直線與圓錐曲線有關(guān)向量問題

1、直線圓錐曲線有關(guān)向量的問題高考考什么知識(shí)要點(diǎn)：1直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)的情況用的弦長公式：直線： ax by c 0 2 2曲直線線： fa(xx, yb)y 0c 0 Ax2 Bx C 0 (或Ay2 By C 0)（1）沒有公共點(diǎn)方程組無解 （2）一個(gè)公共點(diǎn)iii） 相相交切AA 00, 0（3）兩個(gè)公共點(diǎn)A 0, 02連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦，要能熟練地利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計(jì)算弦長，常3以平面向量作為工具，綜合處理有關(guān)長度、角度、共線、平行、垂直、射影等問題4. 幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容1）給出直線的方向向量或 ；2）給出與 相交, 等于已知過 的中點(diǎn);3

2、）給出, 等于已知 是 的中點(diǎn) ;4）給出 , 等于已知 A、 B與 PQ的中點(diǎn)三點(diǎn)共線 ;（5） 給出以下情形之一： ；存在實(shí)數(shù)； 若存在實(shí)數(shù),等于已知三點(diǎn)共線 .6）給出等于已知 是 的定比分點(diǎn)，為定比，即7） 給出, 等于已知 , 即是直角, 給出,等于已知 是鈍角, 給出, 等于已知是銳角1 / 14（8）給出, 等于已知 是 的平分線。（9）在平行四邊形中，給出 ，等于已知是菱形 ;（10）在平行四邊形中，給出 ，等于已知 是矩形 ;（11）在中，給出 ，等于已知 是 的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）；（12）在中，給出 ，等于已知 是 的重心（

3、三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）；（ 13）在中，給出 ，等于已知 是 的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)）；14）在中，給出 等于已知 通過 的內(nèi)心；切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)）；, 等于已知 是 中 邊的中線 ;高考怎么考主要題型：1三點(diǎn)共線問題； 2公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題； 3弦長問題；4中點(diǎn)問題； 5定比分點(diǎn)問題； 6對(duì)稱問題； 7平行與垂直問題； 8角的問題。 近幾年平面向量與解析幾何交匯試題考查方向?yàn)椋?1）考查學(xué)生對(duì)平面向量知識(shí)的簡單運(yùn)用，如向量共線、垂直、定比分點(diǎn)。（ 2）考查學(xué)生把向量作為工具的運(yùn)用能力，如求軌跡方程，圓錐曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性

4、質(zhì)， 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。2 / 14特別提醒： 法和韋達(dá)定理是解決直線和圓錐曲線位置關(guān)系的重要工具。高考真題1. 2012 上海卷 若 n(2,1)是直線 l 的一個(gè)法向量，則 l的傾斜角的大小為 (結(jié)果用反三角函數(shù)值表示 )arctan2 解析 考查直線的法向量和傾斜角，關(guān)鍵是求出直線的斜1由已知可得直線的斜率 k 1，k 2， ktan，所以直線的傾斜角 arctan2.22.2012 重慶卷 如圖 13，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn) O，長軸在 x 軸上，上頂點(diǎn)為 A，左、右焦點(diǎn)分別為 F1， F2，線段 OF1，OF2的中點(diǎn)分別為 B1，B2，且 AB1B2是面積為 4的直角三角形(1)

5、求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過 B1 作直線 l 交橢圓于 P，Q 兩點(diǎn)，使 PB2QB2，求直線 l 的方程 22解： (1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2y2 1(ab0)，右焦點(diǎn)為 F2(c,0)ab因AB1B2 是直角三角形，又 |AB1|AB2|，故B1AB2 為直角，因此 |OA | |OB 2|，得 bc2.結(jié)合 c2a2b2 得 4b2a2b2，故 a2 5b2， c2 4b2，所以離心率 e ca52 5.在 RtAB1B2 中， OAB1B2，故SAB1B2 12|B1B2| |OA|OB2|OA|2cbb2.由題設(shè)條件 SAB1B2 4，得 b2 4，從而 a2 5b

