隨機振動簡介6講解

1、第五章 隨機振動基礎(chǔ)在振動系統(tǒng)中，由于激勵或參數(shù)的不確定性，振動響應(yīng)也是不確定性的。 研究不確定性振動的科學(xué)叫隨機振動。隨機振動雖具有不確定性，但仍可利用 統(tǒng)計的方法研究其規(guī)律性。研究隨機振動實質(zhì)上是用統(tǒng)計與概率方法了解振動 的內(nèi)在機理及規(guī)律性。隨機振動中的樣本是隨時間變化的，這與概率統(tǒng)計中的樣本不同。所以隨 機振動理論僅僅是以概率統(tǒng)計方法為基礎(chǔ)。本章主要介紹線性系統(tǒng)的隨機振動 基本概念和基本理論。將從隨機過程的統(tǒng)計特性入手，介紹幾種統(tǒng)計量(總體 平均、自相關(guān)函數(shù)、時間平均、時間自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度函數(shù)等)以及如 何用這些統(tǒng)計量來描述隨機振動，建立激勵與響應(yīng)統(tǒng)計特征之間的相互聯(lián)系。 最后介紹

2、了空間譜及與時間譜的轉(zhuǎn)換。5.1 隨機過程及統(tǒng)計特征在前面的章節(jié)中所討論的振動，其激勵和響應(yīng)都可以以時間為變量預(yù)先準 確描述。但在實際問題中不能以時間為參量預(yù)先準確描述的振動是普遍存在的。 比如，運行中列車轉(zhuǎn)向架的振動、地震引起的結(jié)構(gòu)振動、發(fā)動機運行時產(chǎn)生的 振動及飛機降落時起落架的振動等。這些振動都無法對既定的時刻 t 預(yù)先給出 它們準確的振動情況， 更無法用前面章節(jié)中的方法解決。 因此, 這種具有不確定 性的振動過程稱作 隨機振動 。為了探尋隨機振動內(nèi)在的機理及規(guī)律性，通常需要對某一給定的隨機振動 反復(fù)試驗、記錄，從而比較分析每一次的試驗結(jié)果。例如實際生產(chǎn)中統(tǒng)計某一 隨機振動每一次試驗中振

3、幅的最大值即為最簡單的振動分析。若對不確定性振動系統(tǒng)進行振動測試，對每一個測點，每測試一次可得一 條測試曲線 , 測試量可以是廣義位移或廣義力 , 記為x1(t), 如圖 5.1 中第一條曲 線所示。為了消除不確定性影響 , 一般要重復(fù)多次 .假設(shè)測試工作重復(fù)了 n次，可以得到 n條時間位移曲線 xk(t)(k 1,2 , n )，如圖 5.1 所示。 xk(t)為隨機 變量，是時間 t 的函數(shù)，因此叫做一個樣本函數(shù)。所有可能的樣本函數(shù) xk (t) (k 1,2 , n )的集合稱為隨機過程，記作 X(t) 。x1(t)O x2 (t)Ox3(t)Oxk (t)Ot1t1t1t1t1t1t1

4、 t1圖 5.1 隨機過程同樣地，對道路或鐵路不平順度進行測試時，也可以得一條以空間坐標為 參數(shù)的樣本函數(shù)，多次測量后得到以空間坐標為參數(shù)的隨機過程。因此，對于不確定性量的每一次試驗或測試都可以得到一條曲線，其數(shù)值 是關(guān)于某些參量(如時間、空間)的隨機變量，稱作樣本函數(shù)，每一個樣本函 數(shù)是不同的。樣本函數(shù)的本質(zhì)是隨機函數(shù)，可以擁有多個參量。對于某一隨機 振動問題，可以在相同的情況下重復(fù)無限多次試驗，每一次試驗都用同樣的參 量，這些試驗的集合構(gòu)成隨機過程。 X(t)隨機振動雖具有不確定性，但仍可利用統(tǒng)計的方法研究其規(guī)律性?？茖W(xué)試 驗中的數(shù)值顯現(xiàn)即為數(shù)據(jù)， 研究隨機振動問題就是對這些數(shù)據(jù)進行采集、

5、 整理、 分析和闡釋 , 確定一些統(tǒng)計量度以描述隨機振動的屬性 ,根據(jù)分析的結(jié)果得出結(jié)論。這些工作其本質(zhì)上都是統(tǒng)計工作。研究隨機振動遇到的第一個問題便是如何表征或描述隨機振動過程。隨機 振動具有不確定性，因此無法用一個振動樣本的細節(jié)來表征。借鑒概率與統(tǒng)計 理論，通常以其統(tǒng)計特征量來表征隨機振動。隨機變量統(tǒng)計特征常用分布密度函數(shù)來描述描述，而分布密度函數(shù)一般由 均值和均方值來描述。對于隨機振動，隨機變量是時間的函數(shù)，因此該隨機過 程在 t1 時刻的振動情況可用各個樣本在 t1時刻的平均值和方差或均方值來描 述。對于任意時刻 t1 ，用所有樣本來求隨機過程 X(t)在 t1時刻的總體平均得到x(t

