(shù)filter 函數(shù)功能：利用 IIR 濾波器和 FIR 濾波器對數(shù)據(jù)進行濾波。 調(diào)用格式：y=filter(b,a,

10、x)y,zf=filter(b,a,x) y=filter(b,a,x,zi)說明： filter 采用數(shù)字濾波器對數(shù)據(jù)進行濾波，其實現(xiàn)采用移位直接型結(jié)構(gòu)，因而適用于 IIR 和 FIR 濾波器。濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(Z)b0 b1z 1 b2z 2 b3z 3bmz m1 a1z 1 a2 z 2 a3z 3anz n即濾波器系數(shù) a=a0 a1 a2 .an,b=b0 b1 .bm,輸入序列矢量為 x。這里，標(biāo)準(zhǔn)形式為 a0=1，如果輸入矢量 a 時， a0 1，則 MATLAB 將自動進行歸一化系數(shù)的操作；如果 a0=0，則給出出錯信息。y=filter(b,a,x) 利用給定系數(shù)矢量

11、a 和 b 對 x 中的數(shù)據(jù)進行濾波， 結(jié)果放入 y 矢量中， y 的長度取 max(N,M)。y=filter(b,a,x,zi) 可在 zi 中指定 x 的初始狀態(tài)。y,zf=filter(b,a,x) 除得到矢量 y 外，還得到 x 的最終狀態(tài)矢量zffreqz 函數(shù)功能：離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 格式： h,w=freqz(b,a,n)h,f=freqz(b,a,n,Fs) h=freqz(b,a,w) h=freqz(b,a,f,Fs) freqz(b,a,n)說明: freqz 用于計算數(shù)字濾波器 H(Z)的頻率響應(yīng)函數(shù) H(ej )。h,w=freqz(b,a,n) 可得到數(shù)字濾波

12、器的 n點復(fù)頻響應(yīng)值，這 n 個點均 勻地分布在 0, 上, 并將這 n個頻點的頻率記錄在 w中，相應(yīng)的頻響值記 錄在h中。要求n為大于零的整數(shù) ,最好為2的整數(shù)次冪,以便采用 FFT計算， 提高速度。缺省時 n =512。h,f=freqz(b,a,n,Fs) 用于對 H(ej ) 在0,Fs/2 上等間隔采樣 n 點，采樣點頻率及相應(yīng)頻響值分別記錄在 f 和 h 中。由用戶指定 FS(以 HZ為單位)值。h=freqz(b,a,w) 用于對 H(ej )在0,2 上進行采樣，采樣頻率點由 矢量 w指定。h=freqz(b,a,f,Fs) 用于對 H(ej ) 在0,FS 上采樣，采樣頻率點

13、由矢 量 f 指定。freqz(b,a,n) 用于在當(dāng)前圖形窗口中繪制幅頻和相頻特性曲線。fft 函數(shù)函數(shù)功能：對信號進行傅里葉變換。格式： fft(X)fft(X,N)fft(X,DIM)或 fft(X,N,DIM)說明:fft(X) 是對輸入信號 X 的離散傅里葉變換。fft(X,N) 是 N點的傅里葉變換，如果 X少于 N點則補 0 湊齊位數(shù)，長于 N點 則截斷。如果 x 是個矩陣，列的長度將會以同樣的方式調(diào)整， fft 會對每列進行傅里葉 變換，并返回一個相同維數(shù)的矩陣。fft(X,DIM)或 fft(X,N,DIM) 是離散傅里葉變換在 DIM 尺度上的應(yīng)用。 DIM可適應(yīng)于任意維度

14、的 fft 運算。2)確定低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：N-橢圓濾波器最小階數(shù)； Wn為橢圓濾波器的帶寬；Wp-橢圓濾波器通帶截止角頻率；Ws-橢圓濾波器阻帶起始角頻率；Rp-通帶波紋( dB)；Rs-阻帶最小衰減 (dB) ；設(shè)計要求是低通濾波器，需要屏蔽的是 15Hz和 30Hz的波形，所以可令 fp=5Hz，設(shè) fs=8Hz ，Rp40dB。( 3)連續(xù)信號的產(chǎn)生及采樣 :clearf1=5;f2=15;f3=30;N=100;fs=100;n=(0:N-1); % 采樣點數(shù)為 Nx1=sin(2*pi*f1*n/fs);x2=sin(2*pi*f2*n/fs);x3=sin(2*pi*f3*n

15、/fs); %模擬信號轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號x=x1+x2+x3; % 信號疊加 plot(n,x); % 作出時間 - 幅值圖像 xlabel( 時間 (s);ylabel( 幅值 );grid;連續(xù)信號仿真圖(4) 低通濾波器的設(shè)計Wp=8;Ws=12;Rp=2;Rs=40;%設(shè)置指標(biāo)參數(shù)N,wp1=cheb1ord(Wp/(fs/2),Ws/(fs/2),Rp,Rs);% 利用 cheb1ord 函 數(shù)求濾波器最小階數(shù)b,a=cheby1(N,Rp,wp1); % 計算切比雪夫 I 型模擬低通濾波器系統(tǒng)函 數(shù)系數(shù)H,f=freqz(b,a,512,100); %求幅值 H，頻率 fplot(f,

16、abs(H);切比雪夫 I 型模擬低通濾波器仿真圖(5) 對濾波后的信號進行分析和變換sf=filter(b,a,x);% 對原信號進行濾波 plot(n,sf);xlabel( 時間 (s);ylabel( 幅值 );axis(0 1 -1 1);X=fft(x,512); % 濾波前信號的傅里葉變換SF=fft(sf,512); % 濾波后信號的傅里葉變換 f=(0:255)/256*(fs/2);plot(f,abs(X(1:256) SF(1:256); % 濾波前后信號圖像對比xlabel( 頻率 (Hz);ylabel( 傅立葉變換圖 );grid;legend(before,af

17、ter)信號通過橢圓低通濾波器的仿真圖注：圖中藍色曲線代表濾波前的幅頻曲線， 綠線代表濾波后的幅頻曲線3.4 設(shè)計結(jié)果分析(1) 求得階數(shù) N=6，通帶邊界頻率為 wp = 0.1600 ，表明階數(shù)越大，模 擬低通濾波器越理想，且接近矩形。(2) 從圖上可以看出： 切比雪夫 I 型濾波器是在通帶頻率響應(yīng)幅度等波 紋的濾波器， 通帶內(nèi)具有等波紋起伏特性， 阻帶內(nèi)單調(diào)下降且衰減更大； 幅 度在低頻處通過，隨著頻率的增加，逐漸衰減至零；綜上所看：本設(shè)計符合 要求。（3）切比雪夫濾波器的特點是在通帶內(nèi)， 具有相等的波紋。 截頻衰減陡度比同階數(shù)巴特沃斯特性更陡度比同階數(shù)程時的衰減就超過6NdB。在階數(shù) N一定時，波紋越大，截頻衰減陡度越陡。相位響應(yīng)也是非線性，但較之比巴 特沃斯為差。總結(jié)經(jīng)過了將近一個周的課程設(shè)計， 我學(xué)會的如何使用 matlab 來進行濾波器的 設(shè)計，通過這次課程設(shè)計我不僅學(xué)到了許多關(guān)于 matlab 的知識，認識到了 matla