6、2 20.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x 20 1.(2)由(1)知 B1(2,0)，B2(2,0)由題意知直線 l的傾斜角不為 0，故可設(shè)直線 l 的方程為： xmy2.代入 橢圓方程得 (m25)y2 4my 160.設(shè) P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則 y1，y2 是上面方程的兩根，因此4m16y1y2 2 ， y1y2 2 ，m2 5m2 5又B2P（x12， y1），B2Q（x22，y2），所以B2PB2Q （x1 2）（x2 2） y1y2（my14）（my24） y1y22（m 1）y1y24m（y1 y2） 16216m2m251616 m21 m25216m264 m25

7、 2由 PB2QB 2，得 B2PB2Q 0，即 16m264 0，解得 m2.3 / 14所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x 2y20 和 x2y20.3 2012 湖北卷 設(shè) A是單位圓 x2y21上的任意一點(diǎn)， l 是過點(diǎn) A與 x軸垂直的直線， D是直線 l 與 x 軸的交點(diǎn)，點(diǎn) M 在直線 l 上，且滿足 |DM|m|DA|（m0，且 m1）當(dāng)點(diǎn) A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn) M 的軌跡為 曲線 C.（1）求曲線 C 的方程，判斷曲線 C 為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過原點(diǎn)且斜率為 k的直線交曲線 C 于 P，Q兩點(diǎn)，其中 P 在第一象限，它在 y軸上的射影為點(diǎn) N，直 線

8、QN 交曲線 C于另一點(diǎn) H .是否存在 m，使得對(duì)任意的 k0，都有 PQPH？若存在， 求m 的值；若不存在， 請說明理由解： （1）如圖（1），設(shè) M（x，y），A（x0，y0），則由 |DM | m|DA |（m 0，且 m1），1 2 2可得 x x0， |y| m|y0|，所以 x0x，|y0|m|y|.因?yàn)辄c(diǎn) A 在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以 x02y021.2將式代入式即得所求曲線 C 的方程為 x2 my21（m0，且 m1）因?yàn)?m（0,1）（1，），所以當(dāng) 0 m 1時(shí)，曲線 C 是焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為 （0， m21），（0， m21）（2）方法 1：如圖

9、（2）、（3），對(duì)任意的 k0，設(shè) P（x1，kx1），H（x2，y2），則 Q（x1， kx1），N（0，kx1），直 線 QN 的方程為 y2kx kx1，將其代入橢圓 C 的方程并整理可得 （m24k2）x24k2x1xk2x21m20.依題意可知此方程的兩根為x1x24k2x1 ，22 ，m24k2即 x2x1，x2，于是由韋達(dá)定理可得2m x 2.因?yàn)辄c(diǎn) H 在直線 QN 上，所以 y2 kx1 2kx2 m2 4k222km x122m 4k于是 PQ （ 2x1， 2kx1 ），PH（x2x1，y2 kx1）4k2x1 ，22，m24k22km2x1 m24k2 .N（0，y1）

10、y1y2 y1y2m2.又 Qx1 x2 x1 x2N， H 三點(diǎn)共線，所以即2y1x1y1y2x1x22 2 2 4 2 m k x12而 PQPH 等價(jià)于 PQPH 2 2 0，即 2m2 0，又 m0，得 m 2，m2 4k22故存在 m 2，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓 x2y21 上，對(duì)任意的 k0，都有 PQPH.方法 2：如圖 （2）、（3） ，對(duì)任意 x1（0,1），設(shè)2 2 2 2 m x1 y1 m ， 因?yàn)?P，H 兩點(diǎn)在橢圓 C 上，所以 2 2 2 2 兩式相減可得 m2（x12x22）（y12 y22）0. m2x22y22 m2，依題意，由點(diǎn) P 在第一象限可知，點(diǎn) H 也

11、在第一象限，且 P，H 不重合，故（x1 x2）（x1 x2） 0.于是由式可得2m2.于是由式可得y1 y1 y2 1 y1y2 y1 y2 kPQkPHyx112 21 12 1 2 x1 x1 x2 2 x1x2 x1 x22而 PQPH 等價(jià)于 kPQkPH1，即 m2 1，又 m0，得 m 2，4 / 142故存在 m 2，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓 x2y21 上，對(duì)任意的 k0，都有 PQPH.4 大綱文數(shù)2011 全國卷 已知 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， F 為橢圓 C：2x2y21在 y 軸正半軸上的焦點(diǎn)，過F且斜率為 2的直線 l 與 C 交于 A、B 兩點(diǎn)，點(diǎn) P 滿足 OAOBOP0.（