6、 1)EX(t 1)lim 1xk(t 1)n n k 15.1)式( 5.1 )中 x (t )稱為隨機過程 X(t) 在t1時刻的總體平均值， 簡稱均值， 也稱為數(shù)學(xué)期望 。均值 x (t1)得到后對隨機振動在 t1時刻振動情況已經(jīng)有初步 的了解。進一步描述隨機振動在 t1時刻的振動情況， 可求出隨機變量 X (t1)的均 方值及方差，其數(shù)學(xué)描述如下。5.2)2x(t1)25.3)2 2 1 n 2x2(t1) EX(t1)2 nlim n1k 1xk(t1)2n1x2(t1) E(X(t1) x(t1)2 lnim(xk (t1)n nk 1它們分別對反映了隨機變量的波動有效值及波動強弱

7、。至此，隨機變量在時刻的波動幅值的期望、有效值及振動強弱等基本情況已描述清楚。在概率統(tǒng)計理論中描述兩個隨機變量 x、 y的相關(guān)程度可用隨機變量的協(xié)方差 E(x x)(yy) 表示，叫作相關(guān)函數(shù)。同理 E xy也在一定程度上反映 了隨機變量 X、Y的相關(guān)程度對隨機過程 X (t )各樣本xk (t ) ，取任意時刻 t1和t1值構(gòu)成兩個隨機變量xk(t1)和 xk(t1 ) ，并對隨機過程 X (t)中這各樣本的這兩個變量值乘積取總體 平均，得到Rx(t1,t1)E X(t 1 ), X(t1)5.4)1nlnim n1 k 1xk(t1)xk(t1)式(5.4 )中 Rx(t1,t1 )稱作隨

8、機過程 X(t)在t1和 t1 時刻的自相關(guān)函數(shù)它表示了隨機過程 X 不同時刻值隨機分布情況的相關(guān)程度。特別地，當 0 時：1 n 2 2Rx(t1,t1) EX(t1), X(t1) lnimxk(t1)2x2(t1)(5.5)n n k 1顯然，此時自相關(guān)函數(shù)取極大值。以上應(yīng)用概率統(tǒng)計的方法， 求出了隨機過程某一時刻的總體均值、 均方值、方差的自相關(guān)函數(shù)，了解了隨機振動在某一時刻的統(tǒng)計特征。但任意時刻的統(tǒng)計特征還待進一步討論。5.2 平穩(wěn)、各態(tài)歷經(jīng)過程及統(tǒng)計特征應(yīng)用概率統(tǒng)計理論， 我們得到了計算隨機變量統(tǒng)計特征公式 ( 5.1)(5.5) 但由于隨機變量均為時間的函數(shù)，所以得到的統(tǒng)計特征都

9、是時間的函數(shù)。由于 不同時間的統(tǒng)計特征不同，要全面了解統(tǒng)計特征，需要對不同時刻進行計算。 其次，統(tǒng)計特征計算足夠多的樣本，測試工作量很大。隨機過程的研究中隨時 間變化的樣本函數(shù)和大量的樣本數(shù)量這兩個基本問題增加了試驗和計算分析的 難度。因此，在保留主要因素，忽略次要因素的前提下，需要尋找一種合理、有效的參量簡化方法使描述處理方法簡單、有效。首先考慮簡化時間這個參量。假設(shè)隨機過程的總體平均x(t 1) 和自相關(guān)函數(shù)Rx(t1,t1 )等統(tǒng)計量均與時刻 t1無關(guān)，這樣的隨機過程稱為 平穩(wěn)過程 。由這 個假設(shè)可知，平穩(wěn)隨機過程的均值為一常量。x(t )x (5.6)而自相關(guān)函數(shù)僅依賴于時差 而與時刻

10、 t 無關(guān)Rx(t ,t) Rx( ) (5.7)滿足以上假設(shè)隨機振動的樣本函數(shù)的統(tǒng)計特征與時間無關(guān)，稱為 平穩(wěn)隨機 振動。平穩(wěn)過程簡化使得隨機過程統(tǒng)計特征與時間無關(guān)，可取樣本函數(shù)中任意時 刻的值進行總體平均得到統(tǒng)計特征，大大的簡化了試驗和分析工作量，但概率 統(tǒng)計需要大量的樣本以保證分析的準確性。如果隨機過程可以用任意一個樣本函數(shù)在時間序列上求得的平均值及自相 關(guān)函數(shù)表征，即任選一個樣本 xk(t) 在時間序列上求平均值及自相關(guān)函數(shù)作為總 體平均的結(jié)果，這樣就可以回避獲取大量樣本及處理龐大數(shù)據(jù)問題，從而可以 用一個樣本函數(shù)代表總體。為此，我們進一步假定平穩(wěn)隨機過程 X(t) 的平均值 及自相關(guān)

