等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式

1、 等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式 一般地，如果一個(gè)數(shù)列 a a1 1,a,a2 2,a,a3 3 ， ，a an n 從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一 個(gè)常數(shù)d， a a2 2 a a1 1 = = a a3 3 - a - a2 2 = = = a = an n - a - an-1 n-1 = = d = = d 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。常數(shù)d叫做等差數(shù) 列的公差。 知識(shí)回顧知識(shí)回顧 an+1-an=d(nn * *) 通通 項(xiàng)項(xiàng) 公公 式式 的的 推推 導(dǎo)導(dǎo)1 1（歸納猜想）（歸納猜想） 設(shè)一個(gè)等差數(shù)列設(shè)一個(gè)等差數(shù)列 an n 的首項(xiàng)是的首項(xiàng)是a1 1, ,公差是

2、公差是d,d,則有：則有： a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d, , 所以有：所以有： 所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是：所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是： an=a1+(n-1)d（nn* *） 問(wèn)問(wèn)an=?=? 通過(guò)觀察：通過(guò)觀察：a2， a3，a4都可都可 以用以用a1與與d 表示出來(lái)表示出來(lái)；a1與與d的的 系數(shù)有什么特點(diǎn)？系數(shù)有什么特點(diǎn)？ a1 1 、 、an n、n、d知三知三 求一求一 a2=a1+ d, a3=a1+2d, a4=a1+3d, an=a1+(n-1)d a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a3+d = (a1+2d)

3、+d =a1+3d 21 aad 32 aad 43 aad 12nn aad 1nn aad 疊加得疊加得 1 (1) n aand 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)2（疊加）（疊加） dnaa n )1( 1 例第一屆現(xiàn)代奧運(yùn)會(huì)于例第一屆現(xiàn)代奧運(yùn)會(huì)于1896年在希臘雅典舉行，此后每年在希臘雅典舉行，此后每4年年 舉行一次，奧運(yùn)會(huì)如因故不能舉行，屆數(shù)照算。舉行一次，奧運(yùn)會(huì)如因故不能舉行，屆數(shù)照算。 （1）試寫出由舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式）試寫出由舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式 （2）2008年北京奧運(yùn)會(huì)是第幾屆？年北京奧運(yùn)會(huì)是第幾屆？2050年舉行奧運(yùn)會(huì)嗎？年舉

4、行奧運(yùn)會(huì)嗎？ 解解:（1）由題意知，舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)以）由題意知，舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)以 1896為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列。這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為為公差的等差數(shù)列。這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an=1896+4(n-1) =1892+4n(nn*) (2) 假設(shè)假設(shè)an=2008, 由由 2008=1892+4n, 得得 n=29. 假設(shè)假設(shè)an=2050,2050=1892+4n 無(wú)正整數(shù)解無(wú)正整數(shù)解 答：所求通項(xiàng)公式為答：所求通項(xiàng)公式為 an= 1892+4n(nn*) ， 2008年北京奧運(yùn)會(huì)是第年北京奧運(yùn)會(huì)是第29屆，屆，2050年不舉行奧運(yùn)會(huì)年不舉行奧運(yùn)

5、會(huì) 例例.在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中,已知已知a3=10, a9=28,求求a12 。 。 推廣：推廣：等差數(shù)列等差數(shù)列an中中，am,an(nm) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一般形式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一般形式: an = am + (nm)d. 解：由題意得解：由題意得 a1+2d=10 a1+8d=28 所以所以a12=4+(12-1) 3=37 注注:a12=a1+11d=+(12-3)d=+(12-3)d =+(12-9)d=+(12-9)d 解得：解得： a1=4 d=3 練一練練一練：已知：已知a5=11, a8=5, 求等差數(shù)列求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公的通項(xiàng)公 式式. 練練 習(xí)習(xí) 1 1

6、、填空題：、填空題： (1)(1)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列3 3，7 7，1111，則，則a11= (2)(2)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列1111，6 6，1 1，則，則an = (3)(3)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列1010，8 8，6 6， ，中，中，-10是第（是第（ ） 項(xiàng)項(xiàng) 43 -5n+16 11 練習(xí)練習(xí) 2.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為an=2n 1. 求首項(xiàng)求首項(xiàng)a1和公差和公差d. 變式引申變式引申: 如果一個(gè)數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式an=kn+d, 其中其中k,b都是常數(shù)都是常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎

7、? 語(yǔ)言描述這種現(xiàn)象語(yǔ)言描述這種現(xiàn)象 想一想！想一想！ 1 a 11 1 (1)(1) 2(2) mn aaamdand amnd mnpq mnpq aaaa d n a nqpnm, qpnm qpnm aaaa 在等差數(shù)列在等差數(shù)列中，中，為公差，若為公差，若 且且 求證：求證： 證明：證明： 設(shè)首項(xiàng)為設(shè)首項(xiàng)為，則，則 例例2. 11 1 (1)(1) 2(2) pq aaapdaqd apqd 等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì) 若p=q呢? 2 ,2 mnp mnpaaa若則有 練習(xí)練習(xí) .在在等差數(shù)列等差數(shù)列an中中 (1) 已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20

8、 (2）已知）已知 a3+a11=10，求，求 a6+a7+a8 分析：由分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及及 a6+a9+a12+a15=20， 可得可得a1+a20=10 分析：分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ， ，又已知 又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=15 2 3 例題分析例題分析 1591317 315 (3)117, n aaaaaa已知數(shù)列是等差數(shù)列，且 求a +a 的值 1 1. .等差數(shù)列等差數(shù)列 an 的前三項(xiàng)依次為的前三項(xiàng)依次為 a-6-6，2 2a -5-5，-3-3a +2 2， 則則 a

9、 等于（等于（ ) ) a . -. -1 1 b . . 1 1 c . .-2 -2 d. 2 b 2. 在在數(shù)列數(shù)列an中中a1=1，an= an+1+4，則，則a10= 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6-6)提示提示1: 提示：提示：d=an+1an=4 -35 3. 在在等差數(shù)列等差數(shù)列an中中 (1) 若若a59=70，a80=112，求，求a101； (2) 若若ap= q，aq= p ( pq )，求，求ap+q d=2,a101=154 d= -1, a p+q =0 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 1 3746 2 1 1,101 25 2,12,4 . (3)94 18 n

10、 n ad aaaaa a 練習(xí)題 （）等差數(shù)列第項(xiàng)大于 ，求公差 的范圍 （ ）已知等差數(shù)列滿足 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其中四個(gè)數(shù)的平方和為， 第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的積比第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù) 的積少，求這四個(gè)數(shù)。 152535 33,66,aaa在等差數(shù)列中，求的值(4) 例3 1 1 21, 2 nnnn n aaa aa 已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足a ，求 練習(xí)練習(xí) 已知已知 ，求，求 的值。的值。 )( 2 1)(2 ) 1(, 2) 1 ( * nn nf nff )2007(f 1005 2 3 2007 2 1 )2007( 2 3 2 1 )( 2 1 2)( 2

11、 1 )() 1( 1)(2) 1(2 f nnf nf nfnf nfnf 即 的等差數(shù)列，公差為是首項(xiàng)為 解解: 小結(jié)小結(jié) 掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用公掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用公 式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題 an=a1+(n1)d 提高觀察、歸納、猜想、推理等數(shù)學(xué)能力提高觀察、歸納、猜想、推理等數(shù)學(xué)能力 a am m+ +a an n= =a ap p+ +a aq q 上面的命題中的等式兩邊有上面的命題中的等式兩邊有 相相 同同 數(shù)數(shù) 目目 的項(xiàng)，否則不成立。如的項(xiàng)，否則不成立。如a a1 1+ +a a2 2=a a3 3 成立嗎？ 成立嗎？ 【說(shuō)明說(shuō)明】

12、3.3.更一般的情形，更一般的情形，a an n= = ，d d= = 1. 1. a an n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列 2. 2. a a、b b、c c成等差數(shù)列成等差數(shù)列 a an n+1 +1- - a an n=d =da an n+1 +1=a =an n+d+d a an n= a a1 1+ +( (n-n-1) 1) d d a an n= = kn + bkn + b（k k、b b為常數(shù)）為常數(shù)） a am m+ +( (n n - - mm) ) d d mn aa mn b b為為a a、c c 的等差中項(xiàng)的等差中項(xiàng) 2 ca b 2 2b= a+cb= a+c 4.4.在在等差數(shù)列等差數(shù)列 a an n 中，由中，由 m+n=p+q m+n=p+