12、1） 證明：點(diǎn) P 在 C 上；（2）設(shè)點(diǎn) P 關(guān)于點(diǎn) O 的對(duì)稱點(diǎn)為 Q，證明： A、P、B、Q 四點(diǎn)在同一圓上【解答】 （1）證明： F（0,1），l 的方程為 y 2x 1，代入 x2y21 并化簡得4x2 2 2x 1 0.設(shè) A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3， y3），則 x1 24 6， x2 24 6， 44 22， y1 y2 2（x1 x2） 21，2x1 x2由題意得 x3 （ x1 x2） 2 ， y3 （ y1 y2） 1.2， 1 .2 ， 1 . 2 ， 2 ，所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 1 滿足方程 x2y21，故點(diǎn) P 在橢圓 C 上 1 和題設(shè)知 Q 2

13、2，1 ，PQ 的垂直平分線 l1的方程為 y 22x. 設(shè) AB 的中點(diǎn)為 M，則 M 42，21 ，AB 的垂直平分線 l2 的方程為 y 22x41.2 1 .8.11 23 11，18 2 8 ，3 2 ，2，經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn) P 的坐標(biāo)（2）證明：由 P 22，由、得 l 1、l2 的交點(diǎn)為 N |NP|8|AB| 1 2 2|x2 x1|32|AM| 4 ，|MN|3 11|NA| |AM|2|MN|2，8811 23 3，28 8 ，故|NP| |NA|.又|NP| |NQ|，|NA|NB|，所以 |NA|NP|NB|NQ|，由此知 A、P、B、Q 四點(diǎn)在以 N 為圓心， NA 為半徑

14、的圓上5 / 14x2 y215 2012福建卷 如圖橢圓 E：xa2by21(ab0)的左焦點(diǎn)為 F1，右焦點(diǎn)為 F2，離心率 e12，過 F1的直 線交橢圓于 A、B 兩點(diǎn)，且 ABF 2的周長為 8.(1) 求橢圓 E 的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線 l：ykxm與橢圓 E 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) P，且與直線 x4相交于點(diǎn) Q.試探究：在坐標(biāo) 平面內(nèi)是否存在定點(diǎn) M，使得以 PQ 為直徑的圓恒過點(diǎn) M ？若存在，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，說明 理由解： 解法(1)因?yàn)閨AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8，又 |AF1|AF2|BF1|BF2|2a，1 c 1所以

15、4a 8，a2.又因?yàn)?e ，即 ，所以 c1，2 a 222xy 1.43 1.所以 b a2 c2 3. 故橢圓 E 的方程是得（4k23）x28kmx4m2120.ykx m，(2) 由 2 2x y 1， 4 31，因?yàn)閯?dòng)直線 l 與橢圓 E有且只有一個(gè)公共點(diǎn) P(x0，y0)，所以 m0且 0， 即 64k2m2 4(4k23)(4m2 12)0，化簡得 4k2m230.(*)此時(shí) x0 42km 4mk， y0 kx0 m m3，所以 P 4k2 3m m4k，3m，mx 4，.由得 Q(4,4k m)y kx m假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn) M 滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)M 必在 x 軸

16、上設(shè) M(x1,0)，則MP MQ0對(duì)滿足 (*)式的 m、 k恒成立因?yàn)?MP 4mkx1，m3 ，MQ (4 x1,4km)， 16k 4kx12 12k由MP MQ 0，得 m m 4x1x21 m 3 0，整理，得 (4x14)mkx214x130.(*) 由于 (*) 式對(duì)滿足 (*) 式的 m，k恒成立，4x1 4 0，所以 解得 x11.故存在定點(diǎn) M(1,0) ，使得以 PQ 為直徑的圓恒過點(diǎn) M. x1 4x1 3 0，解法二： (1)同解法一ykx m，(2)由 x2 y2得(4k2 3)x2 8kmx 4m2120. 1，4 3 1，因?yàn)閯?dòng)直線 l 與橢圓 E有且只有一個(gè)