11、函數(shù)各種狀態(tài)在各個樣本中都經(jīng)歷，亦即總體中隨機值的分布和樣本 中隨機值按時間的分布是相同的，從而可以用時間平均代替總體平均。隨機過程 X (t)中樣本函數(shù) xk (t )的時間平均的數(shù)學(xué)定義為：1x(k) Tlim T1(5.8)(5.9)T2T xk (t)dt2時間自相關(guān)函數(shù) 數(shù)學(xué)定義為：Rx(k, ) Tlim T1 T2Txk(t)xk(t)dt滿足時間平均代替總體平均這個假設(shè)的隨機過程稱為各態(tài)歷經(jīng)過程(遍歷 過程)。從而各態(tài)歷經(jīng)過程時間平均就是總體平均，有：x(k)(5.10)Rx (k, ) Rx ( ) (5.11) 對于各態(tài)歷經(jīng)隨機過程，可以用一個樣本函數(shù)的統(tǒng)計特征來表征總體統(tǒng)

12、計 特征，使得試驗分析時只需要一個有效的樣本函數(shù)?？傮w平均和時間平均實質(zhì)上是對同一事物的不同角度描述。由平穩(wěn)過程與 各態(tài)歷經(jīng)過程定義知 各態(tài)歷經(jīng)過程一定是平穩(wěn)過程，而平穩(wěn)過程不一定是各態(tài) 歷經(jīng)過程 。各態(tài)歷經(jīng)過程是定義在時間平均之上，僅當隨機過程是各態(tài)歷經(jīng)過 程時，時間平均及其他基于時間的統(tǒng)計量才能描述總體的統(tǒng)計特征，這時時間 平均才具有統(tǒng)計意義， 因此若給定的隨機過程為平穩(wěn)過程而不是各態(tài)歷經(jīng)過程， 我們只能采用總體平均去研究。當然，無論平穩(wěn)過程還是各態(tài)歷經(jīng)過程都只能在一定近似程度下成立，也 是目前研究隨機振動問題比較成熟的手段。它廣泛見于一般工程問題中，已經(jīng) 得到較多的應(yīng)用。特別指出，一般工

13、程隨機振動都可認為是各態(tài)歷經(jīng)過程，因 此以后本章所討論的情形如無特殊說明都為各態(tài)歷經(jīng)過程。5.3 各態(tài)歷經(jīng)過程的時間域統(tǒng)計特征均值和方差及相關(guān)函數(shù)隨機過程的重要參數(shù)，由于各態(tài)歷經(jīng)隨機過程的統(tǒng) 計特征與樣本和時間無關(guān)，本節(jié)只在時間域討論它們的統(tǒng)計特征及相互關(guān)系。對于隨機過程中任意一個樣本函數(shù)x(t)均值：lim 1 2T x(t )dtT T T2均方值：1TTlim T1 2T2 x(t)2dt標準差：2x2lTim T1 2T x(t )T T Tx 2dtx2x2自相關(guān)函數(shù)為：Rx ( ) TliT2T x(t)x(t )dt(5.12)(5.13)5.14)(5.15)自相關(guān)函數(shù)具有以下

14、性質(zhì)：1) 自相關(guān)函數(shù)是時差 的偶函數(shù)， Rx( ) Rx( ) ；3)4)2) Rx(0) E(X 2) 2 ，時差 為零時的自相關(guān)函數(shù)就是均方值；Rx( ) Rx(0) ，時差 為零時隨機過程的自相關(guān)程度最大；lim Rx( ) x2 ，自相關(guān)函數(shù)為時差 的衰減函數(shù)，當 時趨于均值的平方。均方值、方差、均值及自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系如圖 5.3所示。Rx ( )x2 x2 x25)0.00 0.25 0.50 0.75 時間/s300-300-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 時間間隔 /s(b)數(shù)函關(guān)相(a)圖 5.3 樣本函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)更一般地，設(shè)有兩個平穩(wěn)過程 X(t) 和Y

15、(t ) ，它們之間相差時間的互相關(guān)函數(shù)定義為：Rxy( ) E(X(t )Y(t)lTim T1T2T x(t )y(t)dt2(5.16)Ryx( ) E(Y(t )X(t)lim TT1 2T y(t )x(t)dt2(5.17)式 5.17 中設(shè) t 1 t 可以得到下列式子：1TRyx( ) lTim2T y(t1 - )x(t 1)dt 1(5.18)T T 21TTlim T 2T x(t 1)y(t 1 - )dt1 Rxy(- ) T2所以，一般情況下，互相關(guān)函數(shù) Rxy( ) 和Ryx( ) 并不相等，它們之間存在 的關(guān)系為 Ryx( ) Rxy(- )5.4 功率譜密度函