17、公共點(diǎn) P(x0，y0)，所以 m0且 0， 即 64k2m2 4(4k23)(4m2 12)0，化簡得 4k2m230.(*)此時(shí) x0 42km 4mk，y0kx0 mm3，所以 P 4mk，m3 .由4k23m m m my kxm，6 / 14得 Q(4,4km) 假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn) M 滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn) M 必在 x 軸上取 k0，m 3，此時(shí) P(0， 3)，Q(4， 3)，以 PQ 為直徑的圓為 (x2)2 (y 3)24，1交 x 軸于點(diǎn) M1(1,0)，M2(3,0)；取 k2， m2，此時(shí) P 1，32 ，Q(4,0)，以 PQ 為直徑的圓為 x 52 2 y3

18、4 21465，交 x 軸于點(diǎn) M3(1,0)，M4(4,0)所以若符合條件的點(diǎn) M 存在，則 M 的坐標(biāo)必為 (1,0) 以下證明 M(1,0)就是滿足條件的點(diǎn)：因?yàn)?M 的坐標(biāo)為 (1,0)，所以 MP 4mk1，m3 ，MQ (3,4km)， 12k 12k從而 MPMQ 3 30，mm故恒有 MP MQ ，即存在定點(diǎn) M(1,0)，使得以 PQ 為直徑的圓恒過點(diǎn) M.突破重難點(diǎn)例1過點(diǎn) P( x, y)的直線分別與 x軸的正半軸和 y軸的正半軸交于 A,B兩點(diǎn)，點(diǎn) Q與點(diǎn) P關(guān)于 y軸對(duì)稱， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若3x2 3 y223 2 2x2 3y 22ACBP 2PA且 OQ AB

19、1，則點(diǎn) P的軌跡方程是( D )2 3 23x2 y2 1(x 0,y 0)3 2 2x2 3y2 1(x 0,y 0)21(x 0,y 0)1(x 0,y 0)C1 的長軸為短軸，且與 C1 有相同的離心率C2以2 已知橢圓 C1： x y2 1，橢圓4(1)求橢圓 C2 的方程；(2)設(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A， B分別在橢圓 C1和 C2上， OB 2OA，求直線 AB 的方程 22 解： (1)由已知可設(shè)橢圓 C2的方程為 ya2 x4 1(a2)，3 a 43y2 x2其離心率為 3，故 3，則 a 4，故橢圓 C2 的方程為 y x 1.2 a 2 16 4AB 的方程為 y kx

20、.(2)解法一： A，B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為 (xA，yA)，(xB， yB)，24xA2，1 4k由OB2OA及(1)知，O，A，B 三點(diǎn)共線且點(diǎn) A，B不在 y軸上，因此可設(shè)直線 2將 ykx代入x4y21中，得 (14k2)x24，所以22將 ykx代入1y6x41中，得 (4k2)x216，所以 xB 16 2，又由 OB2OA，得 xB 4xA，4k2即 16 2 16 2 ，4 k2 14k2解得 k 1，故直線 AB的方程為 yx或 yx. 解法二： A，B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為 (xA， yA)，(xB， yB)， 由OB2OA及(1)知，O，A，B 三點(diǎn)共線且點(diǎn) A，B不在 y

21、軸上，因此可設(shè)直線 AB的方程為 ykx.2將 ykx 代入 x4 y21 中，得 (1 4k2)x24，7 / 14所以 x2A 4 2，由OB 2OA，14k22得 x2B 16 ，y2B 16k ，22 將 xB，yB代入1y6 x4 1中，B 2 B 2 14k214k224k22 2得21，即 4k214k2，14k2解得 k 1，故直線 AB的方程為 yx或 yx.例 3. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 l 與拋物線 y22x 相交于 A、B兩點(diǎn)(1)求證：“如果直線 l 過點(diǎn) T(3，0)，那么 OA OB 3”是真命題；判斷它是真命題還是假命題，并說明理由l 交拋物線 y

22、2=2x 于點(diǎn) A(x1,y1) 、B(x2,y2).l 的方程為 x=3, 此時(shí), 直線 l 與拋物線相交于 OA OB=3；l 的方程為 y k(x 3)，其中 k 0，的直線, 直線(2)寫出( 1)中命題的逆命題， 解 (1)設(shè)過點(diǎn) T(3,0) 當(dāng)直線 l 的鈄率不存在時(shí) 點(diǎn) A(3, 6 ) 、 B(3, 6).當(dāng)直線 l 的鈄率存在時(shí) ,設(shè)直線y2 2x 2由 得 ky2 2y 6k 0 y1 y2 6y k( x 3) 1 2 又 x1 21 y12,x2 12 y22， OA OB x1x2 y1y2 41( y1y2)2 y1y2 3，綜上所述，命題“如果直線 l 過點(diǎn) T