16、數(shù)相關(guān)函數(shù)反應(yīng)了隨機變量在時間域內(nèi)的統(tǒng)計特性，但工程分析中我們同樣 關(guān)心隨機振動在頻域內(nèi)的統(tǒng)計特性，因為它是影響工程結(jié)構(gòu)的直接因素。本節(jié) 將主要闡釋功率譜函數(shù)以及它的物理意義?？紤]某一電路兩端的電壓為 xk (t) 的各態(tài)歷經(jīng)過程的隨機樣本， 樣本表達式為：xk (t)(t T)(t T)在上述定義中，把樣本擴展到了負半軸。若其電阻 R 1，且電路工作時間無限長，則其隨機動樣本的平均功率1 T 2 平均功率 limxk(t) Fx ( ) 1dtT 2T T k雖然平均功率從電學(xué)上引出，但在力學(xué)范疇，功和能一般都可以表達為與 廣義力或廣義位移的平方成正比的量，所以，對于隨機振動，我們也需要用平

17、 均功率來了解其域特征。平均功率從時間域描述功和能，我們還需要從頻率域來描述功和能，了解 能量與頻率的關(guān)系。為了建立時間域和頻率域平均功率的關(guān)系，我們先介紹 卷 積定理及 Parseval 定理。對于卷積z( ) x(t)y(t )dt(5.19 )對 z( ) 做傅里葉正變換得到z( )1z( )e i dx(t)y(t )dt e i dx(t)y(t )ei (t )e i td(t )dt(5.20)1x(t)e i tdt y(t)ei (t )d(t)22 Fx( )Fy* ( )式中 Fx( )是 x(t)傅里葉變換， Fy*( )是 y(t)的共軛傅里葉變換x(t)e i t

18、dt1Fy*( )21y(t )ei tdtz( ) 和 z( ) 構(gòu)成了傅氏變換對，根據(jù)傅氏變換，有z( ) z( )ei d根據(jù)式( 5.19 )、(5.20 )和上式有(5.21)*iz( ) x(t)y(t )dt 2 Fx( )Fy*( )ei d上式即為卷積定理 ，即二個二維連續(xù)函數(shù)在空間域中的卷積等于它們相應(yīng)的 二個傅立葉變換乘積的反變換。反之，在頻域中的卷積可用它們在空間域中乘積 的傅立葉變換而得。當 x(t) y(t) ，考慮到 Fx( )Fx*( ) Fx2( )，由式( 5.21 )可得2ix(t)x(t )dt 2Fx( ) 2ei d特別地，當 0 時x(t)2dt

19、2Fx( )2 d(5.22)上式即為著名的 Parseval 定理，它表明對于某一給定的隨機過程，對其在 時域上求能量和頻域上求能量是相等的，是一種能量守恒的表現(xiàn)。根據(jù) Parseval 定理，對于隨機過程中的樣本 xk(t) ，其平均功率可寫為T 1 2 T 2 2平均功率 lTim T 21T xk (t ) 2 dt Tlim T 22T Fk( )2d類比概率密度公式，其中 lim xk (t) 、lim 2 Fk( ) 分別表示功率在時間 T 2T T 2T維度和頻率維度上的分布密度。功率在頻率維度上的分布密度叫功率譜密度函數(shù) Sxk( ) 。把所有可能樣本的功率譜密度函數(shù)求總體平

20、均，就得到隨機過程的k功率譜密度函數(shù) Sx ( ) 。Sx( ) E Sxk ( ) E Tlim 2 F2xT( )T 2TT xk (t)e i tdtTlim 22T E Fk* ( ) Fk ( )Tlim 22T E 21 T xk(u)ei udu 21TTlim T 4 TT T E xk(t)xk(u) e i (t u)dtdu若 X (t)為平穩(wěn)過程， E xk(t)xk(u) 只與時間差(t u)有關(guān)，從而E xk (t)xk (u) Rx(t u)( , ) 2，坐標變換令 t u, t u ，則坐標變換的雅閣比式為 J (t,u) 1如圖 5.4 所示。2TTTTtT

21、( ,2T)( , 2T )( ,2T)2T2T2T( , 2T)圖 5.4 積分區(qū)域變換Sx( )Tlim 4 Tlim 1T 4 T2T 2T i 122TT 22TT Rx( )ei 12d d2T 1 2TRx( )e i d d 2T x 2T2 2TTlim 4 T2T i 12TRx( )e i 2d .4T(1 2T)5.23)11Rx ( )e i d以上功率譜密度函數(shù)是用平穩(wěn)過程所有可能的樣本集合求出來的，適用于 平穩(wěn)隨機過程。然而若隨機過程為遍歷過程則功率譜密度函數(shù)則可以由一個具 有代表性的樣本求出。對于各態(tài)歷經(jīng)過程 X(t) 的功率譜密度函數(shù) Sx( )與自相關(guān)函數(shù) R

22、x( )的傅構(gòu)成里葉變換對，表示為：1iSx( ) 1Rx( )e i d (5.24)2Rx( )Sx( )ei d (5.25)以上兩式傅里葉變換對，稱作維納 -辛欽關(guān)系式。式( 5.24 )的積分存在條件為 Rx( ) 絕對可積Rx( )d由于自相關(guān)函數(shù)具有衰減性，自然滿足該條件。為討論功率譜密度函數(shù)與其它統(tǒng)計量的關(guān)系，令0，由式(5.15 )和式2T x(t)2dt25.25 )知當 0 時有如下關(guān)系Rx(0) limTT(5.26)由以上兩式知Sx( )d式( 5.14 )中 x2為 x(t)的均方值，假定 x(t)描述電壓，那么 x(t )的均方值 表示耗散在一歐姆電阻中的平均功率

23、。類比數(shù)學(xué)概率密度公式，式(5.26 )左端可以理解為： Sx( ) 作為概率密度函數(shù)，在整個頻率范圍 對 積 分給出x(t)的平均功率。正是因為以上原因， 我們稱 Sx( )為x(t)的功率譜密度 函數(shù)。由功率譜密度函數(shù)物理意義可知Sx( ) 0隨機過程 x(t) 的導(dǎo)數(shù) x(t) 及二階導(dǎo)數(shù)的功率譜密度為：(5.27)Sx ( )Sx ( )4Sx ( )4Sx ( )隨機過程 x(t) 的導(dǎo)數(shù)過程 x(t)的功率譜密度也稱 速度功率譜密度 ；二階導(dǎo) 數(shù)過程的功率譜密度也稱作 加速度功率譜密度 ，這里不再證明。隨機振動具有不同頻率， 它所對應(yīng)的功率譜密度函數(shù)表示不同的頻率在振動 中所占的比

24、例，功率譜密度函數(shù)是一個連續(xù)譜，在隨機振動中 Sx( ) 表示振動能 量在各角頻率上的分布密度。為了更為直觀地討論功率譜密度函數(shù)的物理意義， 下面結(jié)合例題進行討論。 【例 2】設(shè)某各態(tài)歷經(jīng)過程的某一樣本函數(shù)為：x(t) sin(400 t) sin(300 t) sin(160 t)由于樣本函數(shù)由三個正弦函數(shù)疊加而成，其時間曲線如圖5.5(a)所示。圖中除幅值外，很難分辨頻率成分。 其功率譜密度函數(shù)見圖 5.5(b)，圖中清晰的顯示出現(xiàn)樣本函數(shù)能量主要集中在 80Hz、150Hz 和 200Hz處0012Bd/譜率功(50 100 150 頻率 /Hz (b)200 250x(t)Rx( )S

25、x( )(aO)Rx( )OSx( )OOOt x(t)Ot(b)(a)窄帶過程 (b )寬帶過程圖 5.5 樣本函數(shù)與功率譜密度函數(shù) 根據(jù)隨機過程功率譜密度函數(shù)所包含的頻率成分的分布范圍大小，可以分 為寬帶過程和窄帶過程。寬帶過程包含的頻率成分多，頻率在很大一個范圍內(nèi) 變化，最為理想的情況即頻率在 ( , )之間平均分布，稱作 理想白噪聲 ；窄 帶過程則頻率分布非常有局限，常局限在一定的頻率范圍內(nèi)。它們的自相關(guān)函 數(shù)及功率譜密度函數(shù)的圖形如圖 5.6 所示圖 5.6 寬帶隨機過程與窄帶隨機過程在理論推導(dǎo)中 圓頻率功率譜 較為方便，但在實際的測量中則使用 赫茲頻率功率譜 更為方便，記赫茲頻率功

26、率譜密度函數(shù)為 Sx (f ) , f 為實數(shù)且僅為正頻率，且 Rx( )為偶函數(shù)，且 e i nt cos nt isin nt ，展開后其虛數(shù)部分為奇函數(shù)，則赫茲頻率功率譜密度函數(shù)與圓頻率功率譜密度函數(shù)有如下關(guān)系Sx( )ei d Rx( )Sx( f ) cos(2 f )df0由以上兩式得：2 Sx( )cos( )dSx( f ) cos( 2 f )df0 4 Sx( ) Sx(f ) cos(2 f )df 0要使上式恒等于零，則必須有(5.28)Sx( f ) 4 Sx ( )上式給出了赫茲單邊功率譜與園頻率雙邊譜的關(guān)系。相比圓頻率功率譜密度函數(shù)，赫茲頻率功率譜密度函數(shù)具有明顯