23、(3,0) ，那么 OA OB =3”是真命題；(2)逆命題是：設(shè)直線 l 交拋物線 y2=2x于 A、 B兩點(diǎn),如果 OA OB =3,那么該直線過點(diǎn) T(3,0). 該命題 是假命題 .例如：取拋物線上的點(diǎn) A(2,2) ，B( 1 ,1) ，此時(shí) OA OB =3,直線 AB的方程為： y 23(x 1)，而T(3,0)不在直線 AB上；說明：由拋物線 y2=2x上的點(diǎn) A (x 1,y 1) 、B (x 2,y 2) 滿足 OA OB=3， 可得 y1y2=6，或 y1y2=2，如果 y1y2= 6，可證得直線 AB過點(diǎn)(3,0) ；如果 y1y2=2， 可證得直線 AB過點(diǎn)( 1,0

24、), 而不過點(diǎn) (3,0).例 4 已知 A,B 為拋物線 x2=2py( p0)上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)， OA OB 0，點(diǎn) C坐標(biāo)為( 0，2p) 求證： A,B,C三點(diǎn)共線；若 AM BM ( R)且 OM AB 0試求點(diǎn) M的軌跡方程。22 證明：設(shè) A(x1, x1 ),B(x2, x22p22 x1 x21)2)1)2p)20, x1x24p ，由 OA OB 0得 x1x21 2 2p 2px2又 AC ( x1,2 p 1 ),AB (x2 x1,2p2 22x1 x2 x1 (2p x1 ) (x2 x1) 0，2p2pAC / AB ，即 A,B,C三點(diǎn)共線。(2)由( 1)知直

25、線 AB過定點(diǎn) C，又由 OM AB 0及 AM BM ( R)知 OMAB，垂足為 M， 所以點(diǎn) M的軌跡為以 OC為直徑的圓，除去坐標(biāo)原點(diǎn)。即點(diǎn)M的軌跡方程為 x2+( y-p) 2=p2( x 0，y 0) 。22 x2 x122p )x22 x18 / 14x2 y2414例 5 橢圓 2 2 1（a,b 0） 的兩個(gè)焦點(diǎn) F1、 F2，點(diǎn) P在橢圓 C上，且 PF1F1F2，| PF1|= ，| PF2|=a2 b233（I ）求橢圓 C 的方程；且 A、B 關(guān)于點(diǎn) M對(duì)稱，求直線 l 的22（II ）若直線 l 過圓 x2+y2+4x-2y=0 的圓心 M交橢圓于 A、 B兩點(diǎn)，方

26、程。a=3.解法一： （ ） 因?yàn)辄c(diǎn) P在橢圓 C上，所以 2a PF1 PF2 6，22 5, 故橢圓的半焦距22從而 b2=a2 c2=4, 所以橢圓 C的方程為 x y 1.94 （）設(shè) A，B的坐標(biāo)分別為（ x1 , y1）、（ x2,y2）.由圓的方程為（ x+2）2+（ y 1） 2=5, 所以圓心 M的坐標(biāo)為（ 2，1）. 從而可設(shè)直線 代入橢圓 C的方程得2 2 2 2 （4+9k2）x2+（36k2+18k） x+36k2+36k27=0.因?yàn)?A，B關(guān)于點(diǎn) M對(duì)稱 .所以 x1 x22在 Rt PF1F2中， F1F2PF2 2 PF1218k 2 9k 2.2 2.4 9

27、k2c= 5,l 的方程為 y=k(x+2)+1,解得 k 89，所以直線 l 的方程為 y 8 （x 2） 1,9解法二： （ ） 同解法一 .（ ）已知圓的方程為（ x+2）2+（y1）2=5, 所以圓心 M的坐標(biāo)為（ 2，1）.設(shè) A，B的坐標(biāo)分別為（ x1, y1）,（ x2, y2）. 由題意 x1 x2且2 2 2 2 x12 y12 1, x22 y22 1, 9 4 9 4 由得 （x1 x2）（x1 x2 ） （y1 y2 ）（y1 y2） 0.即 8x-9y+25=0. （ 經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意94因?yàn)?A、 B關(guān)于點(diǎn) M對(duì)稱，所以 x1+ x 2= 4, y 1+ y 2=2