27、的實際意 義。他可以直觀地反映出系統(tǒng)激勵(或響應(yīng))頻率，對于結(jié)構(gòu)的振動分析具有 明確的指導(dǎo)意義。因此，在實際中，可以根據(jù)需要相互轉(zhuǎn)換功率譜密度函數(shù)的 形式，以便于研究、分析。同理對于兩個各態(tài)歷經(jīng)過程 X(t) 和Y(t) ，它們的互相關(guān)功率譜定義為：Sxy( )和 Syx( ) ，且二者是相等，他們也與 互相關(guān)函數(shù)構(gòu)成傅氏變換對Sxy( ) 2Rxy( )e d(5.29)Rxy ( )Sxy ( )ei d(5.30)5.5 空間譜上面介紹的功率譜密度函數(shù)為時間譜，它以時間坐標作為基本變量。在交 通工程中，道路路面不平順和鐵路軌道不平順是隨空間變化的，要用空間坐標 來描述，由此得到的功率譜叫

28、 空間譜 。由道路路面不平順的得到的空間譜叫道 路譜，由鐵路軌道不平順得到的空間譜叫軌道譜。道路譜和軌道譜分別為設(shè)計 汽車和火車的重要荷載參數(shù)。下面介紹空間坐標為基本參量的空間譜，以及它 與時間譜之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系。鐵路軌道是機車車輛行駛的基礎(chǔ)，兩根鋼軌引導(dǎo)車輪滾動前行。由于客觀 存在的鋼軌幾何位置誤差及鋼軌工作面缺陷等軌道不平順，當列車運行時，這 些軌道不平順作為激勵引起車輛、軌道振動。進行機車車輛和軌道設(shè)計時，我 們要考慮軌道不平順引起的機車車輛和軌道振動特性，這就需要了解軌道不平 順。軌道不平順分為軌道方向、高低、軌距不平順，都以里程為坐標。通過量 測我們可以得到以里程為自變量的隨機過程

29、。類比功率譜密度函數(shù)，將時間變 量 t 轉(zhuǎn)換為里程坐標 s 就可得到軌道譜。從而時間量周期 T 轉(zhuǎn)換為長度量波長 22，時間頻率 轉(zhuǎn)換為波數(shù)或空間頻率 。因此，軌道譜即為不平 T順軌面所產(chǎn)生的隨機激勵的功率譜密度函數(shù)，它以里程坐標(空間)作為基本 變量，對于一定的軌道類型(包括設(shè)計等級、軌道現(xiàn)狀等因素) ，認為其軌道譜 是一定的。以上理論同樣適用于公路，相應(yīng)地公路也有道路譜，只是道路譜只 有高低不平順一項。假設(shè)沿軌道方向的鋼軌某項不平順或道路不平順 y(s) 是各態(tài)歷經(jīng)的隨機過 程，設(shè) 為路程差，則路面或軌面不平順對應(yīng)長度的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度 函數(shù)定義為Ry( ) Ey(s)y(s ) (

30、5.31)Sy( ) 21Ry( )e i d (5.32)前者反映了軌面或路面某項不平順在沿里程方向上的不平順幅值的統(tǒng)計特 征，后者了不平順波長的統(tǒng)計特征，從兩個方面揭示了道路不平順和軌道不平順 的統(tǒng)計特性。道路譜和軌道譜都是在公路或軌道上實測不平順測量方法 , 然后按路的等級 分別整理并擬合成經(jīng)驗公式供使用。 例如我國 I 級鐵路軌道高低不平順功率譜 ( 波 長范圍為 1m 到 100m)推薦公式為：s(f) 2.775 10 3f 2 0.8879f 4 2.254 10 2 f 2 9.61 10 7(mm2/( 周/m)(5.33)我國道路譜 Sy(k) 的經(jīng)驗公式為：(5.34)S

31、y (k)k其中n 1.5 2， 則根據(jù)不同等級的路面不平度做出規(guī)定。道路譜或軌道譜可以表征一種類型路面或軌面的不平順度，直觀地反映出 該類型路面或軌面不平順度在各個波長范圍內(nèi)能量的分布密度。車輛工程在設(shè) 計車輛時以車輛主要面向的道路譜或軌道譜為依據(jù)，避開路面或軌面激勵能量 較大的頻率范圍， 從而解決車輛路面共振問題， 提高舒適度和車輛壽命。 此外， 在鐵路方面，軌道譜也可以作為火車提速、軌道設(shè)計的參考依據(jù)。s vt道路譜與軌道譜以里程為基本參數(shù)，而振動分析時基本參數(shù)為時間，為了 振動應(yīng)用及分析方便，常將空間譜與時間譜進行轉(zhuǎn)換。對于以里程為參數(shù)的道 路譜及軌道譜，轉(zhuǎn)換是通過路程與時間的關(guān)系。比