28、, 代入得 y1 y2 8 ，即直線 l 的斜率為 8 ，998所以直線 l 的方程為 y1 （ x+2），9即 8x 9y+25=0.（ 經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意 .）x1 x22例 6 設(shè) F1、F2分別是橢圓y 2 1 的左、右焦點(diǎn) .4）若 P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PF1 PF2 的最大值和最小值 ;）設(shè)過定點(diǎn) M（0,2） 的直線 l 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) A、B，且 AOB為銳角 求直線 l 的斜率 k 的取值范圍 .其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)） ，解：（）解法一： 易知 a 2,b 1,c 3 ，所以 F13,0 ,F2 3,0 ，設(shè) P x,y ，x21則 PF1 PF23

29、x, y , 3 x, y x2 y2 3 x2 1 x 3 1 3x2 8449 / 14因?yàn)?x 2,2 ，故當(dāng) x=0，即點(diǎn) P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)， PF1 PF2 有最小值 -2當(dāng) x= 2，即點(diǎn) P 為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)， PF1 PF2 有最大值 1解法二：易知 a 2,b 1,c 3 ，所以 F1 3,0 ,F2 3,0 ，設(shè) P x,y ，則PF12PF22F1F222PF1PF21 x 3y2 x 3y212 x2 y2 3 （以下同解法一）顯然直線 x 0 不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線 l : y kx 2,A x1,y2 ,B x2,y2 ，y kx 2聯(lián)立 x2 2 ，消去 y

30、，整理得： y2 14k2 1 x244kx 3 04k 3 x1 x2,x1 x2k2 1 k2 144由 4k 2 4 k 143 4k2 3 0 得： k3 或k 322又00 A0B 900 cos A0B 0 OA OB 0， OA OB x1x2 y1y2 0又 y1 y2kx12kx22k2x1x22kx1x24 3k1 2 1 2 1 2 1 2k2 148k2k2 14k2 1k 2 14423 k 1 0 ，即 k 2 4k2 1 k2 14433 2 k 2 故由、得 2 k 3 或 3 k 2 2x2 y2例 7 已知橢圓1 的左、右焦點(diǎn)分別為32F1、 F2 ，過 F

31、1 的直線交橢圓于 B、D兩點(diǎn)，F(xiàn)2 的直線交橢圓于 A、 C兩點(diǎn)，且 AC BD ，垂足為P.）設(shè) P點(diǎn)的坐標(biāo)為 （x0,y0） ，證明：2x032y2021；PF1 PF2 PF1 PF2 cos F1PF2 PF1 PF2）求四邊形 ABCD的面積的最小值。10 / 14）證明 : 橢圓的半焦距 c 3 2 1 ， 由 AC BD 知點(diǎn) P 在以線段 F1F2 為直徑的圓上，故 x02 y02 1，2 2 2 2 所以， x0 y0 x0 y0 1 13 2 2 2 2）（）當(dāng) BD 的斜率 k 存在且 k 0時(shí)， BD 的方程為 y k（x 1），22代入橢圓方程 x y 1，并化簡得

32、 (3k2 2)x2 6k2x 3k2 632設(shè) B（x1，y1） ， D（x2，y2），則：x1 x26k23k2 2x1x23k 2 63k 2 2BD 1 k 2 x1x2(1 k2) (x2 x2 )2 4x1x24 3(k2 1)23k2 21 因?yàn)?AC與 BC相交于點(diǎn) P，且 AC的斜率為k所以，AC4 3 k12 13 12 2k24 3(k2 1)2k2 3四邊形 ABCD的面積 S 1 BD AC224(k2 1)222(3k2 2)(2 k2 3)(k2 1)2 96(3k2 2) (2k2 3) 2 25 2當(dāng) k2=1 時(shí)，上式取等號(hào)（）當(dāng) BD的斜率 k=0 或斜率

33、不存在時(shí)，四邊形 ABCD的面積 S=4綜上，四邊形 ABCD的面積的最小值為9625例 8 已知函數(shù) y kx與 y x2 2（x0） 的圖象相交于 A（x1，y1） ， B（x2，y2） ， l1， l2 分別是y x2 2（x 0）的圖象在 A，B兩點(diǎn)的切線， M，N分別是 l1， l2與x軸的交點(diǎn)（ I ）求 k 的取值范圍；（II ）設(shè) t為點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)，當(dāng) x1 x2 時(shí)，寫出 t以 x1 為自變量的函數(shù)式，并求其定義域和值域； （III ）試比較 OM 與 ON 的大小，并說明理由（ O 是坐標(biāo)原點(diǎn)）y kx，2解：（ I ）由方程 消 y 得 x2 kx 2 0 y x2