32、較成熟的是假設(shè)機車、車輛 以勻速 v 行駛，則路程或里程有關(guān)系：5.35)為了不增加難度，這里不考慮行駛的初始位置。從而里程差vt, 不平順樣本函數(shù)和時間函數(shù)的轉(zhuǎn)換為5.36)y(s) y(vt) y(t)vT機車、車輛的行駛通過一個波長 不平順所用的時間就是時間周期 T，顯然波 長與時間周期的關(guān)系為。5.37)同樣的，空間頻率與時間頻率關(guān)系為：5.38)空間功率譜函數(shù)同時間功率譜函數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下式路面與軌面不平順對機車、車輛激勵的統(tǒng)計特征與行駛速度有關(guān)。下表給 出了時間與空間域時隨機變量對比表。表 1 時域量與空域量對比隨機變量周期頻率圓頻率ytTsf 1 Hz T2 f rad /sys

33、m1fs1/m2 fs rad /mSy( ) 21 - R( )e-i d( )iiR( )ed( )R( )e i d2Sy( )5.39)5.6 單自由度系統(tǒng)隨機振動前面已經(jīng)得到了由樣本函數(shù)求其統(tǒng)計特征的方法，對于線性時不變系統(tǒng)， 若激勵是各態(tài)歷經(jīng)的，則響應(yīng)也是各態(tài)歷經(jīng)的；我們本可以先計算出響應(yīng)，然 后計算響應(yīng)的各統(tǒng)計特征值。本節(jié)及后節(jié)我們將建立激勵的統(tǒng)計特征、系統(tǒng)動 力學(xué)參數(shù)和響應(yīng)的統(tǒng)計特征之間的關(guān)系，此后，激勵的統(tǒng)計特征和系統(tǒng)的動力 參數(shù)已知時，我們可以直接得出響應(yīng)的統(tǒng)計特征；有時，知道激勵的統(tǒng)計特征 和響應(yīng)的統(tǒng)計特征可以求出系統(tǒng)的動力參數(shù)，這類問題稱作系統(tǒng)識別或參數(shù)識 別。前面對隨

34、機振動在時間域的統(tǒng)計特征分析方法已經(jīng)作了較多介紹，本節(jié)和 下節(jié)主要從頻域介紹動力響應(yīng)的統(tǒng)計特征與輸入的統(tǒng)計特征以及系統(tǒng)動力特性 的關(guān)系。由第二章我們知道對于單自由度系統(tǒng)其振動微分方程為：mx cx kx f (t)(5.40 )這里我們假定其激勵 f(t) 是隨機的并且是各態(tài)歷經(jīng)過程， 因此響應(yīng) x(t )也是隨機的。為此，我們來建立隨機振動分析方法和理論。系統(tǒng)響應(yīng) x(t) 可用第二章的知識得到。這里用杜哈梅積分表達為(見第二章)：x(t) f ( )h(t )d f (t )h( )d (5.41)由于 f (t )為各態(tài)歷經(jīng)過程，則響應(yīng) x(t) 也為各態(tài)歷經(jīng)過程。可以用本章前 面的知識

35、對其統(tǒng)計特性進行計算分析。(1) 均值 由均值的定義，均值可用下式中的任何一個等式求得。x Ex(t) E f (t )h( )d (5.42 )由第二章式傳遞函數(shù)與單位脈沖響應(yīng)的關(guān)系。 ，H( ) e i h( )d(5.43 )代入 (5.42) 得：x E f (t )H (0)若 f(t) 為各態(tài)歷經(jīng)過程，E f (t ) E f (t) f(5.44 )于是：x H (0) f(5.45 )即，響應(yīng)的均值等于激勵均值乘以一個常數(shù) H (0)。(2) 自功率譜由功率譜密度函數(shù)定義及式( 5.24 )，系統(tǒng)響應(yīng)的 自功率譜 為：1Sx ( ) 1 Rx ( )e i d2由相關(guān)函數(shù)的定義

36、知系統(tǒng)響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為Rx( ) Ex(t)x(t )E f(t 1)h( 1)d 1 f (t2)h( 2)d 2h( 1)h( 2)E f(t 1)f (t 2)d 1d 2 h( 1) Rf ( 2 1)h( 2)d 2d 1代入：Sx( ) 1h( 1) Rf (2 1)h( 2)d 2d 1e i d1h( 1)Rf (2 1)e i ( 2 1)ei 1e i 2 d( 2 1)h( 2)d 2d 1iih( 1)Sf() ei1e i2h( 2)d 2d 1從而Sx( ) H()Sf ( )H( )(5.46)h( 1)ei1d 1Sf () h( 2)e i 2d2由復(fù)變函數(shù)

37、知 H( ) H * ( )是復(fù)頻響應(yīng)函數(shù) H( )的共軛。則上式也可以寫成：2Sx( ) H( ) 2Sf( )(5.47)激勵自功率譜 Sf ( ) 知道后，乘以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)應(yīng)自功率譜 Sx( ) 。3) 互功率譜系統(tǒng)激勵與響應(yīng)的 互功率譜 為1Sfx( ) 1 Ryx( )e i d2由相關(guān)函數(shù)的定義知系統(tǒng)激勵與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)為Rfx( ) E f(t)x(t )E f(t) f (t )h( )d E f(t)f (t )h( )dkRf ()h( )d代入：Sfx( ) 1H( ) 平方便可以得到響(5.48)(5.49)Rf()h( )d e i d21Rf ()e i ( )

38、d( ) e i h( )d(5.50)注意到上式中第一部分積分即為激勵的自譜 Sf ( ) ，可得 :Sfx ( ) H( )Sf ( )激勵自譜 Sf ( ) 與系統(tǒng)傳遞函數(shù) H( )相乘便可以求出激勵與響應(yīng)的互功率 譜 Sfx( ) 。例一 求響應(yīng)功率譜圖 5.7 所示為車輛在不平的道路上行駛時振動分析簡化模型。設(shè)車輛質(zhì)量m 1000kg ，懸掛的剛度 k=350kN/m ，阻尼比為0.5，車速為 v=100km/h，道路譜 Sy( ) ，求系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜y(s)s vt圖 5.7 車輛在不平順道路行駛簡化模型根據(jù)第二章例四，其它振動微分方程為：mx c(x y) k(x y) 0整理

39、得：mx cx kx cy ky當 y 系統(tǒng)的輸入時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：k icH( ) 2k m ic2( k ic )( k m ic )(km 2ic)( k m2 ic )2 2 2 2 3kmkcicmH( )(k 2 mk 2 c2 2)2 (cm 3)2(k m 2)2 c 2 2H( )2 2 2 2 2 3 2 ( k mk c ) ( cm )代入數(shù)據(jù)并畫出 H( ) 如圖 5.8所示，圖 5.8 傳遞函數(shù)模的平方道路譜 Sy( ) 轉(zhuǎn)換為時間譜為：11Sy( ) v1 Sy( ) v1 Sy( v )v20. 8879( k m 2 )2 c 2 2v29. 61 10

40、7424 2. 254 10 24v2v 0. 8879v 34 2. 254 10 2 2v 2 9. 61 10 7v 4將 H( ) 和Sy( )代入公式( 5.47)中即可求出Sx( )H( ) Sy ( )5.51)從公式(5.51)和圖 5.8 可知，響應(yīng)的功率譜為激勵功率譜與傳遞函數(shù)模的 平方的乘積，由于傳遞函數(shù)模的平方局部大于 1 或者小于 1，所以，激勵的功 率譜局部被放大或縮小得到響應(yīng)的功率譜。激勵的功率譜和響應(yīng)的功率譜如圖 5.9 所示。圖 5.9 輸入功率譜與輸出功率譜5.7 多自由度系統(tǒng)隨機振動多自由度系統(tǒng)對隨機激勵的響應(yīng)理論是單自由度系統(tǒng)對隨機激勵的響應(yīng) 理論的推廣

41、，從本質(zhì)上講它們是一致的。設(shè) n 自由度線性系統(tǒng)受到 m 個各態(tài)歷經(jīng)激勵( m n )，則系統(tǒng)的激勵與響 應(yīng)之間除了具有像單自由度系統(tǒng)一一對應(yīng)的關(guān)系外，還會相互影響。在第 j 坐 標的激勵 Pj (t)下引起第 i 坐標的響應(yīng) xi(t)的脈沖響應(yīng)函數(shù)和傳遞函數(shù)分別為 hij (t)和 Hij ( ) 。它們之間的相互關(guān)系構(gòu)成脈沖響應(yīng)矩陣和傳遞函數(shù)矩陣。h(t) hij (t)H(t) Hij ( )類似單自由度系統(tǒng)，在矩陣表達方式下，它們有如下關(guān)系：H(t) h( ) e i dh(t) H( ) ei d2面即以結(jié)合實例的方式來推導(dǎo)多自由度系統(tǒng)的隨機振動現(xiàn)考慮圖 5.10 所示多輸入多自由

42、度系統(tǒng)x1x2圖 5.10 多自由度系統(tǒng)其中 P1、 P2為各態(tài)歷經(jīng)過程，求該系統(tǒng)對隨機激勵的響應(yīng) 按第三章理論，上述系統(tǒng)運動微分方程為：P15.52)m1 0 x1k1 k2k2x10 m2x2 k2k2k3x2式( 5.52 )寫做矩陣形式為M xKxP下面用矩陣形式進行推導(dǎo)。 (1)相關(guān)矩陣 2 自由度系統(tǒng)的相關(guān)矩陣由 2 2維矩陣組成。 它們是各自由度響應(yīng)的自相關(guān) 函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。5.53)Rxx( ) Rx1x1 ( ) Rx1x2 ( )xxRx2x1( ) Rx2x2 ( )則以矩陣關(guān)系表示相關(guān)矩陣可寫為5.54)Rxx( ) E x(t) x(t ) T 將式( 5.54)中 x(t)、xT(t )以杜哈梅積分表示得RXX( ) E h( 1) P(t 1)d 1 P(t 2) T h( 2) Td 2 (5.55) 類