34、211 / 14依題意，該方程有兩個(gè)正實(shí)根，故2k 8 0， 解得 k 2 2 x1 x2 k 0，II)由 f (x) 2x ，求得切線l1的方程為 y 2x1 (x x1) y1，由 y12x1 2 ， 并 令 y 0 ，x1得t21 x1 ， x2 是 方 程 的 兩 實(shí) 根 ， 且 x1 x2 ， 、 故 x1x kk2 8kk2 8x1是關(guān)于 k的減函數(shù)， 所以 x1的取值范圍是 (0，2) t是關(guān)于x1的增函數(shù)，定義域?yàn)?0，2) ，所以值域?yàn)? ， 0)，III )當(dāng) x1 x2 時(shí)，由( II )可知 OMx1 1 tx21 x11類似可得 ONx21 OM ON2 x2x1

35、x22x1 x2x1x2由可知 x1x2 2 從而 OM ON 0當(dāng) x2 x1 時(shí)，有相同的結(jié)果OM ON 0 所以O(shè)MON 自我提升1、平面直角坐標(biāo)系中， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知 A(3，1)，B(-1，3)，若點(diǎn) C滿足 OCOA OB，其中R，且=1，則點(diǎn) C的軌跡方程為 ( D )22A 3 x+2y-11=0 B (x-1) 2+( y-2) 2=5 C 2 x-y=0D x+2y-5=02、已知 i , j 是 x,y 軸正方向的單位向量， 設(shè) a=(x 2)i yj , b=(x 2)i yj , 且滿足 | a|+| b |=4. 則點(diǎn) P(x, y)的軌跡是 .( C )A橢圓

36、 B雙曲線 C線段D射線3、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為(0，5 2 )的橢圓被直線3x y 2=0 截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，2則橢圓方程為A.2x225(C )2y2 175B.2x222y52 1752y2mA 、m1且m5 B 、 m 15、已知 i , j 是 x,y 軸正方向的單位向量，4、直線 y=kx+1與橢圓則點(diǎn) P( x, y) 的軌跡 C 的方程為2C.x2252 y2 1 7522D. x2 y2 175 251恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是( A) .C、m5.(52012 許昌一模 設(shè) F1、F2 分別是雙曲線D、 m5設(shè)a=(x 3)i yj , b=(x 3)i y

37、j ,且滿足 | a|-|2y2 1(x 0).2x2y91 的左、右焦點(diǎn)若點(diǎn) P 在雙曲線上，且 PF1b |=2.PF20，則 |PF1 PF2| ( A 2 2)B. 10C 4 2D 2 1012 / 1427. 已知橢圓 xAQ PB，求直線2 lxP+xQ=1 故4k21 2k 2所求的直線方程為y22（x 1） 。5D 解析 根據(jù)已知 PF 1F2是直角三角形，向量 PF1PF22PO，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等 于斜邊的一半即可求出 .PF1PF20，則 |PF1PF2| 2|PO| |F1F2|2 10.6已知 A、 B為拋物線 x2=2py （p0） 上兩點(diǎn)，直線 AB過焦點(diǎn) F，A、 B在準(zhǔn)線上的射影分別為 C、D，則 y軸上恒存在一點(diǎn) K，使得 KA KF 0； CF DF 0；存在實(shí)數(shù) 使得 ADAO ；若線段AB中點(diǎn) P在在準(zhǔn)線上的射影為 T，有 FT AB 0 。中說法正確的為 y2 1，過 P（1,0） 作直線 l，使得 l 與該橢圓交于 A,B兩點(diǎn)， l 與 y 軸的交點(diǎn)為 Q，且 的方程。解：直線 l 過 P（1,0） ，故可設(shè)方程為 y=k（ x- 1） ， 因?yàn)?AQ PB ，所以AB的中點(diǎn)與 PQ的中點(diǎn)重合 .2x 2 2y 1 2 4k 由 2得（1+2 k2） x2-4k2x+2